5.1.2 矩形的判定-八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步課堂（浙教版）

矩形的判定特殊平行四邊形學(xué)習(xí)目標(biāo)壹理解并掌握矩形的判定方法。解決有關(guān)的證明題和計(jì)算題，感受解析思路和方法。貳經(jīng)歷探索矩形判定方法的過(guò)程。叁經(jīng)歷探究矩形判定的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生實(shí)驗(yàn)探究的意識(shí)。肆從數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，充滿對(duì)學(xué)習(xí)的好奇心和求知欲。知識(shí)回顧工人師傅在做門窗或矩形零件時(shí)，如何確保圖形是矩形呢？現(xiàn)在師傅帶了兩種工具（卷尺和量角器），他說(shuō)用這兩種工具的任意一種就可以解決問(wèn)題，這是為什么呢？矩形的判定1矩形的定義：平行四邊形ABCD∠A=90°四邊形ABCD是矩形。有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.ABCD“矩形的對(duì)角線相等”，反過(guò)來(lái)，猜想對(duì)角線相等的四邊形是矩形，你覺(jué)得對(duì)嗎？不對(duì)，矩形是特殊的平行四邊形，所以它的對(duì)角線不僅相等且平分.不對(duì)，等腰梯形的對(duì)角線也相等.我猜想：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.已知：平行四邊形ABCD，AC=BD.求證：四邊形ABCD是矩形.驗(yàn)證結(jié)論ABCD∴△ABC≌△DCB（SSS）證明∴AB=CD,BC=BC（平行四邊形對(duì)邊相等）∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知）在△ABC和△DCB中AB=CD（已證）BC=BC（已證）AC=BD（已知）

∴∠ABC=90°（等式的性質(zhì)）∴四邊形ABCD是矩形（矩形的定義）又∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知）矩形的判定2平行四邊形ABCDAC=BD四邊形ABCD是矩形。對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.BACD∵四邊形ABCD是平行四邊形,AC=BD

∴

四邊形ABCD是矩形。幾何語(yǔ)言：猜想：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。1、矩形的四個(gè)角都是直角，它的逆命題是什么？逆命題：四個(gè)角都是直角的四邊形是矩形。想一想2、如果上述逆命題成立，那么進(jìn)一步說(shuō)，至少有幾個(gè)角是直角的四邊形是矩形呢？已知：四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°求證：四邊形ABCD是矩形.驗(yàn)證結(jié)論DABC證明：∵∠A＝∠B＝90°

∴∠A＋∠B＝180°

∴AD∥BC

同理：AB∥CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形∵∠A＝90°

∴四邊形ABCD是矩形。矩形的判定3有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.BACD

∵∠A=∠B=∠C=90°

∴四邊形ABCD是矩形.幾何語(yǔ)言：例題講解如圖,AC、BD是矩形ABCD的對(duì)角線，且AE=BF=CG=DH.求證:四邊形EFGH是矩形.BCDEFGHOA證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD（矩形的對(duì)角線相等)，

AO=BO=CO=DO（矩形的對(duì)角線互相平分），∵AE=BF=CG=DH，∴OE=OF=OG=OH，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵EO+OG=FO+OH，

即EG=FH，∴四邊形EFGH是矩形.例題講解如圖，□

ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于E、F、G、H，求證：四邊形EFGH為矩形．證明：在

□

ABCD中，AD∥BC,

∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AE與BG分別為∠DAB、∠ABC的平分線,ABDCHEFG∴四邊形EFGH是矩形．同理可證∠AED=∠EHG=90°,∴∠AFB=90°，∴∠GFE=90°.∴∠BAE+∠ABF=∠DAB+∠ABC=90°.例題講解一張四邊形紙板ABCD形狀如圖，它的兩條對(duì)角線相互垂直.若要從這張紙中剪出一個(gè)矩形，并使它的四個(gè)頂點(diǎn)分別落在四邊形ABCD的四條邊上，可怎樣剪？ABCDOABCDOEFGH解：如圖，在AB、BC、CD、AD上取中點(diǎn)E、F、G、H，連接EF、FG、GH、HE,∵EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC,∵AC⊥BD.∴EF⊥BD.∵EH是△ABD的中位線，∴EH∥BD,∵EF⊥EH,即∠HEF=90°同理，∠EHG=90°，∠HGF=90°∴四邊形EFGH是矩形.學(xué)以致用1.如圖，BD是平行四邊形ABCD的一條對(duì)角線，E是CD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于F.(1)求證：BC=CF.(2)當(dāng)DB=DF時(shí),求證：四邊形ABCD是矩形．學(xué)以致用2.如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且AD⊥BA交BC延長(zhǎng)線于D，CF⊥BC交BA的延長(zhǎng)線于F,連接EF．(1)求證：AC是△BCF的中線；(2)求證：四邊形CDEF是矩形；(3)已知AC=6，BC=4，求AE的長(zhǎng)．學(xué)以致用3.如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=4，點(diǎn)P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B不重合），過(guò)點(diǎn)P分別作PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF．（1）四邊形PECF的形狀是______；（2）線段EF的最小值為_(kāi)_____．學(xué)以致用4.如圖，在△AEC、△BED中，∠AEC=∠BED=90°，AC、BD相交于點(diǎn)O，且O是AC、BD的中點(diǎn)．求證：四邊形ABCD是矩形．學(xué)以致用5.如圖，在平行四邊形ABCD中，角線AC、B