專題05 解析幾何（解答題10種考法）（精練）（原卷版）

專題05解析幾何（解答題10種考法）1．（2023·福建廈門(mén)·廈門(mén)一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知，分別是橢圓：的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，，直線的斜率為.(1)求橢圓的方程；(2)直線，與，軸分別交于點(diǎn)，，與橢圓相交于點(diǎn)，.（i）求的面積與的面積之比；（ⅱ）證明：為定值.2．（2023·全國(guó)·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為是橢圓的中心，點(diǎn)為其上的一點(diǎn)滿足．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若在上存在一點(diǎn)，使得直線的斜率與直線的斜率之和為定值，求的范圍．3（2023·陜西商洛·陜西省丹鳳中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的2倍，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，且面積的最大值為8．(1)求的方程；(2)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交于兩點(diǎn)，直線分別交直線于，兩點(diǎn)，試問(wèn)與的面積之比是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．4．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，試問(wèn)：在直角坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（2023·江蘇南京·南京市第九中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）橢圓E的方程為，左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為橢圓E上的點(diǎn)，且在第一象限，直線l過(guò)點(diǎn)P(1)若直線l分別交x，y軸于C，D兩點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)；(2)若直線l過(guò)點(diǎn)，且交橢圓E于另一點(diǎn)Q（異于點(diǎn)A，B），記直線與直線交于點(diǎn)M，試問(wèn)點(diǎn)M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，說(shuō)明理由．6．（2023·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為，，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率不為的直線，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值；(3)在（2）的條件下，直線與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.7．（2023·北京海淀·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知曲線．(1)若曲線C是橢圓，求m的取值范圍．(2)設(shè)，曲線C與y軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N．設(shè)直線AN與直線BM相交于點(diǎn)G．試問(wèn)點(diǎn)G是否在定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說(shuō)明理由．8．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，且E的漸近線方程為．(1)求E的方程；(2)過(guò)作兩條相互垂直的直線和，與E的右支分別交于A，C兩點(diǎn)和B，D兩點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最小值．9．（2023·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)，分別是其左右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線的右支于P，A兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限.當(dāng)直線PA的斜率不存在時(shí)，.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)線段交圓于點(diǎn)B，記，，的面積分別為S1，S2，S，求的最小值.10．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.(1)求的方程；(2)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作互相垂直的兩條弦（斜率均存在）、.兩條弦的中點(diǎn)分別為、，那么直線是否過(guò)定點(diǎn)?若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明原因；若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo).11．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，A，B分別是C的右、上頂點(diǎn)，且，D是C上一點(diǎn)，周長(zhǎng)的最大值為8.(1)求C的方程；(2)C的弦過(guò)，直線，分別交直線于M，N兩點(diǎn)，P是線段的中點(diǎn)，證明：以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).12．（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線：，過(guò)點(diǎn)作斜率互為相反數(shù)的直線，分別交拋物線于及兩點(diǎn)．(1)若，求直線的方程；(2)求證：．13．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)分別為，，，，點(diǎn)在線段上，且滿足，直線的斜率為1，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求雙曲線的方程.(2)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支相交于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在與不同的定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.14．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)且平行于軸的弦．(1)求的內(nèi)心坐標(biāo)；(2)是否存在定點(diǎn)，使過(guò)點(diǎn)的直線交于，交于點(diǎn)，且滿足？若存在，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為線段上異于的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)點(diǎn)是曲線上兩點(diǎn)，且在軸上方，滿足，求四邊形面積的最大值.16．（2023·四川成都·成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)?？既＃┰O(shè)橢圓過(guò)點(diǎn)，且左焦點(diǎn)為.(1)求橢圓的方程；(2)內(nèi)接于橢圓，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，與交于點(diǎn)，滿足，求面積的最大值.17．（2023·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)?？既＃┰O(shè)橢圓過(guò)點(diǎn)，且左焦點(diǎn)為．(1)求橢圓的方程；(2)內(nèi)接于橢圓，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，與交于點(diǎn)，滿足，證明：面積為定值，并求出該定值．18（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，.(1)若，求直線的斜率；(2)設(shè)，是上異于的點(diǎn)，且，，三點(diǎn)共線，求證：.19．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，的內(nèi)切圓與直線相切于點(diǎn)，記點(diǎn)M的軌跡為C.(1)求C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)T在直線上，過(guò)T的兩條直線分別交C于A、B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，連接.若直線的斜率與直線的斜率之和為0，試比較與的大小.20．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓，，為C的左右焦點(diǎn).點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且.過(guò)P作兩直線與橢圓C相交于相異的兩點(diǎn)A，B，直線PA、PB的傾斜角互補(bǔ)，直線AB與x，y軸正半軸相交.(1)求橢圓C的方程；(2)點(diǎn)M滿足，求M的軌跡方程.21．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為4．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)M，N，P，Q為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且四邊形MNPQ為菱形，原點(diǎn)О在直線MN上的垂足為點(diǎn)H，求H的軌跡方程．22（2023·海南?？凇ずＤ现袑W(xué)?？级＃┮阎^(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線：的左右兩支分別交于、兩點(diǎn).(1)求直線的斜率的取值范圍；(2)設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線，與雙曲線交于、兩點(diǎn).當(dāng)直線變化時(shí)，恒為一定值，求點(diǎn)的軌跡方程.23．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：（，）的離心率為，右頂點(diǎn)到漸近線的距離等于.(1)求雙曲線的方程.(2)點(diǎn)，在上，且，直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.24．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）已知是橢圓的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，的最大值為.當(dāng)時(shí)，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)、為橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)滿足，當(dāng)與、不重合時(shí)，射線交橢圓于點(diǎn)，直線、交于點(diǎn)，求的最大值.25．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）中，是邊上的點(diǎn)，，且．(1)若，求面積的最大值；(2)若內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求；若不存在，說(shuō)明理由．26．（2023·河北·校聯(lián)考三模）已知橢圓，其焦距為，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)所得四邊形的面積為6．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率不為0的直線交橢圓于不同兩點(diǎn)，求證：直線與直線所成的較小角相等．27．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希臘）不僅是著名的哲學(xué)家、物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為P，Q，直線PA與直線交于點(diǎn)F，試證明B，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線.28．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）橢圓的焦距為為橢圓右焦點(diǎn)，.

(1)求橢圓的方程與離心率；(2)設(shè)為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，的中點(diǎn)為.直線與直線交于點(diǎn)，過(guò)且平行于的直線與直線交于點(diǎn).求證：.29．（2023·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C：經(jīng)過(guò)圓：的圓心，C的左焦點(diǎn)F到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過(guò)點(diǎn)F作斜率之積為－1的兩條直線，，