專題01 解三角形（解答題10種考法）（精練）（解析版）

專題01解三角形（解答題10種考法）1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，的面積為．

(1)求；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）設(shè)，因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，所以．在中，由余弦定理得，所以．在中，，所以，所以；（2）由（1）可得，在中，由正弦定理得，所以，且．由（1）可得，又，所以．2．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．(1)求的值；(2)若，，求的面積．【答案】(1)；(2).【解析】（1）依題意，，由正弦定理得，，而，故．（2）由余弦定理得，，得，故．3．（2023·安徽·池州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知梯形中，.(1)若，求的值；(2)若，設(shè)的面積為，求的最大值.【答案】(1)(2).【解析】（1）解：如圖所示：

根據(jù)題意：，，由余弦定理可得：，，又，在中，利用正弦定理可得：，所以.（2）設(shè)，，，在中，由余弦定理可得：，，當(dāng)時(shí)，取最大值，且為.4．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測(cè)）已知銳角的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，外接圓的半徑為，且．(1)求A及a的值；(2)若，求線段AP長(zhǎng)度的取值范圍．【答案】(1)，(2)【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，則，即，由余弦定理可得，且，則，又因?yàn)橥饨訄A的半徑，所以．（2）設(shè)，，因?yàn)?，即點(diǎn)P為BC邊的中點(diǎn)，則，兩邊同時(shí)平方得，即，由（1）可知：，即，可得，即，又因?yàn)橥饨訄A的半徑，由正弦定理得，，即，則．因?yàn)闉殇J角三角形，則，，即，，可得，則，可得，則，即，所以線段AP長(zhǎng)度的取值范圍為．5．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，將繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與圓交于點(diǎn).

(1)求；(2)若的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，，求.【答案】(1)(2)或.【解析】（1）由題知，，所以；（2）由題知，，，，且，所以，而，則，故，由正弦定理可知，整理得，解得，故，或.6．（2021·江蘇南通·一模）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中并作答．問題：在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且____．(1)求角C；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）若選①：，則，∴∴∵，，∴，∵，∴.若選②：，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴．若選③：，則，由正弦定理得，∴∴，∴，∵，∴．（2）由正弦定理得，，則，，∵，，，∴.7．（2023·福建廈門·廈門一中?？寄M預(yù)測(cè)）在平面四邊形中，，，.(1)若，，求的值；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)?，，，在中，由余弦定理得，所以，由?由正弦定理得,所以,所以,所以.（2）在中，由得

①，又

②，且，所以,在中，將①，②代入上式得.且，所以，當(dāng)時(shí)，有最小值3.所以取最小值.綜上，的最小值為.8．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，．(1)若邊上的高等于1，求；(2)若為銳角三角形，求的面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）由正弦定理，，所以，則，又，所以，因?yàn)椋?，解得，又由余弦定理，，解得，所以．?）由正弦定理有，且由（1）可知，所以，又因?yàn)殇J角，所以，解得，所以，所以，所以，所以面積的取值范圍是．9．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．(1)求邊長(zhǎng)和角；(2)求的面積的最大值，并判斷此時(shí)的形狀．【答案】(1)，(2)，等邊三角形【解析】（1）解：，由正弦定理得．可得．由，得，得，得或，故或0（舍去）．（2）由余弦定理可知，，由（1）可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即面積的最大值為，此時(shí)為等邊三角形．10．（2023·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）在中，為邊上一點(diǎn)，且平分．(1)若，求與；(2)若，設(shè)，求．【答案】(1)，(2)【解析】（1）如下圖所示：

因?yàn)槠椒?，所以，又因?yàn)樵谏?，所以，因此，又，所以．在中，，可得．在中，由余弦定理可得，故．?）如下圖所示：

因?yàn)槠椒?，，又，所以，在中，由正弦定理可得，又，所以，展開并整理得，解得．11．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，設(shè)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.(1)若，求的值；(2)若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在區(qū)間上的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，，.，.若，則，同理可得.；（2）若函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則.因?yàn)椋?，而在上的值域?yàn)?，則，即，因?yàn)椋?，，故的取值范圍?2．（2023·遼寧沈陽·沈陽鐵路實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┤鐖D，在四邊形中，與互補(bǔ)，．

(1)求；(2)求四邊形的面積．【答案】(1)(2)【解析】（1）連接，如圖，

與互補(bǔ)，與互補(bǔ)，在中，，即，得，在中，，即，得，又與互補(bǔ)，，故；（2）由（1）得，，由（1）得，，．13．（2024·黑龍江大慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，.

(1)求的值；(2)過點(diǎn)A作，D在邊BC上，記與的面積分別為，，求的值.【答案】(1)(2)2【解析】（1）在中，由余弦定理可得，則，故.由正弦定理可得，則（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所以，則.設(shè)點(diǎn)A到直線BC的距離為d，因?yàn)?，，所?14．（2023·安徽·池州市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）從條件①；②中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答.在中：內(nèi)角的對(duì)邊分別為，______.(1)求角的大?。?2)設(shè)為邊的中點(diǎn)，求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）若選條件①：由正弦定理得：，，，，，即，，又，，，解得：；若選條件②：，，，，，，解得：.（2），，即，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），的最大值為.15．（2023·河南·校聯(lián)考二模）記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，已知，且，，依次成等比數(shù)列.(1)求；(2)若，求的周長(zhǎng).【答案】(1);(2).【解析】（1）由條件及正弦定理得，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所?（2）因?yàn)?，且，，依次成等比?shù)列，所以.由余弦定理得，得，所以，所以的周長(zhǎng)為.16．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）如圖，在平面四邊形中，，，的平分線交于點(diǎn)，且．

(1)求及；(2)若，求周長(zhǎng)的最大值．【答案】(1)，(2)【解析】（1）在中，由正弦定理得，又，則，于是，∵為角平分線，∴，∴，∴，在中，根據(jù)余弦定理得，∴．（2）設(shè)，．在中，由余弦定理得，即有，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“＝”成立．∴周長(zhǎng)的最大值為．17．（2023·浙江杭州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的周期為，且圖像經(jīng)過點(diǎn)．(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，，，求的值．【答案】(1)，(2)【解析】（1）由題意知，，則，又，則，，所以，，又，所以，則，由三角函數(shù)的性質(zhì)可得：，．解得：，，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，．（2）由得，，即，結(jié)合正弦定理得，，即，又，所以，即，又，所以，則，所以，由余弦定理有，．18．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)中，、、所對(duì)的邊分別為、、，且有.(1)若，證明：；(2)若，比較和的大小關(guān)系，說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)，理由見解析【解析】（1）證明：因?yàn)?，要證，即證，即證，因?yàn)?，則，解得，則，所以，，故原不等式得證.（2）解：因?yàn)?，設(shè)外接圓半徑為，則，因?yàn)?，則，又因?yàn)?，又因?yàn)?，即，所以，所?19．（2023·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測(cè)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，且的面積.(1)求C；(2)若內(nèi)一點(diǎn)滿足，，求．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：根據(jù)題意知，由余弦定理得，又因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，又由正弦定理且，所以，又因?yàn)椋?（2）解：由（1）知，，所以，可得，所以，設(shè)，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，在中，，所以，在中，，所以，即，所以，即，即，因?yàn)?，所?

20．（2020·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大?。?2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）由，所以，可得：，即，由余弦定理可得：，又，所以.（2）由，因?yàn)椋?，又，所以，所以，得，所以，所以，所?的取值范圍為.21．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，，，M點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，N點(diǎn)在線段AC上且，.(1)求AC；(2)若點(diǎn)P為AM與BN的交點(diǎn)，求的余弦值.【答案】(1)(2)【解析】（1）在中，，，由余弦定理得，在中，，，，由余弦定理得，所以，即，解得；（2）由（1）知，又，所以，所以，又M點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以，又，且，所?22．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？级＃┰O(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊分別為，若.(1)求證：成等差數(shù)列；(2)若為整數(shù)，，且三個(gè)內(nèi)角中最大角是最小角的兩倍，求周長(zhǎng)的最小值.【答案】(1)證明見詳解(2)15【解析】（1）因?yàn)椋淼?，即，由正弦定理可得：，即成等差?shù)列.（2）由題意可得：，則，不妨設(shè)，因?yàn)?，由正弦定理可得：，由余弦定理可得：，即，整理得，所以，可得周長(zhǎng)，可知當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)的取到最小值15.23．（2023·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)若，求證：△ABC是等邊三角形；(2)若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：∵，∴由正弦定理，得，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴．由，得，∴，∴△ABC為等邊三角形．（2）由（1）知，∴．由△ABC為銳角三角形，可得，解得，∴．由正弦定理，得，由，可得，∴，即，∴的取值范圍為.24．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了“勾股方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，類比“趙爽弦圖”.類比趙爽弦圖，用3個(gè)全等的小三角形拼成了如圖所示的等邊，若，.(1)求；(2)求的面積.【答案】(1)(2)【解析】（1）由知，，為正三角形，，∵.∴，，.（2）設(shè)（），則，由正弦定理：，即，則，中，，即，則，，所以.25．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)分別為，.(1)若，求面積的最大值；(2)若，在邊的外側(cè)取一點(diǎn)（點(diǎn)在外部），使得，，且四邊形的面積為，求的大小.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：由，因?yàn)?，可得，又由正弦定理得，即，由余弦定理得，因?yàn)?，可得，所以，在中，由余弦定理得，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以面積取得最大值.（2）解：設(shè)，則，在中，由余弦定理得，由（1）知，且，所以為正三角形，所以，可得，因?yàn)椋?，所以，可?26．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）在中，角的對(duì)邊分別是，從下列條件中任選一個(gè)補(bǔ)充到題中解決題.條件：①：;②：;③：.(1)求的值;(2)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）選①：由得，解得：或，，，所以.選②：由得，又，代入整理得，又在中，所以，又，，故.選③：由得，，即，，所以.（2）由題意，所以，由（1）可知，所以.于是有故.27．（2023·遼寧沈陽·沈陽鐵路實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┮阎矫嫦蛄浚?，記，(1)對(duì)于，不等式（其中m，）恒成立，求的最大值．(2)若的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，a，b，c成等比數(shù)列，求的值．【答案】(1)(2)【解析】（1），，則，故，，恒成立，故，，當(dāng)，時(shí)，有最大值為.（2），即，，，故，，，，成等比數(shù)列，則，.28．（2023·江蘇·金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）已知，，其中，函數(shù)的最小正周期為.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足，求的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，(2)【解析】（1）因?yàn)?，，則，，故，因?yàn)樽钚≌芷跒?，所以，所以，故，由，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）由（1）及，即，又，所以，解得，又為銳角三角形，即，即，解得；由正弦定理得，又，則，所以.29．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，滿足．(1)證明：；(2)求的取值范圍．【答案】(1)證明見詳解(2)【解析】（1）由及得,.由正弦定理得,又,,,,都是銳角,則,（2）令，由（1）得.在銳角三角形中,，即，,令,根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，,即的取值范圍是.30．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊a，b，c成等比數(shù)列.(1)若，的面積為2，求的周長(zhǎng)；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，則，又，，所以，所以的面積為，故，則，由余弦定理，即，則，所以，故的周長(zhǎng)為.（2）設(shè)a，b，c的公比為q，則，，而，因此，只需求的取值范圍即可.因a，b，c成等比數(shù)列，最大邊只能是a或c，因此a，b，c要構(gòu)成三角形的三邊，必需且只需且.故有不等式組，即，解得，從而，因此所求范圍為.31．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，，．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)已知凸四邊形中，，，，求凸四邊形面積的最大值．【答案】(1)，(2)【解析】（1）由題意知，得．因?yàn)椋?，所以，所以，∴，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，．（2）由，可得，而，故，故，故，設(shè)，，而四邊形的面積，則，其中，，且，而故，故當(dāng)時(shí)，.32．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）在中,為的角平分線,且.(1)若,,求的面積;(2)若,求邊的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)?所以,得:,解得,所以.（2）設(shè),,由得,即,所以,又在中,所以,得,因?yàn)榍?得,則,所以,即邊的取值范圍為.33．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，對(duì)應(yīng)的邊分別為，且．且(1)求；(2)若，上有一動(dòng)點(diǎn)（異于B、C），將沿AP折起使BP與CP夾角為，求與平面所成角正弦值的范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）方法一：由，結(jié)合二倍角公式可得，，即.若，則，于是，根據(jù)正弦函數(shù)在上遞增可得，，類似的有，于是，這與矛盾；若，則，于是，根據(jù)正弦函數(shù)在上遞增可得，，類似的有，于是，這與矛盾；若，即，此時(shí)確實(shí)成立.綜上所述，.方法二：將代入可得，再利用兩角和的正弦公式和二倍角的余弦公式，化簡(jiǎn)即可得所以，即，再由和差化積公式可得：，所以不妨設(shè)，則，所以，即，又，所以，可得，所以.（2）由題意，折疊后的幾何體如下，設(shè)，則在中，若，由余弦定理得，.下以為原點(diǎn)，分別為軸，過垂直于平面的直線為軸.設(shè)，則，，由①②③，由①②解得：，由①③解得：，根據(jù)線面角的定義，（不妨取是正數(shù)），則與平面所成角正弦值為.記，則，注意到，于是，又，而，故，故，根據(jù)多項(xiàng)式除法，約去因式，得到，即，根據(jù)求根公式可得，的正實(shí)根為，故在上遞增，在上遞減，經(jīng)計(jì)算得到，故在上的值域?yàn)椋⒁獾?，故，于是，故，即，于是直線與平面所成角正弦值的范圍是.在中，若，同理可得，直線與平面所成角正弦值的范圍是.方法二：作底面，垂足為，連接，設(shè)到平面的距離為，到平面的距離為，，由題意知.先說明和平面不可能垂直，否則由平面可得，由，可得，這與矛盾，于是是平面的斜線，即.由可得，，即.設(shè)，根據(jù)線面角的定義，即為與平面所成角.于是，即.34．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考二模）請(qǐng)從①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答（如未作出選擇，則按照選擇①評(píng)分.選擇的編號(hào)請(qǐng)?zhí)顚懙酱痤}卡對(duì)應(yīng)位置上）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若___________，(1)求角B的大??；(2)若△ABC為銳角三角形，，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）若選①因?yàn)?，由正弦定理得，即，所以，由，得，所以，即，因?yàn)?，所?若選②由，化簡(jiǎn)得.由正弦定理得：，即，所以.因?yàn)?，所?若選③由正弦定理得，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所?（2）在中，由正弦定理，得，由（1）知：，又с=1代入上式得：因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，所以，，所以.35．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知.(1)求；(2)證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】（1）由，得，由題意可知，存在，所以，即，所以，所以.（2）由，得，故，令，則，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以，進(jìn)而，，可得，所以.而，故.所以.36．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求A；(2)若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）∵，∴，∴，又∵，∴，即，又∵，∴，又∵，∴，又，即，∴，又∵，∴.（2）由（1）知，①當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，即，與△ABC為銳角三角形矛盾，所以不成立；②當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以．由，得．所以，故．因?yàn)?，所以，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以的取值范圍為．37．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足，.(1)求的取