專題03 空間幾何與空間向量（解答題10種考法）講義（解析版）

專題03空間幾何（解答題10種考法）考法一平行【例1-1】（2023春·河北邯鄲）如圖，在三棱柱中，G，O，H，M分別為DE，DF，AC，BC的中點，N為GC的中點.

(1)證明：平面ABED.(2)證明：平面平面BCFE.【答案】證明見解析【解析】（1）證明：如圖，連接BG.∵M為BC的中點，N為GC的中點，∴.∵平面ABED，平面ABED，∴平面ABED.

（2）∵G，O分別為DE，DF的中點，∴.∵平面BCFE，平面BCFE，∴平面BCFE.∵且，∴四邊形OFCH是平行四邊形，∴.∵平面BCFE，平面BCFE，∴平面BCFE.又，∴平面平面BCFE【例1-2】（2023秋·云南）如圖，四棱錐的底面為平行四邊形．設(shè)平面與平面的交線為l，M、N、Q分別為PC、CD、AB的中點．

(1)求證：平面平面；(2)求證：．【答案】證明見解析【解析】（1）因為、、分別為、、的中點，底面為平行四邊形，所以，，又平面，平面，則平面，同理平面，平面，可得平面，又，平面，所以平面平面.（2）因為，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以.【例1-3】（2023·青海）如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為矩形，M為CD中點，連接BM，CE交于點F，G為△ABE的重心，證明：平面ABC【答案】證明見解析【解析】延長EG交AB于N，連接NC,因為G為△ABE的重心，所以點N為AB的中點，且,因為,故,所以,故，故,而平面ABC，平面ABC,故平面ABC；【例1-4】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，，證明：

【答案】證明見解析；【解析】以為坐標原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，

則，，，又不在同一條直線上，.【例1-5】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，，，為點在平面上的射影，為的中點．證明：平面.

【答案】證明見解析【解析】在平面內(nèi)，過點作于點，連接，，

∵，則，又∵平面，平面，∴平面．又∵平面，平面，平面，∴，，又∵，為公共邊，∴，∴，又∵為公共邊，∴，∴，為的中點，又∵為的中點，∴為的中位線，，又∵平面，平面，∴平面．又∵，平面，平面，∴平面平面，又∵平面，∴平面．【變式】1．（2023春·浙江金華）在正方體中，分別是和的中點，求證

(1)(2)平面．(3)平面平面．【答案】證明過程見解析【解析】（1）連接，因為底面是正方形，且點是中點，所以，即點也是中點，又因為點是中點，所以由三角形中位線定理可得；（2）由（1），因為平面，平面，所以平面；（3）連接，因為分別是和的中點，所以由正方體的性質(zhì)可知：，所以四邊形是平行四邊形，所以有，而，所以，因為平面，平面，所以平面，而平面，所以平面平面.

2．（2023春·新疆省直轄縣級單位）如圖，已知平面ACD，平面ACD，為等邊三角形，，F(xiàn)為CD的中點，求證：∥平面BCE.【答案】證明見詳解【解析】因為平面ACD，平面ACD，則∥，取的中點，連接，因為分別為的中點，則∥，且，由題意可得：∥，且，則∥，且，則為平行四邊形，可得∥，且平面BCE，平面BCE，所以∥平面BCE.

3．（2022春·浙江溫州）已知三棱錐中，，，為中點，為中點，在上，，求證：平面

【答案】證明見解析【解析】連接并延長，交于點，取的中點，連接，因為為中點，所以，，所以，所以，又為中點，所以，所以，因為，所以，所以，可得，因為平面，平面，所以平面；

4．（2022秋·吉林長春）如圖，在正三棱柱中，，點在上，且，為中點，證明：平面

【答案】證明見解析【解析】證明：如圖所示，分別延長和交于點，設(shè)，設(shè)，因為，可得，由，可得，即，解得，又因為為的中點，可得，所以，所以，又由，所以四邊形為平行四邊形，所以為的中點，設(shè)，因為四邊形為矩形，所以為的中點，在中，由三角形的中位線定理，可得，又因為平面，平面，所以平面.

考法二垂直【例2-1】（2023秋·海南?？冢┮阎忮F中，底面，，分別為，的中點，于．

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面．【答案】證明見解析【解析】（1）∵底面，底面，∴；又，為的中點，∴，又∵平面，，∴平面，平面，∴，又，平面，，∴平面；（2）由平面知，；又分別為的中點，∴是的中位線，∴，∴，即，由平面可知，，，為平面與平面的二面角，又，∴平面平面．【例2-2】（2022·河北石家莊·模擬預測）如圖，在四棱錐中，，，，，點為的中點，且平面，求證：平面【答案】證明見解析【解析】證明：取的中點，連接、，、分別為、的中點，則且，又因為，，所以，且，則四邊形為平行四邊形，所以．又平面，所以，平面，平面，，又，，所以平面．【例2-3】（2023北京）在平行四邊形中過點作的垂線交的延長線于點，.連接交于點，如圖1，將沿折起，使得點到達點的位置.如圖2.證明：直線平面.【答案】證明見解析【解析】證明：圖1中，在中，所以.所以也是直角三角形，，在圖2中，所以平面.【例2-4】（2023·全國·高三專題練習）如圖，三棱錐中，，均為等邊三角形，，O為AB中點，點D在AC上，滿足，且面面ABC．證明：面POD．

【答案】證明見解析【解析】證明：由條件、為等邊三角形，為的中點，則，，，由余弦定理得從而在中，，得為直角三角形，且，又面面，面面，且，面，則由面面垂直的性質(zhì)定理可得面由面,所以因此由，，，平面，所以平面，即面POD.【變式】1.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，三棱錐中，，，E為BC的中點，證明：；

【答案】證明見解析；【解析】連接，因為E為BC中點，，所以①，因為，，所以與均為等邊三角形，，從而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．2．（2023秋·山東）如圖所示，在正方體中，為棱的中點，N為棱上的點，且，求證：.

【答案】證明見解析【解析】連接，設(shè)，則，，，又，∴.

∴，又，∴，即，又平面，平面，所以，平面，所以平面，平面，∴.3．（2023·湖南）如圖，在四棱臺中，平面平面ABCD，底面為正方形，，.求證：平面.【答案】證明見解析【解析】證明：因為平面平面，平面平面，，平面，則平面.又平面，則；在等腰梯形，如下圖，作，由題可知，，又，則，結(jié)合，得.因，則.又平面，平面，，則平面.4.（2023湖北）如圖，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中，，是線段的中點，是線段靠近點的四等分點，點在線段上，求證：【答案】證明見解析【解析】由題意，在直三棱柱中，，不妨設(shè)，則，由余弦定理可得，因為，可得，又由是線段的中點，所以，且，因為平面，平面，所以，又因為，且平面，所以平面，因為平面，所以,在直角中，，因為是線段靠近點的四等分點，可得，所以,可得，又由且平面，所以平面，因為平面，所以.考法三空間角之向量法【例3-1】（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）直三棱柱中，，D為的中點，E為的中點，F(xiàn)為的中點．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】（1）證明：在直三棱柱中，平面，且，則以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、、、、，則，易知平面的一個法向量為，則，故，平面，故平面.（2）解：，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，.因此，直線與平面夾角的正弦值為.（3）解：，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，則，因此，平面與平面夾角的余弦值為.【例3-2】（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）如圖所示，三棱錐，BC為圓O的直徑，A是弧上異于B、C的點.點D在直線AC上，平面PAB，E為PC的中點.(1)求證：平面PAB；(2)若，求平面PAB與平面PBC夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（1）因為平面PAB，平面平面，平面CAB所以.又O為BC中點，所以D為AC中點.又E為PC中點，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）如圖1，取的中點F，連結(jié)PF、AF.由已知底面在半圓O上，BC為圓O的直徑，可得.因為所以，所以.又，則有，所以，.則有，，，所以，，，又，平面，平面.所以平面.法一：如圖2建立如圖所示的空間直角坐標系.由，，可得.，，，，，.所以，，.設(shè)為平面PAB的一個法向量，則，

令，則，，則.設(shè)為平面PBC的一個法向量，則，令，則，，則.設(shè)平面PAB與平面PBC的夾角為，則.法二：如圖3，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為，則，，，，，所以，，.設(shè)為平面PAB的一個法向量，則，令，則，，則.設(shè)為平面PBC的一個法向量，則，令，則，，則.設(shè)平面PAB與平面PBC的夾角為，則.【變式】1．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，為的中點．

(1)證明：；(2)求二面角的平面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（1）在四邊形中，，取中點，連接，由，得，則四邊形是平行四邊形，又，因此是矩形，即有，有，，從而，即，而平面，平面，則，又平面，于是平面，而平面，所以.

（2）由（1）知兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，依題意，，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，因此，顯然二面角的平面角為鈍角，所以二面角的平面角的余弦值為.2.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．

(1)證明：；(2)點F滿足，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【解析】（1）連接，因為E為BC中點，，所以①，因為，，所以與均為等邊三角形，，從而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）不妨設(shè)，，．，，又，平面平面．以點為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：

設(shè)，設(shè)平面與平面的一個法向量分別為，二面角平面角為,而，因為，所以，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，從而．所以二面角的正弦值為．3（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．

(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：連接并延長交于點，連接、，因為是三棱錐的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以所以，即，所以為的中點，又為的中點，所以，又平面，平面，所以平面

（2）解：過點作，如圖建立空間直角坐標系，因為，，所以，又，所以，則，，所以，所以，，，，所以，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；所以.設(shè)二面角的大小為，則，所以，即二面角的正弦值為.

考法四空間角之幾何法【例4-1】（2023秋·四川遂寧）如圖，多面體中，四邊形為平行四邊形，，，四邊形為梯形，，，，，平面(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（1）由四邊形是平行四邊形，得，而平面，平面，則平面，由，平面，平面，得平面，又，平面，因此平面平面，而平面，所以平面.（2）由平面，平面，得，連接，則，在平面內(nèi)過作于，連接，顯然，而平面，于是平面，則為直線與平面所成的角，又，則，因此，所以直線與平面所成角的正弦值為.【例4-2】（2023春·河南商丘）如圖，四邊形是正方形，平面，且.求：

(1)求二面角的大小．(2)求二面角的大小.(3)求二面角的大小的正弦值．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）∵平面，面,∴,,∴為二面角的平面角，又∵四邊形是正方形，∴，即二面角的大小為；（2）作的中點,的中點,連接,,,

∵平面，面,∴,∵，∴為等腰直角三角形，∵為的中點，∴,又∵,,平面,且,∴平面,∴,∵分別為和的中點，∴,∴為二面角的平面角，∵,∴平面,∴,∴,即二面角的大小為；（3）連接,

∵,,∴,∴,∴二面角的大小的平面角，又∵,,平面,且,∴平面,∴,∵,∴,∴,∴,即二面角的大小的正弦值.【變式】1．（2023春·福建寧德）四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面，已知，，，．

(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）作，垂足為，連接，由側(cè)面底面，側(cè)面,且側(cè)面底面，得底面．因為，所以，又，故為等腰直角三角形，，且平面，所以平面，又因為平面，所以,即.（2）證明：由（1）知，依題，故，由，，，又，作，垂足為，側(cè)面底面，平面,且側(cè)面底面，得平面，連接,所以為直線與平面所成的角，所以，即直線與平面所成角的正弦值為．

2．（2023秋·山東濰坊·高三?？茧A段練習）如圖所示，在四棱錐中，底面是矩形，且，，平面，，分別是線段，的中點.

(1)證明：；(2)若與平面所成的角為，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【解析】（1）連接AF，則，又，，∴，∴，∵平面ABCD，平面ABCD，∴，又平面PAF，∴平面PAF，又平面PAF，∴；（2）平面，是與平面所成的角，且．，∵平面PAF，∴，，∴為平面PFD與平面CFD所成銳角，∴，故二面角的余弦值為.考法五空間距離之向量法【例5】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）在多面體中，四邊形是邊長為4的正方形，，△ABC是正三角形．

(1)若為AB的中點，求證：直線平面；(2)若點在棱上且，求點C到平面的距離．【答案】(1)證明見詳解(2)【解析】（1）連接，設(shè)，由題意可得為的中點，連接，因為分別為的中點，則//，平面，平面，所以直線平面.

（2）由題意可得：，，平面，所以平面，取的中點，連接，因為△ABC是正三角形，則，又因為平面，平面，則，，平面，所以平面，如圖，以為坐標原點，為軸，軸，建立空間直角坐標系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，即，所以點C到平面的距離.

【變式】1．（2023·天津北辰·校考模擬預測）在四棱錐中，底面，且，四邊形是直角梯形，且，，，，為中點，在線段上，且.

(1)求證：平面；(2)求直線PB與平面所成角的正弦值；(3)求點到PD的距離.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】（1）如圖，取中點，連接

因為為中點，，，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，因為為中點，為中點，則，又平面，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，又平面，故平面．（2）

根據(jù)題意，分別以所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，由條件可得，，則，設(shè)平面的法向量為，則，解得，取，則，所以平面的一個法向量為，設(shè)直線PB與平面所成角為，則.所以直線PB與平面所成角的正弦值為.（3）由（2）可知，，所以點到PD的距離為.2．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）如圖，等腰梯形中，，，現(xiàn)以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.

(1)證明：面面；(2)若為上的一點，點到面的距離為，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）在梯形中，取中點，連接，

，，四邊形為平行四邊形，，，；，，平面，平面，平面，平面平面.（2）分別取中點，連接，，為中點，，又平面平面，平面平面，平面，平面，分別為中點，，平面，則以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，

則，，，，，，，，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；點到平面的距離，解得：，；平面軸，平面的一個法向量，，又二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？寄M預測）三棱臺中，平面，，且，，是的中點．

(1)求三角形重心到直線的距離；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)(2)【解析】（1）因為，所以，，在平面內(nèi)過點作，建立如圖所示空間直角坐標系，則

，，，，，過點作，設(shè)，.則.因為，所以，解得，所以，．即三角形重心到直線的距離為.（2），，，設(shè)平面的法向量，則，取，則設(shè)平面的法向量，則，取，則所以，由圖可知，二面角為銳角，所以，二面角的余弦值為．考法六空間距離之幾何法【例6】（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）三棱臺中，若面，分別是中點.

(1)求證：//平面；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；(3)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】（1）

連接.由分別是的中點，根據(jù)中位線性質(zhì)，//，且，由棱臺性質(zhì)，//，于是//，由可知，四邊形是平行四邊形，則//，又平面，平面，于是//平面.（2）過作，垂足為，過作，垂足為,連接.由面，面，故，又，，平面，則平面.由平面，故，又，，平面，于是平面，由平面，故.于是平面與平面所成角即.又，，則，故，在中，，則，于是（3）[方法一：幾何法]

過作，垂足為，作，垂足為，連接，過作，垂足為.由題干數(shù)據(jù)可得，，，根據(jù)勾股定理，，由平面，平面，則，又，，平面，于是平面.又平面，則，又，，平面，故平面.在中，，又，故點到平面的距離是到平面的距離的兩倍，即點到平面的距離是.[方法二：等體積法]

輔助線同方法一.設(shè)點到平面的距離為.，.由，即.【變式】1．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）如圖，等腰梯形ABCD中，，，現(xiàn)以AC為折痕把折起，使點B到達點P的位置，且.

(1)證明：平面平面；(2)若M為PD的中點，求點P到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）在梯形ABCD中取AD得中點N，連接CN，

則由BC平行且等于AN，可知ABCN為平行四邊形，所以，由可得C點在以AD為直徑的圓上，所以.又，，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）取AC得中點O，連接PO，OD，由得，

由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又M為PD的中點，所以，因為平面，平面，所以，，又M為PD的中點，所以，則，所以，，，所以，由余弦定理得，所以，所以，所以，因為平面，所以點到平面的距離CD是點到平面距離的2倍，即點M到平面PAC的距離為1，，設(shè)點P到平面的距離為，因為，所以，解得.2．（2023·新疆·統(tǒng)考三模）如圖，在四棱錐中，底面是長方形，，，點為線段的中點，點在線段上，且．

(1)證明：平面平面；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：因為，所以．又平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）如圖，作于于，連接，

因為平面平面，所以．因為平面，所以平面；因為平面，所以；因為平面，所以平面平面，所以．設(shè)棱錐的高為，因為底面是長方形，，點為線段的中點，且．所以所以，因為，即，得，所以棱錐的高3．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）如圖，等腰梯形ABCD中，，，現(xiàn)以AC為折痕把折起，使點B到達點P的位置，且.

(1)證明：平面平面；(2)若M為PD的中點，求點P到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）在梯形ABCD中取AD得中點N，連接CN，

則由BC平行且等于AN，可知ABCN為平行四邊形，所以，由可得C點在以AD為直徑的圓上，所以.又，，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）取AC得中點O，連接PO，OD，由得，

由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又M為PD的中點，所以，因為平面，平面，所以，，又M為PD的中點，所以，則，所以，，，所以，由余弦定理得，所以，所以，所以，因為平面，所以點到平面的距離CD是點到平面距離的2倍，即點M到平面PAC的距離為1，，設(shè)點P到平面的距離為，因為，所以，解得.考法七折疊問題【例7】（2023秋·山東泰安）如圖1，四邊形為矩形，，E為的中點，將、分別沿、折起得圖2，使得平面平面，平面平面．

(1)求證：平面；(2)若F為線段的中點，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）在圖2中，取、的中點M、N，連接、、，在圖1中，，且E為AB的中點，則，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理，平面，所以.又因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，而平面，平面，所以平面.（2）在圖1中，，，.以點E為坐標原點，，所在的直線分別為軸，軸建立空間直角坐標系，

設(shè)，則，向量，設(shè)平面的法向量為由，得，令，得平面的一個法向量為，又，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．【變式】1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知中，，，，，將沿折起，使點A到點處，．

(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：因為，，可得，又因為，所以，即，又，且平面，則平面，因為平面，所以，又因為，即，因為，且平面，所以平面，又因為平面，故平面平面．（2）解：以為坐標原點，以DE，DB所在直線為x軸、y軸，以垂直于平面ABC的直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，在直角三角形中，，，則，由（1）知平面，則為平面的法向量，且，設(shè)直線CD與平面所成角的角為，則，故直線CD與平面所成角的余弦值為．

2．（2023·吉林長春·東北師大附中校考一模）長方形中，，點為中點（如圖1），將點繞旋轉(zhuǎn)至點處，使平面平面（如圖2）．

(1)求證：；(2)點在線段上，當二面角大小為時，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見詳解(2)【解析】（1）證明：在長方形中，，為中點，，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，又，平面，平面，，平面，平面，.（2）

如圖，取的中點，的中點，連接，由題意可得兩兩互相垂直，以為坐標原點，以，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，，令，得，，又平面，是平面的一個法向量，，令，解得或（舍）.即為的靠近的三等分點時，二面角的平面角為，平面，且，到平面的距離為，又四邊形的面積為3，四棱錐的體積考法八動點【例8-1】（2023春·山西運城·高一統(tǒng)考期中）如圖，正三棱柱中，E、F、G分別為棱、、的中點．

(1)證明：∥平面；(2)在線段是否存在一點，使得平面∥平面？若存在，請指出并證明；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在；N為的中點，證明見解析【解析】（1）證明：取的中點，連接，，在中，因為E、M分別為、的中點所以且．又為的中點，，所以且，即且，故四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．

（2）當N為的中點時，平面平面．證明：連接，．因為N，F(xiàn)分別是和的中點，所以．因為平面，平面，所以平面．因為，，所以．因為平面，平面，所以平面．又因為平面，平面，，所以平面平面．

【例8-2】（2023秋·湖南長沙）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面，M是的中點．

(1)求證：平面；(2)在棱上是否存在點N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在，.【解析】（1）由側(cè)面是正三角形，M是的中點，得，由正方形，得，而平面平面，平面平面，且平面，則平面，又平面，于是，而平面，所以平面.（2）取的中點，的中點，連接，連接，連接，連接，

于是，由正方形，得，則，令，顯然是正的中心，，，又平面平面，平面平面，則平面，平面，即有，而平面，則平面，平面，在平面內(nèi)過作交于，顯然，而平面，因此平面，連接并延長交于，連接，于是平面平面，過作，則有，，，，，則，又，，從而點是線段的中點，，過作交于，于是，即，顯然，因此，所以在棱上存在點N使平面平面成立，.【變式】1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點在棱上，當二面角為時，求．【答案】(1)證明見解析；(2)1【解析】（1）以為坐標原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，

則，，，又不在同一條直線上，.（2）設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，，化簡可得，，解得或，或，.2．（2023春·浙江嘉興）如圖，四棱錐的底面為矩形，平面，且，分別為的中點.

(1)證明：平面；(2)在線段上是否存在一點，使得平面平面，若存在，請找出該點，并給出證明；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，點為的中點，證明見解析【解析】（1）證明：因為平面，平面，所以，矩形中，，，平面，所以平面；（2）存在滿足條件的點，為的中點．

證明：在中，，又平面，平面，所以平面．又因為分別是的中點，而，，所以，，所以四邊形是平行四邊形．所以，而平面，平面，所以平面．又因為，平面，所以平面平面．3．（2023·北京）如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中點．在線段上是否存在一點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

【答案】存在，【解析】存在點，使得平面，此時，證明如下：

連接，為中點，連接，直角梯形中，，，，，則，，四邊形為平行四邊形，有，則，所以，又底面，底面，則，則，，則，得，又，，，由余弦定理得，，則，，又，是的中點，則，，平面，則平面，故存在點，使得平面，此時．4．（2023·四川南充·四川省南充高級中學?？既＃┤鐖D，在四棱臺中，底面是菱形，，，平面.

(1)證明：BDCC1；(2)棱上是否存在一點，使得二面角的余弦值為若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，【解析】（1）證明:如圖所示，連接,因為為棱臺，所以四點共面，又因為四邊形為菱形，所以，因為平面，平面，所以，又因為且平面，所以平面，因為平面，所以.（2）解：取中點，連接，因為底面是菱形，且，所以是正三角形，所以，即，由于平面，以為原點，分別以為軸、軸和軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則假設(shè)點存在，設(shè)點的坐標為，其中，可得

設(shè)平面的法向量，則，取，可得，所以.又由平面的法向量為，所以，解得由于二面角為銳角，則點在線段上，所以，即故上存在點，當時，二面角的余弦值為.

考點九外接球【例9】（2023湖南）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，.（1）求證：平面；（2）若直線與底面所成的角的余弦值為，求三棱錐的外接球表面積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）在四邊形中，，，，，為等腰直角三角形，即，平面平面，，平面平面，平面，又平面，，，平面，平面.（2）平面，平面，，，又，，，即，，平面，平面，平面，，即，均為直角三角形，且公共斜邊為，中點到三棱錐四個頂點的距離相等，三棱錐的外接球半徑；平面，為直線與底面所成的角，，又，，三棱錐的外接球表面積.【變式】1．（2023·全國·模擬預測）如圖，球O是正三棱錐和的外接球，M為的外心，直線AM與線段BC交于點D，D為BC的中點，兩三棱錐的高之比為，E為PA上一點，且．(1)證明：；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見詳解(2)【解析】（1）過M作，交AB于，易證MA，MP，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系．設(shè)，球O的半徑為R，則在中，有，解得．則，，，∵，∴，，所以∴，∴．（2）因為，平面，所以平面PAD，又平面PAD，∴．由（1）得，又，平面，∴平面，所以平面的一個法向量為．又∵，，，∴，．設(shè)平面的法向量為，則令，則，，∴為平面的一個法向量．設(shè)二面角的平面角為，∴，又，∴．故二面角的正弦值為．2．（2023·全國·高三專題練習）如圖矩形中，，沿對角線將折起，使點A折到點P位置，若，三棱錐的外接球表面積為．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)M為的中點，點N在邊界及內(nèi)部運動，若直線與直線與平面所成角相等，求點N軌跡的長度．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】（1）證明：設(shè)O為矩形對角線的中點，∴．即．∴O為三棱錐外接球的球心．又∵三棱錐外接球表面積為，∴外接球半徑為2．即．過P點作，垂足為E，過點C作，垂足為F，則，，，，∴而，在中，滿足∴為直角三角形，∵，，∴平面．又∵平面，∴平面平面．（2）以E為坐標原點，所在直線分別為x軸、z軸，以平面內(nèi)過E且垂直于的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．可知：且設(shè)平面的法向量為，得，取，則，設(shè)平面的法向量為，得，取，則設(shè)平面與平面夾角為，則所以平面與平面夾角余弦值為是．（3）由（2）中空間直角坐標系可設(shè)N為，，，，取平面法向量為．∵直線與直線與平面所成角相等，∴得：整理得：，即∵N點在邊及其內(nèi)部，∴N的軌跡為圓落在邊及內(nèi)部的部分．∴軌跡長度為半徑為1的圓周長為．得∴N點軌跡長度為．考法十最值【例10】．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，三棱錐中，，，，平面平面.

(1)求三棱錐的體積的最大值；(2)求二面角的正弦值的最小值.【答案】(1)(2).【解析】（1）取的中點，連接，

因為，所以又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為，，，所以，，所以三棱錐的體積為因為，所以，，當且僅當，即時，等號成立，故三棱錐的體積的最大值為.（2）解法一：由（1）可知平面，又平面，所以，過作于，連接，

因為平面，，