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專題03空間幾何(解答題10種考法)考法一平行【例1-1】(2023春·河北邯鄲)如圖,在三棱柱中,G,O,H,M分別為DE,DF,AC,BC的中點,N為GC的中點.
(1)證明:平面ABED.(2)證明:平面平面BCFE.【答案】證明見解析【解析】(1)證明:如圖,連接BG.∵M為BC的中點,N為GC的中點,∴.∵平面ABED,平面ABED,∴平面ABED.
(2)∵G,O分別為DE,DF的中點,∴.∵平面BCFE,平面BCFE,∴平面BCFE.∵且,∴四邊形OFCH是平行四邊形,∴.∵平面BCFE,平面BCFE,∴平面BCFE.又,∴平面平面BCFE【例1-2】(2023秋·云南)如圖,四棱錐的底面為平行四邊形.設(shè)平面與平面的交線為l,M、N、Q分別為PC、CD、AB的中點.
(1)求證:平面平面;(2)求證:.【答案】證明見解析【解析】(1)因為、、分別為、、的中點,底面為平行四邊形,所以,,又平面,平面,則平面,同理平面,平面,可得平面,又,平面,所以平面平面.(2)因為,平面,平面,所以平面,又平面,平面平面,所以.【例1-3】(2023·青海)如圖,在四棱錐A-BCDE中,底面BCDE為矩形,M為CD中點,連接BM,CE交于點F,G為△ABE的重心,證明:平面ABC【答案】證明見解析【解析】延長EG交AB于N,連接NC,因為G為△ABE的重心,所以點N為AB的中點,且,因為,故,所以,故,故,而平面ABC,平面ABC,故平面ABC;【例1-4】(2023·全國·統(tǒng)考高考真題)如圖,在正四棱柱中,.點分別在棱,上,,證明:
【答案】證明見解析;【解析】以為坐標原點,所在直線為軸建立空間直角坐標系,如圖,
則,,,又不在同一條直線上,.【例1-5】(2023·全國·高三專題練習)如圖,在三棱錐中,,,為點在平面上的射影,為的中點.證明:平面.
【答案】證明見解析【解析】在平面內(nèi),過點作于點,連接,,
∵,則,又∵平面,平面,∴平面.又∵平面,平面,平面,∴,,又∵,為公共邊,∴,∴,又∵為公共邊,∴,∴,為的中點,又∵為的中點,∴為的中位線,,又∵平面,平面,∴平面.又∵,平面,平面,∴平面平面,又∵平面,∴平面.【變式】1.(2023春·浙江金華)在正方體中,分別是和的中點,求證
(1)(2)平面.(3)平面平面.【答案】證明過程見解析【解析】(1)連接,因為底面是正方形,且點是中點,所以,即點也是中點,又因為點是中點,所以由三角形中位線定理可得;(2)由(1),因為平面,平面,所以平面;(3)連接,因為分別是和的中點,所以由正方體的性質(zhì)可知:,所以四邊形是平行四邊形,所以有,而,所以,因為平面,平面,所以平面,而平面,所以平面平面.
2.(2023春·新疆省直轄縣級單位)如圖,已知平面ACD,平面ACD,為等邊三角形,,F(xiàn)為CD的中點,求證:∥平面BCE.【答案】證明見詳解【解析】因為平面ACD,平面ACD,則∥,取的中點,連接,因為分別為的中點,則∥,且,由題意可得:∥,且,則∥,且,則為平行四邊形,可得∥,且平面BCE,平面BCE,所以∥平面BCE.
3.(2022春·浙江溫州)已知三棱錐中,,,為中點,為中點,在上,,求證:平面
【答案】證明見解析【解析】連接并延長,交于點,取的中點,連接,因為為中點,所以,,所以,所以,又為中點,所以,所以,因為,所以,所以,可得,因為平面,平面,所以平面;
4.(2022秋·吉林長春)如圖,在正三棱柱中,,點在上,且,為中點,證明:平面
【答案】證明見解析【解析】證明:如圖所示,分別延長和交于點,設(shè),設(shè),因為,可得,由,可得,即,解得,又因為為的中點,可得,所以,所以,又由,所以四邊形為平行四邊形,所以為的中點,設(shè),因為四邊形為矩形,所以為的中點,在中,由三角形的中位線定理,可得,又因為平面,平面,所以平面.
考法二垂直【例2-1】(2023秋·海南??冢┮阎忮F中,底面,,分別為,的中點,于.
(1)求證:平面;(2)求證:平面平面.【答案】證明見解析【解析】(1)∵底面,底面,∴;又,為的中點,∴,又∵平面,,∴平面,平面,∴,又,平面,,∴平面;(2)由平面知,;又分別為的中點,∴是的中位線,∴,∴,即,由平面可知,,,為平面與平面的二面角,又,∴平面平面.【例2-2】(2022·河北石家莊·模擬預測)如圖,在四棱錐中,,,,,點為的中點,且平面,求證:平面【答案】證明見解析【解析】證明:取的中點,連接、,、分別為、的中點,則且,又因為,,所以,且,則四邊形為平行四邊形,所以.又平面,所以,平面,平面,,又,,所以平面.【例2-3】(2023北京)在平行四邊形中過點作的垂線交的延長線于點,.連接交于點,如圖1,將沿折起,使得點到達點的位置.如圖2.證明:直線平面.【答案】證明見解析【解析】證明:圖1中,在中,所以.所以也是直角三角形,,在圖2中,所以平面.【例2-4】(2023·全國·高三專題練習)如圖,三棱錐中,,均為等邊三角形,,O為AB中點,點D在AC上,滿足,且面面ABC.證明:面POD.
【答案】證明見解析【解析】證明:由條件、為等邊三角形,為的中點,則,,,由余弦定理得從而在中,,得為直角三角形,且,又面面,面面,且,面,則由面面垂直的性質(zhì)定理可得面由面,所以因此由,,,平面,所以平面,即面POD.【變式】1.(2023·全國·統(tǒng)考高考真題)如圖,三棱錐中,,,E為BC的中點,證明:;
【答案】證明見解析;【解析】連接,因為E為BC中點,,所以①,因為,,所以與均為等邊三角形,,從而②,由①②,,平面,所以,平面,而平面,所以.2.(2023秋·山東)如圖所示,在正方體中,為棱的中點,N為棱上的點,且,求證:.
【答案】證明見解析【解析】連接,設(shè),則,,,又,∴.
∴,又,∴,即,又平面,平面,所以,平面,所以平面,平面,∴.3.(2023·湖南)如圖,在四棱臺中,平面平面ABCD,底面為正方形,,.求證:平面.【答案】證明見解析【解析】證明:因為平面平面,平面平面,,平面,則平面.又平面,則;在等腰梯形,如下圖,作,由題可知,,又,則,結(jié)合,得.因,則.又平面,平面,,則平面.4.(2023湖北)如圖,在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中,,是線段的中點,是線段靠近點的四等分點,點在線段上,求證:【答案】證明見解析【解析】由題意,在直三棱柱中,,不妨設(shè),則,由余弦定理可得,因為,可得,又由是線段的中點,所以,且,因為平面,平面,所以,又因為,且平面,所以平面,因為平面,所以,在直角中,,因為是線段靠近點的四等分點,可得,所以,可得,又由且平面,所以平面,因為平面,所以.考法三空間角之向量法【例3-1】(2022·天津·統(tǒng)考高考真題)直三棱柱中,,D為的中點,E為的中點,F(xiàn)為的中點.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值;(3)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】(1)證明:在直三棱柱中,平面,且,則以點為坐標原點,、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,則、、、、、、、、,則,易知平面的一個法向量為,則,故,平面,故平面.(2)解:,,,設(shè)平面的法向量為,則,取,可得,.因此,直線與平面夾角的正弦值為.(3)解:,,設(shè)平面的法向量為,則,取,可得,則,因此,平面與平面夾角的余弦值為.【例3-2】(2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模)如圖所示,三棱錐,BC為圓O的直徑,A是弧上異于B、C的點.點D在直線AC上,平面PAB,E為PC的中點.(1)求證:平面PAB;(2)若,求平面PAB與平面PBC夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析;(2).【解析】(1)因為平面PAB,平面平面,平面CAB所以.又O為BC中點,所以D為AC中點.又E為PC中點,所以,因為平面,平面,所以平面.(2)如圖1,取的中點F,連結(jié)PF、AF.由已知底面在半圓O上,BC為圓O的直徑,可得.因為所以,所以.又,則有,所以,.則有,,,所以,,,又,平面,平面.所以平面.法一:如圖2建立如圖所示的空間直角坐標系.由,,可得.,,,,,.所以,,.設(shè)為平面PAB的一個法向量,則,
令,則,,則.設(shè)為平面PBC的一個法向量,則,令,則,,則.設(shè)平面PAB與平面PBC的夾角為,則.法二:如圖3,建立如圖所示的空間直角坐標系.因為,則,,,,,所以,,.設(shè)為平面PAB的一個法向量,則,令,則,,則.設(shè)為平面PBC的一個法向量,則,令,則,,則.設(shè)平面PAB與平面PBC的夾角為,則.【變式】1.(2023·云南·校聯(lián)考模擬預測)如圖,在四棱錐中,平面,,,,,,為的中點.
(1)證明:;(2)求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析;(2).【解析】(1)在四邊形中,,取中點,連接,由,得,則四邊形是平行四邊形,又,因此是矩形,即有,有,,從而,即,而平面,平面,則,又平面,于是平面,而平面,所以.
(2)由(1)知兩兩垂直,以點為原點,直線分別為軸建立空間直角坐標系,依題意,,,設(shè)平面的一個法向量,則,令,得,設(shè)平面的一個法向量,則,令,得,因此,顯然二面角的平面角為鈍角,所以二面角的平面角的余弦值為.2.(2023·全國·統(tǒng)考高考真題)如圖,三棱錐中,,,,E為BC的中點.
(1)證明:;(2)點F滿足,求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析;(2).【解析】(1)連接,因為E為BC中點,,所以①,因為,,所以與均為等邊三角形,,從而②,由①②,,平面,所以,平面,而平面,所以.(2)不妨設(shè),,.,,又,平面平面.以點為原點,所在直線分別為軸,建立空間直角坐標系,如圖所示:
設(shè),設(shè)平面與平面的一個法向量分別為,二面角平面角為,而,因為,所以,即有,,取,所以;,取,所以,所以,,從而.所以二面角的正弦值為.3(2022·全國·統(tǒng)考高考真題)如圖,是三棱錐的高,,,E是的中點.
(1)證明:平面;(2)若,,,求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明:連接并延長交于點,連接、,因為是三棱錐的高,所以平面,平面,所以、,又,所以,即,所以,又,即,所以,,所以所以,即,所以為的中點,又為的中點,所以,又平面,平面,所以平面
(2)解:過點作,如圖建立空間直角坐標系,因為,,所以,又,所以,則,,所以,所以,,,,所以,則,,,設(shè)平面的法向量為,則,令,則,,所以;設(shè)平面的法向量為,則,令,則,,所以;所以.設(shè)二面角的大小為,則,所以,即二面角的正弦值為.
考法四空間角之幾何法【例4-1】(2023秋·四川遂寧)如圖,多面體中,四邊形為平行四邊形,,,四邊形為梯形,,,,,平面(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析;(2).【解析】(1)由四邊形是平行四邊形,得,而平面,平面,則平面,由,平面,平面,得平面,又,平面,因此平面平面,而平面,所以平面.(2)由平面,平面,得,連接,則,在平面內(nèi)過作于,連接,顯然,而平面,于是平面,則為直線與平面所成的角,又,則,因此,所以直線與平面所成角的正弦值為.【例4-2】(2023春·河南商丘)如圖,四邊形是正方形,平面,且.求:
(1)求二面角的大小.(2)求二面角的大小.(3)求二面角的大小的正弦值.【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)∵平面,面,∴,,∴為二面角的平面角,又∵四邊形是正方形,∴,即二面角的大小為;(2)作的中點,的中點,連接,,,
∵平面,面,∴,∵,∴為等腰直角三角形,∵為的中點,∴,又∵,,平面,且,∴平面,∴,∵分別為和的中點,∴,∴為二面角的平面角,∵,∴平面,∴,∴,即二面角的大小為;(3)連接,
∵,,∴,∴,∴二面角的大小的平面角,又∵,,平面,且,∴平面,∴,∵,∴,∴,∴,即二面角的大小的正弦值.【變式】1.(2023春·福建寧德)四棱錐中,底面為平行四邊形,側(cè)面底面,已知,,,.
(1)證明:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)作,垂足為,連接,由側(cè)面底面,側(cè)面,且側(cè)面底面,得底面.因為,所以,又,故為等腰直角三角形,,且平面,所以平面,又因為平面,所以,即.(2)證明:由(1)知,依題,故,由,,,又,作,垂足為,側(cè)面底面,平面,且側(cè)面底面,得平面,連接,所以為直線與平面所成的角,所以,即直線與平面所成角的正弦值為.
2.(2023秋·山東濰坊·高三??茧A段練習)如圖所示,在四棱錐中,底面是矩形,且,,平面,,分別是線段,的中點.
(1)證明:;(2)若與平面所成的角為,求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【解析】(1)連接AF,則,又,,∴,∴,∵平面ABCD,平面ABCD,∴,又平面PAF,∴平面PAF,又平面PAF,∴;(2)平面,是與平面所成的角,且.,∵平面PAF,∴,,∴為平面PFD與平面CFD所成銳角,∴,故二面角的余弦值為.考法五空間距離之向量法【例5】(2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測)在多面體中,四邊形是邊長為4的正方形,,△ABC是正三角形.
(1)若為AB的中點,求證:直線平面;(2)若點在棱上且,求點C到平面的距離.【答案】(1)證明見詳解(2)【解析】(1)連接,設(shè),由題意可得為的中點,連接,因為分別為的中點,則//,平面,平面,所以直線平面.
(2)由題意可得:,,平面,所以平面,取的中點,連接,因為△ABC是正三角形,則,又因為平面,平面,則,,平面,所以平面,如圖,以為坐標原點,為軸,軸,建立空間直角坐標系,則,可得,設(shè)平面的法向量,則,令,則,即,所以點C到平面的距離.
【變式】1.(2023·天津北辰·校考模擬預測)在四棱錐中,底面,且,四邊形是直角梯形,且,,,,為中點,在線段上,且.
(1)求證:平面;(2)求直線PB與平面所成角的正弦值;(3)求點到PD的距離.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】(1)如圖,取中點,連接
因為為中點,,,,所以,所以四邊形為平行四邊形,所以,又平面,平面,所以平面,因為為中點,為中點,則,又平面,平面,所以平面,因為平面,所以平面平面,又平面,故平面.(2)
根據(jù)題意,分別以所在直線為軸,建立如圖所示空間直角坐標系,由條件可得,,則,設(shè)平面的法向量為,則,解得,取,則,所以平面的一個法向量為,設(shè)直線PB與平面所成角為,則.所以直線PB與平面所成角的正弦值為.(3)由(2)可知,,所以點到PD的距離為.2.(2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模)如圖,等腰梯形中,,,現(xiàn)以為折痕把折起,使點到達點的位置,且.
(1)證明:面面;(2)若為上的一點,點到面的距離為,求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)在梯形中,取中點,連接,
,,四邊形為平行四邊形,,,;,,平面,平面,平面,平面平面.(2)分別取中點,連接,,為中點,,又平面平面,平面平面,平面,平面,分別為中點,,平面,則以為坐標原點,正方向為軸,可建立如圖所示空間直角坐標系,
則,,,,,,,,,設(shè),則,設(shè)平面的法向量,則,令,解得:,,;點到平面的距離,解得:,;平面軸,平面的一個法向量,,又二面角為銳二面角,二面角的余弦值為.3.(2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中??寄M預測)三棱臺中,平面,,且,,是的中點.
(1)求三角形重心到直線的距離;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)(2)【解析】(1)因為,所以,,在平面內(nèi)過點作,建立如圖所示空間直角坐標系,則
,,,,,過點作,設(shè),.則.因為,所以,解得,所以,.即三角形重心到直線的距離為.(2),,,設(shè)平面的法向量,則,取,則設(shè)平面的法向量,則,取,則所以,由圖可知,二面角為銳角,所以,二面角的余弦值為.考法六空間距離之幾何法【例6】(2023·天津·統(tǒng)考高考真題)三棱臺中,若面,分別是中點.
(1)求證://平面;(2)求平面與平面所成夾角的余弦值;(3)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】(1)
連接.由分別是的中點,根據(jù)中位線性質(zhì),//,且,由棱臺性質(zhì),//,于是//,由可知,四邊形是平行四邊形,則//,又平面,平面,于是//平面.(2)過作,垂足為,過作,垂足為,連接.由面,面,故,又,,平面,則平面.由平面,故,又,,平面,于是平面,由平面,故.于是平面與平面所成角即.又,,則,故,在中,,則,于是(3)[方法一:幾何法]
過作,垂足為,作,垂足為,連接,過作,垂足為.由題干數(shù)據(jù)可得,,,根據(jù)勾股定理,,由平面,平面,則,又,,平面,于是平面.又平面,則,又,,平面,故平面.在中,,又,故點到平面的距離是到平面的距離的兩倍,即點到平面的距離是.[方法二:等體積法]
輔助線同方法一.設(shè)點到平面的距離為.,.由,即.【變式】1.(2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模)如圖,等腰梯形ABCD中,,,現(xiàn)以AC為折痕把折起,使點B到達點P的位置,且.
(1)證明:平面平面;(2)若M為PD的中點,求點P到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)在梯形ABCD中取AD得中點N,連接CN,
則由BC平行且等于AN,可知ABCN為平行四邊形,所以,由可得C點在以AD為直徑的圓上,所以.又,,平面,所以平面,因為平面,所以平面平面.(2)取AC得中點O,連接PO,OD,由得,
由(1)知,平面平面,平面平面,平面,所以平面,平面,所以,又M為PD的中點,所以,因為平面,平面,所以,,又M為PD的中點,所以,則,所以,,,所以,由余弦定理得,所以,所以,所以,因為平面,所以點到平面的距離CD是點到平面距離的2倍,即點M到平面PAC的距離為1,,設(shè)點P到平面的距離為,因為,所以,解得.2.(2023·新疆·統(tǒng)考三模)如圖,在四棱錐中,底面是長方形,,,點為線段的中點,點在線段上,且.
(1)證明:平面平面;(2)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明:因為,所以.又平面,所以平面,又平面,所以平面平面.(2)如圖,作于于,連接,
因為平面平面,所以.因為平面,所以平面;因為平面,所以;因為平面,所以平面平面,所以.設(shè)棱錐的高為,因為底面是長方形,,點為線段的中點,且.所以所以,因為,即,得,所以棱錐的高3.(2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模)如圖,等腰梯形ABCD中,,,現(xiàn)以AC為折痕把折起,使點B到達點P的位置,且.
(1)證明:平面平面;(2)若M為PD的中點,求點P到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)在梯形ABCD中取AD得中點N,連接CN,
則由BC平行且等于AN,可知ABCN為平行四邊形,所以,由可得C點在以AD為直徑的圓上,所以.又,,平面,所以平面,因為平面,所以平面平面.(2)取AC得中點O,連接PO,OD,由得,
由(1)知,平面平面,平面平面,平面,所以平面,平面,所以,又M為PD的中點,所以,因為平面,平面,所以,,又M為PD的中點,所以,則,所以,,,所以,由余弦定理得,所以,所以,所以,因為平面,所以點到平面的距離CD是點到平面距離的2倍,即點M到平面PAC的距離為1,,設(shè)點P到平面的距離為,因為,所以,解得.考法七折疊問題【例7】(2023秋·山東泰安)如圖1,四邊形為矩形,,E為的中點,將、分別沿、折起得圖2,使得平面平面,平面平面.
(1)求證:平面;(2)若F為線段的中點,求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)在圖2中,取、的中點M、N,連接、、,在圖1中,,且E為AB的中點,則,所以,又因為平面平面,平面平面,平面,所以平面,同理,平面,所以.又因為,所以四邊形為平行四邊形,所以,而平面,平面,所以平面.(2)在圖1中,,,.以點E為坐標原點,,所在的直線分別為軸,軸建立空間直角坐標系,
設(shè),則,向量,設(shè)平面的法向量為由,得,令,得平面的一個法向量為,又,設(shè)直線與平面所成角為,則,所以直線與平面所成角的正弦值為.【變式】1.(2023·河南·校聯(lián)考模擬預測)已知中,,,,,將沿折起,使點A到點處,.
(1)證明:平面平面;(2)求直線與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明:因為,,可得,又因為,所以,即,又,且平面,則平面,因為平面,所以,又因為,即,因為,且平面,所以平面,又因為平面,故平面平面.(2)解:以為坐標原點,以DE,DB所在直線為x軸、y軸,以垂直于平面ABC的直線為z軸建立空間直角坐標系,如圖所示,則,,,,在直角三角形中,,,則,由(1)知平面,則為平面的法向量,且,設(shè)直線CD與平面所成角的角為,則,故直線CD與平面所成角的余弦值為.
2.(2023·吉林長春·東北師大附中校考一模)長方形中,,點為中點(如圖1),將點繞旋轉(zhuǎn)至點處,使平面平面(如圖2).
(1)求證:;(2)點在線段上,當二面角大小為時,求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見詳解(2)【解析】(1)證明:在長方形中,,為中點,,,平面平面,平面平面,平面,平面,平面,,又,平面,平面,,平面,平面,.(2)
如圖,取的中點,的中點,連接,由題意可得兩兩互相垂直,以為坐標原點,以,,分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則,,,,設(shè),則,設(shè)平面的一個法向量為,則,,令,得,,又平面,是平面的一個法向量,,令,解得或(舍).即為的靠近的三等分點時,二面角的平面角為,平面,且,到平面的距離為,又四邊形的面積為3,四棱錐的體積考法八動點【例8-1】(2023春·山西運城·高一統(tǒng)考期中)如圖,正三棱柱中,E、F、G分別為棱、、的中點.
(1)證明:∥平面;(2)在線段是否存在一點,使得平面∥平面?若存在,請指出并證明;若不存在,請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在;N為的中點,證明見解析【解析】(1)證明:取的中點,連接,,在中,因為E、M分別為、的中點所以且.又為的中點,,所以且,即且,故四邊形為平行四邊形,所以,又平面,平面,所以平面.
(2)當N為的中點時,平面平面.證明:連接,.因為N,F(xiàn)分別是和的中點,所以.因為平面,平面,所以平面.因為,,所以.因為平面,平面,所以平面.又因為平面,平面,,所以平面平面.
【例8-2】(2023秋·湖南長沙)如圖,在四棱錐中,底面是正方形,側(cè)面是正三角形,側(cè)面底面,M是的中點.
(1)求證:平面;(2)在棱上是否存在點N使平面平面成立?如果存在,求出;如果不存在,說明理由.【答案】(1)證明見解析;(2)存在,.【解析】(1)由側(cè)面是正三角形,M是的中點,得,由正方形,得,而平面平面,平面平面,且平面,則平面,又平面,于是,而平面,所以平面.(2)取的中點,的中點,連接,連接,連接,連接,
于是,由正方形,得,則,令,顯然是正的中心,,,又平面平面,平面平面,則平面,平面,即有,而平面,則平面,平面,在平面內(nèi)過作交于,顯然,而平面,因此平面,連接并延長交于,連接,于是平面平面,過作,則有,,,,,則,又,,從而點是線段的中點,,過作交于,于是,即,顯然,因此,所以在棱上存在點N使平面平面成立,.【變式】1.(2023·全國·統(tǒng)考高考真題)如圖,在正四棱柱中,.點分別在棱,上,.
(1)證明:;(2)點在棱上,當二面角為時,求.【答案】(1)證明見解析;(2)1【解析】(1)以為坐標原點,所在直線為軸建立空間直角坐標系,如圖,
則,,,又不在同一條直線上,.(2)設(shè),則,設(shè)平面的法向量,則,令,得,,設(shè)平面的法向量,則,令,得,,,化簡可得,,解得或,或,.2.(2023春·浙江嘉興)如圖,四棱錐的底面為矩形,平面,且,分別為的中點.
(1)證明:平面;(2)在線段上是否存在一點,使得平面平面,若存在,請找出該點,并給出證明;若不存在,請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在,點為的中點,證明見解析【解析】(1)證明:因為平面,平面,所以,矩形中,,,平面,所以平面;(2)存在滿足條件的點,為的中點.
證明:在中,,又平面,平面,所以平面.又因為分別是的中點,而,,所以,,所以四邊形是平行四邊形.所以,而平面,平面,所以平面.又因為,平面,所以平面平面.3.(2023·北京)如圖,在四棱錐中,側(cè)棱底面,底面是直角梯形,,,且,,是的中點.在線段上是否存在一點,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
【答案】存在,【解析】存在點,使得平面,此時,證明如下:
連接,為中點,連接,直角梯形中,,,,,則,,四邊形為平行四邊形,有,則,所以,又底面,底面,則,則,,則,得,又,,,由余弦定理得,,則,,又,是的中點,則,,平面,則平面,故存在點,使得平面,此時.4.(2023·四川南充·四川省南充高級中學??既#┤鐖D,在四棱臺中,底面是菱形,,,平面.
(1)證明:BDCC1;(2)棱上是否存在一點,使得二面角的余弦值為若存在,求線段的長;若不存在,請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在,【解析】(1)證明:如圖所示,連接,因為為棱臺,所以四點共面,又因為四邊形為菱形,所以,因為平面,平面,所以,又因為且平面,所以平面,因為平面,所以.(2)解:取中點,連接,因為底面是菱形,且,所以是正三角形,所以,即,由于平面,以為原點,分別以為軸、軸和軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則假設(shè)點存在,設(shè)點的坐標為,其中,可得
設(shè)平面的法向量,則,取,可得,所以.又由平面的法向量為,所以,解得由于二面角為銳角,則點在線段上,所以,即故上存在點,當時,二面角的余弦值為.
考點九外接球【例9】(2023湖南)如圖,在四棱錐中,平面平面,,,,.(1)求證:平面;(2)若直線與底面所成的角的余弦值為,求三棱錐的外接球表面積.【答案】(1)證明見解析;(2).【解析】(1)在四邊形中,,,,,為等腰直角三角形,即,平面平面,,平面平面,平面,又平面,,,平面,平面.(2)平面,平面,,,又,,,即,,平面,平面,平面,,即,均為直角三角形,且公共斜邊為,中點到三棱錐四個頂點的距離相等,三棱錐的外接球半徑;平面,為直線與底面所成的角,,又,,三棱錐的外接球表面積.【變式】1.(2023·全國·模擬預測)如圖,球O是正三棱錐和的外接球,M為的外心,直線AM與線段BC交于點D,D為BC的中點,兩三棱錐的高之比為,E為PA上一點,且.(1)證明:;(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見詳解(2)【解析】(1)過M作,交AB于,易證MA,MP,兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè),球O的半徑為R,則在中,有,解得.則,,,∵,∴,,所以∴,∴.(2)因為,平面,所以平面PAD,又平面PAD,∴.由(1)得,又,平面,∴平面,所以平面的一個法向量為.又∵,,,∴,.設(shè)平面的法向量為,則令,則,,∴為平面的一個法向量.設(shè)二面角的平面角為,∴,又,∴.故二面角的正弦值為.2.(2023·全國·高三專題練習)如圖矩形中,,沿對角線將折起,使點A折到點P位置,若,三棱錐的外接球表面積為.(1)求證:平面平面;(2)求平面與平面夾角的余弦值;(3)M為的中點,點N在邊界及內(nèi)部運動,若直線與直線與平面所成角相等,求點N軌跡的長度.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】(1)證明:設(shè)O為矩形對角線的中點,∴.即.∴O為三棱錐外接球的球心.又∵三棱錐外接球表面積為,∴外接球半徑為2.即.過P點作,垂足為E,過點C作,垂足為F,則,,,,∴而,在中,滿足∴為直角三角形,∵,,∴平面.又∵平面,∴平面平面.(2)以E為坐標原點,所在直線分別為x軸、z軸,以平面內(nèi)過E且垂直于的直線為y軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.可知:且設(shè)平面的法向量為,得,取,則,設(shè)平面的法向量為,得,取,則設(shè)平面與平面夾角為,則所以平面與平面夾角余弦值為是.(3)由(2)中空間直角坐標系可設(shè)N為,,,,取平面法向量為.∵直線與直線與平面所成角相等,∴得:整理得:,即∵N點在邊及其內(nèi)部,∴N的軌跡為圓落在邊及內(nèi)部的部分.∴軌跡長度為半徑為1的圓周長為.得∴N點軌跡長度為.考法十最值【例10】.(2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測)如圖,三棱錐中,,,,平面平面.
(1)求三棱錐的體積的最大值;(2)求二面角的正弦值的最小值.【答案】(1)(2).【解析】(1)取的中點,連接,
因為,所以又因為平面平面,平面平面,平面,所以平面,因為,,,所以,,所以三棱錐的體積為因為,所以,,當且僅當,即時,等號成立,故三棱錐的體積的最大值為.(2)解法一:由(1)可知平面,又平面,所以,過作于,連接,
因為平面,,
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