河南省新鄉(xiāng)市2024屆學年高三二模數(shù)學試題(含答案)

－2024學年新鄉(xiāng)市高三第二次模擬考試數(shù)學注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．本試卷主要考試內容：高考全部內容。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設，則（）A． B． C． D．2．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，，則（）A．為銳角三角形 B．為直角三角形C．為鈍角三角形 D．的形狀無法確定3．已知直線與拋物線的圖象相切，則C的焦點坐標為（）A． B． C． D．4．已知，則（）A． B． C． D．5．老師有6本不同的課外書要分給甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，則不同的分法有（）A．248種 B．168種 C．360種 D．210種6．函數(shù)被稱為取整函數(shù)，也稱高斯函數(shù)，其中表示不大于實數(shù)x的最大整數(shù)．若，滿足，則x的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)滿足，則下列結論一定正確的是（）A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)8．已知圓錐的底面半徑為，高為1，其中O為底面圓心，是底面圓的一條直徑，若點P在圓錐的側面上運動，則的最小值為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在時相對于平衡位置的高度h（單位：cm）由關系式，確定，其中，，．小球從最高點出發(fā)，經過2s后，第一次回到最高點，則（）A．B．C．與時的相對于平衡位置的高度h之比為D．與時的相對于平衡位置的高度h之比為10．已知，集合，，，，則下列結論一定成立的是（）A． B． C． D．11．如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點A在C上，點B在y軸上，A，，B三點共線，若直線的斜率為，直線的斜率為，則（）A．C的漸近線方程為 B．C．的面積為 D．內接圓的半徑為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．12．已知一平面截球O所得截面圓的半徑為2，且球心O到截面圓所在平面的距離為1，則該球的體積為______．13．若一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為3，方差為，則，，，，，9這6個數(shù)的平均數(shù)為______，方差為______．14．已知函數(shù)，，若關于x的方程有6個解，則的取值范圍為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）如圖，在三棱錐中，平面平面，且，．（1）證明：平面．（2）若，點M滿足，求二面角的大小．16．（15分）已知數(shù)列滿足，（1）記，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）求的前2n項和，并證明．17．（15分）根據(jù)國家電影局統(tǒng)計，2024年春節(jié)假期（2月10日至2月17日）全國電影票房為80.16億元，觀影人次為1.63億，相比2023年春節(jié)假期票房和人次分別增長了18.47%和26.36%，均創(chuàng)造了同檔期新的紀錄．2024年2月10日某電影院調查了100名觀影者，并統(tǒng)計了每名觀影者對當日觀看的電影的滿意度評分（滿分100分），根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖（分組區(qū)間為，，，，，）．（1）求這100名觀影者滿意度評分不低于60分的人數(shù)；（2）估計這100名觀影者滿意度評分的第40百分位數(shù)（結果精確到0.1）；（3）設這100名觀影者滿意度評分小于70分的頻率為，小于80分的頻率為，若甲、乙兩名觀影者在春節(jié)檔某一天都只觀看一部電影，甲觀看A，B影片的概率分別為，，乙觀看A，B影片的概率分別為，，當天甲、乙觀看哪部電影相互獨立，記甲、乙這兩名觀影者中當天觀看A影片的人數(shù)為X，求X的分布列及期望．18．（17分）已知A，B分別是橢圓的左、右頂點，C為M的上頂點，P是M上在第一象限的點，，直線，的斜率分別為，，且．（1）求M的方程；（2）直線與交于點D，與x軸交于點E，求的取值范圍．19．（17分）定義：若函數(shù)圖象上恰好存在相異的兩點P，Q滿足曲線在P和Q處的切線重合，則稱P，Q為曲線的“雙重切點”，直線為曲線的“雙重切線”．（1）直線是否為曲線的“雙重切線”，請說明理由；（2）已知函數(shù)求曲線的“雙重切線”的方程；（3）已知函數(shù)，直線為曲線的“雙重切線”，記直線的斜率所有可能的取值為，，…，，若（，4，5，…，n），證明：．2023-2024學年新鄉(xiāng)市高三第二次模擬考試數(shù)學參考答案1．B，則．2．C由余弦定理得，所以為鈍角三角形．3．C聯(lián)立可得，則，所以，故C的焦點坐標為．4．A．5．D不同的分法有種．6．C，當且僅當時，等號成立，所以，則，解得，所以．7．B令，可得．令，則，故的圖象關于點對稱，即是奇函數(shù)．8．A，由，得的最小值為．9．BC由題可知小球運動的周期，所以，解得．當時，．又，所以，則，所以與時的相對于平衡位置的高度之比為．故選BC．10．AB直線恒過點，斜率為，直線恒過點，斜率為，可化為，可化為．因為直線與直線平行，所以，故A正確；因為點在的內部，所以，故B正確；點在的外部，則的元素個數(shù)可能為0，1，2，故C錯誤；圓與圓相交，所以，故D錯誤．11．ABD依題意，為等邊三角形，故，．在中，，，，所以．根據(jù)正弦定理可得，解得，，所以，即，，所以C的漸近線方程為，，的面積為．由的面積為，可得內接圓的半徑為．故選ABD．12．由球的截面圓性質可知球的半徑，則該球的體積為．13．4；8這6個數(shù)的平均數(shù)為，由題可知，解得，所以這6個數(shù)的方差為．14．令，則方程的解有3個．在上單調遞增，當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，故結合的圖象（圖略），可得，且方程的三個解中最小的解為．又在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即．令，易知在上單調遞增，又，所以的解集為．綜上，的取值范圍為．15．（1）證明：如圖，取O為的中點，連接．因為，所以．因為平面平面，且兩平面相交于，所以平面．因為平面，所以．又，且，所以平面．（2）解：過點A作的平行線．以A為坐標原點，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，，，．設平面的法向量為，則即令，得．易知平面的一個法向量為，所以．因為二面角為銳角，所以二面角的大小為．16．證明：（1）由題可知，所以數(shù)列是以1為首項，6為公比的等比數(shù)列，所以．（2）由題可知，所以．令，則，所以數(shù)列單調遞增，故，即．17．解：（1）由圖可知，滿意度評分不低于60分的頻率為，所以這100名觀影者滿意度評分不低于60分的人數(shù)為．（2）因為，，所以這100名觀影者滿意度評分的第40百分位數(shù)位于第三組，且這100名觀影者滿意度評分的第40百分位數(shù)的估計值為．（3）由圖可知，，．X的可能取值為0，1，2，，，，則X的分布列為X012P0.080.440.48故．18．解：（1）設，顯然，，則，又，即，所以，即①．由，得②．聯(lián)立①②，解得，，所以橢圓M的方程為．（2）由（1）得，設直線的方程為，因為點P位于第一象限，所以．聯(lián)立整理得，則，所以，則，所以．又直線的方程為，所以聯(lián)立解得．故．因為，所以，，所以．19．（1）解：，所以，其定義域為，令，解得．不妨設切點，，則在點P處的切線方程為，即，在點Q處的切線方程為，即．故直線為曲線的“雙重切線”．（2）解：所以易知在上與