《高數(shù)上復(fù)習題》課件

高數(shù)上復(fù)習題目錄contents極限與連續(xù)導(dǎo)數(shù)與微分微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用不定積分與定積分空間解析幾何與向量代數(shù)多元函數(shù)微分學及其應(yīng)用01極限與連續(xù)描述函數(shù)或數(shù)列在某一點或無窮遠處的變化趨勢。極限的定義極限的性質(zhì)極限的存在條件包括唯一性、有界性、保號性等，是求解極限問題的基礎(chǔ)。了解函數(shù)或數(shù)列極限存在的條件，如單調(diào)有界等。030201極限概念及性質(zhì)極限計算方法適用于簡單函數(shù)在有限點處的極限計算。通過因式分解簡化表達式，進而求解極限。用于求解未定式極限，如0/0型、∞/∞型等。利用泰勒公式展開函數(shù)，求解復(fù)雜函數(shù)的極限。直接代入法因式分解法洛必達法則泰勒公式法03無窮小量與無窮大量的關(guān)系理解兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，如無窮小量與無窮大量的乘積仍為無窮小量等。01無窮小量的定義了解無窮小量的概念及性質(zhì)，如高階無窮小、同階無窮小等。02無窮大量的定義了解無窮大量的概念及性質(zhì)，如正無窮大、負無窮大等。無窮小量與無窮大量了解函數(shù)連續(xù)性的概念及性質(zhì)，如連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)等。連續(xù)性的定義了解間斷點的分類及判斷方法，如第一類間斷點、第二類間斷點等。間斷點的分類理解連續(xù)性在求解實際問題中的應(yīng)用，如連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必定存在最大值和最小值等。連續(xù)性的應(yīng)用連續(xù)性與間斷點02導(dǎo)數(shù)與微分

導(dǎo)數(shù)概念及幾何意義導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一點的變化率，即函數(shù)值隨自變量變化的快慢程度。導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線的斜率，即函數(shù)圖像在某一點處的切線斜率就是函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)。可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系函數(shù)在某點可導(dǎo)則一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的四則運算法則和差積商的導(dǎo)數(shù)計算法則。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)鏈式法則，用于計算復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式如常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等。導(dǎo)數(shù)基本公式與運算法則高階導(dǎo)數(shù)定義函數(shù)導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為二階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)，以此類推。高階導(dǎo)數(shù)的求法逐次求導(dǎo)法、間接求導(dǎo)法（如利用泰勒公式）。高階導(dǎo)數(shù)的幾何意義高階導(dǎo)數(shù)可以反映函數(shù)圖像的凹凸性。高階導(dǎo)數(shù)及求法微分的幾何意義微分是切線縱坐標的增量，即函數(shù)圖像在某一點處的切線縱坐標的增量就是函數(shù)在該點的微分。微分定義微分是函數(shù)增量的線性部分，即在一個數(shù)集中，當一個數(shù)靠近時，函數(shù)在這個數(shù)處的極限被稱為函數(shù)在該處的微分。微分的應(yīng)用近似計算、誤差估計等。在實際問題中，可以利用微分進行近似計算和誤差估計，如利用微分求函數(shù)在某點附近的近似值或估計誤差范圍。微分概念及應(yīng)用03微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用羅爾定理01如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點c，使得f'(c)=0。拉格朗日中值定理02如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。柯西中值定理03如果函數(shù)f(x)和g(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且g'(x)在(a,b)內(nèi)不等于0，那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點c，使得[f'(c)]/[g'(c)]=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]。微分中值定理介紹在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法。洛必達法則適用于0/0型和∞/∞型未定式，其他類型可以通過變換轉(zhuǎn)化為這兩種類型。應(yīng)用范圍在使用洛必達法則時，需要注意滿足其使用條件，如分子分母在限定區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為0等。注意事項洛必達法則及應(yīng)用用多項式來逼近一個函數(shù)在某一點的鄰域內(nèi)的值。泰勒公式泰勒公式在x=0處的特殊情況，即用多項式來逼近一個函數(shù)在x=0處的值。麥克勞林展開式泰勒公式和麥克勞林展開式在近似計算、級數(shù)求和、求極限等方面有廣泛應(yīng)用。應(yīng)用泰勒公式與麥克勞林展開式極值通過一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在某點處是否取得極值，以及是極大值還是極小值。最值在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必定存在最大值和最小值，可以通過比較端點值和極值點處的函數(shù)值來確定。單調(diào)性通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。函數(shù)單調(diào)性、極值和最值04不定積分與定積分原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，通過積分表或積分公式求解。不定積分定義線性性、可加性、常數(shù)倍性等基本性質(zhì)，以及積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)。不定積分性質(zhì)熟練掌握基本初等函數(shù)的積分公式，能夠靈活運用。基本積分表不定積分概念及性質(zhì)換元積分法和分部積分法換元積分法通過變量代換將復(fù)雜的不定積分轉(zhuǎn)化為基本積分形式進行求解。分部積分法將復(fù)雜的不定積分分解為兩個或多個簡單積分的和或差進行求解。積分策略選擇根據(jù)被積函數(shù)的特點，靈活選擇換元積分法或分部積分法進行求解。123通過分割、近似、求和、取極限等步驟求解曲邊梯形的面積。定積分定義可加性、保號性、估值定理等基本性質(zhì)，以及積分中值定理和微積分基本定理。定積分性質(zhì)求解平面圖形的面積、體積、弧長等幾何量。定積分的幾何意義定積分概念及性質(zhì)廣義積分概念廣義積分性質(zhì)判斂法廣義積分的應(yīng)用廣義積分與判斂法01020304無窮限積分和瑕積分的定義及求解方法。線性性、可加性、絕對收斂與條件收斂等基本性質(zhì)。比較判別法、比值判別法、根值判別法等常用的廣義積分判斂方法。在物理、工程、經(jīng)濟等領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用，如求解概率密度函數(shù)、求解級數(shù)的和等。05空間解析幾何與向量代數(shù)空間直角坐標系的定義與性質(zhì)明確原點、坐標軸、坐標平面的概念，理解空間點的坐標表示方法。向量的定義與表示掌握向量的概念、表示方法及幾何意義，理解零向量、單位向量、相等向量等概念。向量的坐標運算熟練掌握向量的加、減、數(shù)乘運算，理解向量坐標與運算的關(guān)系?？臻g直角坐標系及向量概念向量的數(shù)量積向量的向量積向量的混合積向量的線性相關(guān)性向量運算及線性相關(guān)性掌握向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)及計算方法，理解向量在軸上的投影概念。了解混合積的概念、性質(zhì)及計算方法，理解其幾何意義。理解向量積的概念、性質(zhì)及計算方法，掌握右手定則的應(yīng)用。理解向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念，掌握判斷向量組線性相關(guān)性的方法。理解平面方程的概念，掌握平面的點法式方程及其求解方法。平面的點法式方程了解平面的一般式方程，理解其幾何意義，掌握求解方法。平面的一般式方程理解兩平面夾角的概念，掌握求解兩平面夾角及判斷兩平面位置關(guān)系的方法。兩平面的夾角與位置關(guān)系理解直線方程的概念，掌握直線方程的各種形式及其求解方法。直線方程平面方程和直線方程求解了解曲面方程的概念，理解旋轉(zhuǎn)曲面、柱面等常見曲面的方程及圖形。曲面方程的概念與分類了解空間曲線方程的概念，理解一般方程、參數(shù)方程、極坐標方程等曲線方程的表示方法。曲線方程的概念與分類掌握常見曲面與曲線的求解方法，如球面、橢球面、雙曲面、拋物面等曲面的方程求解，以及空間曲線的投影、消元等方法求解。常見曲面與曲線的求解方法曲面方程和曲線方程簡介06多元函數(shù)微分學及其應(yīng)用多元函數(shù)定義設(shè)$D$為一個非空的$n$元有序數(shù)組的集合，$f$為某一確定的對應(yīng)規(guī)則。若對于每一個有序數(shù)組$(x_1,x_2,ldots,x_n)inD$，通過對應(yīng)規(guī)則$f$，總有唯一確定的實數(shù)$y$與之對應(yīng)，則稱對應(yīng)規(guī)則$f$為定義在$D$上的$n$元函數(shù)。多元函數(shù)的極限設(shè)二元函數(shù)$f(P)=f(x,y)$的定義域為$D$，$P_0(x_0,y_0)$是$D$的聚點。如果存在常數(shù)$A$，對于任意給定的正數(shù)$epsilon$，總存在正數(shù)$delta$，使得當點$P(x,y)inDcapU^0(P_0,delta)$時，都有$|f(P)-A|=|f(x,y)-A|<epsilon$成立，那么就稱常數(shù)$A$為函數(shù)$f(x,y)$當$(x,y)to(x_0,y_0)$時的極限。多元函數(shù)的連續(xù)性如果函數(shù)$f(x,y)$在點$P_0(x_0,y_0)$的某鄰域內(nèi)有定義，且$lim_{(x,y)to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，則稱函數(shù)$f(x,y)$在點$P_0(x_0,y_0)$連續(xù)。多元函數(shù)概念及極限連續(xù)性偏導(dǎo)數(shù)的定義及計算偏導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)對每一個自變量單獨求導(dǎo)而得到的新函數(shù)。例如，對于二元函數(shù)$f(x,y)$，其對$x$的偏導(dǎo)數(shù)記為$frac{partialf}{partialx}$，對$y$的偏導(dǎo)數(shù)記為$frac{partialf}{partialy}$。計算時，將其他變量視為常數(shù)，只對選定變量求導(dǎo)。全微分的定義及計算設(shè)函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x,y)$的某鄰域內(nèi)有定義。如果函數(shù)在$(x,y)$的全增量$Deltaz=f(x+Deltax,y+Deltay)-f(x,y)$可以表示為$Deltaz=ADeltax+BDeltay+o(rho)$，其中$A$、$B$不依賴于$Deltax$、$Deltay$而僅與$x$、$y$有關(guān)，$rho=sqrt{(Deltax)^2+(Deltay)^2}$，則稱函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x,y)$可微分，而$ADeltax+BDeltay$稱為函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x,y)$對應(yīng)于自變量$Deltax$、$Deltay$的全微分，記為$dz$，即$dz=ADeltax+BDeltay$。偏導(dǎo)數(shù)和全微分計算首先求出一階偏導(dǎo)數(shù)并令其等于零，然后求出二階偏導(dǎo)數(shù)并進行判別。對于二元函數(shù)$f(x,y)$，若$f_x'(x_0,y_0)=0$且$f_y'(x_0,y_0)=0$，則$(x_0,y_0)$可能為極值點。進一步，若$f_{xx}''(x_0,y_0)>0$且$f_{xy}''(x_0,y_0)^2-f_{xx}''(x_0,y_0)f_{yy}''(x_0,y_0)<0$，則$(x_0,y_0)$為極小值點；若$f_{xx}''(x_0,y_0)<0$且$f_{xy}''(x_0,y