2023年北京市石景山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2023年北京市石景山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合4={刈一2≤x≤2},B={x∣∕+χ-2≤0},則AUB=()

A.[-2,2]B.[-2,1]C.[0,1]D.[0,2]

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（一2,-1）,則：=（）

A.-1—2iB.-2—iC.—1+2iD.2—i

3.已知雙曲線。一馬=l（b>0）的離心率是2,則b=（）

4b

A.12B.2√3C.√3D.y

4.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的是（）

A./(x)=sinxB./(x)=2團(tuán)

C./(X)=X3+XD./(x)=Her_蜻)

5.設(shè)x>0,y>0,則''x+y=2"是''xy≤l”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

tl

6.已知數(shù)列{a7l}滿足：對(duì)任意的zn,n∈N*,都有％?即=m+n,且。2=3,貝IJaIo=()

A.34B.35C.36D.310

7.若函數(shù)/（x）=ASin（Mt+0）（4>0,3>0,0<8<方的部分圖象如圖所示，則W的值是

()

?-R-r-n—

C?36—412

8.在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度儀單位:km∕s）與燃料的質(zhì)量M（單位:kg）,

火箭（除燃料外）的質(zhì)量m（單位：W）的函數(shù)關(guān)系是U=200OMl+%當(dāng)燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量

的比值為環(huán)時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)到%kτn∕s.若要使火箭的最大速度達(dá)到2%km∕s,則燃料

質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值應(yīng)為()

A.2tθB.tɑ+t0C.2t0D.tɑ+2t0

9.已知直線1：kx-y-2k+2=0被圓C：/十⑶十劫2=25所截得的弦長(zhǎng)為整數(shù)，則滿

足條件的直線/有()

A.6條B.7條C.8條D.9條

10.已知正方體ZBCD-AIBIClDl的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)P為正方形ABCD所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，給出

下列三個(gè)命題：

①若點(diǎn)P總滿足PDllDC1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條直線；

②若點(diǎn)P到直線BBl與到平面CDDlCl的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線；

③若點(diǎn)P到直線DDI的距離與到點(diǎn)C的距離之和為2,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓.

其中正確的命題個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

二、填空題(本大題共5小題，共25.0分)

11.向量蒼=(2siπ8,cos0),b-(1,1)>若行〃9，則tan。=_.

12.拋物線C：∕=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_,若拋物線C上一點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2,則點(diǎn)M到拋

物線焦點(diǎn)的距離為一.

13.若(x+^)τl的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)"的一個(gè)取值為一.

14.設(shè)函數(shù)/(x)=R］亭/％

①若a=0,則/^(x)的最大值為一；

②若/(x)無最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.

15.項(xiàng)數(shù)為/c(keN*,/c≥2)的有限數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均不小于一l的整數(shù)，滿足%?2^】+a2?

k2k3

2~+a3?2~H-----Fcik-ι,2+以=0,其中的≠0.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若k=2,則a?-2；

②若Zc=3,則滿足條件的數(shù)列｛arι｝有4個(gè)：

③存在%=1的數(shù)列｛a71｝;

④所有滿足條件的數(shù)列｛%l｝中，首項(xiàng)相同.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是一.

三、解答題(本大題共6小題，共85.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

16.(本小題13.0分)

如圖,在ZMBC中,ac=4√LC=M點(diǎn)。在邊BC上，cosz^β=|.

(I)求力。的長(zhǎng)；

(11)若448。的面積為2或，求AB的長(zhǎng).

17.(本小題13.0分)

某高?！爸参餇I(yíng)養(yǎng)學(xué)專業(yè)”學(xué)生將雞冠花的株高增量作為研究對(duì)象，觀察長(zhǎng)效肥和緩釋肥對(duì)

農(nóng)作物影響情況.其中長(zhǎng)效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的雞冠花分別對(duì)應(yīng)1,2,3三組.觀

察一段時(shí)間后，分別從1,2,3三組隨機(jī)抽取40株雞冠花作為樣本，得到相應(yīng)的株高增量數(shù)

據(jù)整理如表.

株高增量(單位：厘米)(4,7](740](10,13](13,16]

第1組雞冠花株數(shù)92092

第2組雞冠花株數(shù)416164

第3組雞冠花株數(shù)1312132

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有雞冠花生長(zhǎng)情況相互獨(dú)立.

(I)從第1組所有雞冠花中各隨機(jī)選取1株，估計(jì)株高增量為(7,10］厘米的概率：

(11)分別從第1組，第2組，第3組的所有雞冠花中各隨機(jī)選取1株，記這3株雞冠花中恰有X株

的株高增量為(7,10］厘米，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X);

u

(In)用“藐=Γ表示第A組雞冠花的株高增量為(4,10］,ξk=0”表示第k組雞冠花的株高

增量為(IO,16］厘米，k=l,2,3,直接寫出方差D(A),D(ξ2),。&)的大小關(guān)系(結(jié)論不

要求證明)

18.(本小題14.0分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面4BCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PAD為等腰直角三角形,

月/PAD=*點(diǎn)F為棱PC上的點(diǎn)，平面AD尸與棱PB交于點(diǎn)E.

(I)求證：EF//AD；

(II)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，求平面PCD與平面ADFE所

成銳二面角的大小.

條件①：AE=缶

條件②：平面PAD1平面ABCD；

條件③：PBLFD.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(∏)問得O分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答,

按第一個(gè)解答計(jì)分.

19.(本小題15.0分)

己知橢圓C：，+'=l(α>b>0)過點(diǎn)(0,√5),且離心率為今

(I)求橢圓C的方程；

(∏)過點(diǎn)P(Tl)且互相垂直的直線％分別交橢圓C于M,N兩點(diǎn)及5,T兩點(diǎn).求嘿喘的

]ΓD??riI

取值范圍.

20.(本小題15.0分)

已知函數(shù)/(x)=ex—1—msinx(m∈R).

(1)當(dāng)m=1時(shí)，

(i)求曲線y=/(%)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(ii)求證：V%∈(θ(),f(x)>0.

(2)若/⑺在(0母上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，求m的取值范圍.

21.(本小題15.0分)

若無窮數(shù)列{斯}滿足以下兩個(gè)條件，則稱該數(shù)列T為數(shù)列.

①o?=1,當(dāng)n≥2時(shí)，∣α71-2∣=∣αn-j+2|；

②若存在某一項(xiàng)a7n≤-5,則存在ke{1,2,…,Jn-1},使得c?=azn+4(m≥2且ZneN*).

(1)若。2<0,寫出所有T數(shù)列的前四項(xiàng)；

(∏)若。2>0,判斷τ數(shù)列是否為等差數(shù)列，請(qǐng)說明理由：

(HI)在所有的T數(shù)列中，求滿足a7n=-2021的m的最小值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：因?yàn)?=[-2,2],

因?yàn)?+χ-2≤0,得(尤+2)(x-1)≤0,解得一2≤x≤l,

所以集合B=[x?x2+X-2≤0}=[-2,1]>

所以AUB=[-2,2].

故選：A.

先將兩個(gè)集合化簡(jiǎn)，用區(qū)間表示法表示，然后求并集即可.

本題主要考查了一元二次不等式的解法，以及集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,-1),

則Z=-2-i,

故"M=罕=T+2i.

故選：C.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意可得(b>0),

??.b=2y∕3>

故選:B.

根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，方程思想，即可求解.

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，方程思想，屬基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：A項(xiàng)，/(-X)=-/(X),則/Q)是奇函數(shù)，/(x)在定義域內(nèi)沒有單調(diào)性，不符合;

B項(xiàng),f(-x)=f(x),則f(x)是偶函數(shù),不符合；

C項(xiàng)，/(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-∕^(x),則∕^(x)是奇函數(shù)，

∕,(x)=3x2+1>0,則/(x)=X3+X在R上單調(diào)增，不符合；

。項(xiàng)，/(-χ)=-/(χ)>則/(尤)是奇函數(shù)，

y=eτ在R上單調(diào)減，y=ex在R上單調(diào)增，則函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)減，符合.

故選：D.

利用定義判斷函數(shù)的奇偶性，利用圖象和函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性即可.

本題考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：①當(dāng)X+y=2時(shí)，<%>0,y>0,x+y>2y∕xy,?xy≤1,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)，???xy≤l,.??充分性成立，

②當(dāng)Xy≤1時(shí)，比如X=1,y=2時(shí)，Xy≤1成立，但x+y=2不成立，

???必要性不成立，

.?.X+y=2是Xy≤1的充分不必要條件.

故選：A.

根據(jù)基本不等式的性質(zhì)和舉實(shí)例，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論.

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

6.【答案】B

【解析】解：由題意，令m=n=2,

ci4=GL2+2=ɑ2'=3.3=32,

令m=n=4,

Clg=CZ4+4=04.ɑ4=32.32=33

令m=2,n=8,

ɑlθ=。8+2=。8'=34?3=3,.

故選：B.

根據(jù)題干遞推公式先令Jn=n=2,計(jì)算出ɑ4的值，再令m=n=4,計(jì)算出c?的值，最后令m=2,

n=8,計(jì)算出a1。的值，即可得到正確選項(xiàng).

本題主要考查數(shù)列由遞推公式求某項(xiàng)的值.考查了整體思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，指數(shù)的運(yùn)算能力,

以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題.

7.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算能力，

由圖象可得工=辿一(_囚)=匕得3,結(jié)合五點(diǎn)法可得—等+9=0,即可得9的值.

22I6，26

【解答】

解：根據(jù)函數(shù)/(%)=Asin(ωx+φ)(A>0fω>0f0<φ<今的部分圖象，

所以

T=τr,—ω=Tr=3=2

由圖象可得一等+3=0,0<φ<L

OZ

得

故選A.

8.【答案】D

【解析】解：設(shè)燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值為X時(shí)，火箭的最大速度達(dá)到2uOknI∕s,

由題意可知％=2000Zn(l+t0),2v0=2000Zn(l+x),

.?.4000∕n(l+t0)=2000Zn(l+x),

2

?ln(l+x)=2∕n(l+t0)=ln(l+t0),

2

?1+%=(1+t0).

?*?X—tθ+2CQ,

即要使火箭的最大速度達(dá)到2%kτn∕s,則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值應(yīng)為餡+2t0,

故選：D.

設(shè)燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值為X時(shí)，火箭的最大速度達(dá)到2%km∕s,則%=2000∕n(l+t0),

2v0=2000∕n(l+x),結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出X的值即可.

本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題.

9.【答案】B

【解析】解：由圓C：/+(y+1)2=25,得圓心C(O,-1),

直線Lkx-y-2k+2=0可化為k(x-2)+(-y+2)=0,即直線過定點(diǎn)(2,2)

???圓心到定點(diǎn)(2,2)的距離為舊，

.?.直線，：kx-y-2∕c+2=0被圓C：4+(丫+1)2=25所截得的最短弦長(zhǎng)為2√25-13=4√5,

又過定點(diǎn)(2,2)的最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為10,

過點(diǎn)(2,2)垂直X軸的直線X=2與圓C所截得的弦長(zhǎng)恰好為2庫(kù)』=2√∏不是整數(shù)，

???弦長(zhǎng)為整數(shù)時(shí)直線/共有7條.

故選:B.

先確定直線過定點(diǎn)(2,2),再計(jì)算直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)、最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)，即可求得結(jié)論.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓中弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)

題.

10.【答案】C

【解析】解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

①連接CC1，A1B,由正方體的性質(zhì)可得CIDj■平面4IBCD1，

而平面&BCD1Cl平面ABCD=BC,

???點(diǎn)P的軌跡是一條直線BC,因此①正確；

②設(shè)P(Xy,0),8(2,0,0),???點(diǎn)P到直線BBl與到平面CoDICl的距

離相等，

???J(X-2)2+y2—|2-y∣,化為y=-??2+X,

???動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線，因此②正確；

③設(shè)P(Xy,0),C(2,2,0),D(0,2,0),

???P到直線DDi的距離與到點(diǎn)C的距離之和為2,

ΛJX2+(y-2)2+√(χ-2)2+(y-2)2=2,化為y=2(0≤x≤2).

???動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段CD,因此③不正確.

綜上只有①②正確,

故選：C.

建立空間直角坐標(biāo)系，

①連接CD1，A1B,利用正方體的性質(zhì)可得GDJ■平面&BCD1，平面&BCDln平面ABCC=BC,

即可判斷出點(diǎn)P的軌跡方程，進(jìn)而判斷出①的正誤；

②設(shè)P(X,y,0),B(2,0,0).根據(jù)點(diǎn)P到直線BBI與到平面CDDICI的距離相等，可得J(X—2)2+9=

∣2-y∣,化簡(jiǎn)即可得出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，進(jìn)而判斷出②的正誤；

③設(shè)P(X,y,0),C(2,2,0),D(0,2,0),根據(jù)P到直線DDl的距離與到點(diǎn)C的距離之和為2,可得

√x2+(y-2)2+J(X-2)2+O_2)2=2,(0≤x≤2)化簡(jiǎn)即可判斷出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，進(jìn)而

判斷出③的正誤.

本題考查了正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了空間

想象能力與推理能力，屬于中檔題.

11.【答案】?

【解析】解：???a=(2sinθ,cosθ~),b=(1,1)>a/∕b>

.?.2sinθ=cosθ,

■■tanθ=?-

故答案為：g.

利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.

本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】(0,1)3

【解析】解：拋物線C：/=4了中2=2,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸((U)；

由拋物線的定義可得IMFl=2+1=3.

故答案為：(0,1);3.

根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線定義可得點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離.

本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】6(答案不唯一)

【解析】解：(X+右我的展開式通項(xiàng)公式為C*-"多=CZXrI等，

令n—^r=O,即n=∣r,

不妨取r=4,即Ti=6,

故正整數(shù)H的一個(gè)取值為6.

故答案為：6(答案不唯一).

先求得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令X的基指數(shù)等于0,再結(jié)合n為正整數(shù)，即可求解.

本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】2(-∞,-l)

【解析】解：①若α=0,則/(x)=<°

.f(>.=(3x2-3,x≤0

""rII-LX>0'

當(dāng)X<-1時(shí)，∕,(x)>0,此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，

當(dāng)x>-l時(shí)，f(%)<0,此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，

故當(dāng)X=-I時(shí)，"x)的最大值為2；

②???1(x)={3;:;片巴

1—1,X>CL

令(Q)=O,則％=±1,

V(CL>-1

若/(%)無最大值，則｛:公>口3_3優(yōu)或卜2Q>Q3-3Q,

?-2a>2

解得：Q∈(-OO,-1).

故答案為：2,(―∞,—1).

①將Q=O代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)％=-1時(shí)，/0)的最大值為2；

CL≥—1

②若/(x)無最大值，則『后13Q，或一2α>∕-3α,解得答案.

l-2α>α-3αJ2α>2

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值，分類討論思想，難度中檔.

15.【答案】①②④

【解析】解：因?yàn)橛邢迶?shù)列｛aj的各項(xiàng)均不小于-1的整數(shù),

所以Qn≥—1,TlEN*,Qn∈Z1

k1k2k3

又因?yàn)棣??2-+a2-Z-+a3-2~+…+αfe-1?2+ak=0,

fc1k2k3k2k31

所以由?2-=-(α2?2-+a3-2-+…+afc.1-2+ak)≤(2~+2-+???+2+1)=

2k-1-1,

所以-1≤%≤l-(?kτ<1,且%≠0,%為整數(shù)，

所以由=-1,所以③錯(cuò)誤，④正確；

當(dāng)k=2時(shí)，得2%+02=。，所以Ql=—1,則a?=2,故①正確；

當(dāng)k=3時(shí)，得4%÷2a2÷a3=0,

又因?yàn)閲?guó)=-1,

所以2%+?=4,則2&=4一?≤5,

所以一l≤a2≤∣,。2為整數(shù)，

則c?的可能取值為一1,0,1,2,對(duì)應(yīng)的?的取值為6,4,2,0,

故數(shù)列｛冊(cè)｝可能為—1,—1,6；—1,0,4：—1,1,2；—1,2,0,共4個(gè)，故②正確.

故答案為：①②④.

k1k2k31k1k1

由題意可得由?2-≤(2~+2~+???+2+1)=2~-1,所以一1≤a1≤1-φ^<1,

a1=-l,從而可判斷③，(4)；

當(dāng)A=2時(shí)，得2%+@2=0，所以的=-1,則02=2,從而判斷①；

當(dāng)Zc=3時(shí)，可得一l≤t?≤∣,則c?的可能取值為T，0,L2,對(duì)應(yīng)的內(nèi)的取值為6,4,2,0,

從而可得數(shù)列｛an｝,即可判斷②.

本題考查了有窮數(shù)列的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，也考查了邏輯推理能力，屬于中檔題.

11

16.【答案】解：(I)VCQSZ-ADB=-,?cos?ADC=-且OV?ADC<π,

.?.sinΛADC=Jl-鼾=竿,

根據(jù)正弦定理與=一吟彳，

SinzCs?n?ADC

可得40—"Os譏"_Λ^2×?X?.—3-

一SiMWC-"V/X2X2迎一3，

(□)???SinZ-ADB=sin(π—Z-ADQ=SinZTIDC=等，

VSdABD=?BD?sin?ADB=y[2BD>

:.√2BD=2√2,得BD=2,

X,.?CosZ.ADB=COS(Tr-Z-ADC)=-cos?ADC=?,

由余弦定理得AB?=3Z+2Z-2×3×2×∣=9,

???AB=3.

【解析】(I)由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求SinNADC的值,利用正弦定理可求4。的值.

(Il)由己知利用三角形的面積公式可求8。的值，利用誘導(dǎo)公式可求CoSN力。8的值，根據(jù)余弦定理

可求的值.

本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理，三角形的面積公式，誘導(dǎo)公式，余弦定理

在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

17.【答案】解：(I)設(shè)事件4為“從第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，株高增量為(7,10］厘米”,

根據(jù)題中數(shù)據(jù)，第1組所有雞冠花中，有20株雞冠花增量為(7,10］厘米，

所以P⑷估計(jì)為黑=今

(H)設(shè)事件B為“從第2組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，株高增量為(7,10］厘米”，

設(shè)事件C為“從第3組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，株高增量為(7,10］厘米”，

根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計(jì)為■估計(jì)為祭

P(B)=MP(C)4=S

Λ?J?TvJLU

根據(jù)題意，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2.3,且

P(X=0)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=(1-?)(l-1)(1-?)=?

P(X=1)=P(ABC+ABC+ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=??;

P(X=2)=P(ABC+ABC+ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=急；

3

P(X=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=?,

則X的分布列為：

X0123

2111293

P

1002510050

所以E(X)=θ×?+l×?÷2×?+3×^=∣

(UI)D(ξ1)<D(ξ3)<D(ξ2)f

理由如下:

P(G=I)=券P(G=O)=*所以E(A)=IXl∣+0x∣?=舒D(G)=Q-第2χ,+(0一

,11319

生)2X=

40，401600；

同理可得。&)=撥，。&)=焉

所以。(A)＜。(Α)＜。($)

【解析】(I)根據(jù)表格數(shù)據(jù)，第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，得(7,10］厘米的總數(shù)，由古典概型

概率公式可得結(jié)果；

(∏)首先估計(jì)各組雞冠花增量為(7,10］厘米的概率，然后可確定X所有可能的取值，根據(jù)獨(dú)立事件

概率公式可求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式可求得期望；

(Ill)由兩點(diǎn)分布方差計(jì)算公式可求得D(G),0(3)，DG3)的值，由此可得大小關(guān)系.

本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差，屬于中檔題.

18.【答案】解:(I)證明：???底面ABCO是正方形，.?.4Z√∕BC,

BCU平面PBC,AD仁平面P8C,

???40〃平面PBC,

???平面4DF與PB交于點(diǎn)E,

ADU平面/WFE,平面PBCC平面ADEF=EF,

.?.EF//AD.

(II)選條件①②，

側(cè)面P4。為等腰直角三角形，且NPAD=*

即PA=AD=2,PALAD,

平面HW1平面ABCD,

平面PTWD平面14BCD=AD,PAU平面PAD,

則PA_L平面ZBCD,又力BCn為正方形，

.?.PALAB,PA1AD,AB1AD,

以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AP分別為X軸，y軸，Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-Xyz,

則4(0,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),B(2,0,0),O(0,2,0),

?.?4E=√I,；?點(diǎn)E為PB的中點(diǎn),則E(1,O,1),

.-.PC=(2,2,-2)>AD=(0,2,0),AE=(1,0,1)>

設(shè)平面ADEF的法向量為亢=(x,y,z),

則E噌=；=z;0,令N=1,得記=(LOT),

設(shè)平面PCD的法向量為沅=(α,b,c),

∣j∣ljpPD=2b-2c=0,取匕=1,得沅=(0,1,1),

(m-PC=2a+2b-2c=0

.?.∣cos<≡,n>∣=∣j^∣=^7==∣,

???平面PCC與平面ADFE所成銳二面角的大小為方

選條件①③，

側(cè)面PAD為等腰直角三角形，且NPaD=*即24=AD=2,PALAD,

ADLAB,PAnAB=A,且兩直線在平面內(nèi)，可得4。1平面24B,

PBU平面P4B,則4。1PB,

PBLFD,AD∏FD=D,且兩直線在平面內(nèi)，

貝IJPB_L平面ADEF,AEU平面AOEF,貝IJPB1AE,

???PA=AB,FPAB為等腰三角形，.?.點(diǎn)E為PB的中點(diǎn)，

=??(P4B是等腰直角三角形，且4PΛD=*

即P4=AD=2,PAlAD,

平面P40JjFWlBCO,

平面PAoC平面ABCO=AD,PAU平面PAD,

則PA，平面4BCD,又ABC。為正方形，

.?.PAIAB,PALAD,AB1AD,

以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AP分別為X軸，y軸，Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系4-xyz,

則A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),B(2,0,0),D(0,2,0),

?.?4E=√Σ???點(diǎn)E為PB的中點(diǎn)，則E(IO1),

.?.PC=(2,2,-2)，AD=(0,2,0)，AE=(1,0,1)，

設(shè)平面40EF的法向量為五=(x,y,z),

貝噌嚼方二°,令Xj得五=。。7

設(shè)平面PCD的法向量為記=(α,b,c),

則［記,9=26—2C=O,取匕=1,得沅=(0,1,1),

???∣cos<沅質(zhì)>∣=∣磊I=磊=4

二平面PCO與平面4。FE所成銳二面角的大小為全

選條件②③，

側(cè)面PAD為等腰直角三角形，且NPAO=今

即P4=AD=2,PA1.AD,平面PAD_L平面4BC0,

平面Paon平面ABC。=AD,PAU平面Λ4D,

則PA_L平面ABC。，ABCO為正方形，

.?.PAIAB,PA1AD,ABA.AD,

PBLFD,ADQFD=D,且兩直線在平面內(nèi)，

貝∣JP8J_平面4。尸￡",AEU平面4CFE,貝IJPB1AE,

?.?PA=AB,.?.ΔP48是等腰三角形，.?.E為PB的中點(diǎn)，

?.?4E=√Σ??ZP4B是等腰直角三角形，且NPAC=*

即PA=AD=2,PAlAD,

平面PaDL^-^ABCDm

平面P4Dn平面ABCD=AD,PAU平面尸力。，

貝IJP4又ABCc為正方形，

.?.PAIAB,PALAD,AB1AD,

以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AP分別為X軸，y軸，Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系4一Xyz,

AZ

則4(0,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),B(2,0,0),D(0,2,0),

?.?4E=√Σ,點(diǎn)E為PB的中點(diǎn)，則EQ,0,1),

.?.^PC=(2,2,-2),AD=(0,2,0),AE=(1,0,1)，

設(shè)平面4。EF的法向量為元=(x,y,z),

lJn-AE=X=Z=Oi令χ=ι,得元=(Lo,-1),

[n?AD=2y=0

設(shè)平面PCD的法向量為沆=(α,瓦c),

則PH?PD=2b-2C=O

?m?PC=2α+2b-2C=O取b=L得沆=(0,1,1),

mn]_1

?Icos<m,n>\=\

I洲同√2?√2=2

???平面PCD與平面ADFE所成銳二面角的大小為宗

【解析】（I）根據(jù)條件可以證明AD〃平面PBC,再利用線面平行的性質(zhì)定理即可證明EF〃4。；

（口）選條件①②可以證明出4B,AD,AP兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系力-xyz,求出相應(yīng)坐標(biāo),

再求出兩平面的法向量，進(jìn)而求出結(jié)果，選條件①②或②③，同樣可以證明求解.

本題考查線線平行的判定與性質(zhì)、二面角的求法，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

19.【答案】解：(I)由題意可得[=1=J1-1=S解得a?=%Z√=3,

(b=√3

所以橢圓的方程為：［+4=1；

43

(H)法⑴設(shè)直線匕的參數(shù)方程為匕Z(t為參數(shù),α為直線k的傾斜角)，

Iy-JLIu?LTlCZ

將直線k的方程代入橢圓的方程可得：3(-1+tcosd)2+4(1+tsina)2=12,

222y

整理可得：(3cosa+4sina)t+(8tsina—6tcosa)t—5=0,設(shè)t1,t?分別為M，N的參數(shù),

可得。t2~ΓL-2-'所以IPMIIPNl=∣tt∣=--2-∣T-∑--

3coszα+4sιnzα.............................1..23cos￡a+4sin￡a

1

因?yàn)樗灾本€%的參數(shù)方X程=—為1+9teo(sU(?a+)0)'即(3γ=——11；—醒tsi^丁na《為參數(shù))’

代入橢圓的方程可得(3si∏2α+4cos2a)t2+(βcosa+6sina)t—5=0,

設(shè)t3',t4"為S，T的參數(shù)，則t30t4,=3Qsι.nz2a二+4cosz2a，

所以IPSllPTl=附I=/際,

曠以IPMIlPNl_3sin2α+4cos2a

「?PS??PT?-3cos2a+4sin2af

當(dāng)α=囚時(shí)，喊MHPNl=三

T2J'人JlPSHPTl4,

當(dāng)ɑ≠巴時(shí)，則IPMHPNl=3tαMα+4=箝+4t-n%)+]=37f34,

2`∣PS∣?∣PT∣-3+4tan2a_3+4tαn2a-44(3+4tαn?)l4,3j

特μ訴狀仍MHPNl34

力上明述：IPSHPTIEr?,31-?,

法(ii)當(dāng)直線k的斜率不存在時(shí)，則％的斜率為0，

可得直線k的方程為X=-1,代入橢圓的方程可得V=?(l-?)=p解得y=±1,設(shè)M(T%

44LL

3

N(T，-)

這時(shí)∣PM∣?∣PN∣=，|=*，

直線L的方程為y=ι,代入橢圓的方程可得/=4(1-?)=*解得X=±乎，設(shè)s(-乎,1),

33?j

譚,1),

這時(shí)∣PS∣?∣PT∣=I-1+竽I?I-1一竽I=IlYIq

5

-3

4

?PM?-?PN?=-=-

54

這時(shí)?-

?PS???PT?3

同理可得當(dāng)直線。的斜率不存在時(shí)，則，1的斜率為O時(shí),

5

-4

3

?PM???PN?--=-

53

-

IPSHPTl4

3）當(dāng)兩條直線的斜率存在且不為0時(shí),

設(shè)直線。的方程為y=kx+3點(diǎn)P(-l,l)在直線上，貝∣Jl=-k+3即t=k+l,

聯(lián)立+2'”，整理可得：(3+4fc2)x2+8fctx+4t2-12=0,

(.3xz+4yz=12

P在橢圓內(nèi)部，所以/>0,巧+上=—舟，x∕2=紇旨，

則IPMl=J(Xl+1)2+31-1)2=√1+H.|X1+1∣,

2

同理可得IPNl=√1+fc?∣x2+1∣.

222

所以IPMl?∣PN∣=Vl+fc?∣x1+1∣?√1+fc??x2+1|=(1+∕c)??x1×2+與+Λ?+1∣=Q+

4產(chǎn)一128七

fe2)?∣，t=fc÷1,

3+4∕C23+4∕C2+11

設(shè)S(X3，丫3)，T(x4,y4'),

1=1τ∣j∏τ>aI_-&口_8kt_M-12_4kt'_12"

同理可得為r+?r-3+4?d)2-薪，x≡x4-3+4?(T)2-4+3必’

IPSl=J(X3+1)2+(為一1)2=∣x3+1|-,IPrl=IM+11?

IPMHPM_k2?xx+x+x+U_5必

所以12123737=1

——7^2

IPSHPTl?x3x4+x3+x4+l?3+4/5/44(3+4∕C)412一

綜上所述IS緇的取值范圍為［工］?

i∣r0∣∣r/I4?

【解析】（I）由過的點(diǎn)的坐標(biāo)及離心率的值，可得α,b的值，進(jìn)而求出橢圓的方程;

（Il）法⑴設(shè)直線小，2的參數(shù)方程代入橢圓的方程，可得M,N,S,T的參數(shù)，進(jìn)而求出IPMlPNl及

IPSIlPrl的表達(dá)式，求出嘿圖1的代數(shù)式，由角的范圍，可得它的取值范圍；

?ΓD??rII

法。i）兩條直線的斜率不存在和斜率為0及直線的斜率都存在且都不為0三種情況討論，設(shè)直線。的

方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出IPMllPNI的表達(dá)式，由題意可得

IPSllP7|的表達(dá)式，再求嘿端的表達(dá)式，進(jìn)而可得它的取值范圍.

?rb??rII

本題考查求橢圓的方程及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于中檔題.

20.【答案】解：(I)當(dāng)Zn=I時(shí)，f'(x)=eX-COSX,

(目)∕'(0)=e0—cosO=0,又/(O)=β0—1—sinθ=0,所以切線，方程為y=0.

xx

(Ξ)∕(x)==e—1—sinxff(x)=e—COSx,因?yàn)?∈(θ,?),所以e*>1,—cosx>—1,

所以e"—cosx>0,所以/'(%)=ex—cosx>0,

所以f(%)在(OE)單調(diào)遞增，所以f(%)>/(0