高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1測評2-2-2橢圓的簡單幾何性質(zhì)

第二章圓錐曲線與方程2.2橢圓2.2.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.若橢圓x2a2+y25=1(a>5)A.4 B.3 C.2 D.1解析橢圓x2a2+y25=1(a>5)的長軸長為6,則2a=6,即a=3,由于b2=5,則c2=a2則它的焦距為2c=4,故選A.答案A2.橢圓x225+y29=1與x29A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等解析橢圓x225+y29=1與x29-k+y225-k=1(0<k<9)的焦點(diǎn)分別在x軸和y軸上,前者a2=25,b2=9,則c2=16,后者a2=25k答案D3.焦點(diǎn)在x軸上,長、短半軸之和為10,焦距為45,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x236+y216=C.x26+y24=解析由題意得c=25,a+b=10,所以b2=(10a)2=a2c2=a220,解得a2=36,b2=16,故橢圓方程為x236+答案A4.已知橢圓y2a2+x2=1(a>1)的離心率e=255,P為橢圓上的一個(gè)動點(diǎn),若定點(diǎn)B(1,0),則|PB|A.32 B.2 C.52 D解析由題意可得:e2=a2-1a2=2橢圓方程為y25+x2=1,設(shè)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x0,y0),則y02故|PB|=(x當(dāng)x0=14時(shí),|PB|max=5答案C5.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為A,B,坐標(biāo)原點(diǎn)到直線AB的距離為433,且a2=A.x28+y24=1C.y216+x28=解析橢圓右頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(a,0),上頂點(diǎn)坐標(biāo)為B(0,b),故直線AB的方程為y=bax+b,即bx+ayab=0,依題意原點(diǎn)到直線的距離為aba2+b2=433,且a2=2b2,由此解得a2=16,b答案D6.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)將長軸長分成3∶2兩部分,則這個(gè)橢圓的離心率為.

解析依題意有(a+c)∶(ac)=3∶2,所以a=5c,故離心率為e=ca答案17.以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積的最大值為2,則橢圓長軸長的最小值為.

解析由題意知,當(dāng)橢圓上的點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時(shí),三角形面積有最大值,即bc=2.∴a2=b2+c2≥2bc=4,∴a≥2,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)等號成立.∴2a≥4,即橢圓長軸長的最小值為4,故答案為4.答案48.橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四個(gè)頂點(diǎn)順次連接構(gòu)成一個(gè)菱形,該菱形的面積為210解析由題意,得2ab=210,即ab=10①.又e2=c2a2=a2-b2a2解①②得a2=5,b2=2,所以所求橢圓方程為x25+答案x259.(1)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為63(2)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)經(jīng)過1,32,一個(gè)焦點(diǎn)為解(1)由右焦點(diǎn)為(2,0),則c=2,又e=ca=63,所以a=3,b2=a2c2=1,橢圓C的方程為x2(2)由題意得1a2+34b2=1,a2-b210.已知橢圓x24+y23=1,在該橢圓上是否存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)M到橢圓的右焦點(diǎn)F和到直線x=4的距離相等.若存在,求出點(diǎn)M解由已知得c2=43=1,所以c=1,故F(1,0).假設(shè)在橢圓上存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)M到橢圓的右焦點(diǎn)F和到直線x=4的距離相等,設(shè)M(x,y)(2≤x≤2),則(x-1)2+y2=|x4|,兩邊平方得y2=6x+15.又由x24+y23=1,得y2=31-x24,代入因?yàn)?≤x≤2,所以符合條件的點(diǎn)M不存在.能力提升1.若點(diǎn)A(1,m)在橢圓C:x24+y22=1的內(nèi)部,A.(6,B.62,C.∞,62∪62,+∞D(zhuǎn).32,解析由題意知,124+m22<1,解得m∈6答案B2.如圖,F1,F2分別是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),A和B是以O(shè)為圓心,以|OF1|為半徑的圓與該左半橢圓的兩個(gè)交點(diǎn),且△FA.32 B.12 C.22 D解析連接AF1(圖略),由圓的性質(zhì)知,∠F1AF2=90°.因?yàn)椤鱂2AB是等邊三角形,所以∠AF2F1=30°.故AF1=c,AF2=3c,因此e=ca=答案D3.17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在《平面與立體軌跡引論》中證明方程a2x2=ky2(k>0,k≠1,a≠0)表示橢圓,費(fèi)馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質(zhì):若從橢圓上任意一點(diǎn)P向長軸AB(異于A,B兩點(diǎn))引垂線,垂足為Q,則PQ2AQ·BQ為常數(shù).據(jù)此推斷A.橢圓的離心率B.橢圓離心率的平方C.短軸長與長軸長的比D.短軸長與長軸長比的平方解析設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),取P為橢圓的上頂點(diǎn),則Q為原點(diǎn).PQ=b,答案D4.某宇宙飛船的運(yùn)行軌道是以地球中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓,近地點(diǎn)A距地面mkm,遠(yuǎn)地點(diǎn)B距離地面nkm,地球半徑為kkm,則飛船運(yùn)行軌道的短軸長為()A.2(m+kC.mn D.2mn解析由題意可得ac=m+k,a+c=n+k,故(ac)(a+c)=(m+k)(n+k),即a2c2=b2=(m+k)(n+k),所以b=(m所以橢圓的短軸長為2(m答案A5.已知點(diǎn)P(2,1)在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,點(diǎn)M(a,b)為平面上一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),A.33 B.12 C.22解析點(diǎn)P(2,1)在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,可得4a2+1b則|OM|=(a2+b2)(4a2+1b2)=5+4b2a2+a2所以e=a2-b2答案C6.已知橢圓的短半軸長為1,離心率0<e≤32,則長軸長的取值范圍為.解析因?yàn)閎=1,所以c2=a21.又c2a2=所以1a2≥14,即a2≤4.又a21>0,故1<a≤2,長軸長2<2a≤4.答案(2,4]7.已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長軸在x軸上,離心率為32,且G上一點(diǎn)到G的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12,則橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為.解析設(shè)橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1(a>b>所以b2=a2c2=3627=9,故橢圓G的方程為x236+答案x2368.已知F1(c,0),F2(c,0)為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn)解設(shè)P(x0,y0),則PF1=(cx0,y0),PF2=(cx0,y0),所以PF1·PF2=(cx0)(cx0)+(y因?yàn)镻(x0,y0)在橢圓上,所以x02a所以y02=b2所以PF1·PF2=x解得x0因?yàn)閤0∈[a,a],所以x02∈[0,a即0≤(3c2-a2)a2c2≤a2,所以即13≤c2即橢圓離心率的取值范圍是339.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,焦距為2,過點(diǎn)(1,0)作直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),連接AF1,BF1,(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若|AB|=4|F2A|,求直線AB的方程.解(1)∵焦距為2,△ABF1的周長為42,∴c=1,4a=42,a2=b2+c2.解得c=1=b,a=2.∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22+y2=(2)設(shè)直線AB的方程為x=my+1,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x2,y2).聯(lián)立x=my+1,x2+2y2=2,得(m∴y1+y2=2mm2+2,y1y∵|AB|=4|F2A|,∴|BF2|=3|F2A|,∴y2=3y1.聯(lián)立y1+y2=∴直線AB的方程為xy1=0或x+y1=0.10.(選做題)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,P是C上一點(diǎn),F1,F2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)直線y=2x+n交橢圓C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△OAB面積的最大值.解(1)∵|PF1|+|PF2|=4,∴2a=4,即a=2.∵e=ca=22,∴b2=a2c2=2,即橢圓方程為x24+(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)