高三人教A版數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練習(xí)第七章立體幾何與空間向量第5節(jié)

第七章第5節(jié)[基礎(chǔ)訓(xùn)練組]1．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577673)(2018·南陽(yáng)、信陽(yáng)等六市一模)設(shè)直線m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列事件中是必然事件的是()A．若m∥α，n∥β，m⊥n，則α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m∥n，則α∥βC．若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥βD．若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α∥β解析：D[若m∥α，n∥β，m⊥n，則α、β位置關(guān)系不確定，選項(xiàng)A不正確；若m∥α，則α中存在直線c與m平行，m∥n，n⊥β，則c⊥β，又∵c?α，∴α⊥β，選項(xiàng)B不正確；若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α、β可以相交，選項(xiàng)C不正確；若m⊥α，m∥n，n⊥β，∴α∥β，選項(xiàng)D正確．故選D.]2．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577674)已知平面α與平面β相交，直線m⊥α，則()A．β內(nèi)必存在直線與m平行，且存在直線與m垂直B．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直C．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，但必存在直線與m垂直D．β內(nèi)必存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直解析：C[如圖，在平面β內(nèi)的直線若與α，β的交線a平行，則有m與之垂直．但卻不一定在β內(nèi)有與m平行的直線，只有當(dāng)α⊥β時(shí)才存在．]3．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577675)如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點(diǎn)C1在平面ABC上的射影H必在A．直線AB上 B．直線BC上C．直線AC上 D．△ABC的內(nèi)部解析：A[連接AC1，∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1，又AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴點(diǎn)C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上，故選A.]4．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577676)如圖，在四面體D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析：C[因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以選C.]5．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577677)已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為eq\f(9,4)，底面是邊長(zhǎng)為eq\r(3)的正三角形，若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為()A.eq\f(5π,12) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)解析：B[取正三角形ABC的中心O，連接OP，則∠PAO是PA與平面ABC所成的角．因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為eq\r(3)，所以AD＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)，AO＝eq\f(2,3)AD＝eq\f(2,3)×eq\f(3,2)＝1.三棱柱的體積為eq\f(1,2)×(eq\r(3))2×eq\f(\r(3),2)AA1＝eq\f(9,4)，解得AA1＝eq\r(3)，即OP＝AA1＝eq\r(3)，所以tan∠PAO＝eq\f(OP,OA)＝eq\r(3)，即∠PAO＝eq\f(π,3).]6．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577678)設(shè)α，β是空間中兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α及β外的兩條不同直線．從“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中選取三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：________(填序號(hào))．解析：因?yàn)楫?dāng)n⊥β，m⊥α?xí)r，平面α及β所成的二面角與直線m，n所成的角相等或互補(bǔ)，所以若m⊥n，則α⊥β，從而由①③④?②正確；同理②③④?①也正確．答案：①③④?②或②③④?①7．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577679)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)解析：由定理可知，BD⊥PC.所以當(dāng)DM⊥PC時(shí)，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(答案不唯一)8．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577680)(理科)a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成30°角；②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成60°角；③直線AB與a所成角的最小值為45°；④直線AB與a所成角的最大值為60°；其中正確的是________.(填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編號(hào))解析：由題意，AB是以AC為軸，BC為底面半徑的圓錐的母線，由AC⊥a，AC⊥b，又AC⊥圓錐底面，在底面內(nèi)可以過(guò)點(diǎn)B，作BD∥a，交底面圓C于點(diǎn)D，如圖所示，連結(jié)DE，則DE⊥BD，∴DE∥b，連結(jié)AD，等腰△ABD中，AB＝AD＝eq\r(2)，當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，∠ABD＝60°，故BD＝eq\r(2)，又在Rt△BDE中，BE＝2，∴DE＝eq\r(2)，過(guò)點(diǎn)B作BF∥DE，交圓C于點(diǎn)F，連結(jié)AF，由圓的對(duì)稱性可知BF＝DE＝eq\r(2)，∴△ABF為等邊三角形，∴∠ABF＝60°，即AB與b成60°角，②正確，①錯(cuò)誤．由最小角定理可知③正確；很明顯，可以滿足平面ABC⊥直線a，直線AB與a所成的最大角為90°，④錯(cuò)誤．正確的說(shuō)法為②③.答案：②③8．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577681)(文科)如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E、F分別是點(diǎn)A在PB、PC上的正投影，給出下列結(jié)論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________.解析：由題意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正確．答案：①②③9．(理科)(2018·丹東市二模)直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都等于2，點(diǎn)F是棱BC中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱CC1上，且CC1＝4CE(1)求證：平面B1AF⊥平面EAF；(2)求點(diǎn)C1到平面AEF的距離．解：(1)證明：在△B1BF和△FCE中，由題意知eq\f(BB1,BF)＝eq\f(FC,EC)＝2，∠B1BF＝∠FCE＝eq\f(π,2)，所以△B1BF∽△FCE，∠EFC＝∠BB1F所以∠B1FB＋∠EFC＝∠B1FB＋∠BB1F＝eq\f(π,2)，即B1F⊥EF由直棱柱的性質(zhì)知，底面ABC⊥側(cè)面BB1C1C，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，所以AF⊥BC，所以AF⊥側(cè)面BB1C1C，則AF⊥EF，所以EF⊥平面B1AF，從而平面B(2)如圖，連結(jié)AC1，C1F設(shè)點(diǎn)C1到平面AEF的距離為d，經(jīng)計(jì)算S△AEF＝eq\f(\r(15),4)，S△AEC1＝eq\f(3,2)，F(xiàn)G＝eq\f(\r(3),2)，由V三棱錐C1－AFE＝V三棱錐F－AEC1得eq\f(1,3)·S△AEF·d＝eq\f(1,3)·SAEC1·eq\f(\r(3),2)，解得d＝eq\f(3\r(5),5)，點(diǎn)C1到平面AEF的距離為eq\f(3\r(5),5).9．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577682)(文科)(2017·高考全國(guó)Ⅰ卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)證明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱錐P－ABCD的體積為eq\f(8,3)，求該四棱錐的側(cè)面積．解：(1)證明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD.又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)在平面PAD內(nèi)作PE⊥AD，垂足為E.由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，可得PE⊥平面ABCD.設(shè)AB＝x，則由已知可得AD＝eq\r(2)x，PE＝eq\f(\r(2),2)x.故四棱錐P－ABCD的體積VP－ABCD＝eq\f(1,3)AB·AD·PE＝eq\f(1,3)x3.由題設(shè)得eq\f(1,3)x3＝eq\f(8,3)，故x＝2.從而PA＝PD＝2，AD＝BC＝2eq\r(2)，PB＝PC＝2eq\r(2).可得四棱錐P－ABCD的側(cè)面積為eq\f(1,2)PA·PD＋eq\f(1,2)PA·AB＋eq\f(1,2)PD·DC＋eq\f(1,2)BC2sin60°＝6＋2eq\r(3).10．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577683)(理科)如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是CD、A1D1的中點(diǎn)(1)求證：AB1⊥BF；(2)求證：AE⊥BF；(3)棱CC1上是否存在點(diǎn)P，使BF⊥平面AEP？若存在，確定點(diǎn)P的位置，若不存在，說(shuō)明理由．解：(1)證明：連接A1B，則AB1⊥A1B，又∵AB1⊥A1F，且A1B∩A1F＝A∴AB1⊥平面A1BF.又BF?平面A1BF，∴AB1⊥BF.(2)證明：取AD中點(diǎn)G，連接FG，BG，則FG⊥AE，又∵△BAG≌△ADE，∴∠ABG＝∠DAE.∴AE⊥BG.又∵BG∩FG＝G，∴AE⊥平面BFG.又BF?平面BFG，∴AE⊥BF.(3)存在．取CC1中點(diǎn)P，即為所求．連接EP，AP，C1D，∵EP∥C1D，C1D∥AB1，∴EP∥AB1.由(1)知AB1⊥BF，∴BF⊥EP.又由(2)知AE⊥BF，且AE∩EP＝E，∴BF⊥平面AEP.10．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577684)(文科)(2018·開(kāi)封市一模)如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝eq\f(1,2)AB＝2，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC，如圖2所示．(1)在CD上找一點(diǎn)F，使AD∥平面EFB；(2)求三棱錐D－ABC的高．解：(1)取CD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF，在△ACD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AC，DC的中點(diǎn)，所以EF為△ACD的中位線，所以AD∥EF，EF?平面EFB，AD?平面EFB所以AD∥平面EFB.(2)設(shè)點(diǎn)C到平面ABD的距離為h，因?yàn)槠矫鍭DC⊥平面ABC，且BC⊥AC，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AD，而AD⊥DC，所以AD⊥平面BCD，即AD⊥BD.所以S△ADB＝2eq\r(3)，所以三棱錐B－ACD的高BC＝2eq\r(2)，S△ACD＝2，所以eq\f(1,3)×2eq\r(2)h＝eq\f(1,3)×2×2eq\r(2)，所以可解得h＝2.[能力提升組]11．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577685)如圖，正方體AC1的棱長(zhǎng)為1，過(guò)點(diǎn)A作平面A1BD的垂線，垂足為點(diǎn)H.則以下命題中，錯(cuò)誤的是()A．點(diǎn)H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C1D．直線AH和BB1所成角為45°解析：D[對(duì)于A，由于AA1＝AB＝AD，所以點(diǎn)A在平面A1BD上的射影必到點(diǎn)A1，B，D的距離相等，即點(diǎn)H是△A1BD的外心，而A1B＝A1D＝BD，故點(diǎn)H是△A1BD的垂心，命題A是真命題；對(duì)于B，由于B1D1∥BD，CD1∥A1B，故平面A1BD∥平面CB1D1，而AH⊥平面A1BD，從而AH⊥平面CB1D1，命題B是真命題；對(duì)于C，由于AH⊥平面CB1D1，因此AH的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C1，命題C是真命題；對(duì)于D，由C知直線AH即是直線AC1，又直線AA1∥BB1，因此直線AC1和BB1所成的角就等于直線AA1與AC1所成的角，即∠A1AC1，而tan∠A1AC1＝eq\f(\r(2),1)＝eq\r(2)，因此命題D是假命題．]12．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577686)在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將菱形沿對(duì)角線AC折起，使折起后BD＝1，則二面角B－AC－D的余弦值為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2\r(2),3) D.eq\f(\r(3),2)解析：A[在菱形ABCD中，連接BD交AC于O點(diǎn)，則AC⊥BD，在折起后的圖中，由四邊形ABCD為菱形且邊長(zhǎng)為1，則DO＝OB＝eq\f(\r(3),2)，由于DO⊥AC，BO⊥AC，因此∠DOB就是二面角B－AC－D的平面角，由BD＝1得cos∠DOB＝eq\f(OD2＋OB2－DB2,2OD·OB)＝eq\f(\f(3,4)＋\f(3,4)－1,2×\f(\r(3),2)×\f(\r(3),2))＝eq\f(1,3).]13．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577687)(理科)如圖，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E為CD的中點(diǎn)，M，N分別是AD，BE的中點(diǎn)，將三角形ADE沿AE折起，則下列說(shuō)法正確的是________.(寫(xiě)出所有正確說(shuō)法的序號(hào))①不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN∥平面DEC；②不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN⊥AE；③不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN∥AB；④在折起過(guò)程中，一定存在某個(gè)位置，使EC⊥AD.解析：由已知，在未折疊的原梯形中，AB∥DE，BE∥AD，所以四邊形ABED為平行四邊形，所以BE＝AD，折疊后如圖所示．①過(guò)點(diǎn)M作MP∥DE，交AE于點(diǎn)P，連接NP.因?yàn)镸，N分別是AD，BE的中點(diǎn)，所以點(diǎn)P為AE的中點(diǎn)，故NP∥EC.又MP∩NP＝P，DE∩CE＝E，所以平面MNP∥平面DEC，故MN∥平面DEC，①正確；②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，所以AE⊥MP，AE⊥NP，又MP∩NP＝P，所以AE⊥平面MNP，又MN?平面MNP，所以MN⊥AE，②正確；③假設(shè)MN∥AB，則MN與AB確定平面MNBA，從而B(niǎo)E?平面MNBA，AD?平面MNBA，與BE和AD是異面直線矛盾，③錯(cuò)誤；④當(dāng)EC⊥ED時(shí)，EC⊥AD.因?yàn)镋C⊥EA，EC⊥ED，EA∩ED＝E，所以EC⊥平面AED，AD?平面AED，所以EC⊥AD，④正確．答案：①②④13．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577688)(文科)(2018·泉州市一模)如圖，一張A4紙的長(zhǎng)、寬分別為2eq\r(2)a,2a，A，B，C，D分別是其四條邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得P1，P2，P3，P4四點(diǎn)重合為一點(diǎn)P，從而得到一個(gè)多面體，關(guān)于該多面體的下列命題，正確的是________.(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào))．①該多面體是三棱錐；②平面BAD⊥平面BCD；③平面BAC⊥平面ACD；④該多面體外接球的表面積為5πa2.解析：長(zhǎng)、寬分別為2eq\r(2)a,2a，A，B，C，D分別是其四條邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得P1，P2，P3，P4四點(diǎn)重合為一點(diǎn)P，從而得到一個(gè)多面體，則①由于(eq\r(2)a)2＋(eq\r(2)a)2＝4a2，∴該多面體是以A，B，C，D為頂點(diǎn)的三棱錐，正確；②∵AP⊥BP，AP⊥CP，∴AP⊥平面BCD，∵AP?平面BAD，∴平面BAD⊥平面BCD，正確；③與②同理，可得平面BAC⊥平面ACD，正確；④該多面體外接球的半徑為eq\f(\r(5),2)a，表面積為5πa2，正確．答案：①②③④14．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577689)(理科)(2018·西安市一模)如圖1：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AD＝6，CE⊥AD于E點(diǎn)，把△DEC沿CE折到D′EC的位置，使D′A＝2eq\r(3)，如圖2：若G，H分別為D′B，D′E的中點(diǎn)．(1)求證：GH⊥平面AD′C；(2)求平面D′AB與平面D′CE的夾角．解：(1)證明：∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AD＝6，CE⊥AD于E點(diǎn)，把△DEC沿CE折到D′EC的位置，使D′A＝2eq\r(3)，∴AE＝CE＝2，D′E＝6－2＝4，∴D′A2＋AE2＝D′E2，CD′＝eq\r(2\r(2)2＋2\r(3)2)＝2eq\r(5)，∴AD′⊥AE.∵AD′⊥AB，AE∩AB＝A，∴AD′⊥平面ABCE，∴平面AD′C⊥平面ABCE.又因?yàn)锳BCE是正方形，∴BE⊥AC，∴BE⊥平面ACD′.∵G，H分別為D′B，D′E的中點(diǎn)，∴GH∥BE，∴GH⊥平面AD′C.(2)如圖，過(guò)點(diǎn)D′作直線m∥AB.∵AB∥EC，∴直線m就是平面D′AB與平面D′CE的交線．∵CE⊥AE，平面AED′⊥平面ABCE，且交于AE，∴CE⊥D′E，即D′E⊥m.∵AD′⊥AB，∴AD′⊥m，∵AD′?平面AD′B，D′E?D′CE，∴∠AD′E就是平面D′AB與平面D′CE的夾角的平面角．在直角三角形AD′E中，AE＝2，D′E＝4，可得∠AD′E＝30°.即平面D′AB與平面D′CE的夾角為30°.14．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577690)(文科)(2018·廣州市一模)如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AE，AC，DE，得到如圖2所示的幾何體．