高考數(shù)學(xué)人教B版一輪復(fù)習(xí)測評(píng)2-2函數(shù)的單調(diào)性與最值

核心素養(yǎng)測評(píng)四函數(shù)的單調(diào)性與最值(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(多選)下列函數(shù)中,定義域是R且為增函數(shù)的是 ()A.y=ex B.y=x3C.y=lnx D.y=x【解析】選B、D.對(duì)于選項(xiàng)A,y=ex為增函數(shù),y=x為減函數(shù),故y=ex為減函數(shù),對(duì)于選項(xiàng)B,y′=3x2≥0,故y=x3為增函數(shù),定義域?yàn)镽.對(duì)于選項(xiàng)C,函數(shù)的定義域?yàn)閤>0,不為R,對(duì)于選項(xiàng)D,函數(shù)y=x定義域?yàn)镽,且在R上單調(diào)遞增.2.(2020·武漢模擬)函數(shù)f(x)=|x2|x的單調(diào)遞減區(qū)間是 ()A.[1,2] B.[1,0]C.[0,2] D.[2,+∞)【解析】選A.f(x)=|x2|x=QUOTE其圖象如圖,由圖象可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是[1,2].3.(2019·長春模擬)已知函數(shù)f(x)=|x+a|在(∞,1)上是單調(diào)函數(shù),則a的取值范圍是 ()A.(∞,1] B.(∞,1]C.[1,+∞) D.[1,+∞)【解析】選A.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(∞,a)上是單調(diào)函數(shù),所以a≥1,解得a≤1.4.函數(shù)y=QUOTE的單調(diào)增區(qū)間是 ()A.(∞,3) B.[2,+∞)C.[0,2) D.[3,2]【解析】選B.因?yàn)閤2+x6≥0,所以x≥2或x≤3,y=x2+x6在(∞,3)上單調(diào)遞減,在[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以y=QUOTE在[2,+∞)上單調(diào)遞增.【變式備選】(2020·濟(jì)寧模擬)函數(shù)f(x)=lg(x24)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ()A.(0,+∞) B.(∞,0)C.(2,+∞) D.(∞,2)【解析】選C.由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,要使f(x)單調(diào)遞增,需QUOTE解得x>2.5.已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),對(duì)實(shí)數(shù)a,b,若a+b>0,則有 ()A.f(a)+f(b)>f(a)+f(b)B.f(a)+f(b)<f(a)+f(b)C.f(a)f(b)>f(a)f(b)D.f(a)f(b)<f(a)f(b)【解析】選A.因?yàn)閍+b>0,所以a>b,b>a.所以f(a)>f(b),f(b)>f(a),結(jié)合選項(xiàng),可知選A.6.(2019·濰坊模擬)對(duì)于每一個(gè)實(shí)數(shù)x,f(x)是y=2x2和y=x這兩個(gè)函數(shù)中的較小者,則f(x)的最大值是 導(dǎo)學(xué)號(hào)()A.2 B.1 C.0 D.2【解析】選B.畫出函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示:其中A(1,1),B(2,2),故當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)的最大值為1.【一題多解】選B.f(x)=QUOTE當(dāng)x<2時(shí),函數(shù)f(x)的值域?yàn)?∞,2);當(dāng)2≤x≤1時(shí),函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇2,1];當(dāng)x>1時(shí),函數(shù)f(x)的值域?yàn)?∞,1).故函數(shù)f(x)的值域?yàn)?∞,1],所以f(x)max=1.【變式備選】已知函數(shù)f(x)=2x1,g(x)=1x2,構(gòu)造函數(shù)F(x),定義如下:當(dāng)|f(x)|≥g(x)時(shí),F(x)=|f(x)|,當(dāng)|f(x)|<g(x)時(shí),F(x)=g(x),那么F(x) ()A.有最小值0,無最大值B.有最小值1,無最大值C.有最大值1,無最小值D.無最小值,也無最大值【解析】選B.畫出函數(shù)F(x)的圖象,如圖所示,由圖象可知,當(dāng)x=0時(shí),F(x)取得最小值,此時(shí)F(x)=x21,故最小值為1;當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)的圖象向右上方無限延展,所以F(x)無最大值.7.已知函數(shù)f(x)=QUOTE是R上的單調(diào)遞增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()導(dǎo)學(xué)號(hào)A.(1,+∞) B.[4,8)C.(4,8) D.(1,8)【解析】選B.由f(x)在R上單調(diào)遞增,則有QUOTE解得4≤a<8.【變式備選】已知f(x)=QUOTE是(∞,+∞)上的減函數(shù),那么a的取值范圍是 ()A.(0,1) B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞減,所以QUOTE解得QUOTE≤a<QUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)8.(2020·北京模擬)函數(shù)y=QUOTE的最大值是______.

【解析】函數(shù)y=QUOTE>0,函數(shù)值取得最大值時(shí),即當(dāng)分母最小即可取得最大值,分母最小時(shí)x=0,|x|+2=2,此時(shí)函數(shù)最大值為:QUOTE.答案:QUOTE9.函數(shù)f(x)=QUOTE+b(a>0)在QUOTE上的值域?yàn)镼UOTE,則a=________,b=________.導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】因?yàn)閒(x)=QUOTE+b(a>0)在QUOTE上是增函數(shù),所以fQUOTE=QUOTE,f(2)=2.即QUOTE解得a=1,b=QUOTE.答案:1QUOTE10.若函數(shù)f(x)=x2+a|x1|在[0,+∞)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】f(x)=x2+a|x1|=QUOTE要使f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,則QUOTE得2≤a≤0,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2,0].答案:[2,0](15分鐘35分)1.(5分)(2020·黃岡模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=QUOTE則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是 ()A.[1,2] B.[0,2]C.[1,+∞) D.[0,+∞)【解析】選D.當(dāng)x≤1時(shí),21x≤2可變形為1x≤1,x≥0,所以0≤x≤1.當(dāng)x>1時(shí),1log2x≤2可變形為x≥QUOTE,所以x>1,故x的取值范圍為[0,+∞).2.(5分)(2019·蚌埠模擬)已知單調(diào)函數(shù)f(x),對(duì)任意的x∈R都有f[f(x)2x]=6,則f(2)= ()A.2 B.4 C.6 D.8【解析】選C.設(shè)t=f(x)2x,則f(t)=6,且f(x)=2x+t,令x=t,則f(t)=2t+t=6,因?yàn)閒(x)是單調(diào)函數(shù),f(2)=22+2=6,所以t=2,即f(x)=2x+2,則f(2)=4+2=6.3.(5分)(2020·連云港模擬)函數(shù)y=3x+QUOTE的值域是________.

【解析】函數(shù)y=3x+QUOTE,設(shè)QUOTE=t,則t≥0,那么x=t2+1.可得函數(shù)y=3(t2+1)+t=3t2+t+3,t≥0.其對(duì)稱軸t=QUOTE,開口向上,所以函數(shù)y在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)t=0時(shí),y取得最小值為3.所以函數(shù)y=3x+QUOTE的值域是[3,+∞).答案:[3,+∞)【變式備選】函數(shù)y=QUOTEx(x≥0)的最大值為________.

【解析】令t=QUOTE,則t≥0,所以y=tt2=QUOTE+QUOTE,所以當(dāng)t=QUOTE,即x=QUOTE時(shí),ymax=QUOTE.答案:QUOTE4.(10分)已知函數(shù)f(x)=ax+QUOTE(1x)(a>0),且f(x)在[0,1]上的最小值為g(a),求g(a)的最大值. 導(dǎo)學(xué)號(hào)【解析】f(x)=QUOTEx+QUOTE,當(dāng)a>1時(shí),aQUOTE>0,此時(shí)f(x)在[0,1]上為增函數(shù),所以g(a)=f(0)=QUOTE;當(dāng)0<a<1時(shí),aQUOTE<0,此時(shí)f(x)在[0,1]上為減函數(shù),所以g(a)=f(1)=a;當(dāng)a=1時(shí),f(x)=1,此時(shí)g(a)=1.所以g(a)=QUOTE所以g(a)在(0,1)上為增函數(shù),在[1,+∞)上為減函數(shù),所以當(dāng)a=1時(shí),g(a)取最大值1.5.(10分)函數(shù)f(x)對(duì)任意的m,n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)1,并且x>0時(shí),恒有f(x)>1. 導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)求證:f(x)在R上是增函數(shù).(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a5)<2.【解析】(1)設(shè)x1<x2,則x2x1>0.因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí),f(x)>1,所以f(x2x1)>1,f(x2)=f[(x2x1)+x1]=f(x2x1)+f(x1)1,所以f(x2)f(x1)=f(x2x1)1>0?f(x1)<f(x