專題10三角及其解三角形的實(shí)際應(yīng)用（原卷版）

專題10三角及其解三角形的實(shí)際應(yīng)用會(huì)用任意角的概念、任意角的三角比值的定義與三角變換公式解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)際問(wèn)題；能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題；通過(guò)解決相關(guān)的數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；重點(diǎn)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；一、《必修第二冊(cè)》目錄與內(nèi)容提要第6章三角6.1正弦、余弦、正切、余切：6.1.1銳角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4誘導(dǎo)公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角6.2常用三角公式：6.2.1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角變換的應(yīng)用6.3解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理；第六章內(nèi)容提要1、正弦、余弦、正切、余切弧度制：弧長(zhǎng)等于半徑的弧所對(duì)的圓心角叫做弧度的角.用“弧度”作為單位來(lái)度量角的單位制稱為弧度制；扇形弧長(zhǎng)與面積：記扇形的半徑為，圓心角為弧度，弧長(zhǎng)為，面積為，則有，；單位圓：?jiǎn)挝粓A泛指半徑為個(gè)單位的圓．本章中，在平面直角坐標(biāo)系中，特指出以原點(diǎn)為圓心、以為半徑的圓為單位圓；正弦、余弦、正切及余切的定義：在平面直角坐標(biāo)系中，將角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，在角的終邊上任取異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，就有，，（），（）；同角三角公式：，，，；誘導(dǎo)公式：（），，，；誘導(dǎo)公式，其規(guī)律為口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限.2、常用三角公式和角與差角公式：，，；倍角公式：，，；3、解三角形正弦定理：；余弦定理：，，；三角形面積公式：；二、考點(diǎn)解讀測(cè)量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ1、任意角及其度量；2、任意角的正弦、余弦、正切、余切3、常用三角公式4、解三角形正弦定理：；余弦定理：，，；三角形面積公式：；題型1、與任意角及其度量相關(guān)例1、（1）自行車的大鏈輪有88齒，小鏈輪有20齒，當(dāng)大鏈輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)一周時(shí)，小鏈輪轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)是()A.eq\f(5π,11)B.eq\f(44π,5)C.eq\f(5π,22)D.eq\f(22π,5)（2）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作．其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)．弧田(如圖)由圓弧和其所對(duì)弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)有圓心角為eq\f(2π,3)，半徑為4m的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約是________m2(精確到1m2)．題型2、與任意角的三角比值的定義相關(guān)例2、（1）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合且與單位圓相交于A點(diǎn)，它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點(diǎn)B，始邊不動(dòng)，終邊在運(yùn)動(dòng).（1）若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為－eq\f(4,5)，求tanα的值；（2）若△AOB為等邊三角形，寫(xiě)出與角α終邊相同的角β的集合；（3）若α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)π))，請(qǐng)寫(xiě)出弓形AB的面積S與α的函數(shù)關(guān)系式.（2）設(shè)α是第三象限角，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m，使得sinα，cosα是關(guān)于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的兩個(gè)根？若存在，求出實(shí)數(shù)m；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型3、與三角變換和單位圓有關(guān)例3、如圖所示，某市政府決定在以政府大樓O為中心，正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內(nèi)建造一個(gè)圖書(shū)館.為了充分利用這塊土地，并考慮與周邊環(huán)境協(xié)調(diào)，設(shè)計(jì)要求該圖書(shū)館底面矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都要在邊界上，圖書(shū)館的正面要朝市政府大樓.設(shè)扇形的半徑OM＝R，∠MOP＝45°，OB與OM之間的夾角為θ.（1）將圖書(shū)館底面矩形ABCD的面積S表示成θ的函數(shù)；（2）若R＝45m，求當(dāng)θ為何值時(shí)，矩形ABCD的面積S最大？最大面積是多少？(取eq\r(2)＝1.414)題型4、利用三角變換求角例4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為始邊的銳角α與鈍角β的終邊與單位圓O分別交于A，B兩點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸與單位圓O交于點(diǎn)M，已知S△OAM＝eq\f(\r(5),5)，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是eq\f(\r(2),10)；（1）求cos(α－β)的值；（2）求2α－β的值；題型5、利用正弦、余弦定理解決測(cè)量距離問(wèn)題例5、（1）為加快推進(jìn)“5G＋光網(wǎng)”雙千兆城市建設(shè)，如圖，在某市地面有四個(gè)5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在某江的南岸，距離為10eq\r(3)km；基站A，B在江的北岸，測(cè)得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，則基站A，B的距離為()A．10eq\r(6)km B．30(eq\r(3)－1)kmC．30(eq\r(2)－1)km D．10eq\r(5)km（2）一個(gè)騎行愛(ài)好者從A地出發(fā)，向西騎行了2km到達(dá)B地，然后再由B地向北偏西60°騎行2eq\r(3)km到達(dá)C地，再?gòu)腃地向南偏西30°騎行了5km到達(dá)D地，則A地到D地的直線距離是()A．8kmB．3eq\r(7)kmC．3eq\r(3)kmD．5km【說(shuō)明】測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，一般是把求距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，然后把求未知的另外邊長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只有一點(diǎn)不能到達(dá)的兩點(diǎn)距離測(cè)量問(wèn)題，運(yùn)用正弦定理解決；題型6、利用正弦、余弦定理解決測(cè)量高度問(wèn)題例6、（1）如圖甲，首鋼滑雪大跳臺(tái)是冬奧歷史上第一座與工業(yè)遺產(chǎn)再利用直接結(jié)合的競(jìng)賽場(chǎng)館，大跳臺(tái)的設(shè)計(jì)中融入了世界文化遺產(chǎn)敦煌壁畫(huà)中“飛天”的元素．如圖乙，某研究性學(xué)習(xí)小組為了估算賽道造型最高點(diǎn)A距離地面的高度AB(AB與地面垂直)，在賽道一側(cè)找到一座建筑物CD，測(cè)得CD的高度為h，并從C點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為30°；在賽道與建筑物CD之間的地面上的點(diǎn)E處測(cè)得A點(diǎn)，C點(diǎn)的仰角分別為75°和30°(其中B，E，D三點(diǎn)共線)．該學(xué)習(xí)小組利用這些數(shù)據(jù)估算得AB約為60米，則CD的高h(yuǎn)約為()(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73，eq\r(6)≈2.45)A．11米B．20.8米C．25.4米D．31.8米（2）大型城雕“商”字坐落在商丘市睢陽(yáng)區(qū)神火大道與南京路交匯處，“商”字城雕有著厚重悠久的歷史和文化，它時(shí)刻撬動(dòng)著人們認(rèn)識(shí)商丘、走進(jìn)商丘的欲望．吳斌同學(xué)在今年國(guó)慶期間到商丘去旅游，經(jīng)過(guò)“商”字城雕時(shí)，他想利用解三角形的知識(shí)測(cè)量一下該雕塑的高度(即圖中線段AB的長(zhǎng)度)．他在該雕塑塔的正東C處沿著南偏西60°的方向前進(jìn)7eq\r(2)米后到達(dá)D處(A，C，D三點(diǎn)在同一個(gè)水平面內(nèi))，測(cè)得圖中線段AB在東北方向，且測(cè)得點(diǎn)B的仰角為71.565°，則該雕塑的高度大約是(參考數(shù)據(jù)：tan71.565°≈3)()A．19米B．20米C．21米D．22米【說(shuō)明】解決測(cè)量高度問(wèn)題的一般步驟：1、畫(huà)圖：根據(jù)已知條件畫(huà)出示意圖．2、分析三角形：分析與問(wèn)題有關(guān)的三角形．3、求解：運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解．在解題中，要綜合運(yùn)用立體幾何知識(shí)與平面幾何知識(shí)，注意方程思想的運(yùn)用．題型7、利用正弦、余弦定理解決測(cè)量角度問(wèn)題例7、（1）圖1是南北方向水平放置的圭表(一種度量日影長(zhǎng)的天文儀器，由“圭”和“表”兩個(gè)部件組成)的示意圖，其中表高為h，日影長(zhǎng)為l.圖2是地球軸截面的示意圖，虛線表示點(diǎn)A處的水平面．已知某測(cè)繪興趣小組在冬至日正午時(shí)刻(太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度為南緯23°26′)，在某地利用一表高為2dm的圭表按圖1方式放置后，測(cè)得日影長(zhǎng)為2.98dm，則該地的緯度約為北緯(參考數(shù)據(jù)：tan34°≈0.67，tan56°≈1.48)()A．23°26′B．32°34′C．34°D．56°（2）《后漢書(shū)·張衡傳》：“陽(yáng)嘉元年，復(fù)造候風(fēng)地動(dòng)儀．以精銅鑄成，員徑八尺，合蓋隆起，形似酒尊，飾以篆龜鳥(niǎo)獸之形．中有都柱，傍行八道，施關(guān)發(fā)機(jī)．外有八龍，首銜銅丸，下有蟾蜍，張口承之．其牙機(jī)巧制，皆隱在尊中，覆蓋周密無(wú)際．如有地動(dòng)，尊則振龍，機(jī)發(fā)吐丸，而蟾蜍銜之．振聲激揚(yáng)，伺者因此覺(jué)知．雖一龍發(fā)機(jī)，而七首不動(dòng)，尋其方面，乃知震之所在．驗(yàn)之以事，合契若神．”如圖為張衡地動(dòng)儀的結(jié)構(gòu)圖，現(xiàn)要在相距200km的A，B兩地各放置一個(gè)地動(dòng)儀，B在A的東偏北60°方向，若A地地動(dòng)儀正東方向的銅丸落下，B地東南方向的銅丸落下，則地震的位置在A地正東________km.【說(shuō)明】解三角形的應(yīng)用問(wèn)題的要點(diǎn)1、從實(shí)際問(wèn)題抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個(gè)三角形的元素；2、利用正弦、余弦定理解三角形，得實(shí)際問(wèn)題的解；題型8、解三角形中的最值和范圍問(wèn)例8、（1）在①bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－C))＝eq\r(3)ccosB；②2S△ABC＝eq\r(3)eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并進(jìn)行解答．問(wèn)題：在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且________．（1）求角B；（2）在△ABC中，b＝2eq\r(3)，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．（2）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知eq\r(3)(a2＋c2－b2)＝－2absinC.①求角B；②若D為AC的中點(diǎn)，且BD＝2，求△ABC面積的最大值．【說(shuō)明】解三角形中最值(范圍)問(wèn)題的解題策略：利用正弦、余弦定理以及面積公式化簡(jiǎn)整理，構(gòu)造關(guān)于某一個(gè)角或某一條邊的函數(shù)或不等式，利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式等求最值(范圍)；1、兩燈塔A，B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在C北偏東30°，B在C南偏東60°，則A，B之間的距離為（km）2、如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為（m）3、如圖所示，為測(cè)量某樹(shù)的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)，從A，B兩點(diǎn)分別測(cè)得樹(shù)尖的仰角為30°，45°，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為60m，則樹(shù)的高度為（m）4、在某次海軍演習(xí)中，已知甲驅(qū)逐艦在航母的南偏東15°方向且與航母的距離為12海里，乙護(hù)衛(wèi)艦在甲驅(qū)逐艦的正西方向，若測(cè)得乙護(hù)衛(wèi)艦在航母的南偏西45°方向，則甲驅(qū)逐艦與乙護(hù)衛(wèi)艦的距離為_(kāi)_______海里．5、落霞與孤鶩齊飛，秋水共長(zhǎng)天一色，滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩(shī)人王勃所作《滕王閣序》而名傳千古，如圖所示，在滕王閣旁的水平地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得其頂點(diǎn)P的仰角分別為30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，則滕王閣的高度OP＝________米．6、海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象，被譽(yù)為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上已知最深的海洋藍(lán)洞，若要測(cè)量如圖所示的海洋藍(lán)洞的口徑(即A，B兩點(diǎn)間的距離)，現(xiàn)取兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則圖中海洋藍(lán)洞的口徑為_(kāi)_______.7、從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為()A．α>βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°8、數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)介紹了海倫－秦九韶公式：我國(guó)南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書(shū)九章》中，提出了已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形的面積的公式，與著名的海倫公式完全等價(jià)，由此可以看出我國(guó)古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開(kāi)平方得積．”若把以上這段文字寫(xiě)成公式，即S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc