數(shù)學-河南省南陽市2024屆高三上學期1月期終質量評估試題和答案

數(shù)學試題參考答案一．選擇題1-8.CBDCBDAC二．選擇題9.AC10.ACD11.ABD12.CD三．填空題四．解答題（答案僅供參考，各小題若有其他解法，請酌情給分）：由正弦定理得sinAsinB一sinBcosA=0.……………2分：0<A<π,：A=.………………………5分即b2+c2bc=100.…………7分22：S=bcsinA=bc<根100=25，………………8分：當且僅當b=c時，△ABC面積有最大值，最大值為25.…………10分=2，……………2分{bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，an=1=2n111=2.……………2（2）證明方法一）由（1）可得Sn=n，所以Sn=2=1<.…………………7分nS7綜上可得T<.…………12分2（方法二）由（1）可得Sn=n，所以Sn=n2=1<.…………………7分=1+=<.…………………8分n2n(n-1)n-1nnS綜上可得Tn<.…………12分由余弦定理，得所以A1C」AC，…………2分同理A1C」BC，又BC（AC=C，AC,BC一平面ABC,所以A1C」平面ABC,又A1C一平面A1ACC1，所以平面ABC」平面A1ACC1.……………5分(2)由平面幾何知識可知，AC⊥CP，……………6分以C為坐標原點，以CA，CP，CA1為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系C一xyz，)，……………7分=(,3,1).…………9分(1,0,0)，…………10分所以二面角CA1PB1的正弦值為.……………12分（若用綜合幾何法求解，請按照步驟酌情給分）20.解析：(1)∵前四組頻數(shù)成等差數(shù)列，∴設a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d，∴0.5×(0.2＋0.2＋d＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.2＋d＋0.1＋0.1＋0.1)＝1，解得d＝0.1，∴a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5.居民月用水量在2～2.5內的頻率為0.5×0.5＝0.25.……………4分(2)由題圖及(1)可知，居民月用水量小于等于2.5的頻率為0.7<0.8，∴為使80%以上居民月用水價格為4元/立方米，(3)將頻率視為概率，設A(單位：立方米)代表居民月用水量，可知P(A≤2.5)＝0.7，由題意，知X～B(3，0.7)，P(X＝0)＝C×0.33＝0.027，P(X＝1)＝C×0.7×0.32＝0.189，P(X＝2)＝C×0.72×0.3＝0.441，P(X＝3)＝C3×0.73＝0.343.∴X的分布列為X0123P0.0270.1890.4410.343………11分∵X～B(3，0.7)，∴E(X)＝3×0.7＝2.1.…………………12分假設存在常數(shù)n,使AD.AE=λ（常數(shù)設直線l：x=my+n，代入C，整理得(m2224)=0，設D(x1,y1),E(x2,y2)m2則y+y=2mn,m2所以AD.AE=(x1+4,y1).(x2+4,y2)2y2y222)2……………7分22=λ（算法一）整理化簡得：(12λ)m2+5n2+32n+604λ=0對vmeR恒成立.……9分:λ=12,5n2+32n+12=0：n=一或當直線l為x軸時AD.AE=12綜上，存在常數(shù)n=一,對任意直線l,使AD.AE=12（為定值）……………12分（算法二）(m2m222m2+42=λ根據(jù)對應系數(shù)成比例得：n24.4.……………9分當n=6不能保證任意l成立，故舍去.將n=代入上式可得AD.AE=12當直線l為x軸時AD.AE=12綜上，存在常數(shù)n=一,對任意直線l,使AD.AE=12……………11分（為定值）……………12分…1分 ,a ,a……3分……5分①當0<x<1時，xlnx<0,ex一1+sinx