2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué) 人教A版2019必修第一冊 同步講義 第3講 集合之間的關(guān)系4種基礎(chǔ)題型 含解析

第3講集合之間的關(guān)系4種基礎(chǔ)題型

【考點分析】

考點一：子集的概念

如果集合力中的任意一個元素都是集合8中的元素，就稱集合力是集合8的子集，記作∕U5（或524）

用圖形表示為

考點二：真子集的概念

如果集合/U8,但存在元素x∈8,且X￠就稱集合彳是集合8的真子集，記作Nu8

≠

用圖形表示為

考點三：集合相等的概念

如果集合N的任何一個元素都是集合8的元素，同時集合8的任何一個元素都是集合4的元素，那么集合

力與集合8相等，記作/=8

考點四：子集的性質(zhì)

①任何一個集合是它本身的子集，即4U4

②對于集合4B,C,如果ZUB,且5UC,那么4UC,

考點五：空集的概念

定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為。.

規(guī)定：空集是任何集合的子集.

【題型目錄】

題型一：簡單集合間關(guān)系的判斷

題型二：集合之間的關(guān)系

題型三：集合的子集、真子集

題型四：兩個集合相等

【典型例題】

題型一：簡單集合間關(guān)系的判斷

【例1】（新高考高三專題練習(xí)（多選））已知集合N={x∣χ2-2x=θ},則有（）

A.0?^B.-2&AC.{0,2}?AD.N={y∣y<3}

【答案】ACD

【解析】（1）由題得集合/={0,2},由于空集是任何集合的子集，故A正確：

因為Z={0,2},所以CD正確，B錯誤.故選ACD.

【例2］設(shè)集合4={xIX=2"-1,"GZ},B={x?x=An-?,neZ},則()

A.A=BB.BQAC.AEBD.BEA

【答案】B

【解析】對于集合力，當(dāng)n=2k,左∈Z時，x=4左一l,%wZ,

當(dāng)”=2左一1,左eZ時，x=4左一3,左eZ,所以力={x∣x=4Ar-l,或x=4左一3,左eZ},所以8A,

故選：B.

【例3】設(shè)集合M={x|x=；+：,/c6Z},N={x?x?x=^?,keZ},則M,N的關(guān)系為()

?OO?

A?MGNB.M=NC.M3ND?M∈N

【答案】A

【詳解】

集合M={%∣%=：+；#∈Z}中的元素，滿足％=：+：=與i,fc∈Z,

3o36O

集合N={x∣XIX=g+[;e∈Z}中的元素，滿足X=：+J=竽，kEZ,

63o?o

???2%+l表示所有的奇數(shù)，k+2表示所有的整數(shù)；

?N

故選：A.

【例4】(2021?全國?)集合4={Mx=(2"l)π,左eZ}與8={x∣x=(4"±l)兀,〃eZ}之間的關(guān)系為()

A.AcBB.BqAC.A=BD.不確定

【答案】C

【分析】

分別求出集合A,8中的元素，即可得集合A,8的關(guān)系，進而可得正確選項.

【詳解】

由于集合A,B中的元素均為兀的整數(shù)倍，且2%-1、4〃±1(左、〃eZ)都可表示出所有的奇數(shù)，因此/=8.

故選：C.

【題型專練】

1.集合M={x∣x=2n,n∈N},N={x∣x=2n,n∈N},則集合M與N的關(guān)系是（）

A.MUNB.NQMC.MnN=0D.MCN且NCM

【答案】D

【詳解】

因為1∈M,IeN且06N,0?M,所以MCN且NuM.

故選：D.

2.（2022?全國?高一專題）已知集合M={x?x=m+-,meN},N={x∣X=eN},則Λ∕,N的關(guān)系為（）

623

A.M=NB.NQMC.MUND.N三M

【答案】C

【解析】

【分析】

由M={xIX=3-27+1,ffleN},N={xIX="工=3w~1+1,∏∈N}即可判斷集合M,N的關(guān)系.

666

【詳解】

解：因為M={x∣x=32m+1￡N},={xIX=——-=——∈N},

666

所以MijN.

故選：C.

3.(2022?陜西?長安一中高一期末)已知集合M={x∣x='+5臼，集合N=NX=殍%eZ),

則MflN=()

A.0B.MC.ND.Z

【答案】B

【解析】

【分析】

2(k+↑)π(k-2]π

化簡得M={χ∣χ=J———Λ∈Z,N=?χχ=^——z-Λezk再分析即可

88

【詳解】

由題意，M=,x∣x=空生,kez],N=XX=(,-2)ez,因為2("l),(keZ)表示所有偶數(shù),

OO

4-2（keZ）能表示所有整數(shù)，故MCN=M

故選：B

4.（2022?全國?高一專題練習(xí)）集合M={x?x=3k-2,keZ},P={y?y=3n+l,n&Z},S={z?z=6m+↑,meZ]

之間的關(guān)系是（）

A.S真包含于P真包含于MB.S=尸真包含于〃

C.S真包含于P=Λ∕D.M=P真包含于S

【答案】C

【解析】

【分析】

利用列舉法，根據(jù)子集和真子集的定義即可求解.

【詳解】

解：`:M={xIX=3?-2,ΛeZ},P={y?y=3n+?,ne.7},S={y∣y=6m+1,機eZ},

/.M={...-8,-5,-2,1,4,7,10,13,16...},P={...-8,-5,-2,1,4,7,10,13,16…},S={…1,7,13,19,25,…},

二S真包含于P=M,

故選：C.

5.（2022?全國?高一專題練習(xí)）設(shè)48是兩個集合，有下列四個結(jié)論：

①若/08,則對任意xe∕,有xe8；

②若408,則集合A中的元素個數(shù)多于集合B中的元素個數(shù)；

③若/08,則80A.

④若/08,則一定存在xe∕,有xe5.

其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)子集、真子集的定義即可求解.

【詳解】

解：對于①，不一定，比如X={l,2,4},8={l,2,3},故①錯誤；

②若/08,不一定，比如∕={1,2,4},8={1,2,3,5,6},故②錯誤；

③若Bti力，則408,但80/不成立，故③錯誤；

④若/08,則一定存在xe∕,有xc8,故④正確.

所以正確結(jié)論的個數(shù)為1個，

故選：D.

6.設(shè)集合P={y?y=X2+1},M={x?y=x2+1},則集合M與集合P的關(guān)系是（）

A.M=PB.PeMC.MUPD.7,UM

【答案】D

【詳解】

P-{y?y=%2+1]={y?y≥1}=[1,+∞）＞M={x?y=x2+1）=R,

所以PUM.

故選：D.

題型二：集合之間的關(guān)系

【例1】下列六個關(guān)系式:①{α,b}={b,α};②{α,b）ɑ{b,α}:③0={0}；?{0}=0；⑤0U{0}；@0∈{0}.其

中正確的個數(shù)是（）

A.1B.3C.4D.6

答案：C

解析：①正確，集合中元素具有無序性；②正確，任何集合是自身的子集；③錯誤，。表示空集，而{0}表

示的是含。這個元素的集合，是元素與集合的關(guān)系，應(yīng)改為06{0};④錯誤，0表示空集，而{0}表示含有一

個元素O的集合，并非空集，應(yīng)改為0U{O};⑤正確，空集是任何非空集合的真子集；⑥正確，是元素與

集合的關(guān)系.

【例2】（2022?全國?高一專題練習(xí)）以下六個寫法中:Φ{0}∈{0,1,2}；②0U{1,2}；③0∈{θ};

④{0,1,2}={2,0,1}；⑤Oe0；正確的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)元素與集合以及集合與集合之間的關(guān)系表示方法作出判斷即可.

【詳解】

對于①：是集合與集合的關(guān)系，應(yīng)該是{0}U{0,1,2},???①不對；

對于②：空集是任何集合的子集，0={1,2},,②對；

對于③：0是一個集合，是集合與集合的關(guān)系，0a{o},...③不對；

對于④：根據(jù)集合的無序性可知{0,L2}={2,0,1},④對;

對于⑤：。是空集，表示沒有任何元素，應(yīng)該是0任0,..?⑤不對；

正確的是：②④.

故選：B.

【題型專練】

1.以下六個關(guān)系式：0∈{0},{0}?0,0.3?Q,OWN,[a,b）?（b,a],{幻爐一2=o,χez}是空集，錯

誤的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【詳解】

根據(jù)元素與集合間的關(guān)系可判定Oe{0}、OeN正確，o.3CQ不正確，根據(jù)集合與集合之間的關(guān)系可判定

{0}20、（a,b}Q[b,a}>[x?x2-2=0,xeZ}是空集正確

故選：D

2.下列寫法：（1）{0}e{2,3,4}；（2）0?{O};（3）{-l,0,1}=[0,-1,1}；（4）0∈0,其中錯誤寫法

的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【詳解】

由集合與集合的關(guān)系可知，（1）錯誤；空集是任何集合的子集，（2）正確；由集合的無序性以及集合相等

的定義可知，（3）正確；空集是不含任何元素的集合，（4）錯誤；

故選：B

3.（2022?江蘇?高一專題練習(xí)）下列各式中：①{0}e{0,l,2};②{θ,l,2}={2,1,0}；③{θ,l,2}；④0={θ}；

⑤{O,l}={（O,l）};⑥o={o}.正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)相等集合的概念，元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系，空集的性質(zhì)判斷各項的正誤.

【詳解】

①集合之間只有包含、被包含關(guān)系，故錯誤；

②兩集合中元素完全相同，它們?yōu)橥患?，則{0,l,2}Q{2,1,0},正確；

③空集是任意集合的子集，故0q{θ,l,2},正確：

④空集沒有任何元素，故0≠{O},錯誤；

⑤兩個集合所研究的對象不同，故{0,i},{（0,l）}為不同集合，錯誤；

⑥元素與集合之間只有屬于、不屬于關(guān)系，故錯誤；

②③正確.

故選：B.

4.已知集合A={x∣x2=4},①2U4；②{一2}∈4；③0U4；@{-2,2]=A;⑤一2∈4則上列式子表示

正確的有幾個（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【詳解】

A={x∣x2=4}={-2,2},故④正確，

.?.2eA,故①錯誤；一264故⑤正確；{一2}U4故②錯誤；0=4,故③正確.

所以正確的有3個.

故選：C.

題型三：集合的子集、真子集

【例1】（2021?河北衡水市）定義集合Z*8={x∣x=",α∈46∈8},設(shè)Z={2,3},8={1,2},則集合

/*8的非空真子集的個數(shù)為（)

A.12B.14C.15D.16

【答案】B

【解析】Z*3={2,3,4,6},所以集合4*8的非空真子集的個數(shù)為24.2=14,故選：B.

【例2】設(shè)4={x∣(χ2-i6)(χ2+5χ+4)=0},寫出集合4的子集，并指出其中哪些是它的真子集.

解：由(x2-16)(x2+5x+4)=0,得(χ-4)(x+l)(x+4)2=0,

解方程得x=-4或x=-l或x=4.

故集合A={—4,-1,4}?

由O個元素構(gòu)成的子集為0;

由1個元素構(gòu)成的子集為{-4},{一1},{4}；

由2個元素構(gòu)成的子集為{-4,-1},{-4,4},{-1,4}；

由3個元素構(gòu)成的子集為{-4,-1,4}.

因此集合A的子集為0,{-4},{-1}>{4},{-4,—1},{-4,4}>L1,4},{—4,—1,4}.

真子集為0，{-4},{-l},{4},{-4,-1},{-4,4},{-l,4}?

【例3】集合4=[α,b,C,d}非空子集的個數(shù)是()

A.13B.14C.15D.16

【答案】C

【詳解】

；集合A={a,b.c,d}中有4個元素，

二非空子集的個數(shù)為:24-1=15,

故選：C.

【例4】已知集合4={x∣χ2一3χ+2=0,χζR),B={x∣0<x<6,x∈N},則滿足條件4UCU8的

集合C的個數(shù)為()

A.3B.4C.8D.16

【答案】C

【詳解】

4={x∣χ2-3x+2=0,xwR}={l,2}

8={x∣0<x<6,xwN}={1,2,3,4,5}

由AUCUB,則集合C中必有元素1,2,而元素3,4,5可以沒有，可以有1個，或2個，或3個.

即滿足條件的集合C為：{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},

{1,2,4,5},{1,2,3,5},{1,2,4,3,5}共8個

故選：C

【例5】若{1,2}?Mc{0,1,2,3,4},則滿足條件的集合M的個數(shù)為()

A.7B.8C.31D.32

【答案】B

【詳解】

由題意，因為{1,2}UMU{0,1,2,3,4},

所以集合M中至少含有1,2兩個元素，至多含有O,I,2,3,4

這5個元素，因此集合M的個數(shù)即為集合{0,3,4}的子集個數(shù)，即為23=8個.

故選：B.

【題型專練】

1.(2022?全國?高一專題練習(xí))集合P={3,4,5),。={6,7},定義尸*。={(a,b)?a≡P,b≡Q},則尸*。

的真子集個數(shù)為()

A.31B.63C.32D.64

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)條件即可求出集合P*Q的元素個數(shù)，從而可得出集合P*。的真子集個數(shù).

【詳解】

解：根據(jù)題意得，尸*Q={(3,6),(3,7),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7)},則尸*。中有6個元素，

.?.P*0的真子集個數(shù)為26-1=63個.

故選：B.

2.(2022?黑龍江?哈爾濱三中高二期末)己知集合∕={(x∕)∣y=χ2},8={(x,y)∣y=x},則集合4∩8的子

集個數(shù)為()

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【解析】

【分析】

先求交集中的元素，根據(jù)元素個數(shù)可得子集個數(shù).

【詳解】

V=X1fx=O?x-1

由'解得C或1,

y=x[y=°[y=1

所以∕n8={（0,0）,（l,l）},有兩個元素，

所以ZC8的子集個數(shù)為2?=4.

故選：B

3.（2022?全國?高一專題練習(xí)）已知河="€Μ，€?4},則集合〃的子集的個數(shù)是（）

6-x

A.8B.16C.32D.64

【答案】B

【解析】

【分析】

由/-eN,可得6-x為6的正約數(shù)，又XeN,從而即可求解.

6-x

【詳解】

解：因為S∈N,所以6-x=l,2,3,6,

6-x

XxeN,所以X=O,3,4,5,

所以集合M={0,3,4,5},所以集合M的子集個數(shù)為2"=16個.

故選：B.

4.若集合λ={x∈Z∣-l<x<2},則4的真子集個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【詳解】

因為集合4={x6Z∣-l<x<2},所有集合Z={0,1},

所以A的真子集個數(shù)為：22-2=3.

故選：C

5.已知集合M滿足{1}UMC（1,2,3},則滿足條件的集合M的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【詳解】

因為集合M滿足{"UM￡1,2,3},

所以滿足條件的集合M有：{1},{2},{1,2},

即集合M的個數(shù)是3,

故選：B.

考點四：兩個集合相等

【例1】（2022?全國?高一）下列各組兩個集合A和8表示同一集合的是（）

A.=W,5={3.14}B.4={2,3},8={（2,3）}

C.>l={l,√3,π）,5=（π,l,∣-√3∣}D.∕={x∣-l<x≤l,xwN},8={l}

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用集合相等的定義逐一判斷求解.

【詳解】

解：A選項中集合A中的元素為無理數(shù)，而B中的元素為有理數(shù)，故/M3;

B選項中集合A中的元素為實數(shù)，而8中的元素為有序數(shù)對，故

C選項中因為I-石|=6，則集合4={1,JJ∕},8={萬,1,蜴，故N=B;

D選項中集合A中的元素為0,I,而5中的元素為1,故/W8.

故選：C.

b,

【例2】已知α6R,bwR,若集合{。,2,1}={/,。+仇0},則￡12。19+/?2019的值為（）

a

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【詳解】

因為卜

{ɑ?α+b,θ},

-=O

所以屋α+b,解得或{MΛ

、a2=1

當(dāng)α=1時，不滿足集合元素的互異性，

故a=-l,b=0,tl2°19+∕j2019=（_1）2019+02019=_1,

故選：B.

【例3】（2022?重慶?高二期末）下列說法正確的是（）

A.任何集合都是它自身的真子集

B.集合{d6}共有4個子集

C.集合{x∣X=3〃+1,”eZ}={x∣X=3〃-2,”eZ}

D.集合{HX=I+/,αeN*}={X∣X=α2-4a+5,α∈N*∣

【答案】BC

【解析】

【分析】

根據(jù)集合的性質(zhì)依次判斷即可.

【詳解】

對A,空集不是它自身的真子集，故A錯誤;

對B,因為集合{。,6}中有2個元素，所以有2?=4個子集，故B正確；

對C,因為兩個集合中的元素均為被3除余1的所有整數(shù)，所以兩個集合相等，故C正確；

對D,因為x=°2-4α+5=(α-2p+l,當(dāng)α=2時，x-?,所以IeklX=/-4α+5,α∈N*},但

?i{x?x=l+t72,a∈N?),故兩個集合不相等，故D錯誤.

故選：BC.

【例4】(2021?浙江?樂清市知臨中學(xué))若{x∣∕+px+夕=0}={l,3},則P+q的值為()

A.-3B.3C.-1D.7

【答案】C

【分析】

由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求得P,4的值，由此可得選項.

【詳解】

因為1,+pχ+g=θ}={1,3},

1+3=—p解得p--4

所以1×3=Z'

4=3

所以p+g=-l.

故選：C.

【例5】（2021?全國?）（多選）下列選項中的兩個集合相等的是（）

A.尸=卜3-3x+2=θ},Q={y∕-3y+2=θ}

B.尸={x∣x=2〃-1,〃WN'},0={x∣x=2〃+1,”CN*}

C.P={x∣χ2-χ=o},Q=,xk=l+；l）∕∈Z>

D.P={巾=χ+l},D={(χ,y)∣y=χ+1}

【答案】AC

【分析】

對于A、C：直接解出集合尸、Q,即可判斷；

對于B：取特殊值1,由IeP,而1￡。，即可判斷；

對于D：由集合P、0的類別不一樣，即可判斷.

【詳解】

對于A,尸=k*-3x+2=θ}={l,2},Q={V∕-3y+2=θ}={l,2},所以P和0都只含有兩個元素1,2.

所以P=。；故A正確；

對于B,IeP,而1￡。，所以尸≠Q(mào);故B錯誤；

對于C,P={x∣χ2-x=θ}={θ,l},0=?x∣xJ+；』，〃eZ={θ,l},所以八。；故C正確；

對于D,集合P是數(shù)集，而集合。是點集，所以PxQ.

故選：AC.

【題型專練】

1.已知集合4={0,α+%},B-{0,1-6,1),(α,b€R),若4=B,則α+2b=()

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】D

【詳解】

?.?集合Z={θ,α+b,*,5={0,l-?l},且Z=8,

Λα+e=1—b,γ=1,或α+b=l,∕=l-b,

先考慮α+b=1一磴=1,解得α=b",

此