（聚焦典型）高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《正弦定理和余弦定理》理 新人教B版

[第23講正弦定理和余弦定理](時(shí)間：45分鐘分值：100分)eq\a\vs4\al\co1(基礎(chǔ)熱身)1．[2013·山西大學(xué)附中檢測]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，又a，b，c成等比數(shù)列，且c＝2a，則cosBA.eq\f(1,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(2),3)2．△ABC的三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊邊長分別為a，b，c.若a＝eq\f(\r(5),2)b，A＝2B，則cosB＝()A.eq\f(\r(5),3)B.eq\f(\r(5),4)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(\r(5),6)3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，則△A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等邊三角形4．在△ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，如果c＝eq\r(3)a，B＝30°，那么C等于()A．120°B．105°C．90°D．75°eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，如果a，b，c成等差數(shù)列，∠B＝30°，△ABC的面積為eq\f(1,2)，那么b為()A．1＋eq\r(3)B．3＋eq\r(3)C.eq\f(3＋\r(3),3)D．2＋eq\r(3)6．[2013·湖北卷]設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若三邊的長為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且A＞B＞C，3b＝20acosA，則sinA∶sinB∶sinC為()A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶47．[2013·大連檢測]在△ABC中，AC＝eq\r(7)，BC＝2，B＝60°，則BC邊上的高等于()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3\r(3),2)C.eq\f(\r(3)＋\r(6),2)D.eq\f(\r(3)＋\r(39),4)8．[2013·哈師大檢測]在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，則△A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不能確定9．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cosA＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(5,13)，b＝3，則c＝()A.eq\f(14,5)B.eq\f(12,13)C.eq\f(5,13)D.eq\f(56,65)10．[2013·安徽卷]設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長分別為a，b，c，則下列命題正確的是________(寫出所有正確命題的編號(hào))．①若ab>c2，則C<eq\f(π,3)；②若a＋b>2c，則C<eq\f(π,3)；③若a3＋b3＝c3，則C<eq\f(π,2)；④若(a＋b)c<2ab，則C>eq\f(π,2)；⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，則C>eq\f(π,3).11．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的頂點(diǎn)A(－1，0)，C(1，0)，頂點(diǎn)B在橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1上，則eq\f(sinA＋sinC,sinB)的值為________．12．[2013·石家莊檢測]在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－eq\f(1,4)，則b＝________．13．[2013·天津檢測]設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，則角C＝________．14．(10分)△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m＝(2sinB，－eq\r(3))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2B，2cos2\f(B,2)－1))且m∥n.(1)求銳角B的大??；(2)如果b＝2，求△ABC的面積S△ABC的最大值．15．(13分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長分別為a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.(1)求角A的大小；(2)若b＝2，c＝1，D為BC的中點(diǎn)，求AD的長．eq\a\vs4\al\co1(難點(diǎn)突破)16．(12分)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知a＝2，c＝eq\r(2)，cosA＝－eq\f(\r(2),4).(1)求sinC和b的值；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,3)))的值．

課時(shí)作業(yè)(二十三)【基礎(chǔ)熱身】1．B[解析]∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac.又由c＝2a，∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－ac,2ac)＝eq\f(5a2－2a2,4a2)＝eq\f(3,4).2．B[解析]由正弦定理eq\f(sinA,a)＝eq\f(sinB,b)，又∵a＝eq\f(\r(5),2)b，A＝2B，∴eq\f(sin2B,\f(\r(5),2)b)＝eq\f(sinB,b)，又∵b≠0，sinB≠0，∴eq\f(2cosB,\f(\r(5),2))＝1，∴cosB＝eq\f(\r(5),4).故選B.3．A[解析]∵2c2＝2a2＋2b2＋ab，∴a2＋b2－c2＝－eq\f(1,2)ab，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,4)<0.所以△ABC是鈍角三角形．故選A.4．A[解析]依題意由正弦定理得sinC＝eq\r(3)sinA，又B＝30°，∴sinC＝eq\r(3)sin(150°－C)＝eq\f(\r(3),2)cosC＋eq\f(3,2)sinC，即－eq\f(1,2)sinC＝eq\f(\r(3),2)cosC，∴tanC＝－eq\r(3).又0°<C<180°，因此C＝120°.【能力提升】5．C[解析]∵eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)，∴ac＝2，又2b＝a＋c，∴a2＋c2＝4b2－4，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，b＝eq\f(3＋\r(3),3).6．D[解析]因?yàn)閍，b，c為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且A>B>C，可得a＝c＋2，b＝c＋1①.又因?yàn)?b＝20acosA，由余弦定理可知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，則3b＝20a·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)②，聯(lián)立①②，化簡可得7c2－13c－60＝0，解得c＝4或c＝－eq\f(15,7)(舍去)，則a＝6，b＝5.又由正弦定理可得，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4.故選D.7．B[解析]先用余弦定理求出邊c的長度，再直接解直角三角形．由余弦定理得7＝c2＋22－2×2c×cos60°，解得c＝3，再由BC邊上的高構(gòu)成的直角三角形中，得h＝c×sinB＝3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，故選B.8．C[解析]考查正弦定理和判斷三角形的形狀，考查考生的轉(zhuǎn)化思想，關(guān)鍵是利用正弦定理，把角轉(zhuǎn)化成邊，再利用邊之間的關(guān)系，判斷三角形的形狀．由正弦定理可把不等式轉(zhuǎn)化為a2＋b2<c2，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，所以△ABC為鈍角三角形．故選C.9．A[解析]因?yàn)閏osA＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(5,13)，所以sinA＝eq\f(4,5)，sinB＝eq\f(12,13)，因?yàn)閟inC＝sin[180°－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＋eq\f(3,5)×eq\f(12,13)＝eq\f(56,65)，由正弦定理知eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(c,\f(56,65))＝eq\f(3,\f(12,13))，解得c＝eq\f(14,5).10．①②③[解析]本題考查命題真假的判斷，正、余弦定理，不等式的性質(zhì)，基本不等式等．對(duì)于①，由c2＝a2＋b2－2abcosC<ab得2cosC＋1>eq\f(a2＋b2,ab)＝eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2，則cosC>eq\f(1,2)，因?yàn)?<C<π，所以C<eq\f(π,3)，故①正確；對(duì)于②，由4c2＝4a2＋4b2－8abcosC<a2＋b2＋2ab得ab(8cosC＋2)>3(a2＋b2)，即8cosC＋2>3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＋\f(b,a)))≥6，則cosC>eq\f(1,2)，因?yàn)?<C<π，所以C<eq\f(π,3)，故②正確；對(duì)于③，a3＋b3＝c3可變?yōu)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))eq\s\up12(3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq\s\up12(3)＝1，可得0<eq\f(a,c)<1，0<eq\f(b,c)<1，所以1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))eq\s\up12(3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq\s\up12(3)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq\s\up12(2)，所以c2<a2＋b2，故C<eq\f(π,2)，故③正確；對(duì)于④，(a＋b)c<2ab可變?yōu)?×eq\f(1,c)>eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(2,\r(ab))，可得eq\r(ab)>c，所以ab>c2，因?yàn)閍2＋b2≥2ab>ab>c2，所以C<eq\f(π,2)，④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，(a2＋b2)c2<2a2b2可變?yōu)閑q\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)<eq\f(2,c2)，即eq\f(1,c2)>eq\f(1,ab)，所以c2<ab≤eq\f(a2＋b2,2)，所以cosC>eq\f(\f(a2＋b2,2),2ab)≥eq\f(1,2)，所以C<eq\f(π,3)，故⑤錯(cuò)誤．故答案為①②③.11．2[解析]由題意知△ABC中，AC＝2，BA＋BC＝4，由正弦定理得eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝eq\f(BC＋BA,AC)＝2.12．4[解析]cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝－eq\f(1,4)，可得cosB＝eq\f(4＋（c－b）（c＋b）,4c)＝－eq\f(1,4)，eq\f(4＋7（c－b）,c)＝－1，8c－7b＋4＝0，結(jié)合b＋c＝7，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝4，,c＝3))答案為4.13.eq\f(2π,3)[解析]由已知條件(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，化簡得a2＋b2－c2＝－ab，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(－ab,2ab)＝－eq\f(1,2).又C是三角形的內(nèi)角，則C∈(0，π)，所以C＝eq\f(2π,3).14．解：(1)∵m∥n，∴2sinBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(B,2)－1))＝－eq\r(3)cos2B，∴sin2B＝－eq\r(3)cos2B，即tan2B＝－eq\r(3).又∵B為銳角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝eq\f(2π,3)，∴B＝eq\f(π,3).(2)∵B＝eq\f(π,3)，b＝2，∴由余弦定理cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)得，a2＋c2－ac－4＝0，又∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤4(當(dāng)且僅當(dāng)a＝cS△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3),4)ac≤eq\r(3)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)等號(hào)成立)，∴S△ABC的最大值為eq\r(3).15．解：(1)方法一：由題設(shè)知，2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.因?yàn)閟inB≠0，所以cosA＝eq\f(1,2).由于0<A<π，故A＝eq\f(π,3).方法二：由題設(shè)可知，2b·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝a·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(b2＋c2－a2,2bc).于是b2＋c2－a2＝bc.所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2).由于0<A<π，故A＝eq\f(π,3).(2)方法一：因?yàn)閑q\o(AD,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→)),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋4＋