2024屆河南省普通高中招生全國統(tǒng)一考試青桐鳴大聯(lián)考數(shù)學(xué)及答案

2024屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考場號、座位號、考生號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合AA．22，Bxx，則AB的真子集個數(shù)為（）B．3C．4D．72．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足ziix1，則z1（A．2C．5B．13．已知單位向量a，b的夾角為，則5ab（）D．2π）3A．9B．91C．10D．3104．據(jù)科學(xué)研究表明，某種玫瑰花新鮮程度y與其花朵凋零時間tt表示從花朵完全綻放t時刻開始到完全凋零時刻為止所需的時間）近似滿足函數(shù)關(guān)系式：yb2（b11凋零時間為10分鐘時的新鮮程度為，則當(dāng)該種玫瑰花新鮮程度為時，其凋零時間約為（參考數(shù)據(jù)：220.3A．3分鐘）B．30分鐘C．33分鐘D．35分鐘5．已知某圓臺的體積為π，其上、下底面圓的面積之比為1:4且周長之和為6π，則該圓臺的高為（）A．6B．7C．8D．9p6．已知拋物線C:y22pxp0，過點(diǎn)2,0且斜率為1的直線l交C于M，N兩點(diǎn)，且32，則C的準(zhǔn)線方程為（A．x1B．x2）C．x3D．x4n7．已知數(shù)列a是單調(diào)遞增數(shù)列，am2n1n2，nN*，則實數(shù)m的取值范圍為（）n3A．B．1,2D．2,3C．,28．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下，則DX的最大值為（）XP012ababa132389A．B．C．D．1二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．某高中從本校的三個年級中隨機(jī)調(diào)查了五名同學(xué)關(guān)于生命科學(xué)科普知識的掌握情況，五名同學(xué)的成績?nèi)缦拢?4，72，68，76，80，則（A．這五名同學(xué)成績的平均數(shù)為78）B．這五名同學(xué)成績的中位數(shù)為74D．這五名同學(xué)成績的方差為32C．這五名同學(xué)成績的上四分位數(shù)為80b1210．已知正實數(shù)a，b滿足ab2，則的可能取值為（）A．2B．12C．21D．411．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A1,0，B1,0，12，點(diǎn)M的軌跡為，則（）A．為中心對稱圖形B．M到直線xay20(aR)距離的最大值為5C．若線段上的所有點(diǎn)均在中，則最大為3πD．使MBO成立的M點(diǎn)有4個4三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．1112．(2x)8的展開式中含的項的系數(shù)為______．2x2213．已知tan，則tan3______．214．三個相似的圓錐的體積分別為V，V，V，側(cè)面積分別為S，S，S，且VVV，123123123aSSS，則實數(shù)a的最大值為______．123四、解答題：共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1513分）已知函數(shù)fxaln(xxsinx．ππ在點(diǎn),f（1）若a0，求曲線yfx處的切線方程；22（2）若a1，研究函數(shù)fx在x1,0上的單調(diào)性和零點(diǎn)個數(shù)．1615分）2024年由教育部及各省教育廳組織的九省聯(lián)考于1月19日開考，全程模擬高考及考后的志愿填報等．某高中分別隨機(jī)調(diào)研了50名男同學(xué)和50名女同學(xué)對計算機(jī)專業(yè)感興趣的情況，得到如下2×2列聯(lián)表．對計算機(jī)專業(yè)感興趣對計算機(jī)專業(yè)不感興趣合計男同學(xué)女同學(xué)合計4020（1）完善以上的2×2列聯(lián)表，并判斷根據(jù)小概率值0.01的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為該校學(xué)生是否對計算機(jī)專業(yè)感興趣與性別有關(guān)；（2）將樣本的頻率作為概率，現(xiàn)從全校的學(xué)生中隨機(jī)抽取30名學(xué)生，求其中對計算機(jī)專業(yè)感興趣的學(xué)生人數(shù)的期望和方差．nadbc2附：2，其中nabcd．a(chǎn)bcdacbd0.12.7060.050.013.8416.6351715分）如圖，在四棱錐PABCD中，平面PCD平面ABCD，四邊形ABCD為等腰梯形，且1CD1，△PCD為等邊三角形，平面PAB平面PCD直線l．2（1）證明：l∥平面ABCD；π（2）若l與平面的夾角為，求四棱錐PABCD的體積．61817分）已知橢圓C:3x22y22ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，且AB4，點(diǎn)在橢圓C上．a(chǎn)b2（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；kk（2）若E，F(xiàn)為橢圓C上異于A，B的兩個不同動點(diǎn)，且直線AE與BF的斜率滿足3，證明：直線EF恒過定點(diǎn)．1917分）三階行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算的算法，其運(yùn)算法則如下：123b12babcabcabcabcabcabc．3123231312321213132123ijk若abx1z，則稱ab為空間向量a與b的叉乘，其中axiyjzk（x,y,zR111111112y2z2bxiyjzk（x,y,zRi,j,k為單位正交基底．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)、分別以i,j,k的方向222222為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，已知A，B是空間直角坐標(biāo)系中異于O的不同兩點(diǎn)．（1）①若A2,1，B，求OAOB；②證明：OAOB0．12（2）記△的面積為△，證明：△OA．2△（3）證明：OA的幾何意義表示以為底面、OA為高的三棱錐體積的6倍．?dāng)?shù)學(xué)參考答案1．B【解析】由題意可得AB，故AB的真子集的個數(shù)為213．故選B．121i1ii)22．A【解析】因為ziiz1，則z1i1i，所以zi，故i)z11i12(2．故選A．22π25ab25a260abb61601191．故3．B【解析】由題意得35ab91，故選B．1121tt1014．C【解析】由題意得b，則b，令202，即21010，解得t33．故選C．102022r1,5．D【解析】設(shè)上、下底面圓的半徑分別為r，R，圓臺的高為h，則由題意可得R24解得2π(rR)6,rR13，則Vh21222)π，解得h9．故選D．p26．D【解析】設(shè)Mx,y，Nx,y，直線l:yx，2112p2得xyx,p22聯(lián)立3px0，4y22px,p2則0，xx3p，又l經(jīng)過C的焦點(diǎn),0，12則xxp3pp32，解得p8，故C的準(zhǔn)線方程為x4．故選D．127．C【解析】由題意可得am(2nn2，由于數(shù)列a為單調(diào)遞增數(shù)列，即nN*，nn2n12nn1nm(2n1(n2m(2nn2m2n2n10，整理得m，令2n12n2n32n112n3n，則n1n0，nN*，易得數(shù)列b單調(diào)遞減，故b是數(shù)2n12n2n1n1232列b的最大項，則m的取值范圍為,，故選C．n132a1，故a8．C【解析】PX0PX1PX，121211易得0b，0b，則b，3333331313132ab2ab1b，DXbb)bb2，又因為故EXb)2bb22311332899b,，所以D(X),．故選C．68727680849．CD【解析】A選項，這五名同學(xué)成績的平均數(shù)為76，A錯誤；5B選項，將五名同學(xué)的成績按從小到大排列：68，72，76，80，84，則這五名同學(xué)成績的中位數(shù)為76，B錯誤；C選項，575%3.75，故成績從小到大排列后，第4個數(shù)即為上四分位數(shù)，即80，C正確；122222D選項，五名同學(xué)成績的方差為正確．故選CD．(6876)(7276)(7676)76)76)32，D5b21b21b211b110．BD【解析】由題意可得1，ab(2bbbb2)2bb2b1tt12令b1t，則1t2，bb，且t22,3，故22t2t22ttt1t13tb1b12322,，所以12,．故選BD．bb2ab11．ABC【解析】由題可得，故點(diǎn)M在以A為圓心、半徑分別為1，2的兩圓之間（包含邊1,2為內(nèi)徑為1，外徑為2的圓環(huán)，A正確；直線xay20過定點(diǎn)(0)，故M到直線xay20的距離最大時為M與點(diǎn)(0)的距離，則d325，B正確；當(dāng)恰與圓(x2y21相切時，最大，此時直線與y軸重合，故OM3，C正確；πMBO，則直線BM：yx或yx1，直線yx1與直線yx有無數(shù)點(diǎn)在4上，故符合的M點(diǎn)有無數(shù)個，故D錯誤．故選ABC．1r1(2x)8的展開式的通項為r1Cr828r(xr，故令r4可得含項的系數(shù)為212．1120【解析】22xC4824(41120．52222tan13．【解析】由tan，可得tan1tan22，22tantan1tantan522故tan3)．32h,h,h3．母線與軸線的夾角為，14．【解析】設(shè)三個圓錐的高分別為121πVπ(htan)2htan2h3，由VVV，得h3123，3則12333同理由aSSS可得ah21222，12332231h則a3h61(22332)3a，則a．233h16(233)23312h1x21x33221x6x1x2令fx，令fx0，解得x0,1；令，x，得f(x)1x33fx0，解得x，故fx在0,1上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以fxf12，2，故a2．151）當(dāng)a0時，fx故a33xsinx，πππ則fx1，sinxxx，則f2，f22ππ在點(diǎn),f處的切線方程為yx．所以曲線yfx221x1（2）當(dāng)a1時，fxx1xsinx，則f(x)sinxxx，1x1當(dāng)x0時，0，sinx0，xx0，則fx0，故fx在x1,0上單調(diào)遞增．1,0上的零點(diǎn)個數(shù)為1．又因為f00，所以fx在x161）完善2×2列聯(lián)表如下：公眾號：高中試卷君對計算機(jī)專業(yè)感興趣對計算機(jī)專業(yè)不感興趣合計50男同學(xué)女同學(xué)合計40307010203050100100(40201030)50503070210021則24.7626.635，故根據(jù)小概率值0.01的獨(dú)立性檢驗，不能認(rèn)為該校學(xué)生是否對計算機(jī)專業(yè)感興趣與性別有關(guān)．70（2）由（1）知，對計算機(jī)專業(yè)感興趣的樣本頻率為0.7，100設(shè)抽取的30名學(xué)生中對計算機(jī)專業(yè)感興趣的學(xué)生的人數(shù)為X，所以隨機(jī)變量X~B0.7，故EX300.721，DX300.710.76.3．171）證明：由題可知AB∥CD，平面PCD，CD平面PCD，AB∥平面PCD．又平面PAB，平面PAB平面PCDll∥AB．又l平面ABCD，平面ABCD，l∥平面ABCD．（2）以D為原點(diǎn)，平面ABCD內(nèi)垂直于的直線為x軸，所在直線為y軸，垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，13設(shè)等腰梯形ABCD的高為aa0，則D0,0,0，Aa,,0，Ba,,0，C2,0，22P3，1naxy設(shè)nx,y,z為平面的法向量，則即2ny3z13令y1得n,為平面的一個法向量．2a3又l∥AB，則可得直線l的一個平行向量m設(shè)為l與平面的夾角，0，由sinn,m1n116，解得a．281163216P32)．328181）由題意可得AB42a，則a2，313又點(diǎn)在C上，所以1，解得b1，224bx2y1．2故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為4（2）證明：由（1）可得，A2,0，B2,0，易知直線AE與直線BF的斜率一定存在且不為0，設(shè)直線AE的方程為ytx2t0)，直線BF的方程為ytx2．ytx2,得t1xtxt40，由2222x2y2424t22tt22tt所以xx，故xE，則yE，故E,．AE22222t1t1t1t1t1ytx2,t42得t1xtxt40，所以xx，由2222x22BFt1y242tt22tt2t故xF，則yF，故F,．21t21t1t122若直線EF過定點(diǎn)，則根據(jù)橢圓的對稱性可知直線EF所過定點(diǎn)必在x軸上，設(shè)定點(diǎn)為Px,0．0t1tt1t22則kk，2t2t2200t21t21tt即，2xt2t2xt2t22000所以6t23xt21t22xt21，02化簡可得x4t0，故04，即直線EF過定點(diǎn)4,0．0191）①因為A2,1，B，ijk則1212i．01k01iijk1j0112②證明：設(shè)Ax,y,z，Bx,y,z