第7講【圓錐曲線】計(jì)算技巧系列10講-7角度講清齊次化妙解圓錐曲線

【圓錐曲線】計(jì)算技巧系列10講——7角度講清齊次化妙解圓錐曲線【知識(shí)精講】直線與圓錐曲線位置關(guān)系，是高考的一個(gè)難點(diǎn)，而其中一個(gè)難在于運(yùn)算，本微專題的目標(biāo)在于采用齊次化運(yùn)算解決直線與圓錐曲線的一類：斜率之和或斜率之積的問題．本專題重難點(diǎn)：一是在于消元的解法，即怎么構(gòu)造齊次化方程；二是本解法的適用范圍．亮點(diǎn)是用平面幾何的視角解決問題．圓錐曲線的定義、定值、弦長(zhǎng)、面積，很多都可以轉(zhuǎn)化為斜率問題，當(dāng)圓錐曲線遇到斜率之和或者斜率之積，以往我們的常用解法是設(shè)直線，與圓錐曲線方程聯(lián)立方程組，韋達(dá)定理，再將斜率之和或之積的式子通分后，將和代入，得到關(guān)于k、b的式子．解法不難，計(jì)算量較為復(fù)雜．如果采用齊次化解決，直接得到關(guān)于k的方程，會(huì)使題目計(jì)算量大大減少．“齊次”即次數(shù)相等的意思，例如稱為二次齊式，即二次齊次式的意思，因?yàn)橹忻恳豁?xiàng)都是關(guān)于x、y的二次項(xiàng)．如果公共點(diǎn)在原點(diǎn)，不需要平移．如果不在原點(diǎn)，先平移圖形，將公共點(diǎn)平移到原點(diǎn)，無(wú)論如何平移，直線斜率是不變的．注意平移口訣是“左加右減，上減下加”，你沒有看錯(cuò)，“上減下加”，因?yàn)槭窃诘仁脚c同側(cè)進(jìn)行加減，我們以往記的“上加下減”都是在等式與的異側(cè)進(jìn)行的．例：向上平移1個(gè)單位，變?yōu)?，即，向上平?個(gè)單位，變?yōu)椋O(shè)平移后的直線為（為什么這樣設(shè)？因?yàn)檫@樣齊次化更加方便，相當(dāng)于“1”的妙用），與平移后的圓錐聯(lián)立，一次項(xiàng)乘以，常數(shù)項(xiàng)乘以，構(gòu)造，然后等式兩邊同時(shí)除以（前面注明x不等于0），得到，可以直接利用韋達(dá)定理得出斜率之和或者斜率之積，，，即可得出答案．如果是過定點(diǎn)題目，還需要還原，之前如何平移，現(xiàn)在反平移回去．齊次化解題步驟為：①平移；②聯(lián)立并齊次化；③同除以；④韋達(dá)定理．證明完畢，若過定點(diǎn)，還需要還原．優(yōu)點(diǎn)：大大減小計(jì)算量，提高準(zhǔn)確率！缺點(diǎn)：不能表示過原點(diǎn)的直線，少量題目需要討論．【齊次化技巧前世今生】角度一、齊次化運(yùn)算的前世——韋達(dá)定理1．韋達(dá)定理發(fā)展簡(jiǎn)史法國(guó)數(shù)學(xué)家弗朗索瓦·韋達(dá)（Fran?oisViète，1540－1603）在著作《論方程的識(shí)別與訂正》中改進(jìn)了三、四次方程的解法，還對(duì)的情形，建立了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，現(xiàn)代稱之為韋達(dá)定理．證明這個(gè)定理要依靠代數(shù)基本定理，而代數(shù)基本定理卻是在1799年才由高斯作出第一個(gè)實(shí)質(zhì)性的論性．2．韋達(dá)定理：設(shè)關(guān)于的一元二次方程的兩根為，則．韋達(dá)定理是本微專題的理論基礎(chǔ)．．引例1．已知引例1．已知和是方程的兩個(gè)根，求的值．【解析】解法1：．解法2：方程兩邊同除以，得，由韋達(dá)定理得．引例2．設(shè)引例2．設(shè)是方程組的兩組根，求的值．【分析】如果可以建立關(guān)于以為未知數(shù)的一元二次方程，那么就是對(duì)應(yīng)方程的兩根之和了．所以本運(yùn)算的關(guān)鍵是如何通過消元得到，再由方程兩邊同時(shí)除以．消元得到方程是個(gè)二次齊次式，所以把本計(jì)算方法命名為：齊次化運(yùn)算．觀察，發(fā)現(xiàn)已經(jīng)為二次式，關(guān)鍵在于將化成二次式，由可得，，整理可得，顯然不是方程的根，方程兩邊同時(shí)除以可得：關(guān)于為未知數(shù)的一元二次方程：，則由韋達(dá)定理可得：．角度二、齊次化運(yùn)算的今生——韋達(dá)定理遇到笛卡爾解析幾何例1．直線例1．直線與拋物線交于，求．（用表示）【解析】聯(lián)立，齊次化得，等式兩邊同時(shí)除以，，∴．例2．直線例2．直線與橢圓交于，求（用表示）．【解析】齊次化聯(lián)立得：，等式兩邊同時(shí)除以，，∴．引例3．已知?jiǎng)又本€l的方程為引例3．已知?jiǎng)又本€l的方程為．（1）若，求直線l的斜率；（2）若，求直線l所過的定點(diǎn)；（3）若，求直線l所過的定點(diǎn)；（4）若，求直線l所過的定點(diǎn)；（5）若，求直線l所過的定點(diǎn)．【解析】（1）．（2），消去n，令，∴過定點(diǎn)．（3）整理得∴過定點(diǎn)．（4）整理得，∴過定點(diǎn)．（5）整理得，∴過定點(diǎn)．例3．拋物線例3．拋物線，直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且，求證：直線l過定點(diǎn)．【解析】設(shè)直線AB方程為，，聯(lián)立得，，∴直線過定點(diǎn)．例4．不過原點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓例4．不過原點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，直線OA、AB、OB的斜率成等比數(shù)列，求證：直線l的斜率為定值．【解析】設(shè)直線AB方程為，，聯(lián)立得，于是，又，∴，得．角度三、型怎么采用齊次化運(yùn)算解決，平移是關(guān)鍵引例4．已知橢圓引例4．已知橢圓，按照平移要求變換橢圓方程，并化簡(jiǎn)平移后的橢圓方程．（1）將橢圓向左平移1個(gè)單位，求平移后的橢圓；（2）將橢圓向右平移2個(gè)單位，求平移后的橢圓；（3）將橢圓向上平移3個(gè)單位，求平移后的橢圓；（4）將橢圓向下平移4個(gè)單位，求平移后的橢圓；（5）將橢圓向左平移1個(gè)單位，向下平移個(gè)單位，求平移后的橢圓；（6）將橢圓向左平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位，求平移后的橢圓．【解析】（1），即．（2），即．（3），即．（4），即．（5），即．（6），即．例5．拋物線例5．拋物線，，直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，，求證：直線l過定點(diǎn)．【解析】將圖形向左平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位，平移后的拋物線方程為，整理得．設(shè)平移后直線方程為，，聯(lián)立得，于是，整理得，∴過定點(diǎn)，右移1個(gè)，上移2個(gè)，直線AB過定點(diǎn)．例6．橢圓例6．橢圓，點(diǎn)，為橢圓上兩點(diǎn)，．求證：直線斜率為定值．【解析】解法一：將圖形向左平移1個(gè)單位，向下平移個(gè)單位，平移后的橢圓為，整理得，設(shè)平移后直線方程為，，，，聯(lián)立得，，同時(shí)除以，，，，的斜率．解法二（換元法）：設(shè)，即化為，即建立以為未知數(shù)的一元二次方程，即可解答．為了方便運(yùn)算設(shè)，代入橢圓，得，∴設(shè)直線可方便運(yùn)算，，化簡(jiǎn)得：，，代入，得，∴直線的斜率是．例7．雙曲線例7．雙曲線，，A、B為雙曲線上兩點(diǎn)，且．AB不與x軸垂直，求證：直線AB過定點(diǎn)．【解析】將圖形左平移2個(gè)單位，平移后的雙曲線為，整理得，設(shè)平移后直線方程為，，，，聯(lián)立得，，同時(shí)除以，，，，或，AB不與x軸垂直，，∴，過，右移2個(gè)單位，原直線過．角度四、齊次化在解析幾何中的應(yīng)用例8．（2021重慶期末）已知拋物線例8．（2021重慶期末）已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為3．（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．【解析】解法1：（Ⅰ）由題意知：．（Ⅱ）證明：設(shè)該直線為，P、Q的坐標(biāo)分別為、，聯(lián)立方程有：，，∴．解法2：要證明，即證，設(shè)，過，∴，，，，同除以得，，∵，∴即．例9．如圖，橢圓例9．如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為．（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)A），證明：直線AP與AQ斜率之和為2．【解析】解法1：（Ⅰ）由題設(shè)知，，，結(jié)合，解得，∴．（Ⅱ）證明：由題意設(shè)直線PQ的方程為，代入橢圓方程，可得，由已知得在橢圓外，設(shè)，，，則，，且，解得或．則有直線AP，AQ的斜率之和為．即有直線AP與AQ斜率之和為2．解法2：（2）上移一個(gè)單位，橢圓和直線，過點(diǎn)，，，，，，，∵，同除，得，．例10．設(shè)A，B為曲線例10．設(shè)A，B為曲線上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4．（1）求直線AB的斜率；（2）設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且，求直線AB的方程．【解析】（1）設(shè)，為曲線上兩點(diǎn)，則直線AB的斜率為．（2）解法1：設(shè)直線AB的方程為，代入曲線，可得，即有，，再由的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)，可得M處切線的斜率為，由C在M處的切線與直線AB平行，可得，解得，即，由可得，，即為，化為，即為，解得，則直線AB的方程為．解法2：，，，∴，左移2個(gè)單位，下移1個(gè)單位，，，，，，，同除以，得，，，斜率，，，，，，，右2，上1，，．例11．（2017年全國(guó)卷理）已知橢圓例11．（2017年全國(guó)卷理）已知橢圓，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓C上．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)．若直線與直線的斜率的和為-1，證明：l過定點(diǎn)．【解析】（1）解：根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，，兩點(diǎn)必在橢圓C上，又的橫坐標(biāo)為1，∴橢圓必不過，∴，，三點(diǎn)在橢圓C上，把，代入橢圓C，得：，解得，，∴橢圓C的方程為．（2）證法1：①當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)，，，∵直線與直線的斜率的和為-1，∴，解得，此時(shí)l過橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿足．②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，，，，聯(lián)立，整理，得，，，則，又，∴，此時(shí)，存在k，使得成立，∴直線l的方程為，當(dāng)時(shí)，，∴過定點(diǎn)．證法2：下移1個(gè)單位得，，，，，∵同除以，，，，，，∴過，上移1個(gè)單位．例12．（2018全國(guó)一文）設(shè)拋物線例12．（2018全國(guó)一文）設(shè)拋物線，點(diǎn)，，過點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)．（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線BM的方程；（2）證明：．【解析】（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，，代入拋物線解得，∴或，直線BM的方程：，或．（2）解法1：證明：設(shè)直線l的方程為，，，聯(lián)立直線l與拋物線方程得，消x得，即，，則有，∴直線BN與BM的傾斜角互補(bǔ)，∴．解法2：（2）右移2個(gè)單位，過即，，，，，，∵，同除以，得，，∴．例13．（2018全國(guó)一卷理）設(shè)橢圓例13．（2018全國(guó)一卷理）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為．（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．【解析】（1），∴，∵l與x軸垂直，∴，由，解得或，∴，或，∴直線AM的方程為，．（2）證明：解法1：當(dāng)l與x軸重合時(shí)，，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，∴．當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為，，，，則，，直線MA，MB的斜率之和為，之和為，由，得，將代入可得，∴，，∴，從而，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)，∴，綜上．解法2：左移2個(gè)單位，過即．，，，，∵，同除以，得，，∴．例14．（2020·新課標(biāo)Ⅰ）已知A，B分別為橢圓例14．（2020·新課標(biāo)Ⅰ）已知A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，．P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn)．【解析】（1）由題意，，，∴，，，解得：，故橢圓E的方程是．（2）證法1：由（1）知，，設(shè)，則直線的方程是，聯(lián)立，由韋達(dá)定理，代入直線PA的方程為得：，即，直線PB的方程是，聯(lián)立方程，由韋達(dá)定理，代入直線PB的方程為得，即，則①當(dāng)即時(shí)，有，此時(shí)，即CD為直線．②時(shí)，直線CD的斜率，∴直線CD的方程是，整理得：，直線CD過定點(diǎn)．綜合①②故直線CD過定點(diǎn)．證法2：設(shè)，，，則，，根據(jù)橢圓第三定義（本書后面有詳細(xì)講解），，∴，則，將圖像向右移動(dòng)3個(gè)單位，則橢圓和直線，聯(lián)立得：，，即，兩邊同時(shí)除以，得：，則，解得，則直線過定點(diǎn)，則平移前過．例15．（2020·山東）已知橢圓例15．（2020·山東）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求C的方程；（2）點(diǎn)M，N在C上，且，，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得為定值．【解析】（1）∵離心率，∴，又，∴，，把點(diǎn)代入橢圓方程得，，解得，故橢圓C的方程為．（2）證法1：①當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，聯(lián)立，得，由，知，設(shè)，，則，，∵，∴，即，∴，化簡(jiǎn)整理得，，∴或，當(dāng)時(shí)，，過定點(diǎn)，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，過定點(diǎn)．設(shè)，則，（i）若，∵，∴，解得，，∴，∴點(diǎn)D在以為圓心，為半徑的圓上，故存在，使得，為定值．（ii）若，則直線MN的方程為，∵，∴，∴，為定值．②當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，設(shè)其方程為，，，且，∵，∴，解得或2（舍2），∴，此時(shí)，為定值．綜上所述，存在定點(diǎn)，使得為定值，且該定值為．證法2：將圖像向左移動(dòng)兩個(gè)單位，向下移動(dòng)一個(gè)單位，那么平移后的和直線，聯(lián)立得：，兩邊同時(shí)除以，得：，∵，∴，∴，，即，過定點(diǎn)，則平移前該直線過定點(diǎn)．在△ADP中，，則D點(diǎn)的軌跡是以AP為直徑，∵A為定點(diǎn)，P為定點(diǎn)，則為定值，則Q為AP中點(diǎn)，此時(shí)為定值，∵，，則，．例16．（2022惠州模擬）已知左焦點(diǎn)為例16．（2022惠州模擬）已知左焦點(diǎn)為的橢圓過點(diǎn)，過點(diǎn)分別作斜率為，的橢圓的動(dòng)弦AB，CD，設(shè)M，N分別為線段AB，CD的中點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若P為線段AB的中點(diǎn)，求；（3）若，求證：直線MN恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)【解析】（1）由題意，且右焦點(diǎn)，∴，，∴所求橢圓方程為．（2）設(shè)，，則①，②②-①，可得．（3）證法1：由題意，，設(shè)，直線AB的方程為，即，代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得，∴，，同理，，，當(dāng)時(shí)，直線MN的斜率，直線MN的方程為，即，此時(shí)直線過定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，直線MN即為y軸，此時(shí)亦過點(diǎn)．綜上，直線MN恒過定點(diǎn)，且坐標(biāo)為．證法2：設(shè)過點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由點(diǎn)差法得，即中點(diǎn)的軌跡方程為，將點(diǎn)P平移到原點(diǎn)，整體左移1個(gè)單位，下移1個(gè)單位，設(shè)平移后的MN方程為，曲線為，，，同除以，得，∵，∴，，∴過定點(diǎn)，則平移前的MN過定點(diǎn)．例17．（2022武漢模擬）已知橢圓例17．（2022武漢模擬）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A，B，過橢圓內(nèi)點(diǎn)且不與x軸重合的動(dòng)直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)直線PQ與x軸垂直時(shí)，．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線AP，AQ和直線分別交于點(diǎn)M，N，若恒成立，求t的值．【解析】（Ⅰ）由得，故C的方程為，此時(shí)，代入方程，解得，故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（Ⅱ）解法1：設(shè)直線PQ的方程為：，與橢圓聯(lián)立得，設(shè)，，則，①此時(shí)直線PA的方程為，與聯(lián)立，得點(diǎn)，同理，，由，則，即，，即，把①代入得，化簡(jiǎn)得，即，，解得或．解法2：公共點(diǎn)，右移2個(gè)單位后過，∴，，，，，等式兩邊同時(shí)除以x，，，∵，∴，，直線，，，解得或．角度五、齊次化運(yùn)算為什么不是解決圓錐曲線的常規(guī)武器通過上面分析，我們可以發(fā)現(xiàn)，齊次化運(yùn)算比傳統(tǒng)的設(shè)而不求運(yùn)算量大大的降低，但為什么齊次化運(yùn)算并不是常規(guī)武器呢？首先我們總結(jié)一下齊次化運(yùn)算步驟通過上面的步驟可以看出，本方法適用于斜率的相關(guān)問題，有較大的局限性，當(dāng)然，還有一個(gè)難點(diǎn)在于方程消元的基本思路是消未知數(shù)，而本方法是消去常數(shù)，這也是學(xué)生不適應(yīng)之處．但更大的難點(diǎn)是如果通過審題，轉(zhuǎn)化為斜率之積、之和問題．下面通過兩道題來(lái)說明：例18．例18．分別是橢圓左右頂點(diǎn)，是直線的動(dòng)點(diǎn)，交于另一點(diǎn)，交于另一點(diǎn)．求證：直線過定點(diǎn)．思路一：本問題沒有直接的提到斜率之和（積），而且很容易入手，分別設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，消去得到關(guān)于的常數(shù)項(xiàng)為的方程，即可解出坐標(biāo)，然后寫出方程．在實(shí)際運(yùn)算中，坐標(biāo)，過定點(diǎn)運(yùn)算量巨大．本方法少思、多算．解答如下：證法一：設(shè)，則直線的方程為：，即：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或，將代入直線可得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，整理可得：，整理得：，所以直線過定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，直線：，直線過點(diǎn)．故直線CD過定點(diǎn)．思路二：連接，由橢圓第三定義得，而，可得：就可以采用本方法解答．證法二：設(shè)交點(diǎn)，即化為，設(shè)，得故設(shè)易算．計(jì)算如下：，可知直線過定點(diǎn)．例19．例19．分別是橢圓下上兩頂點(diǎn)，過的直線交于的，，設(shè)直線的斜率為，，求直線的方程．【分析】已知給出了，但還是沒有斜率之積（和）為定值，還是要用到橢圓的第三定義，得到即可采用齊次化運(yùn)算了．【解析】設(shè)交點(diǎn)，即化為，設(shè)，得所以設(shè)易算．計(jì)算如下：，又過，得，∴直線的方程的方程：．角度六、為什么斜率為會(huì)是定值，從平面幾何看眾所周知，直徑所對(duì)的圓周角為直角，其實(shí)圓相交弦的還有如下性質(zhì)．如圖圓中，為直徑，與交于，則有如下性質(zhì)：．引入坐標(biāo)系，如圖建系，設(shè)，則，且與的交點(diǎn)在直線上．【簡(jiǎn)證】，分別在，由正弦定理得：，，所以，，而．那么橢圓怎么有這些性質(zhì)呢？如圖，圓的方程為，橢圓方程為：，設(shè)，，則，，更具一般性質(zhì)的橢圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)如如下：在橢圓中，為橢圓的中心，是橢圓上兩點(diǎn)且關(guān)于對(duì)稱，直線上一點(diǎn)，過的直線交橢圓于，則如果為定點(diǎn)，則為定值，反之亦成立．例20．例20．分別是橢圓左右頂點(diǎn)，是直線的動(dòng)點(diǎn)，交于另一點(diǎn)，交于另一點(diǎn)．求證：直線過定點(diǎn)．【分析】用幾何法，，得，所以過．例21．例21．分別是橢圓下上兩頂點(diǎn)，過的直線交于的，，設(shè)直線的斜率為，，求直線的方程．【分析】用幾何法，，得，所以，所以直線的方程的方程：．【評(píng)注】用平面幾何的視角，對(duì)本問題進(jìn)行證明，使代數(shù)，解析幾何，平面幾何三者融合．角度七、齊次化妙解圓錐曲線步驟總結(jié)齊次化運(yùn)算在解析幾何中的運(yùn)算，只可以處理斜率之和（積）的問題，基本步驟如下：重點(diǎn)一在于通過分析題意，明確能不能用本方法，二在于直線方程的設(shè)元技巧，三在于消元中的齊次化運(yùn)算．【提升訓(xùn)練】1．（2022閻良區(qū)期末）已知拋物線，直線l經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)，且垂直于拋物線C的對(duì)稱軸，直線l與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，且．(1)求拋物線C的方程；(2)已知點(diǎn)，直線與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)直線PA與直線PB的斜率分別為和，求證：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）將用表示，得出的值，進(jìn)而得拋物線方程；（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)斜率計(jì)算公式結(jié)合韋達(dá)定理即可得結(jié)果.【解析】（1）由題意可得，得，∴拋物線.（2）證明：，聯(lián)立，得．由，得或，設(shè)，，則，，∴.2．（2022連云港期末）已知直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)．(1)若直線l的斜率為-1，且經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求證：直線l過定點(diǎn)．【答案】(1)8(2)證明見解析【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式結(jié)合韋達(dá)定理即可得解；（2）直線AB方程為：，由向量數(shù)量積公式結(jié)合韋達(dá)定理可得的值，進(jìn)而可得結(jié)果.【解析】(1)拋物線為，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線AB斜率為，則直線AB方程為：，設(shè)，，由得：，可得，由拋物線定義可得，∴．(2)設(shè)直線AB方程為：，設(shè)，，∵，∴，∴，由得：，∴；；∴，解得或，當(dāng)時(shí)，直線AB過原點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，直線AB過點(diǎn)．故當(dāng)時(shí)，直線AB過定點(diǎn)．3．（2022滁州期末）已知點(diǎn)在圓上，，，線段的垂直平分線與相交于點(diǎn).（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;（2）若過點(diǎn)的直線斜率存在，且直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡相交于，兩點(diǎn).證明：直線與的斜率之積為定值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由圓的方程可得：圓心，半徑，，，由橢圓的定義即可求解；（2）設(shè)，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算，，再計(jì)算即可求解.【詳解】（1）由得，圓心，半徑，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，，，由橢圓的定義可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓．從而，故所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．（2）設(shè)，，由消去得，顯然．，可設(shè)直線與的斜率分別為則即直線與的斜率之積為定值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求軌跡方程的常用方法（1）直接法：如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量，如（距離和角）的等量關(guān)系，或幾何條件簡(jiǎn)單明了易于表達(dá)，只需要把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為的等式，就能得到曲線的軌跡方程；（2）定義法：某動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某一基本軌跡如直線、圓錐曲線的定義，則可根據(jù)定義設(shè)方程，求方程系數(shù)得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（3）幾何法：若所求軌跡滿足某些幾何性質(zhì)，如線段的垂直平分線，角平分線的性質(zhì)，則可以用幾何法，列出幾何式，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（4）相關(guān)點(diǎn)法（代入法）：若動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不變用等式表示，但動(dòng)點(diǎn)是隨著另一動(dòng)點(diǎn)（稱之為相關(guān)點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且相關(guān)點(diǎn)滿足的條件是明顯的或是可分析的，這時(shí)我們可以用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程，求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（5）交軌法：在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)求兩個(gè)動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這類問題常常通過解方程組得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)即可求出所求軌跡的方程.4．（2022荔灣區(qū)期末）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且橢圓的上頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)所在直線的斜率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上異于左頂點(diǎn)的兩個(gè)點(diǎn)，若以為直徑的圓過點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）由橢圓的定義，性質(zhì)列方程，求出的值，再得到橢圓的方程；（2）設(shè)出直線BC方程，與橢圓聯(lián)立，由題可得，利用建立關(guān)系可得.【詳解】（1）由已知設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，右焦點(diǎn)為，則由已知可得，解得，所以橢圓方程為；（2）可得，設(shè)直線方程為，代入橢圓方程可得，設(shè)，則，，，以為直徑的圓過點(diǎn)，，即，，解得或，又，故，所以直線方程為，故直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程；（3）寫出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.5．（2022醴陵市期中）已知橢圓的左右頂點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn)，且橢圓的上頂點(diǎn)到雙曲線的漸近線距離為．(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)F為橢圓的左焦點(diǎn)，不垂直于x軸且不過F點(diǎn)的直線l與曲線相交于A、B兩點(diǎn)，若直線FA、FB的斜率之和為0，則動(dòng)直線l是否一定經(jīng)過一定點(diǎn)？若存在這樣的定點(diǎn)，則求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在這樣的定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）由雙曲線頂點(diǎn)求出a，再由點(diǎn)到直線距離求出b作答.（2）設(shè)出直線l的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及斜率坐標(biāo)公式計(jì)算、推理作答.【解析】（1）雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，依題意，，橢圓上頂點(diǎn)為到直線的距離，解得，所以橢圓的方程為．（2）依題意，設(shè)直線l的方程為，、，點(diǎn)，由消去y并整理得，則，，直線FA、FB的斜率之和為，即，有，整理得，此時(shí)，，否則，直線l過F點(diǎn)，因此當(dāng)且，即且時(shí)，直線l與橢圓交于兩點(diǎn)，直線l：，所以符合條件的動(dòng)直線l過定點(diǎn)．6．（2022德州期末）橢圓的離心率為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行于軸時(shí)，直線被橢圓截得線段長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）在軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得直線變化時(shí)，總有？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在定點(diǎn)滿足題意.【詳解】試題分析：（1）由橢圓的離心率是，直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為列方程組求出，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線方程為，由得，，根據(jù)韋達(dá)定理及斜率公式可得，令，可得符合題意.試題解析：（1）∵，∴，橢圓方程化為：，由題意知，橢圓過點(diǎn)，∴，解得，所以橢圓的方程為：；（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程：，由得，，設(shè)，假設(shè)存在定點(diǎn)（t不為2）符合題意，∵，∴，∴，∵上式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒等于零，∴，即，∴，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，兩點(diǎn)分別為橢圓的上下頂點(diǎn)，顯然此時(shí)，綜上，存在定點(diǎn)滿足題意．7．（2022滑縣期末）已知橢圓，點(diǎn)在橢圓上，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成的四邊形的面積為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸的左端點(diǎn)，為橢圓上異于橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)的兩點(diǎn)，記直線斜率分別為，若，請(qǐng)判斷直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．（2022吳起縣校級(jí)模擬）【答案】(1)(2)直線過定點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積和橢圓所過點(diǎn)可構(gòu)造方程組求得，由此可得橢圓方程；（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，結(jié)合兩點(diǎn)連線斜率公式可得，代入韋達(dá)定理的結(jié)論可整理求得或；當(dāng)時(shí)可知直線過，不合題意；當(dāng)可求得直線過定點(diǎn)；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，利用可求得，可知直線過點(diǎn)；綜合可得定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)連線構(gòu)成的四邊形面積，；又橢圓過點(diǎn)，，由得：，橢圓的方程為：.（2）由（1）知：，設(shè)，；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，由得：，則，解得：；，，，，，解得：或當(dāng)時(shí)，直線，恒過定點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線，恒過定點(diǎn)；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)，由得：，，解得：（舍）或，直線過點(diǎn)；綜上所述：直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的直線過定點(diǎn)問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡(jiǎn)直線方程；④根據(jù)直線過定點(diǎn)的求解方法可求得結(jié)果.8．（2022吳起縣校級(jí)模擬）已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為的橢圓過點(diǎn)（，）．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l與該橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，求直線l的斜率．【答案】（Ⅰ）+y2=1；（Ⅱ）±．【詳解】試題分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓的方程，將已知點(diǎn)代入橢圓的方程及利用橢圓的離心率公式得到關(guān)于橢圓的三個(gè)參數(shù)的等式，解方程組求出a，b，c的值，代入橢圓方程即可．（Ⅱ）設(shè)出直線的方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的二次方程，利用韋達(dá)定理得到關(guān)于兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，將直線OP，PQ，OQ的斜率用坐標(biāo)表示，據(jù)已知三個(gè)斜率成等比數(shù)列，列出方程，將韋達(dá)定理得到的等式代入，求出k的值．解：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓方程為+=1（a＞b＞0），則e==，a2﹣b2=c2，+=1，解得a=2，b=1，可得橢圓方程為+y2=1；（Ⅱ）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，則△=64k2b2﹣16（1+4k2b2）（b2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，且x1+x2=﹣，x1x2=．故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．因?yàn)橹本€OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，所以?=k2，即k2+=k2，即+m2=0，又m≠0，所以k2=，即k=±．即有直線l的斜率為±．考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．9．（2022廣東一模）已知橢圓的離心率為，過橢圓C右焦點(diǎn)并垂直于x軸的直線PM交橢圓C于P，M（點(diǎn)P位于x軸上方）兩點(diǎn)，且△OPM（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l交橢圓C于A，B（A，B異于點(diǎn)P）兩點(diǎn)，且直線PA與PB的斜率之積為，求點(diǎn)P到直線l距離的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，根據(jù)離心率和面積即可列出方程求解，.（1）由題意可得，∴由題意可得且，解得，，∴橢圓的方程為：．（2）解法1：由（1）可得，當(dāng)直線沒有斜率時(shí)，設(shè)方程為：，則，此時(shí)，化簡(jiǎn)得：又，解得或（舍去），此時(shí)P到直線l的距離為設(shè)直線l有斜率時(shí)，設(shè)，，設(shè)其方程為：，聯(lián)立可得且整理可得：，，且，，，整理可得：，整理可得，整理可得，即，或，若，則直線方程為：，直線恒過，與P點(diǎn)重合，若，則直線方程為：，∴直線恒過定點(diǎn)，∴P到直線l的距離的最大值為的值為，由于∴點(diǎn)P到直線l距離的最大值．解法2：公共點(diǎn)，左移1個(gè)單位，下移個(gè)單位，，，，，等式兩邊同時(shí)除以，，，，，過，右移1個(gè)單位，上移個(gè)單位，過，∴P到直線l的距離的最大值為的值為，由于∴點(diǎn)P到直線l距離的最大值．10．（2022相城區(qū)月考）已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M，N是橢圓上異于A，B的不同兩點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：直線過定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）由，得到，再由點(diǎn)在該橢圓上，求得的值，即可求得橢圓的方程；（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組求得，再由的的方程，聯(lián)立方程組，求得，結(jié)合斜率公式，進(jìn)而得到直線過定點(diǎn).【詳解】（1）由橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上，可得，所以，又點(diǎn)在該橢圓上，所以，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由于的斜率為，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，所以，所以，從而，即，同理可得：由于的斜率為，則，聯(lián)立方程組，可得，即，所以，所以，從而，即，當(dāng)時(shí)即；時(shí)，，過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，即，所以直線過點(diǎn)，綜上可得，直線過點(diǎn).【點(diǎn)睛】解答圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問題的策略：1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點(diǎn)問題的思路：①引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點(diǎn)的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，得出定點(diǎn)的坐標(biāo)；2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點(diǎn)問題時(shí)，常根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).11．（2022漳州期末）已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，OAB的面積為.（1）求橢圓C的方程；（2）過右焦點(diǎn)F作與x軸不重合的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，連接AP，AQ，分別交直線x=3于M，N兩點(diǎn)，若直線MF，NF的斜率分別為k1，k2，試問:k1k2是不是定值？若是，求出該值，若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）+=1；（2）是，定值-.【分析】解法一:（1）根據(jù)離心率為，OAB的面積為，由求解（2）由（1）知F(1，0)，A(2，0)，①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1，與橢圓方程聯(lián)立，分別求得P，Q的坐標(biāo)，進(jìn)而得到M，N的坐標(biāo)，利用斜率公式求解；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)，與橢圓方程聯(lián)立，利用斜率公式結(jié)合韋達(dá)定理求解；解法二:（1）同解法一.（2）由（1）知F(1，0)，A(2，0)，設(shè)直線l的方程為x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立，利用斜率公式結(jié)合韋達(dá)定理求解；【詳解】解法一:（1）由題意得解得所以橢圓C的方程為+=1.（2）由（1）知F(1，0)，A(2，0)，①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1，聯(lián)立得不妨設(shè)P，Q，則直線AP的方程為y=(x-2)，令x=3，得y=-，則M，此時(shí)k1==-，同理k2=，所以k1k2=-×=-；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)，聯(lián)立得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1+x2=，x1x2=，直線AP的方程為y=(x-2)，令x=3，得y=，則M，同理，N，所以k1===，k2===，所以k1k2=·=，=，==-.綜上所述，k1k2為定值-.解法二:（1）同解法一.（2）由（1）知F(1，0)，A(2，0)，設(shè)直線l的方程為x=my+1，聯(lián)立得(3m2+4)y2+6my-9=0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1+y2=，y1y2=.直線AP的方程為y=(x-2)，令x=3，得y=，則M，同理，N，所以k1===，k2===，所以k1k2=·=，=，==-，所以k1k2為定值-.12．（2022龍湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，過且垂直于軸的直線與橢圓相交于?兩點(diǎn)(在的上方)，.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)?是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，試問直線的斜率是否為定值，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）是定值，理由見解析.【解析】（1）由焦點(diǎn)及通經(jīng)長(zhǎng)，用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線：，與橢圓聯(lián)立，用“設(shè)而不求法”表示，整理得.【詳解】（1）由得：，橢圓的方程：（2）依題意知直線的斜率存在，設(shè)方程：，代入橢圓方程得：(*)，由得，整理得：或當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)，不合題意，，直線的斜率是定值另解：設(shè)直線的方程為橢圓的方程即：即：聯(lián)立得：即由得即：直線的斜率為，是定值.【點(diǎn)睛】（1）待定系數(shù)法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；"設(shè)而不求"是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題.13．（2022湖北期末）設(shè)曲線過兩點(diǎn)，直線與曲線交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn).（1）求曲線的方程；（2）記直線的斜率分別為，求證：，其中為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由已知建立方程組可求得曲線的方程；（2）令，則，聯(lián)立整理得，設(shè)，，表示，，可求得定值．【詳解】解：（1）由已知得，解得，所以曲線的方程為；（2）令，則，聯(lián)立，整理得，設(shè)，則，∴，，又，∴，∴等于定值2，得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓的綜合問題，關(guān)鍵在于由直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立后，由根與系數(shù)的關(guān)系表示直線的斜率，求得定值．14．（2022光明區(qū)期末）已知橢圓的離心率為，設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，且，1，為等比數(shù)列.（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)P（4，0）作直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)（直線l與x軸不重合），設(shè)直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，判斷是否為定值？若是，求出該值；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)；(2)為定值.【分析】(1)根據(jù)已知條件，解列方程組即可得到橢圓C的方程；(2)根據(jù)題意，設(shè)出直線l的方程，再與橢圓C的方程的聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出與，進(jìn)而表示出與，即可判斷是否為定值.【詳解】(1)由題意得，故，又，故橢圓C的方程為：.(2)由題意，設(shè)直線l：，，，聯(lián)立，得，則，即，由韋達(dá)定理得：，，結(jié)合，得：，，故，因點(diǎn)在橢圓上，故，則，因此，故為定值.【點(diǎn)睛】求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．15．（2022合肥期末）已知橢圓E：的離心率為，點(diǎn)在橢圓E上.（1）求橢圓E的方程；（2）過點(diǎn)任作一條直線l，l與橢圓E交