2020年山東省濟寧市中考數學試卷（含解析版）

2020年山東省濟寧市中考數學試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1．（3分）﹣的相反數是（）A．﹣ B．﹣ C． D．2．（3分）用四舍五入法將數3.14159精確到千分位的結果是（）A．3.1 B．3.14 C．3.142 D．3.1413．（3分）下列各式是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．4．（3分）一個多邊形的內角和是1080°，則這個多邊形的邊數是（）A．9 B．8 C．7 D．65．（3分）一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時的速度向正北航行，2小時后到達海島B處．燈塔C在海島A的北偏西42°方向上，在海島B的北偏西84°方向上．則海島B到燈塔C的距離是（）A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里6．（3分）下表中記錄了甲、乙、丙、丁四名運動員跳遠選拔賽成績（單位：cm）的平均數和方差，要從中選擇一名成績較高且發(fā)揮穩(wěn)定的運動員參加決賽，最合適的運動員是（）甲乙丙丁平均數376350376350方差s212.513.52.45.4A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．（3分）數形結合是解決數學問題常用的思想方法．如圖，直線y＝x+5和直線y＝ax+b相交于點P，根據圖象可知，方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝158．（3分）如圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中所示數據計算這個幾何體的側面積是（）A．12πcm2 B．15πcm2 C．24πcm2 D．30πcm29．（3分）如圖，在△ABC中，點D為△ABC的內心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．則△DBC的面積是（）A．4 B．2 C．2 D．410．（3分）小明用大小和形狀都完全一樣的正方體按照一定規(guī)律排放了一組圖案（如圖所示），每個圖案中他只在最下面的正方體上寫“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）個圖案中有1個正方體，第（2）個圖案中有3個正方體，第（3）個圖案中有6個正方體，…按照此規(guī)律，從第（100）個圖案所需正方體中隨機抽取一個正方體，抽到帶“心”字正方體的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．11．（3分）分解因式a3﹣4a的結果是．12．（3分）已知三角形的兩邊長分別為3和6，則這個三角形的第三邊長可以是（寫出一個即可）．13．（3分）已如m+n＝﹣3，則分式÷（﹣2n）的值是．14．（3分）如圖，小明在距離地面30米的P處測得A處的俯角為15°，B處的俯角為60°．若斜面坡度為1：，則斜坡AB的長是米．15．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，以AB為直徑的半圓O經過點C，D．AC與BD相交于點E，CD2＝CE?CA，分別延長AB，DC相交于點P，PB＝BO，CD＝2．則BO的長是．三、解答題：本大題共7小題，共55分．16．（6分）先化簡，再求值：（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x），其中x＝．17．（7分）某校舉行了“防溺水”知識競賽．八年級兩個班各選派10名同學參加預賽，依據各參賽選手的成績（均為整數）繪制了統(tǒng)計表和折線統(tǒng)計圖（如圖所示）．班級八（1）班八（2）班最高分10099眾數a98中位數96b平均數c94.8（1）統(tǒng)計表中，a＝，b＝，c＝；（2）若從兩個班的預賽選手中選四名學生參加決賽，其中兩個班的第一名直接進入決賽，另外兩個名額在成績?yōu)?8分的學生中任選兩個，求另外兩個決賽名額落在不同班級的概率．18．（7分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點P在BC上．（1）求作：△PCD，使點D在AC上，且△PCD∽△ABP；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，若∠APC＝2∠ABC．求證：PD∥AB．19．（8分）在△ABC中，BC邊的長為x，BC邊上的高為y，△ABC的面積為2．（1）y關于x的函數關系式是，x的取值范圍是；（2）在平面直角坐標系中畫出該函數圖象；（3）將直線y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）個單位長度后與上述函數圖象有且只有一個交點，請求出此時a的值．20．（8分）為加快復工復產，某企業(yè)需運輸一批物資．據調查得知，2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運輸600箱；5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運輸1350箱．（1）求1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運輸多少箱物資；（2）計劃用兩種貨車共12輛運輸這批物資，每輛大貨車一次需費用5000元，每輛小貨車一次需費用3000元．若運輸物資不少于1500箱，且總費用小于54000元．請你列出所有運輸方案，并指出哪種方案所需費用最少．最少費用是多少？21．（9分）我們把方程（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2稱為圓心為（m，n）、半徑長為r的圓的標準方程．例如，圓心為（1，﹣2）、半徑長為3的圓的標準方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝9．在平面直角坐標系中，⊙C與x軸交于點A，B，且點B的坐標為（8，0），與y軸相切于點D（0，4），過點A，B，D的拋物線的頂點為E．（1）求⊙C的標準方程；（2）試判斷直線AE與⊙C的位置關系，并說明理由．22．（10分）如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC，點E，F，G分別在邊BC，CD上，BE＝CG，AF平分∠EAG，點H是線段AF上一動點（與點A不重合）．（1）求證：△AEH≌△AGH；（2）當AB＝12，BE＝4時．①求△DGH周長的最小值；②若點O是AC的中點，是否存在直線OH將△ACE分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1：3．若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．

2020年山東省濟寧市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1．（3分）﹣的相反數是（）A．﹣ B．﹣ C． D．【分析】直接利用相反數的定義分析得出答案．【解答】解：﹣的相反數是：．故選：D．【點評】此題主要考查了相反數，正確把握定義是解題關鍵．2．（3分）用四舍五入法將數3.14159精確到千分位的結果是（）A．3.1 B．3.14 C．3.142 D．3.141【分析】把萬分位上的數字5進行四舍五入．【解答】解：3.14159精確到千分位的結果是3.142．故選：C．【點評】本題考查了近似數和有效數字：“精確到第幾位”和“有幾個有效數字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實際意義是不一樣的，前者可以體現出誤差值絕對數的大小，而后者往往可以比較幾個近似數中哪個相對更精確一些．3．（3分）下列各式是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】利用最簡二次根式定義判斷即可．【解答】解：A、是最簡二次根式，符合題意；B、＝2，不是最簡二次根式，不符合題意；C、＝a，不是最簡二次根式，不符合題意；D、＝，不是最簡二次根式，不符合題意．故選：A．【點評】此題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的定義是解本題的關鍵．4．（3分）一個多邊形的內角和是1080°，則這個多邊形的邊數是（）A．9 B．8 C．7 D．6【分析】多邊形的內角和可以表示成（n﹣2）?180°，依此列方程可求解．【解答】解：設所求正n邊形邊數為n，則1080°＝（n﹣2）?180°，解得n＝8．故選：B．【點評】本題考查根據多邊形的內角和計算公式求多邊形的邊數，解答時要會根據公式進行正確運算、變形和數據處理．5．（3分）一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時的速度向正北航行，2小時后到達海島B處．燈塔C在海島A的北偏西42°方向上，在海島B的北偏西84°方向上．則海島B到燈塔C的距離是（）A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里【分析】根據題意畫出圖形，根據三角形外角性質求出∠C＝∠CAB＝42°，根據等角對等邊得出BC＝AB，求出AB即可．【解答】解：如圖．根據題意得：∠CBD＝84°，∠CAB＝42°，∴∠C＝∠CBD﹣∠CAB＝42°＝∠CAB，∴BC＝AB，∵AB＝15×2＝30，∴BC＝30，即海島B到燈塔C的距離是30海里．故選：C．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，等腰三角形的判定和三角形的外角性質，關鍵是求出∠C＝∠CAB，題目比較典型，難度不大．6．（3分）下表中記錄了甲、乙、丙、丁四名運動員跳遠選拔賽成績（單位：cm）的平均數和方差，要從中選擇一名成績較高且發(fā)揮穩(wěn)定的運動員參加決賽，最合適的運動員是（）甲乙丙丁平均數376350376350方差s212.513.52.45.4A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】首先比較平均數，平均數相同時選擇方差較小的運動員參加．【解答】解：∵乙和丁的平均數最小，∴從甲和丙中選擇一人參加比賽，∵丙的方差最小，∴選擇丙參賽．故選：C．【點評】此題考查了平均數和方差，方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩(wěn)定．7．（3分）數形結合是解決數學問題常用的思想方法．如圖，直線y＝x+5和直線y＝ax+b相交于點P，根據圖象可知，方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15【分析】兩直線的交點坐標為兩直線解析式所組成的方程組的解．【解答】解：∵直線y＝x+5和直線y＝ax+b相交于點P（20，25）∴直線y＝x+5和直線y＝ax+b相交于點P為x＝20．故選：A．【點評】本題主要考查了一次函數與一元一次方程：任何一元一次方程都可以轉化為ax+b＝0（a，b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為0時，求相應的自變量的值．從圖象上看，相當于已知直線y＝ax+b確定它與x軸的交點的橫坐標的值．8．（3分）如圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中所示數據計算這個幾何體的側面積是（）A．12πcm2 B．15πcm2 C．24πcm2 D．30πcm2【分析】由幾何體的三視圖可得出原幾何體為圓錐，根據圖中給定數據求出母線l的長度，再套用側面積公式即可得出結論．【解答】解：由三視圖可知，原幾何體為圓錐，∵l＝＝5（cm），∴S側＝?2πr?l＝×2π××5＝15π（cm2）．故選：B．【點評】本題考查了由三視圖判斷幾何體、圓錐的計算以及勾股定理，由幾何體的三視圖可得出原幾何體為圓錐是解題的關鍵．9．（3分）如圖，在△ABC中，點D為△ABC的內心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．則△DBC的面積是（）A．4 B．2 C．2 D．4【分析】過點B作BH⊥CD的延長線于點H．由點D為△ABC的內心，∠A＝60°，得∠BDC＝120°，則∠BDH＝60°，由BD＝4，求得BH，根據三角形的面積公式即可得到結論．【解答】解：過點B作BH⊥CD的延長線于點H．∵點D為△ABC的內心，∠A＝60°，∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），∴∠BDC＝90°+∠A＝90°+×60°＝120°，則∠BDH＝60°，∵BD＝4，∴DH＝2，BH＝2，∵CD＝2，∴△DBC的面積＝CD?BH＝＝2，故選：B．【點評】本題考查了三角形內心的相關計算，熟練運用含30°角的直角三角形的性質是解題的關鍵．10．（3分）小明用大小和形狀都完全一樣的正方體按照一定規(guī)律排放了一組圖案（如圖所示），每個圖案中他只在最下面的正方體上寫“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）個圖案中有1個正方體，第（2）個圖案中有3個正方體，第（3）個圖案中有6個正方體，…按照此規(guī)律，從第（100）個圖案所需正方體中隨機抽取一個正方體，抽到帶“心”字正方體的概率是（）A． B． C． D．【分析】先根據已知圖形得出第100個圖形中，正方體一共有1+2+3+……+99+100＝5050（個），再用帶“心”字的正方體個數除以總個數即可得．【解答】解：∵第1個圖形中正方體的個數為1，第2個圖形中正方體的個數3＝1+2，第3個圖形中正方體的個數6＝1+2+3，∴第100個圖形中，正方體一共有1+2+3+……+99+100＝＝5050（個），其中寫有“心”字的正方體有100個，∴抽到帶“心”字正方體的概率是＝，故選：D．【點評】本題主要考查概率公式及圖形的變化規(guī)律，解題的關鍵是得出第n個圖形中正方體個數和概率公式．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．11．（3分）分解因式a3﹣4a的結果是a（a+2）（a﹣2）．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．故答案為：a（a+2）（a﹣2）．【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．12．（3分）已知三角形的兩邊長分別為3和6，則這個三角形的第三邊長可以是4（寫出一個即可）．【分析】根據三角形的三邊關系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于三邊”，求得第三邊的取值范圍，即可得出結果．【解答】解：根據三角形的三邊關系，得第三邊應大于6﹣3＝3，而小于6+3＝9，故第三邊的長度3＜x＜9，這個三角形的第三邊長可以，4．故答案為：4．【點評】此題主要考查了三角形的三邊關系，根據三角形三邊關系定理列出不等式，然后解不等式，確定取值范圍即可．13．（3分）已如m+n＝﹣3，則分式÷（﹣2n）的值是．【分析】根據分式運算法則即可求出答案．【解答】解：原式＝÷＝?＝，當m+n＝﹣3時，原式＝故答案為：【點評】本題考查分式，解題的關鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于基礎題型．14．（3分）如圖，小明在距離地面30米的P處測得A處的俯角為15°，B處的俯角為60°．若斜面坡度為1：，則斜坡AB的長是20米．【分析】如圖所示：過點A作AF⊥BC于點F，根據三角函數的定義得到∠ABF＝30°，根據已知條件得到∠HPB＝30°，∠APB＝45°，求得∠HBP＝60°，解直角三角形即可得到結論．【解答】解：如圖所示：過點A作AF⊥BC于點F，∵斜面坡度為1：，∴tan∠ABF＝＝＝，∴∠ABF＝30°，∵在P處進行觀測，測得山坡上A處的俯角為15°，山腳B處的俯角為60°，∴∠HPB＝30°，∠APB＝45°，∴∠HBP＝60°，∴∠PBA＝90°，∠BAP＝45°，∴PB＝AB，∵PH＝30m，sin60°＝＝＝，解得：PB＝20，故AB＝20（m），答：斜坡AB的長是20m，故答案為：20．【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，正確得出PB＝AB是解題關鍵．15．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，以AB為直徑的半圓O經過點C，D．AC與BD相交于點E，CD2＝CE?CA，分別延長AB，DC相交于點P，PB＝BO，CD＝2．則BO的長是4．【分析】由CD2＝CE?CA和∠ACD＝∠DCE，可判斷△CAD∽△CDE，得到∠CAD＝∠CDE，再根據圓周角定理得∠CAD＝∠CBD，所以∠CDB＝∠CBD，于是利用等腰三角形的判定可得BC＝DC，連結OC，如圖，設⊙O的半徑為r，先證明OC∥AD，利用平行線分線段成比例定理得到＝2，則PC＝2CD＝4，然后證明△PCB∽△PAD，利用相似比得，再利用比例的性質可計算出r的值．【解答】解：連結OC，如圖，∵CD2＝CE?CA，∴，而∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC；設⊙O的半徑為r，∵CD＝CB，∴，∴∠BOC＝∠BAD，∴OC∥AD，∴，∴PC＝2CD＝4，∵∠PCB＝∠PAD，∠CPB＝∠APD，∴△PCB∽△PAD，∴，即，∴r＝4，∴OB＝4，故答案為4．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質：三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；或依據基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構造相似三角形，判定三角形相似的方法有時可單獨使用，有時需要綜合運用，無論是單獨使用還是綜合運用，都要具備應有的條件方可．也考查了圓周角定理．三、解答題：本大題共7小題，共55分．16．（6分）先化簡，再求值：（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x），其中x＝．【分析】直接利用乘法公式以及單項式乘以多項式運算法則計算得出答案．【解答】解：原式＝x2﹣1+2x﹣x2＝2x﹣1，當x＝時，原式＝2×﹣1＝0．【點評】此題主要考查了整式的混合運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．17．（7分）某校舉行了“防溺水”知識競賽．八年級兩個班各選派10名同學參加預賽，依據各參賽選手的成績（均為整數）繪制了統(tǒng)計表和折線統(tǒng)計圖（如圖所示）．班級八（1）班八（2）班最高分10099眾數a98中位數96b平均數c94.8（1）統(tǒng)計表中，a＝96，b＝96，c＝94.5；（2）若從兩個班的預賽選手中選四名學生參加決賽，其中兩個班的第一名直接進入決賽，另外兩個名額在成績?yōu)?8分的學生中任選兩個，求另外兩個決賽名額落在不同班級的概率．【分析】（1）根據平均數和眾數、中位數的定義分別求解可得；（2）先設（1）班學生為A1，A2，（2）班學生為B1，B2，B3，根據題意畫出樹形圖，再根據概率公式列式計算即可．【解答】解：（1）八（1）班的成績?yōu)椋?8、89、92、92、96、96、96、98、98、100，八（2）班成績?yōu)?9、90、91、93、95、97、98、98、98、99，所以a＝96、c＝×（88+89+92+92+96+96+96+98+98+100）＝94.5，b＝＝96，故答案為：96、96、94.5；（2）設（1）班學生為A1，A2，（2）班學生為B1，B2，B3，一共有20種等可能結果，其中2人來自不同班級共有12種，所以這兩個人來自不同班級的概率是＝．【點評】本題考查了用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．18．（7分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點P在BC上．（1）求作：△PCD，使點D在AC上，且△PCD∽△ABP；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，若∠APC＝2∠ABC．求證：PD∥AB．【分析】（1）尺規(guī)作圖作出∠APD＝∠ABP，即可得到∠DPC＝∠PAB，從而得到△PCD∽△ABP；（2）根據題意得到∠DPC＝∠ABC，根據平行線的的判定即可證得結論．【解答】解：（1）如圖：作出∠APD＝∠ABP，即可得到△PCD∽△ABP；（2）證明：如圖，∵∠APC＝2∠ABC，∠APD＝∠ABC，∴∠DPC＝∠ABC∴PD∥AB．【點評】本題考查了作圖﹣相似變換，等腰三角形的性質，平行線的判定等，熟練掌握性質定理和判定定理是解題的關鍵．19．（8分）在△ABC中，BC邊的長為x，BC邊上的高為y，△ABC的面積為2．（1）y關于x的函數關系式是y＝，x的取值范圍是x＞0；（2）在平面直角坐標系中畫出該函數圖象；（3）將直線y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）個單位長度后與上述函數圖象有且只有一個交點，請求出此時a的值．【分析】（1）根據三角形的面積公式即可得到結論；（2）根據題意在平面直角坐標系中畫出該函數圖象即可；（3）將直線y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）個單位長度后解析式為y＝﹣x+3+a，根據一元二次方程根的判別式即可得到結論．【解答】解：（1）∵在△ABC中，BC邊的長為x，BC邊上的高為y，△ABC的面積為2，∴xy＝2，∴xy＝4，∴y關于x的函數關系式是y＝，x的取值范圍為x＞0，故答案為：y＝，x＞0；（2）在平面直角坐標系中畫出該函數圖象如圖所示；（3）將直線y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）個單位長度后解析式為y＝﹣x+3+a，解，整理得，x2﹣（3+a）x+4＝0，∵平移后的直線與反比例函數圖象有且只有一個交點，∴△＝（3+a）2﹣16＝0，解得a＝1，a＝﹣7（不合題意舍去），故此時a的值為1．【點評】本題考查了反比例函數的應用，一次函數的性質，一次函數與幾何變換，正確的理解題意是解題的關鍵．20．（8分）為加快復工復產，某企業(yè)需運輸一批物資．據調查得知，2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運輸600箱；5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運輸1350箱．（1）求1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運輸多少箱物資；（2）計劃用兩種貨車共12輛運輸這批物資，每輛大貨車一次需費用5000元，每輛小貨車一次需費用3000元．若運輸物資不少于1500箱，且總費用小于54000元．請你列出所有運輸方案，并指出哪種方案所需費用最少．最少費用是多少？【分析】（1）設1輛大貨車一次運輸x箱物資，1輛小貨車一次運輸y箱物資，由“2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運輸600箱；5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運輸1350箱”，可列方程組，即可求解；（2）設有a輛大貨車，（12﹣a）輛小貨車，由“運輸物資不少于1500箱，且總費用小于54000元”可列不等式組，可求整數a的值，即可求解．【解答】解：（1）設1輛大貨車一次運輸x箱物資，1輛小貨車一次運輸y箱物資，由題意可得：，解得：，答：1輛大貨車一次運輸150箱物資，1輛小貨車一次運輸100箱物資，（2）設有a輛大貨車，（12﹣a）輛小貨車，由題意可得：，∴6≤a＜9，∴整數a＝6，7，8；當有6輛大貨車，6輛小貨車時，費用＝5000×6+3000×6＝48000元，當有7輛大貨車，5輛小貨車時，費用＝5000×7+3000×5＝50000元，當有8輛大貨車，4輛小貨車時，費用＝5000×8+3000×4＝52000元，∵48000＜50000＜52000，∴當有6輛大貨車，6輛小貨車時，費用最小，最小費用為48000元．【點評】本題考查了一元一次不等式的應用，列二元一次方程組解實際問題的運用，總運費＝每噸的運費×噸數的運用，解答時求出1輛大貨車與1輛小貨車一次運貨的數量是關鍵．21．（9分）我們把方程（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2稱為圓心為（m，n）、半徑長為r的圓的標準方程．例如，圓心為（1，﹣2）、半徑長為3的圓的標準方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝9．在平面直角坐標系中，⊙C與x軸交于點A，B，且點B的坐標為（8，0），與y軸相切于點D（0，4），過點A，B，D的拋物線的頂點為E．（1）求⊙C的標準方程；（2）試判斷直線AE與⊙C的位置關系，并說明理由．【分析】（1）如圖，連接CD，CB，過點C作CM⊥AB于M．設⊙C的半徑為r．在Rt△BCM中，利用勾股定理求出半徑以及點C的坐標即可解決問題．（2）結論：AE是⊙C的切線．連接AC，CE．求出拋物線的解析式，推出點E的坐標，求出AC，AE，CE，利用勾股定理的逆定理證明∠CAE＝90°即可解決問題．【解答】解：（1）如圖，連接CD，CB，過點C作CM⊥AB于M．設⊙C的半徑為r．∵與y軸相切于點D（0，4），∴CD⊥OD，∵∠CDO＝∠CMO＝∠DOM＝90°，∴四邊形ODCM是矩形，∴CM＝OD＝4，CD＝OM＝r，∵B（8，0），∴OB＝8，∴BM＝8﹣r，在Rt△CMB中，∵BC2＝CM2+BM2，∴r2＝42+（8﹣r）2，解得r＝5，∴C（5，4），∴⊙C的標準方程為（x﹣5）2+（y﹣4）2＝25．（2）結論：AE是⊙C的切線．理由：連接AC，CE．∵CM⊥AB，∴AM＝BM＝3，∴A（2，0），B（8，0）設拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）（x﹣8），把D（0，4）代入y＝a（x﹣2）（x﹣8），可得a＝，∴拋物線的解析式為y＝（x﹣2）（x﹣8）＝x2﹣x+4＝（x﹣5）2﹣，∴拋物線的頂點E（5，﹣），∵AE＝＝，CE＝4+＝，AC＝5，∴EC2＝AC2+AE2，∴∠CAE＝90°，∴CA⊥AE，∴AE是⊙C的切線．【點評】本題屬于二次函數綜合題，考查了矩形的判定和性質，解直角三角形，圓的方程，切線的判定等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．22．（10分）如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC，點E，F，G分別在邊BC，CD上，BE＝CG，AF平分∠EAG，點H是線段AF上一動點（與點A不重合）．（1）求證：△AEH≌△AGH；（2）當AB＝12，BE＝4時．①求△DGH周長的最小值；②若點O是AC的中點，是否存在直線OH將△ACE分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1：3．若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）先判斷出△ABC是等邊三角形，進而判斷出∠ACD＝∠ABC，判斷出△ABE≌△ACG，即可得出結論；（2）①先判斷出EH+DH最小時，△AEH的周長最小，在Rt△DCM中，求出CM＝6，D