三年(2021-2023)中考數(shù)學(xué)真題分項匯編(江蘇專用)專題15尺規(guī)作圖專題(原卷版+解析)

專題15尺規(guī)作圖專題題型1：根據(jù)尺規(guī)作圖計算或證明1．（2023·江蘇·中考真題）小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點：畫法圖形1．以A為端點畫一條射線；2．用圓規(guī)在射線上依次截取3條等長線段AC、CD、DE，連接BE；3．過點C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點M、N，M、N就是線段AB的三等分點．

這一畫圖過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（

）A．兩直線平行，同位角相等B．兩條平行線之間的距離處處相等C．垂直于同一條直線的兩條直線平行D．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例2．（2023·江蘇揚州·中考真題）如圖，中，，以點B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交于點M、N，再分別以點M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點E，作射線交于點D，則線段的長為．3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，扇形的半徑為1，分別以點A、B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P，，則的長（結(jié)果保留π）．4．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，分別以A，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，過M，N兩點作直線，與BC交于點E，與AD交于點F，連接AE，CF，則四邊形AECF的周長為．5．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，在中，．利用尺規(guī)在、上分別截取、，使；分別以、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點；作射線交于點．若，則的長為．

題型2：按要求完成尺規(guī)作圖6．（2023·江蘇徐州·中考真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時了解到；玉壁，玉環(huán)為我國的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；肉好若一，調(diào)之環(huán)．”如圖1，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關(guān)系見圖示，以考古發(fā)現(xiàn)看，這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關(guān)系．(1)若圖1中兩個大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為；(2)利用圓規(guī)與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）．①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合“肉好若一”？②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關(guān)系符合“肉倍好”，請畫出內(nèi)孔．7．（2023·江蘇無錫·中考真題）如圖，已知，點M是上的一個定點．

(1)尺規(guī)作圖：請在圖1中作，使得與射線相切于點M，同時與相切，切點記為N；(2)在（1）的條件下，若，則所作的的劣弧與所圍成圖形的面積是_________．8．（2023·江蘇·中考真題）如圖，、、、是直線上的四點，．

(1)求證：；(2)點、分別是、的內(nèi)心．①用直尺和圓規(guī)作出點（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；②連接，則與的關(guān)系是________．9．（2023·江蘇·中考真題）如圖，在中，．(1)尺規(guī)作圖：作，使得圓心在邊上，過點且與邊相切于點（請保留作圖痕跡，標(biāo)明相應(yīng)的字母，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，若，求與重疊部分的面積．10．（2023·江蘇鹽城·中考真題）如圖，，，．(1)求證：；(2)用直尺和圓規(guī)作圖：過點作，垂足為．（不寫作法，保留作圖痕跡）11．（2023·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在中，，，．(1)求出對角線的長；(2)尺規(guī)作圖：將四邊形沿著經(jīng)過點的某條直線翻折，使點落在邊上的點處，請作出折痕．（不寫作法，保留作圖痕跡）12．（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，△ABC為銳角三角形．(1)請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在AC右上方確定點D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若，，，則四邊形ABCD的面積為．（如需畫草圖，請使用試卷中的圖2）

13．（2022·江蘇常州·中考真題）（現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點是圓心，直徑的長是，是半圓弧上的一點（點與點、不重合），連接、．(1)沿、剪下，則是______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；(2)分別取半圓弧上的點、和直徑上的點、．已知剪下的由這四個點順次連接構(gòu)成的四邊形是一個邊長為的菱形．請用直尺和圓規(guī)在圖中作出一個符合條件的菱形（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(3)經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對于半圓弧上的任意一點，一定存在線段上的點、線段上的點和直徑上的點、，使得由這四個點順次連接構(gòu)成的四邊形是一個邊長為的菱形．小明的猜想是否正確？請說明理由．14．（2022·江蘇南通·中考真題）【閱讀材料】老師的問題：已知：如圖，．求作：菱形，使點C，D分別在上．小明的作法：（1）以A為圓心，長為半徑畫弧，交于點D；（2）以B為圓心，長為半徑畫弧，交于點C；（3）連接．四邊形就是所求作的菱形，【解答問題】請根據(jù)材料中的信息，證明四邊形是菱形．15．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖，已知線段和線段．(1)用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖．（請保留作圖痕跡，并標(biāo)明相應(yīng)的字母，不寫作法）①作線段的垂直平分線，交線段于點；②以線段為對角線，作矩形，使得，并且點在線段的上方．(2)當(dāng)，時，求（1）中所作矩形的面積．16．（2022·江蘇揚州·中考真題）【問題提出】如何用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？【初步嘗試】如圖1，已知扇形，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺過圓心作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；【問題聯(lián)想】如圖2，已知線段，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個以為斜邊的等腰直角三角形；【問題再解】如圖3，已知扇形，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分．（友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）

17．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）操作探究題(1)已知是半圓的直徑，（是正整數(shù)，且不是3的倍數(shù)）是半圓的一個圓心角．操作：如圖1，分別將半圓的圓心角（取1、4、5、10）所對的弧三等分（要求：僅用圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；交流：當(dāng)時，可以僅用圓規(guī)將半圓的圓心角所對的弧三等分嗎？探究：你認(rèn)為當(dāng)滿足什么條件時，就可以僅用圓規(guī)將半圓的圓心角所對的弧三等分？說說你的理由．(2)如圖2，的圓周角．為了將這個圓的圓周14等分，請作出它的一條14等分?。ㄒ螅簝H用圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．18．（2022·江蘇泰州·中考真題）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點.(1)如圖①，過點D作DE∥AB交AC邊于點E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長；(2)在圖②，用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(3)如圖③，點F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與⊙F的位置關(guān)系，并說明理由.

19．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點、、、、均為格點．【操作探究】在數(shù)學(xué)活動課上，佳佳同學(xué)在如圖①的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線段、，相交于點并給出部分說理過程，請你補充完整：解：在網(wǎng)格中取格點，構(gòu)建兩個直角三角形，分別是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，，所以．所以∠=∠．因為∠∠=∠=90°，所以∠+∠=90°，所以∠=90°，即⊥．(1)【拓展應(yīng)用】如圖②是以格點為圓心，為直徑的圓，請你只用無刻度的直尺，在上找出一點P，使=，寫出作法，并給出證明：(2)【拓展應(yīng)用】如圖③是以格點為圓心的圓，請你只用無刻度的直尺，在弦上找出一點P．使=·，寫出作法，不用證明．

20．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，已知P是外一點．用兩種不同的方法過點P作的一條切線．要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖；（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明．21．（2021·江蘇常州·中考真題）如圖，B、F、C、E是直線l上的四點，．（1）求證：；（2）將沿直線l翻折得到．①用直尺和圓規(guī)在圖中作出（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；②連接，則直線與l的位置關(guān)系是__________．

22．（2021·江蘇淮安·中考真題）如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的頂點A、B、C都在格點上（兩條網(wǎng)格線的交點叫格點）．請僅用無刻度的直尺按下列要求畫圖，并保留畫圖痕跡（不要求寫畫法）．（1）將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點B的對應(yīng)點為B1，點C的對應(yīng)點為C1，畫出△AB1C1；（2）連接CC1，△ACC1的面積為；（3）在線段CC1上畫一點D，使得△ACD的面積是△ACC1面積的．

23．（2021·江蘇泰州·中考真題）（1）如圖①，O為AB的中點，直線l1、l2分別經(jīng)過點O、B，且l1∥l2，以點O為圓心，OA長為半徑畫弧交直線l2于點C，連接AC．求證：直線l1垂直平分AC；（2）如圖②，平面內(nèi)直線l1∥l2∥l3∥l4，且相鄰兩直線間距離相等，點P、Q分別在直線l1、l4上，連接PQ．用圓規(guī)和無刻度的直尺在直線l4上求作一點D，使線段PD最短．（兩種工具分別只限使用一次，并保留作圖痕跡）

專題15尺規(guī)作圖專題題型1：根據(jù)尺規(guī)作圖計算或證明1．（2023·江蘇·中考真題）小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點：畫法圖形1．以A為端點畫一條射線；2．用圓規(guī)在射線上依次截取3條等長線段AC、CD、DE，連接BE；3．過點C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點M、N，M、N就是線段AB的三等分點．

這一畫圖過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（

）A．兩直線平行，同位角相等B．兩條平行線之間的距離處處相等C．垂直于同一條直線的兩條直線平行D．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例【答案】D【分析】根據(jù)兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例，即可求解．【詳解】解：由步驟２可得：C、D為線段AE的三等分點步驟３中過點C、D分別畫BE的平行線，由兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例得：M、N就是線段AB的三等分點故選：D2．（2023·江蘇揚州·中考真題）如圖，中，，以點B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交于點M、N，再分別以點M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點E，作射線交于點D，則線段的長為．【答案】【分析】利用角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線，將的面積分解成的面積和面積和，轉(zhuǎn)化成以為未知數(shù)的方程求出．【詳解】如圖：過點作于點，

，由題意得：平分，，，，，，，；故答案為：．3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，扇形的半徑為1，分別以點A、B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P，，則的長（結(jié)果保留π）．【答案】/【分析】先求解，再利用弧長公式計算即可．【詳解】解：由作圖知：垂直平分，∵，∴，∵扇形的半徑是1，∴的長．故答案為：．4．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，分別以A，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，過M，N兩點作直線，與BC交于點E，與AD交于點F，連接AE，CF，則四邊形AECF的周長為．【答案】10【分析】根據(jù)作圖可得，且平分，設(shè)與的交點為，證明四邊形為菱形，根據(jù)平行線分線段成比例可得為的中線，然后勾股定理求得，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可得的長，進而根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)與的交點為，根據(jù)作圖可得，且平分，，四邊形是平行四邊形，，，又，，，，，四邊形是平行四邊形，垂直平分，，四邊形是菱形，，，，，為的中點，中，，，，，四邊形AECF的周長為．故答案為：．5．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，在中，．利用尺規(guī)在、上分別截取、，使；分別以、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點；作射線交于點．若，則的長為．【答案】【分析】如圖所示，過點H作HM⊥BC于M，由作圖方法可知，BH平分∠ABC，即可證明∠CBH=∠CHB，得到，從而求出HM，CM的長，進而求出BM的長，即可利用勾股定理求出BH的長．【詳解】解：如圖所示，過點H作HM⊥BC于M，由作圖方法可知，BH平分∠ABC，∴∠ABH=∠CBH，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，∴∠CBH=∠CHB，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．題型2：按要求完成尺規(guī)作圖6．（2023·江蘇徐州·中考真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時了解到；玉壁，玉環(huán)為我國的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；肉好若一，調(diào)之環(huán)．”如圖1，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關(guān)系見圖示，以考古發(fā)現(xiàn)看，這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關(guān)系．(1)若圖1中兩個大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為；(2)利用圓規(guī)與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）．①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合“肉好若一”？②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關(guān)系符合“肉倍好”，請畫出內(nèi)孔．【答案】(1)(2)①符合，圖見詳解；②圖見詳解【分析】（1）根據(jù)圓環(huán)面積可進行求解；（2）①先確定該圓環(huán)的圓心，然后利用圓規(guī)確定其比例關(guān)系即可；②先確定好圓的圓心，然后根據(jù)平行線所截線段成比例可進行作圖．【詳解】（1）解：由圖1可知：璧的“肉”的面積為；環(huán)的“肉”的面積為，∴它們的面積之比為；故答案為；（2）解：①在該圓環(huán)任意畫兩條相交的線，且交點在外圓的圓上，且與外圓的交點分別為A、B、C，則分別以A、B為圓心，大于長為半徑畫弧，交于兩點，連接這兩點，同理可畫出線段的垂直平分線，線段的垂直平分線的交點即為圓心O，過圓心O畫一條直徑，以O(shè)為圓心，內(nèi)圓半徑為半徑畫弧，看是否滿足“肉好若一”的比例關(guān)系即可

由作圖可知滿足比例關(guān)系為的關(guān)系；②按照①中作出圓的圓心O，過圓心畫一條直徑，過點A作一條射線，然后以A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，把射線三等分，交點分別為C、D、E，連接，然后分別過點C、D作的平行線，交于點F、G，進而以為直徑畫圓，則問題得解；如圖所示：

7．（2023·江蘇無錫·中考真題）如圖，已知，點M是上的一個定點．

(1)尺規(guī)作圖：請在圖1中作，使得與射線相切于點M，同時與相切，切點記為N；(2)在（1）的條件下，若，則所作的的劣弧與所圍成圖形的面積是_________．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先作的平分線，再過M點作的垂線交于點O，接著過O點作于N點，然后以O(shè)點為圓心，為半徑作圓，則滿足條件；（2）先利用切線的性質(zhì)得到，，根據(jù)切線長定理得到，則，再利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系計算出，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用的劣弧與所圍成圖形的面積進行計算．【詳解】（1）解：如圖，為所作；

；（2）解：∵和為的切線，∴，，，∴，∴，在中，，∴，∴的劣弧與所圍成圖形的面積．故答案為：．8．（2023·江蘇·中考真題）如圖，、、、是直線上的四點，．

(1)求證：；(2)點、分別是、的內(nèi)心．①用直尺和圓規(guī)作出點（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；②連接，則與的關(guān)系是________．【答案】(1)見解析(2)①見解析

②【分析】（1）可證得，結(jié)合，即可證明結(jié)論．（2）①三角形的內(nèi)心為三角形的三個角的角平分線的交點，因此只需作出任意兩個角的角平分線，其交點即為所求．②因為，所以可看作由平移得到，點，點為對應(yīng)點，點，點為對應(yīng)點，據(jù)此即可求得答案．【詳解】（1）∵，，，∴．在和中∴．（2）①三角形的內(nèi)心為三角形的三個角的平分線的交點，作，的角平分線，其交點即為點．

②因為，所以可看作由平移得到，點，點為對應(yīng)點，點，點為對應(yīng)點，根據(jù)平移的性質(zhì)可知．故答案為：．9．（2023·江蘇·中考真題）如圖，在中，．(1)尺規(guī)作圖：作，使得圓心在邊上，過點且與邊相切于點（請保留作圖痕跡，標(biāo)明相應(yīng)的字母，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，若，求與重疊部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）作的角平分線交于點，過點作，交于點，以為圓心，為半徑作，即可；（2）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得圓的半徑，設(shè)交于點，連接，可得是等邊三角形，進而根據(jù)與重疊部分的面積等于扇形面積與等邊三角形的面積和，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）解：∵，是的切線，∴，∴，則，解得：，如圖所示，設(shè)交于點，連接，

∵，∴是等邊三角形，如圖所示，過點作于點，

∴∴在中，,∴,∴，則，∴與重疊部分的面積為．10．（2023·江蘇鹽城·中考真題）如圖，，，．(1)求證：；(2)用直尺和圓規(guī)作圖：過點作，垂足為．（不寫作法，保留作圖痕跡）【分析】（1）根據(jù)邊角邊證明即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)過直線外一點向直線最垂線的作法得出即可．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，∴；（2）解：所作圖形如圖，．

11．（2023·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在中，，，．(1)求出對角線的長；(2)尺規(guī)作圖：將四邊形沿著經(jīng)過點的某條直線翻折，使點落在邊上的點處，請作出折痕．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】(1)(2)作圖見解析【分析】（1）連接，過作于，如圖所示，由勾股定理先求出，在中再由勾股定理，；（2）連接，根據(jù)軸對稱性質(zhì)，過點尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線即可得到答案．【詳解】（1）解：連接，過作于，如圖所示：

在中，，，，，，在中，，，，則；（2）解：如圖所示：

12．（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，△ABC為銳角三角形．(1)請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在AC右上方確定點D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若，，，則四邊形ABCD的面積為．（如需畫草圖，請使用試卷中的圖2）【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分線的性質(zhì)作，即可找出點D；（2）由題意可知四邊形ABCD是梯形，利用直角三角形的性質(zhì)求出AE、BE、CE、AD的長，求出梯形的面積即可．【詳解】（1）解：如圖，∴點D為所求點．（2）解：過點A作AE垂直于BC，垂足為E，∵，，∴，∵，∴，，∴，∵∠DAC＝∠ACB，∴，四邊形ABCD是梯形，∴，∴四邊形AECD是矩形，∴，∴四邊形ABCD的面積為，故答案為：．13．（2022·江蘇常州·中考真題）（現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點是圓心，直徑的長是，是半圓弧上的一點（點與點、不重合），連接、．(1)沿、剪下，則是______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；(2)分別取半圓弧上的點、和直徑上的點、．已知剪下的由這四個點順次連接構(gòu)成的四邊形是一個邊長為的菱形．請用直尺和圓規(guī)在圖中作出一個符合條件的菱形（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(3)經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對于半圓弧上的任意一點，一定存在線段上的點、線段上的點和直徑上的點、，使得由這四個點順次連接構(gòu)成的四邊形是一個邊長為的菱形．小明的猜想是否正確？請說明理由．【答案】(1)直角(2)見詳解(3)小明的猜想正確，理由見詳解【分析】（1）AB是圓的直徑，根據(jù)圓周角定理可知∠ACB=90°，即可作答；（2）以A為圓心，AO為半徑畫弧交⊙O于點E，再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于⊙O點F連接EF、FO、EA，G、H點分別與A、O點重合，即可；（3）當(dāng)點C靠近點A時，設(shè)，，可證,推出，分別以M，N為圓心，MN為半徑作弧交AB于點P，Q，可得，進而可證四邊形MNQP是菱形；當(dāng)點C靠近點B時，同理可證．【詳解】（1）解：如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACB是直角，即△ABC是直角三角形，故答案為：直角；（2）解：以A為圓心，AO為半徑畫弧交⊙O于點E，再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于⊙O點F連接EF、FO、EA，G、H點分別與A、O點重合，即可，作圖如下：由作圖可知AE=EF=FH=HG=OA=AB=6，即四邊形EFHG是邊長為6cm的菱形；（3）解：小明的猜想正確，理由如下：如圖，當(dāng)點C靠近點A時，設(shè)，，∴,∴,∴,∴．分別以M，N為圓心，MN為半徑作弧交AB于點P，Q，作于點D，于點E，∴．∵,，，∴，在和中，，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形MNQP是平行四邊形，又∵，∴四邊形MNQP是菱形；同理，如圖，當(dāng)點C靠近點B時，采樣相同方法可以得到四邊形MNQP是菱形，故小明的猜想正確．14．（2022·江蘇南通·中考真題）【閱讀材料】老師的問題：已知：如圖，．求作：菱形，使點C，D分別在上．小明的作法：（1）以A為圓心，長為半徑畫弧，交于點D；（2）以B為圓心，長為半徑畫弧，交于點C；（3）連接．四邊形就是所求作的菱形，【解答問題】請根據(jù)材料中的信息，證明四邊形是菱形．【答案】見解析【分析】由作圖可知AD＝AB＝BC，然后根據(jù)可得四邊形ABCD是平行四邊形，再由AD＝AB可得結(jié)論．【詳解】解：由作圖可知AD＝AB＝BC，∵，即，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AD＝AB，∴平行四邊形ABCD是菱形．15．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖，已知線段和線段．(1)用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖．（請保留作圖痕跡，并標(biāo)明相應(yīng)的字母，不寫作法）①作線段的垂直平分線，交線段于點；②以線段為對角線，作矩形，使得，并且點在線段的上方．(2)當(dāng)，時，求（1）中所作矩形的面積．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)矩形的面積為【分析】（1）①分別以點A，為圓心，以大于為半徑畫弧，兩弧分別交于點，，作直線與線段交于點O，則所在直線為線段的垂直平分線；②以點O為圓心，的長為半徑畫弧，再以點A為圓心，線段a的長為半徑畫弧，兩弧在線段上方交于點B，同理，以點O為圓心，的長為半徑畫弧，再以點C為圓心，線段a的長為半徑畫弧，兩弧在線段下方交于點D，連接，即可得矩形．（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知道，根據(jù)勾股定理可求出的長度，由此即可求出矩形的面積．【詳解】（1）解：①線段的垂直平分線，如圖所示，②如圖，矩形ABCD即為所求．（2）解：如圖所示，∵在矩形中，，，，∴在中，，∴矩形的面積是，故答案是：．16．（2022·江蘇揚州·中考真題）【問題提出】如何用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？【初步嘗試】如圖1，已知扇形，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺過圓心作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；【問題聯(lián)想】如圖2，已知線段，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個以為斜邊的等腰直角三角形；【問題再解】如圖3，已知扇形，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分．（友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】【初步嘗試】如圖1，作∠AOB的角平分線所在直線即為所求；【問題聯(lián)想】如圖2，先作MN的線段垂直平分線交MN于點O，再以O(shè)為圓心MO為半徑作圓，與垂直平分線的交點即為等腰直角三角形的頂點；【問題再解】如圖3先作OB的線段垂直平分線交OB于點N，再以N為圓心NO為半徑作圓,與垂直平分線的交點為M，然后以O(shè)為圓心，OM為半徑作圓與扇形所交的圓弧即為所求．【詳解】【初步嘗試】如圖所示，作∠AOB的角平分線所在直線OP即為所求；【問題聯(lián)想】如圖，先作MN的線段垂直平分線交MN于點O，再以O(shè)為圓心MO為半徑作圓，與垂直平分線的交點即為等腰直角三角形的頂點；【問題再解】如圖，先作OB的線段垂直平分線交OB于點N，再以N為圓心NO為半徑作圓,與垂直平分線的交點為M，然后以O(shè)為圓心，OM為半徑作圓與扇形所交的圓弧CD即為所求．17．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）操作探究題(1)已知是半圓的直徑，（是正整數(shù)，且不是3的倍數(shù)）是半圓的一個圓心角．操作：如圖1，分別將半圓的圓心角（取1、4、5、10）所對的弧三等分（要求：僅用圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；交流：當(dāng)時，可以僅用圓規(guī)將半圓的圓心角所對的弧三等分嗎？探究：你認(rèn)為當(dāng)滿足什么條件時，就可以僅用圓規(guī)將半圓的圓心角所對的弧三等分？說說你的理由．(2)如圖2，的圓周角．為了將這個圓的圓周14等分，請作出它的一條14等分?。ㄒ螅簝H用圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】(1)作圖見解析；交流：，或；探究：正整數(shù)（不是3的倍數(shù)），理由見解析(2)作圖見解析【分析】（1）由操作可知，如果可以用與的線性表示，那么該圓弧就可以被三等分（2）將圓周14等分就是把所對的圓周角所對弧三等分即可,給出一種算法：【詳解】（1）操作：交流：，或；探究：設(shè)，解得（為非負整數(shù)）．或設(shè)，解得（為正整數(shù)）．所以對于正整數(shù)（不是3的倍數(shù)），都可以僅用圓規(guī)將半圓的圓心角所對的弧三等分；（2）18．（2022·江蘇泰州·中考真題）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點.(1)如圖①，過點D作DE∥AB交AC邊于點E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長；(2)在圖②，用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(3)如圖③，點F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與⊙F的位置關(guān)系，并說明理由.【分析】（1）由題意易得，則有，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定可進行求解；（2）作DT∥AC交AB于點T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點F，則點F即為所求；（3）作BR∥CF交FD的延長線于點R，連接CR，證明四邊形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由CF∥BR，推出，推出CD⊥DF，然后問題可求解．【詳解】（1）解：∵DE∥AB，∴，∴，∵AB=5，BD=9，DC=6，∴，∴；（2）解：作DT∥AC交AB于點T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點F，則點F即為所求；如圖所示：點F即為所求，（3）解：直線BC與⊙F相切，理由如下：作BR∥CF交FD的延長線于點R，連接CR，如圖，∵∠DFA=∠A，∴四邊形ABRF是等腰梯形，∴，∵△FBC的面積等于，∴，∴CD⊥DF，∵FD是⊙F的半徑，∴直線BC與⊙F相切．19．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點、、、、均為格點．【操作探究】在數(shù)學(xué)活動課上，佳佳同學(xué)在如圖①的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線段、，相交于點并給出部分說理過程，請你補充完整：解：在網(wǎng)格中取格點，構(gòu)建兩個直角三角形，分別是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，，所以．所以∠=∠．因為∠∠=∠=90°，所以∠+∠=90°，所以∠=90°，即⊥．(1)【拓展應(yīng)用】如圖②是以格點為圓心，為直徑的圓，請你只用無刻度的直尺，在上找出一點P，使=，寫出作法，并給出證明：(2)【拓展應(yīng)用】如圖③是以格點為圓心的圓，請你只用無刻度的直尺，在弦上找出一點P．使=·，寫出作法，不用證明．【答案】(1)；見解析(2)見解析【分析】（1）取格點，作射線交于點P，則根據(jù)垂徑定理可知，點P即為所求作；（2）取格點I，連接MI交AB于點P，點P即為所求作．利用正切函數(shù)證得∠FMI=∠MNA，利用圓周角定理證得∠B=∠MNA，再推出△PAM∽△MAB，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：【操作探究】在網(wǎng)格中取格點，構(gòu)建兩個直角三角形，分別是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，，所以．所以∠=∠．因為∠∠=∠=90°，所以∠+∠=90°，所以∠=90°，即⊥．故答案為：；取格點，作射線交于點P，點P即為所求作；（2）解：取格點I，連接MI交AB于點P，點P即為所求作；證明：作直徑AN，連接BM、MN，在Rt△FMI中，，在Rt△MNA中，，所以．∴∠FMI=∠MNA，∵∠B=∠MNA，∴∠AMP=∠B，∵∠PAM=∠MAB，∴△PAM∽△MAB，∴，∴=·．20．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，已知P是外一點．用兩種不同的方法過點P作的一條切線．要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖；（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明．【答案】答案見解析．【分析】方法一：作出OP的垂直平分線，交OP于點A，再以點A為圓心，PA長為半徑畫弧，交于點Q，連結(jié)PQ，PQ即為所求．方法二：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)三線合一作的切線，作射線，交于點，以為圓心，為半徑作,以為圓心，的長為半徑畫弧交于點，連接,交于點，則是等腰三角形，，則，即為所求．【詳解】解：作法：連結(jié)PO，分別以P、O為圓心，大于PO的長度為半徑畫弧，交于兩點，連結(jié)兩點交PO于點A；以點A為圓心，PA長為半徑畫弧，交于點Q，連結(jié)PQ，PQ即為所求．作法：作射線，交于點，以為圓心，為半徑作,以為圓心，的長為半徑畫弧交于點，連接,交于點，則是等腰三角形，，則，即為所求．21．（2021·江蘇常州·中考真題）如圖，B、F、C、