高數(shù)課件30空間幾何3平面及其方程

高數(shù)課件30空間幾何3平面及其方程CATALOGUE目錄平面及其方程基本概念空間直角坐標(biāo)系中平面表示方法平面間位置關(guān)系判斷與性質(zhì)探討典型題型解析與思路梳理空間幾何中其他相關(guān)知識(shí)點(diǎn)拓展總結(jié)回顧與練習(xí)題布置01平面及其方程基本概念平面是三維空間中所有滿足特定條件的點(diǎn)的集合。平面的定義平面的性質(zhì)平面的表示方法平面具有無(wú)限延展性，且平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)可以確定一個(gè)直線。平面可以用點(diǎn)法式、一般式、截距式等多種方式表示。030201平面定義與性質(zhì)通過平面上一點(diǎn)和該平面的法向量來(lái)確定平面方程。點(diǎn)法式方程Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C不同時(shí)為零，表示三維空間中的一個(gè)平面。一般式方程通過平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距來(lái)確定平面方程。截距式方程平面方程形式點(diǎn)到平面的距離是指該點(diǎn)與平面上任意一點(diǎn)連成的線段在平面法向量上的投影長(zhǎng)度。點(diǎn)到平面距離的定義d=|Ax0+By0+Cz0+D|/sqrt(A^2+B^2+C^2)，其中(x0,y0,z0)為點(diǎn)的坐標(biāo)，A、B、C、D為平面方程Ax+By+Cz+D=0中的系數(shù)。點(diǎn)到平面距離公式在幾何計(jì)算、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等領(lǐng)域中，點(diǎn)到平面的距離經(jīng)常被用來(lái)進(jìn)行空間位置的判斷和計(jì)算。點(diǎn)到平面距離的應(yīng)用點(diǎn)到平面距離公式02空間直角坐標(biāo)系中平面表示方法$Ax+By+Cz+D=0$，其中$A,B,C$不同時(shí)為零。平面的一般式方程表示一個(gè)平面在三維空間中的位置，通過$x,y,z$三個(gè)坐標(biāo)的線性組合來(lái)描述。方程的意義平面與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與方程系數(shù)的關(guān)系，以及平面的法向量與方程系數(shù)的關(guān)系。方程的幾何解釋一般式表示法

點(diǎn)法式表示法平面的點(diǎn)法式方程給定平面上一點(diǎn)$P(x_0,y_0,z_0)$和平面的法向量$vec{n}=(A,B,C)$，則平面方程為$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$。方程的意義通過給定點(diǎn)和法向量來(lái)確定一個(gè)平面。方程的幾何解釋點(diǎn)法式方程與一般式方程的關(guān)系，以及如何通過點(diǎn)法式方程求解平面與直線的交點(diǎn)等問題。平面的截距式方程01$frac{x}{a}+frac{y}+frac{z}{c}=1$，其中$a,b,c$為平面在$x,y,z$軸上的截距。方程的意義02表示一個(gè)平面在三維空間中與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)位置。方程的幾何解釋03截距式方程與一般式方程的關(guān)系，以及如何通過截距式方程求解平面與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)等問題。同時(shí)，截距式方程也可以方便地用于計(jì)算平面與坐標(biāo)軸所圍成的空間幾何體的體積等問題。截距式表示法03平面間位置關(guān)系判斷與性質(zhì)探討兩平面平行當(dāng)且僅當(dāng)它們的法向量平行，即兩法向量對(duì)應(yīng)分量成比例。判斷方法平行平面間的距離保持不變；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行。性質(zhì)平行關(guān)系判斷及性質(zhì)兩平面垂直當(dāng)且僅當(dāng)它們的法向量垂直，即兩法向量點(diǎn)積為零。判斷方法垂直于同一平面的兩條直線平行；垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行。性質(zhì)垂直關(guān)系判斷及性質(zhì)兩平面相交當(dāng)且僅當(dāng)它們不平行且不垂直，此時(shí)交線為一直線。相交平面將空間分為四個(gè)部分；交線上的點(diǎn)同時(shí)位于兩個(gè)平面上；交線為兩平面公共部分。相交關(guān)系判斷及性質(zhì)性質(zhì)判斷方法04典型題型解析與思路梳理03轉(zhuǎn)化為一般式方程將求得的平面方程轉(zhuǎn)化為一般式方程，以便進(jìn)一步分析和應(yīng)用。01確定平面的法向量根據(jù)已知條件，如平面的點(diǎn)法式方程、一般式方程或三點(diǎn)式方程，確定平面的法向量。02利用點(diǎn)乘性質(zhì)求解未知數(shù)將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入平面方程，利用點(diǎn)乘性質(zhì)求解未知數(shù)。求解給定條件下平面方程問題判斷兩平面是否平行通過比較兩平面的法向量是否平行來(lái)判斷兩平面是否平行。判斷兩平面是否垂直通過計(jì)算兩平面的法向量的點(diǎn)乘結(jié)果是否為0來(lái)判斷兩平面是否垂直。判斷兩平面是否相交如果兩平面不平行也不垂直，則它們必定相交?？梢酝ㄟ^聯(lián)立兩平面的方程求解交線的方程。利用已知條件判斷兩平面位置關(guān)系問題123結(jié)合平面與直線的方程，判斷直線與平面的位置關(guān)系，如直線在平面上、直線與平面平行、直線與平面相交等。平面與直線的位置關(guān)系利用點(diǎn)到平面的距離公式，計(jì)算給定點(diǎn)到已知平面的距離。點(diǎn)到平面的距離計(jì)算根據(jù)已知條件構(gòu)造平面束方程，通過求解平面束方程來(lái)求解相關(guān)問題，如過已知直線且與另一平面平行的平面方程等。平面束方程的應(yīng)用綜合應(yīng)用題型解析05空間幾何中其他相關(guān)知識(shí)點(diǎn)拓展直線與平面相交直線與平面有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則稱直線與平面相交，該點(diǎn)稱為交點(diǎn)。直線在平面內(nèi)直線上的所有點(diǎn)都在平面內(nèi)，則稱直線在平面內(nèi)。直線與平面平行直線與平面沒有公共點(diǎn)，則稱直線與平面平行。直線與平面位置關(guān)系簡(jiǎn)介參數(shù)方程表示法通過參數(shù)方程x(t),y(t),z(t)來(lái)描述空間曲線上的點(diǎn)隨參數(shù)t的變化情況。一般方程表示法通過空間曲線在三個(gè)坐標(biāo)平面上的投影，得到三個(gè)二元方程F(x,y,z)=0，G(x,y,z)=0，H(x,y,z)=0，聯(lián)立這三個(gè)方程可以表示空間曲線?？臻g曲線在坐標(biāo)系中表示方法常見曲面及其方程例如球面、柱面、旋轉(zhuǎn)曲面等，它們都有特定的方程形式來(lái)描述其形狀和位置。曲面的交線與交點(diǎn)兩個(gè)曲面相交可能形成交線或交點(diǎn)，通過聯(lián)立兩個(gè)曲面的方程可以求解得到交線或交點(diǎn)的坐標(biāo)?？臻g曲面基礎(chǔ)知識(shí)06總結(jié)回顧與練習(xí)題布置平面的點(diǎn)法式方程平面的一般式方程兩平面的夾角點(diǎn)到平面的距離公式關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)總結(jié)通過平面上一點(diǎn)和該平面的法向量，可以確定平面的方程。通過兩平面的法向量的夾角余弦值來(lái)計(jì)算。Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C不同時(shí)為零，表示一個(gè)平面。利用向量投影的原理，可以求出點(diǎn)到平面的距離。

易錯(cuò)點(diǎn)提示在求平面的點(diǎn)法式方程時(shí)，容易將法向量與方向向量混淆，需注意區(qū)分。在計(jì)算兩平面夾角時(shí)，要注意夾角余弦值的正負(fù)與兩平面法向量的方向有關(guān)。在應(yīng)用點(diǎn)到平面的距離公式時(shí)，要確保點(diǎn)的坐標(biāo)和平面方程中的系數(shù)對(duì)應(yīng)正確。題目1求過點(diǎn)(1,2,3)且與向量n=(2,1,-1)垂直的平面的方程。解答思路根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程，代入給定點(diǎn)和法向量即可求出平面方程。題目2求平面2x-y+z=7與平面x-2y+4z=10的夾角。解