二次函數(shù)及綜合問題-2023年中考數(shù)學(xué)知識點練習(xí) （江蘇）（解析版）

2023年中考數(shù)學(xué)【熱點?重點?難點】專練（江蘇專用）

熱點04.二次函數(shù)及綜合問題

【考綱解讀】

L了解：二次函數(shù)的概念；二次函數(shù)的對稱軸；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

2.理解：二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象；確定二次函數(shù)的解析式.

3.會：會判斷一個函數(shù)是否為二次函數(shù)；會在對稱軸左、右判斷函數(shù)的增減性；會用數(shù)形結(jié)合思想

解決問題.

4.掌握：二次函數(shù)的性質(zhì)；用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；利用二次函數(shù)來解決實際問題的基本思

路；掌握二次函數(shù)圖象與X軸交點的個數(shù)與一元二次方程根的關(guān)系；掌握二次函數(shù)圖象與一元二

次不等式的關(guān)系；將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的二次函數(shù)問題.

5.能：用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；判別式、拋物線與X軸的交點、二次方程的根的情況三者之

間的聯(lián)系；能根據(jù)圖象信息解決相應(yīng)的問題.

【命題形式】

1.從考查的題型來看，涉及本知識點的題目主要以選擇題與解答題的形式考查，也可能在填空題中

出現(xiàn)，題目難度中高檔.

2.從考查內(nèi)容來看,主要有：二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象；用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；二次函數(shù)的

最值與平移問題；函數(shù)與幾何圖形相關(guān)的綜合應(yīng)用等.

3.從考查熱點來看,主要有：二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象；通過具體問題情境學(xué)會用三種方式表示二次

函數(shù)關(guān)系；一次函數(shù)與二次函數(shù)，函數(shù)與其他綜合相關(guān)的實際問題；通過在實際問題中應(yīng)用二次

函數(shù)的性質(zhì)，發(fā)展應(yīng)用二次函數(shù)解決實際問題的能力.

【限時檢測】

A卷（真題過關(guān)卷）

備注：本套試卷所選題目多數(shù)為近三年江蘇省各地區(qū)中考真題，針對性強，可作為一輪、二

輪復(fù)習(xí)必刷真題過關(guān)訓(xùn)練.

一、單選題

I.（2022?江蘇泰州?統(tǒng)考中考真題）已知點（-3,%）,（-1,%,。,加在下列某一函數(shù)圖像上，且、3<%<利

那么這個函數(shù)是（）

33

A.y=3xB.y=3x2oC.y=-D.y=--

【答案】D

【分析】先假設(shè)選取各函數(shù)，代入自變量求出〃、》，2、”的值，比較大小即可得出答案.

【詳解】解：A.把點（-3,yJ（-l,y2），（1，曠3）代入產(chǎn)3x,解得"=-9,>>2=-3,y?=3,所以y∕<y2<y3,這與已

知條件乃<當(dāng)<%不符，故選項錯誤，不符合題意；

B.把點（-3,yJ（-1,丁2），（1，丫3）代入）'=3-解得yι=21,y2=3,y3=3,所以y1>y2=y3>這與已知條件曠3<Yi<曠2

不符，故選項錯誤，不符合題意；

C.把點（-3,yD,（1,丫3）代入J=I>解得y∣=-1'”=-3,”=3,所以y2<y∣<yj>這與已知條件為<%<丫2

不符，故選項錯誤，不符合題意；

D.把點（-3,yJ,（1，丫3）代入尸：，解得V=L>'2=3,y?=-3,所以y3<Yi<72>這與已知條件丫3<

yι<y2相符，故選項正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】此題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)值的大小變化和函數(shù)的

性質(zhì).

2.（2021.江蘇徐州.統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=/的圖像向左平移2個單位長度，

再向上平移1個單位長度，所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為（）

A.y=（x-2）2+1B.y=（x+2）2+1C.y=（x+2）2—1D.y=（%—2）2—1

【答案】B

【分析】先求出平移后拋物線的頂點坐標(biāo)，進而即可得到答案.

【詳解】解：..'y="的頂點坐標(biāo)為（0,0）

.?.將二次函數(shù)y="的圖像向左平移2個單位長度,再向上平移1個單位長度,所得拋物線的頂點坐標(biāo)為（-2,

1）,

；?所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=（χ+2）2+l,

故選B

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的平移規(guī)律，找出平移后二次函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)或掌握“左加右減，上加

下減”，是解題的關(guān)鍵.

3.（2021?江蘇常州?統(tǒng)考中考真題）己知二次函數(shù)y=（ɑ-l）/,當(dāng)χ>0時，），隨X增大而增大，則實數(shù)“

的取值范圍是()

A.α>OB.α>1C.α≠1D.α<1

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知二次函數(shù)的開口向上，進而即可求解.

【詳解】?.?二次函數(shù)y=(α-l)χ2的對稱軸為y軸，當(dāng)％>O時，)，隨X增大而增大，

.?.二次函數(shù)y=(α-1)/的圖像開口向上，

Λα-l>O,即：α>1,

故選B.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的開口方向與二次項系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵.

4.(2021?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題)已知拋物線y=∕+kχ-∕c2的對稱軸在y軸右側(cè)，現(xiàn)將該拋物線先向右

平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度后，得到的拋物線正好經(jīng)過坐標(biāo)原點，則k的值是()

A.-5或2B.-5C.2D.-2

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行解答即可.

【詳解】解：函數(shù)y=/+kχ-卜2向右平移3個單位，得：y=(χ-3)2+k(x-3)-fc2；

再向上平移1個單位，得：y=(x-3)2+k(x-3)-?2+l,

Y得到的拋物線正好經(jīng)過坐標(biāo)原點

Λ0=(O-3)2+fc(O-3)-fc2+l即。+3fc-10=O

解得：k=一5或k=2

；拋物線y=x2+kx-/的對稱軸在y軸右側(cè)

Λx=-->0

2

Λfc<O

:?k=-5

故選：B.

【點睛】此題主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減.

5.(2021?江蘇宿遷?統(tǒng)考中考真題)已知二次函數(shù)y=Q∕+bx+c的圖像如圖所示，有下列結(jié)論：①a>0；

②〃-4ac>0;③4a+&=0；④不等式a/+⑦-I)%+CVO的解集為l<x<3,正確的結(jié)論個數(shù)是()

【答案】A

【分析】根據(jù)拋物線的開口方向、于X軸的交點情況、對稱軸的知識可判①②③的正誤，再根據(jù)函數(shù)圖象的

特征確定出函數(shù)的解析式，進而確定不等式，最后求解不等式即可判定④.

【詳解】解：???拋物線的開口向上，

Λa>O,故①正確；

：拋物線與X軸沒有交點

'.b2-4αc<0,故②錯誤

C由拋物線可知圖象過（1,1）,且過點（3,3）

（a+b+c=1

（9a+3b+c==3

Λ8a+2b=2

二4a+b=1,故③錯誤；

由拋物線可知頂點坐標(biāo)為（1,1）,且過點（3,3）

則拋物線與直線y=x交于這兩點

Λax2+（b—I）X+c<0可化為ɑ/+bx+c<x,

根據(jù)圖象，解得：l<x<3

故④錯誤.

故選A.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的特征以及解不等式的相關(guān)知識，靈活運用二次函數(shù)圖象的特征成

為解答本題的關(guān)鍵.

6.（2021?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題）關(guān)于某個函數(shù)表達式，甲、乙、丙三位同學(xué)都正確地說出了該函數(shù)的

一個特征.

甲：函數(shù)圖像經(jīng)過點（一1,1）；

乙：函數(shù)圖像經(jīng)過第四象限；

丙：當(dāng)%>O時，y隨X的增大而增大.

則這個函數(shù)表達式可能是（）

A.y=—XB.y=~C.y=X2D.y=—?

【答案】D

【分析】根據(jù)所給函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】解：A.對于y=-x,當(dāng)4-1時，y=l,故函數(shù)圖像經(jīng)過點（一1,1）；函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限；當(dāng)x>O

時，y隨X的增大而減小.故選項4不符合題意；

8.對于y=[,當(dāng)4-1時，y=-1,故函數(shù)圖像不經(jīng)過點（-1,1）；函數(shù)圖象分布在一、三象限；當(dāng)x>0時，y

隨X的增大而減小.故選項8不符合題意；

C.對于y=/,當(dāng)X=-I時，故函數(shù)圖像經(jīng)過點（-1,1）：函數(shù)圖象分布在一、二象限；當(dāng)x>0時1y隨

X的增大而增大.故選項C不符合題意；

D對于y=-：,當(dāng)X=-I時，y=l,故函數(shù)圖像經(jīng)過點（一1,1）；函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限；當(dāng)X>0時，y隨X

的增大而增大.故選項。符合題意；

故選：D

【點睛】本題考查的是一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)

鍵.

7.（2021?江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題）設(shè)P（X,%），Q（X,y2）分別是函數(shù)G，圖象上的點，當(dāng)αSx≤b時，總

有一l≤yi-y2≤l恒成立，則稱函數(shù)G，C?在α≤x≤b上是"逼近函數(shù)”，α≤x≤b為"逼近區(qū)間則下

列結(jié)論：

①函數(shù)y=X-5,y-3x+2在1≤x≤2上是"逼近函數(shù)”；

②函數(shù)y=尤一5,y=x2-4x在3≤x≤4上是"逼近函數(shù)”；

③0≤X≤1是函數(shù)y=X2-1,y-2x2-X的“逼近區(qū)間”；

?2≤X≤3是函數(shù)y=X-5,y-X2--4%的"逼近區(qū)間

其中，正確的有（）

A.②③B.??C.①③D.②④

【答案】A

【分析】分別求出力-曠2的函數(shù)表達式，再在各個X所在的范圍內(nèi)，求出力-丫2的范圍，逐一判斷各個選

項，即可求解.

【詳解】解：①Tyi=%—5,y2=3x+2,

Λy1一為=(%—5)—(3x÷2)=-2x-7,當(dāng)1≤x≤2時，-11≤y1-y2≤-9,

???函數(shù)y=%-5,y=3、+2在1≤%W2上不是“逼近函數(shù)”；

2

(2)Vyi=%—5,y2=X-4x,

22

Λy1—=(%-5)—(x-4x)=-X+5%-5,當(dāng)3≤x≤4時，-1≤y1一力≤1，

函數(shù)y=%-5,y=X2-4%在3≤x≤4上是"逼近函數(shù)”；

22

@Vy1=X-1,y2—2x—%,

22

?y1-y2=(%?-1)-(2x-x)=-x÷x-1,當(dāng)°≤%≤1時，一1≤%-力≤一不

.*.O≤%≤1是函數(shù)y=%2—1,y=2x2—%的“逼近區(qū)間”；

=χ2-

(J)Vy1=%—5?y24，

Λy一為=(%—5)—(x2-4x)=-x2÷5x-5,當(dāng)2≤%≤3時，1≤月一％≤*，

14

.?.2≤X≤3不是函數(shù)y=X-5,y=X2-4x的“逼近區(qū)間

故選A

【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的增減性，是解題的關(guān)鍵.

8.(2021?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題)如圖，線段AB=Io,點C、。在AB上，AC=BD=1.已知點P從點C出

發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著AB向點。移動，到達點D后停止移動，在點P移動過程中作如下操作：

先以點P為圓心，PA.PB的長為半徑分別作兩個圓心角均為60。的扇形，再將兩個扇形分別圍成兩個圓錐的

側(cè)面.設(shè)點P的移動時間為(秒).兩個圓錐的底面面積之和為S.則S關(guān)于t的函數(shù)圖像大致是()

【答案】D

【分析】由題意，先求出P4=t+1,PB=9-t,然后利用再求出圓錐的底面積進行計算，即可求出函數(shù)

表達式，然后進行判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，

'.,AB=10,AC=BD=1,且己知點P從點C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著力B向點。移動，到達點

D后停止移動，則0≤t≤8,

：.PA=t+l,

ΛPB=10-(t+l)=9-t,

由PA的長為半徑的扇形的弧長為：絲器誓=安義

1803

.?.用P4的長為半徑的扇形圍成的圓錐的底面半徑為空

6

.?.其底面的面積為變磬

由PB的長為半徑的扇形的弧長為：竺限=空

.?.用PB的長為半徑的扇形圍成的圓錐的底面半徑為9

...其底面的面積為嚶?

36

二兩者的面積和S=+?^=?π(t2-8t+41)

363618

.?.圖像為開后向上的拋物線，且當(dāng)t=4時有最小值;

故選：D.

【點睛】本題考查了扇形的面積公式，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，線段的動點問題，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握扇所學(xué)的知識，正確的求出函數(shù)的表達式.

二、填空題

9.（2021.江蘇泰州.統(tǒng)考中考真題）在函數(shù)y=（X-1）2中,當(dāng)尤>1時,y隨X的增大而—.（填“增大”或“減

小”）

【答案】增大

【分析】根據(jù)其頂點式函數(shù)y=（X-1）2可知，拋物線開口向上，對稱軸為x=l,在對稱軸右側(cè).y隨X的

增大而增大，可得到答案.

【詳解】由題意可知：函數(shù)y=（%-I/,開口向上，在對稱軸右側(cè)y隨X的增大而增大，又?.?對稱軸為X=1,

.?.當(dāng)x>1時，y隨的增大而增大，

故答案為：增大.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的對稱軸及增減性，掌握當(dāng)二次函數(shù)開口向上時，在對稱軸的右側(cè)y隨X

的增大而增大，在對稱軸的左側(cè)），隨X的增大而減小是解題的關(guān)鍵.

10.（2022.江蘇無錫.統(tǒng)考中考真題）把二次函數(shù)）=f+4x+機的圖像向上平移1個單位長度，再向右平移3

個單位長度，如果平移后所得拋物線與坐標(biāo)軸有且只有一個公共點，那么，〃應(yīng)滿足條件：.

【答案】，〃>3

【分析】先求得原拋物線的頂點坐標(biāo)為（-2,W-4）,再求得平移后的頂點坐標(biāo)為（1,根據(jù)題意得到

不等式》3>0,據(jù)此即可求解.

【詳解】解：?.?y=∕+4x+m=（x+2）2+叱4,

此時拋物線的頂點坐標(biāo)為（-2,m-4）,

函數(shù)的圖象向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度后的頂點坐標(biāo)為（-2+3,"i-4+l）,即（l,m-3）,

???平移后所得拋物線與坐標(biāo)軸有且只有一個公共點，

Λzn-3>0,

解得：加>3,

故答案為：e*3.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解決本題的關(guān)鍵是得到新

拋物線的頂點坐標(biāo).

11.(2022.江蘇連云港.統(tǒng)考中考真題)如圖，一位籃球運動員投籃，球沿拋物線y=-0.2x2+%+2.25運行,

然后準確落入籃筐內(nèi)，已知籃筐的中心離地面的高度為3.05m,則他距籃筐中心的水平距離OH是

【分析】將'=3.05代入37=—0.2萬2+》+2,25中可求出工，結(jié)合圖形可知x=4,即可求出OH.

【詳解】解：當(dāng)y=3.05時，-0.2/+x+2.25=3.05,解得：X=I或x=4,

結(jié)合圖形可知：OH=4m,

故答案為：4

【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用：投球問題，解題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)圖形確定X的值.

12.(2022.江蘇鹽城.統(tǒng)考中考真題)若點P(Tn,n)在二次函數(shù)、=必+2尤+2的圖象上，且點P到y(tǒng)軸的距離

小于2,則n的取值范圍是.

【答案】1≤n<10

【分析】先判斷一2<m<2,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得：n=nt?+2m+2=(m+I/+1,再利用二次

函數(shù)的性質(zhì)求解〃的范圍即可.

【詳解】解：點P到y(tǒng)軸的距離小于2,

■.-2<m<2,

,??點P(m,n)在二次函數(shù)y=x2+2x+2的圖象上，

.?.n=m2+2m+2=(m+I)2+1,

當(dāng)m=-l時，H有最小值為1.

當(dāng)Tn=2時，n=(2+I)2+1=10,

???n的取值范圍為1≤n<10.

故答案為：l≤n<10

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握“二次函數(shù)的增減性”是解本題的關(guān)鍵.

13.(2022?江蘇南通?統(tǒng)考中考真題)根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果不考慮空氣阻力，以40m∕s的速度將小球沿與地

面成30。角的方向擊出，小球的飛行高度做單位：m）與飛行時間K單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系是九=-5t2+20t,

當(dāng)飛行時間t為S時，小球達到最高點.

【答案】2

【分析】將函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為頂點式即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，有fι=-5t2+20t=-5（t-2）2+20,

當(dāng)t=2時，Zt有最大值.

故答案為：2.

【點睛】本題考查二次函數(shù)解析式的相互轉(zhuǎn)化及應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練二次函數(shù)解析式的特點及應(yīng)

用.

14.（2022.江蘇徐州.統(tǒng)考中考真題）若二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象上有且只有三個點到X軸的距離等于

m,則m的值為.

【答案】4

【分析】由拋物線解析式可得拋物線對稱軸為直線ml，頂點為（1,-4）,由圖象上恰好只有三個點到X軸

的距離為機可得m=4.

【詳解】解：?.?y=χ2-2x-3=（x—1）2-4,

.??拋物線開口向上，拋物線對稱軸為直線廣1,頂點為（1,-4）,

二頂點到X軸的距離為4,

函數(shù)圖象有三個點到X軸的距離為m,

,m=4,

故答案為：4.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，能夠理解題意是解題的關(guān)鍵.

15.（2021?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題）某快餐店銷售A、B兩種快餐，每份利潤分別為12元、8元，每天賣

出份數(shù)分別為40份、80份.該店為了增加利潤，準備降低每份A種快餐的利潤，同時提高每份8種快餐的

利潤.售賣時發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，每份A種快餐利潤每降1元可多賣2份，每份B種快餐利潤每提高1

元就少賣2份.如果這兩種快餐每天銷售總份數(shù)不變，那么這兩種快餐一天的總利潤最多是元.

【答案】1264

【分析】根據(jù)題意，總利潤=4快餐的總利潤+B快餐的總利潤，而每種快餐的利潤=單件利潤X對應(yīng)總數(shù)量，

分別對兩份快餐前后利潤和數(shù)量分析，代入求解即可.

【詳解】解：設(shè)4種快餐的總利潤為名，B種快餐的總利潤為傷，兩種快餐的總利潤為W，設(shè)4快餐的份數(shù)

為X份，則B種快餐的份數(shù)為(120-x)份.

2

據(jù)題意：IV1=(12-?)×X=(12-1+20)×X=-∣x+32x,

80χ

IV2=[8+°-^~)](-120-X)=-∣χ2+72X-2400,

22

IV=IV1+MZ2=-%+104x-2400=一(尤-52)+1264,

V-I<0,

當(dāng)X=52的時候,W取到最大值1264,故最大利潤為1264元，

故答案為：1264.

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意、通過具體問題找到變化前后的關(guān)系是解題關(guān)鍵點.

16.(2021.江蘇無錫.統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，點C為y軸正半軸上的一

個動點，過點C的直線與二次函數(shù)y=/的圖象交于A、B兩點，且CB=3AC,尸為CB的中點，設(shè)點P的

坐標(biāo)為P(x,y)(x>O),寫出y關(guān)于X的函數(shù)表達式為：.

【答案】y=疑2

【分析】過點4作AMLy軸，過點B作8M垂直y軸，則黑=受=；,設(shè)A(∕,/),則須3小

'BMCB3

9國，求出C(0,3/),從而得P(Iα,6Q2),進而即可得到答案.

【詳解】解：過點A作AAay軸，過點B作垂直y軸，則〃4V,

：.ACBMFCAN,

VCB=3ACf

...-A-N-=—AC="1,

BMCB3

22

設(shè)4-〃，a),則8(3α,9a)f

設(shè)直線AB的解析式為：尸履+〃，

則警甘,，解得：朽=為，

(9αz=3ka+bIb=3αz

2

，直線AB的解析式為：y=2ax+3af

ΛC(O,3/,

TP為CB的中點，

ΛP(∣α,6α2),

(3

.??1=咒，BP：y=∣x2,

故答案是：y=?/.

【點睛】本特納主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握函數(shù)圖像上點的坐

標(biāo)特征，是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

17.(2021?江蘇鹽城?統(tǒng)考中考真題)已知拋物線y=α(x-1α+九經(jīng)過點(0,-3)和(3,0).

(1)求a、九的值;

(2)將該拋物線向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到新的拋物線，直接寫出新的拋物

線相應(yīng)的函數(shù)表達式.

【答案】(l)a=l,h=—4：(2)y=X2—4x+2

【分析】(1)將點(0,-3)和(3,0),代入解析式求解即可；

(2)將y=(x—1)2—4,按題目要求平移即可.

【詳解】(1)將點(0,-3)和(3,0)代入拋物線y=α(x-I)2+八得:

rɑ(θ-I)2+/1=-3

Ia(3-I)2+Λ=0

解得：LQ=I4

m=-4

?,.a=1>h=—4

(2)：原函數(shù)的表達式為:y=(x-I)2-4,

向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得：

???平移后的新函數(shù)表達式為:y=(X-I-I￥-4+2=X2-4X+2

即y=X2—4x+2

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法確定解析式，頂點式的函數(shù)平移，口訣：“左加右減，上加下減“，正確的計

算和牢記口訣是解題的關(guān)鍵.

18.(2022?江蘇常州.統(tǒng)考中考真題)在5張相同的小紙條上，分別寫有語句：①函數(shù)表達式為y=抬②函

數(shù)表達式為V=久2；③函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱；④函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱；⑤函數(shù)值y隨自變量X增大而

增大.將這5張小紙條做成5支簽，①、②放在不透明的盒子力中攪勻，③、④、⑤放在不透明的盒子B中

攪勻.

(1)從盒子A中任意抽出1支簽，抽到①的概率是；

(2)先從盒子4中任意抽出1支簽，再從盒子B中任意抽出1支簽.求抽到的2張小紙條上的語句對函數(shù)的描

述相符合的概率.

【答案】(IE

卷

【分析】(1)直接由概率公式求解即可：

(2)畫出樹狀圖，再由概率計算公式求解即可.

【詳解】(1)解：從盒子4中任意抽出1支簽，抽到①的概率是點

故答案為：?;

(2)解：畫出樹狀圖:

開始

共有6種結(jié)果，抽到的2張小紙條上的語句對函數(shù)的描述相符合的有①、③和①、⑤和②、④共3種，

???抽到的2張小紙條上的語句對函數(shù)的描述相符合的概率為:=?

62

【點睛】本題主要考查了列表法或樹狀圖求概率，一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會列出表或

樹狀圖以及一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì).

19.（2022.江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題）端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購進4、B兩種品牌的粽子，兩次進

貨時，兩種品牌粽子的進價不變.第一次購進4品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，總費用為7000元；第

二次購進A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，總費用為8100元.

（1）求4、B兩種品牌粽子每袋的進價各是多少元；

（2）當(dāng)B品牌粽子銷售價為每袋54元時，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對B品牌粽子進行降價銷

售.經(jīng)市場調(diào)研，若每袋的銷售價每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋.當(dāng)B品牌粽子每袋的銷售價降

低多少元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？

【答案】（1）4種品牌粽子每袋的進價是25元，B種品牌粽子每袋的進價是30元

（2）當(dāng)B品牌粽子每袋的銷售價降低10元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大，最大利潤是980元

【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)量關(guān)系列二元一次方程組，即可求解；

（2）設(shè)B品牌粽子每袋的銷售價降低α元，利潤為W元，列出W關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式，求出函數(shù)的最值即可.

【詳解】（1）解：設(shè)4種品牌粽子每袋的進價是X元，B種品牌粽子每袋的進價是y元，

根據(jù)題意得，?:-θ-z.

?g：30

故4種品牌粽子每袋的進價是25元，B種品牌粽子每袋的進價是30元；

（2）解：設(shè)B品牌粽子每袋的銷售價降低α元，利潤為W元，

根據(jù)題意得,

W=(54-α-30)(20+5α)=-Sa2+IOOa+480=-5(α-IO)2+980,

V-5<0,

.?.當(dāng)8品牌粽子每袋的銷售價降低10元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大，最大利潤是980元.

【點睛】本題考查二次函數(shù)和二元一次方程的實際應(yīng)用，根據(jù)已知數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)解析式和二元一次方

程組是解題的關(guān)鍵.

20.(2022?江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題)某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖

場一面靠墻(墻的長度為Iom),另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1:2的矩形，已

知柵欄的總長度為24m,設(shè)較小矩形的寬為Xm(如圖).

(1)若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36n√,求此時X的值；

(2)當(dāng)X為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？

【答案】(I)X的值為2m；

(2)當(dāng)X=T時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為詈m2

【分析】(1)由BC=X,求得8f>=3x,AB=S-x,利用矩形養(yǎng)殖場的總面積為36m2,列一元二次方程，解方

程即可求解；

(2)設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積為S,列出矩形的面積公式可得S關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性

質(zhì)求解即可.

【詳解】(I)解：?.?8C=x,矩形CQE尸的面積是矩形8C7?面積的2倍，

：?CD=2x,

.?BD=3χfAB=CF=DE=^(24-BD)=S-χ9

依題意得：3Λ(8-X)=36,

解得：x∕=2,x2=6(不合題意，舍去),

此時x的值為2m；

(2)解：設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積為S,

由(1)得：S=3X(8-X)=-3(X-4)2+48,

:墻的長度為10,

Λ0<3x<10,

Λ0<%<-,

3

V-3<0,

.?.∕V4時，S隨著X的增大而增大，

...當(dāng)4T時，S有最大值，最大值為一3X(與一4)2+48=等，

即當(dāng)X=￡時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為券H?.

【點睛】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)在幾何圖形問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次函數(shù)的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.(2022.江蘇泰州.統(tǒng)考中考真題)如圖，二次函數(shù)yι=/+皿+1的圖像與丫軸相交于點4與反比例函

數(shù)曠2=：O>0)的圖像相交于點8(3，1).

(1)求這兩個函數(shù)的表達式；

(2)當(dāng)月隨X的增大而增大且yι<'2時，直接寫出X的取值范圍；

(3)平行于X軸的直線/與函數(shù)yι的圖像相交于點C、。(點C在點。的左邊)，與函數(shù)丫2的圖像相交于點E

若AACE與△BOE的面積相等，求點E的坐標(biāo).

【答案】(l)yι=/一3x+1：y2=I(?>θ)

(2)∣≤%<3

(3)E(∣,2)

【分析】(1)用待定系數(shù)法求出解析式即可：

(2)由圖像直接得出結(jié)論即可；

(3)根據(jù)4點和B點的坐標(biāo)得出兩三角形等高，再根據(jù)面積相等得HICE=DE,進而確定E點是拋物線對稱

軸和反比例函數(shù)的交點，求出E點的坐標(biāo)即可.

【詳解】(1)解：：二次函數(shù)yι=/+THX+1的圖像與y軸相交于點A,與反比例函數(shù)=：(X>0)的圖像

相交于點8(3,1),

.?.32+3m+l=l,鋁1,

解得m=-3,k=3,

二二次函數(shù)的解析式為yι=X2-3X+1,反比例函數(shù)的解析式為y2=：(%>°)；

(2)解：???二次函數(shù)的解析式為yι=∕-3χ+l,

???對稱軸為直線X=|，

由圖像知，當(dāng)月隨X的增大而增大且乃<曠2時，∣<x<3；

(3)解：由題意作圖如下：

當(dāng)X=0時，y1=1,

???4(0,1),

???B(3,1),

.??44CE的CE邊上的高與ABZ)E的DE邊上的高相等,

?.?∕L4CE與ABDE的面積相等，

?CE=DE,

即E點是二次函數(shù)的對稱軸與反比例函數(shù)的交點，

當(dāng)X=I時，y2=2,

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì),

三角形的面積，待定系數(shù)法求解析式等知識是解題的關(guān)鍵.

22.(2022?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題)已知二次函數(shù)y=∕+(rn-2)χ+m-4,其中m>2.

(1)當(dāng)該函數(shù)的圖像經(jīng)過原點。(0,0),求此時函數(shù)圖像的頂點A的坐標(biāo)；

(2)求證：二次函數(shù)y=X2+(τn-2)X+m-4的頂點在第三象限；

(3)如圖，在(1)的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖像，使其頂點在直線y=-X-2上運動，平移后所得函

數(shù)的圖像與y軸的負半軸的交點為B,求44。B面積的最大值.

【答案】(1)4(一1,一D

(2)見解析

(3)最大值為:

O

【分析】(I)先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再將二次函數(shù)解析式化為頂點式即可得到答案;

-m2+8m-20

(2)先根據(jù)頂點坐標(biāo)公式求出頂點坐標(biāo)為(號?,然后分別證明頂點坐標(biāo)的橫縱坐標(biāo)都小于O

4

即可;

(3)設(shè)平移后圖像對應(yīng)的二次函數(shù)表達式為y=/+入+c,則其頂點坐標(biāo)為(-發(fā)蘭盧)，然后求出點B

的坐標(biāo)，根據(jù)平移后的二次函數(shù)頂點在直線y=2上推出C=號不，過點4作AHLOB,垂足為

可以推出S-OB=-∣(fe+l)2+［由此即可求解.

OO

【詳解】(1)解：將O(0,0)代入y=久2+(7n—2)%+TH—4,

解得Zn=4.

由m>2,則？n=4符合題意，

.?.y=%2÷2%=(%+I)2—1,

?*?√4(—1,-1).

(2)解：由拋物線頂點坐標(biāo)公式得頂點坐標(biāo)為(號二條誓史).

Vm>2,

/.m—2>0,

/.2—m<0,

Λ-<0.

2

??—τn2+8τn-201八2-ι)<ι,c

?=--(m-4)z-f1≤-1<0,

44

,二次函數(shù)y=X2+(m-2)x+m-4的頂點在第三象限.

(3)解：設(shè)平移后圖像對應(yīng)的二次函數(shù)表達式為y=∕+bχ+c,則其頂點坐標(biāo)為(一17)

當(dāng)％=0時，y=c,

???B(0,c).

將(一1欠盧)代入y=r_2,

?.?B(0,c)在y軸的負半軸上,

Λc<0.

過點4作AH_LOB,垂足為H,

VΛ(-1,-1),

.'.AH=1.

在△40B中，SΔΛOB=∣0B?ΛH=i×(-^^)×l

1,1

=~Sb4b+1

=Tb+I/+*

.?.當(dāng)b=-l時，此時c<0,ZkAOB面積有最大值，最大值為:

O

【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)的

最值問題，正確理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

23.（2021.江蘇泰州?統(tǒng)考中考真題）農(nóng)技人員對培育的某一品種桃樹進行研究，發(fā)現(xiàn)桃子成熟后一棵樹上

每個桃子質(zhì)量大致相同.以每棵樹上桃子的數(shù)量X（個）為橫坐標(biāo)、桃子的平均質(zhì)量y（克/個）為縱坐標(biāo),

在平面直角坐標(biāo)系中描出對應(yīng)的點，發(fā)現(xiàn)這些點大致分布在直線AB附近（如圖所示）.

（1）求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；

（2）市場調(diào)研發(fā)現(xiàn):這個品種每個桃子的平均價格w（元）與平均質(zhì)量y（克/個）滿足函數(shù)表達式卬=擊），+2.在

（1）的情形下，求一棵樹上桃子數(shù)量為多少時，該樹上的桃子銷售額最大？

【答案】(1)y=-∣x+500;(2)210.

【分析】⑴將4(120,300),8(240,100)代入到y(tǒng)=kx+b,得到方程組｛湍;端O解得上與匕的

值，即可求出直線43的解析式：

(2)將y=-∣x+500代入W=京y+2中，得到新的二次函數(shù)解析式，再表示出總銷售額，配方成頂點

式，求出最值即可.

【詳解】解：(1)設(shè)直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,

將A(120,300),8(240,100)代入可得:[?θɑ=券器甘，

IlUO=24。/C+b

解得：?=一1,

3=500

...直線AB的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-∣x+500.

故答案為：y=-∣x+500.

(2)將y=-∣x+500代入W=擊y+2中，

口J得：w—-X+500^+2ι

IOO\3)

化簡得：W=-??+7,

60

設(shè)總銷售額為z,則Z=wx=(-??+7)%

1

z=——X7+7%

11

=--(x2-420x+2102)+—×2102

6060

=一2(x-210)2+735

"?"ɑ=-----<0?

60

??.z有最大值,當(dāng)X=210時，Z取到最大值,最大值為735.

故答案為：210.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)解析式的求解，二次函數(shù)的應(yīng)用，能理解題意，并表示出其解析式是解題關(guān)

鍵.

24.(2021?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線y=nt/+(巾2+3)萬—gm+9)與X軸交于點A、B,

與y軸交于點C,已知B(3,0).

(1)求，”的值和直線BC對應(yīng)的函數(shù)表達式;

(2)P為拋物線上一點，若SNBC=S“BC，請直接寫出點P的坐標(biāo);

(3)Q為拋物線上一點，若NACQ=45。，求點。的坐標(biāo).

【答案】⑴Zn=-Ly=x-3?,⑵P(2,l),P(手,乎)，。(手,子)；(3)QC)

【分析】(1)求出A，8的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法計算即可；

(2)做點A關(guān)于8C的平行線4Pi，聯(lián)立直線4Pι與拋物線的表達式可求出Pl的坐標(biāo)，設(shè)出直線AP1與y軸

的交點為G,將直線BC向下平移，平移的距離為GC的長度，可得到直線P3P2,聯(lián)立方程組即可求出P；

(3)取點Q,連接CQ,過點4作4。ICQ于點。，過點。作。FIX軸于點F,過點C作CE_L。F于點E,得直

線CD對應(yīng)的表達式為y=3,即可求出結(jié)果；

【詳解】(1)將8(3,0)代入y=mx2+(m2+3)%—(6m+9),

化簡得r∏2+m=0,則Zn=O(舍)或τn=-1,

.,.m=一1,

得：y=--+4^-3,則C(O,-3).

設(shè)直線BC對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=kx+b,

將8(3,0)、C(O,-3)代入可得｛0;；匕/,解得k=l,

則直線Be對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=X—3.

(2)如圖，過點A作4Pi〃8C,設(shè)直線4Pl與y軸的交點為G,將直線BC向下平移GC個單位，得到直線

P3P2,

由(1)得直線BC的解析式為y=%—3,4(L0),

直線AG的表達式為y=x-l,

聯(lián)立（V

（y=-χz+4X-3

解得:g:j（舍），或U

APi（2,1）,

由直線AG的表達式可得G(-l,0),

：.GC=2,CH=2,

，直線P3P2的表達式為y=%-5,

聯(lián)立二二3，

3+√17（3-√17

—,卜2二二

-7+√17,J-7-√17，

?y2=

..嗎―,七（三￥）,

.”（2,1）,P—,「（手￥）.

(3)如圖，取點Q,連接CQ,過點4作AC_LCQ于點D,

過點。作DF1X軸于點尸，過點C作CE1DF于點E,

9∕?ACQ=45o,

：.AD=CDt

又???乙4。C=90。,

???Z√1DF+4CDE=90。，

VzCDF+ZDCF=90°,

，乙DCE=Z.ADF,

XVzE=?AFD=90°,

.?ΔCDE=ΔDAFf則AF=DE,CE=DF.

設(shè)DE=AF=Q,

VOA=1,OF=CE,

?二CE=DF=Q+1.

由OC=3,貝IjDF=3一m即Q+1=3-Q,解之得，Q=L

所以。(2,—2),又C(0,-3),

可得直線CD對應(yīng)的表達式為y=∣x-3,

設(shè)QOnJrn-3)，代入y=-/+4x-3,

得—3=—nr2+4m—3,?m=-m2÷4m,m2—?m=0,

又m≠0,則m=￡所以Qg—：).

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，結(jié)合一元二次方程求解是解題的關(guān)鍵.

25.(2022.江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題)一次函數(shù)y=1%+1的圖像與％軸交于點4,二次函數(shù)y=Q/+b%+

e(ɑ≠0)的圖像經(jīng)過點4、原點。和一次函數(shù)y=??÷1圖像上的點8(mJ).

Z4

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；

2

(2)如圖?,一次函數(shù)y=??+n(n>--^-ln≠1)與二次函數(shù)y=ax+hx+c(α≠0)的圖像交于點C(%i，yi)、

2Io

D(X2,力)(Xl<%2)，過點C作直線El1X軸于點E,過點D作直線％1X軸，過點B作BF1%于點產(chǎn)?

①與=，X2=(分別用含般的代數(shù)式表示)；

②證明：AE=BF-,

(3)如圖2,二次函數(shù)y=α(x-t)2+2的圖像是由二次函數(shù)y=ax2+bx+c(α≠0)的圖像平移后得到的，

且與一次函數(shù)y=∣x+1的圖像交于點P、Q(點P在點Q的左側(cè))，過點P作直線b?X軸，過點Q作直線，4?%

軸，設(shè)平移后點A、B的對應(yīng)點分別為4、B',過點4'作4M1。于點M,過點夕作"NJ.%于點N.

①AM與夕N相等嗎？請說明你的理由；

②若AM+3B'N=2,求t的值.

【答案】(l)y=/+2x

(3)①4M=BW,理由見解析；②3

【分析】(1)通過一次函數(shù)表達式可以求出A、B兩點坐標(biāo)，將A、B、C三點坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達式即

可求解；

(2)①通過聯(lián)立關(guān)系式可得：∣x+n=x2+2x,利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到匕,亞

的值；

②通過A(-2,0),E(-379+i6n,0)即可求出AE的長度;

4

通過聯(lián)，)「(衛(wèi)誓乳》即可求出所的長度；

（3）①通過二次函數(shù)平移前后的表達式可以確定新二次函數(shù)的圖像是由原二次函數(shù)的圖像向右平移（t+l）

個單位，向上平移3個單位得到的，從而可以得到：4（t—1,3）,B'（t+1，?）.通過聯(lián)立關(guān)系式可得：（x-t）2+

2=∣x+l,利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到點尸、點。的橫坐標(biāo)，通過坐標(biāo)即可表示

出AM、BW的長度.

②由①可得乂號求解即可.

42

【詳解】（I）令y=0,則）+1=0,解得X=-2,

.M(—2,0),

將點B（m,｝代入y=1x+1中，解得m=去

.?.點B的坐標(biāo)為

將4(-2,0),B(∣,∣),C(0,0)代入y=α∕+故+C(Q≠0)可得:

4α—2h+c=0a=1

^?α+^b÷c=∣,解得：｛b=2,

c=0C=O

.?.二次函數(shù)的表達式為y=%2+2x.

2

(2)①:一次函數(shù)y=，+n(n>-Jn豐1)與二次函數(shù)y=ax+bx+c(α≠0)的圖像交于點C(XLyI)、

216

D（X2，丫2）（X1<%2），

，聯(lián)立關(guān)系式得：??+n=X2+2x,

整理得：%2+∣x-n=0,

_3等1+軌_3+際而

解得：Xl=N

2424

—3—V9÷16∏—3+V9÷16∏

故答案為：X=：X

1J'24

②當(dāng)?τ>l時，CD位于AB的上方，?.?A(-2,0)?BGt)，

2±JΞ_±JΞβr_±JEΞι.±JΞ

??/1C-—一"二一,Dr—,

22222

?ME=BF,

當(dāng)一2Cn<1時，CD位于48的下方，同理可證.

16

故可得：AE=BF；

(3)方法一：

①T二次函數(shù)y=x2+2x圖像的頂點為(一L-1)，

二次函數(shù)y=(x—t>+2的圖像的頂點為(t,2),

二新二次函數(shù)的圖像是由原二次函數(shù)的圖像向右平移(t+l)個單位，向上平移3個單位得到的.

.M(-2,0)的對應(yīng)點為4(t-1,3),3(靖)的對應(yīng)點為9(￡+：,約，

2424

聯(lián)立關(guān)系式可得：(x-t)2+2=3%+l,

整理得：X2-(2t+^)x+t+l=0,

8t-15

Δ=---------

4

4t+l-√8t-154t+l+√8t-15

當(dāng)t>蔡時，解得:XP=，x

4