遼寧省重點(diǎn)高中高一年級(jí)上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

一、單選題

1.已知集合力={TO,1,2},8={1,2,3},則Zu8=()

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}

【答案】D

【分析】根據(jù)集合的并集運(yùn)算即可得出答案.

【詳解】因?yàn)?={-1,0」,2},B={1,2,3},

所以/uB={-l,0,l,2,3},

故選：D.

2.如圖，在等腰梯形/8CQ中，AD//BC,4）=2,AB=BC=CD=1,E為/。的中點(diǎn).則下列式子

不正確的是（）

A.AB+AE=ACB.同=|國(guó)C.AB-CD=EDD.ED+CB=0

【答案】C

【分析】先分析清楚圖像內(nèi)部的幾何關(guān)系，再根據(jù)向量加法規(guī)則逐項(xiàng)分析.

【詳解】由題意|“同=|皮）|=忸（7|=1,/￡：//3（7,￡0〃8。,，荏=而=前,

并且四邊形/8CE和四邊形■都是平行四邊形，即礪=而，刀=前，

對(duì)于A(yíng),AB+JE^AC，正確；

對(duì)于B,|礪|=|而|=1,|比卜|刀卜1,正確；

對(duì)于C,ED=JE=JB+JE=JB+CD-CD，錯(cuò)誤；

對(duì)于D,ED=BC=-CB,:.ED+CB=Q,正確；

故選：C.

3.“|x-l|W2”是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】化簡(jiǎn)不等式，得到兩個(gè)不等式的解，根據(jù)充分條件，必要條件的定義即可得出結(jié)論.

2_2

【詳解】解：由|x-l|W2,解得-1W,由一r;-41,解得-l<x43,

x+l

顯然-1<x<3=>-l<x<3,但是-1<xV3推不出-1<3,

所以“|x-l|W2”是“黃^41”的必要不充分條件.

故選：B.

4.下列函數(shù)是增函數(shù)且在(0,5)上有零點(diǎn)的是()

A./(x)=x+4B./(x)=4-|x|C./(x)=lnx-3D./(x)=3A-8

【答案】D

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A(yíng),/(x)=x+4是增函數(shù)，令/(x)=x+4=0,

則x=-4<0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,/(x)=4-|x］在(0,+oo)上是減函數(shù)，故B錯(cuò)誤：

對(duì)于C,令〃x)=lnx-3=0,則x=e，>5,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,/("=3、-8是增函數(shù)，令/")=3'-8=0,

則*=嗨8?1,2),故D正確；

故選：D.

5.已知“TogJ,6=log，6,c=@，則a,b,c的大小關(guān)系為()

33

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a

【答案】C

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：a+ogJvlogz』。，/>=log56>log55=l,又0=也€(0,1)

333

,所以6>c>a.

故選：C.

6.如圖，這是甲、乙兩位同學(xué)在4次數(shù)學(xué)測(cè)試中得分的莖葉圖，若從甲、乙兩位同學(xué)的4次得分

中各抽選1次得分，則甲同學(xué)抽選的得分高于乙同學(xué)抽選的得分的概率為()

甲乙

98879

10908

39

A.BD.

8-17cI16

【答案】B

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求解.

【詳解】從甲、乙兩位同學(xué)的4次得分中各抽選1次得分，

則共有16種情況，其中甲的得分高于乙的得分的情況有7種,

7

故所求的概率為二.

16

故選：B.

7.下圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的我國(guó)最近10年的人口出生率（單位：%o）,根據(jù)下圖，則（）

■人口出生率（％。）

A.這10年的人口出生率逐年下降

B.這10年的人口出生率超過(guò)12%。的年數(shù)所占比例等于45%

C.這10年的人口出生率的80%分位數(shù)為13.57%

D.這10年的人口出生率的平均數(shù)小于12%。

【答案】D

【分析】由走勢(shì)圖對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.

【詳解】對(duì)于A(yíng)：這10年的人口出生率有升有降，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：這10年的人口出生率超過(guò)12%。的年數(shù)所占比例等于50%,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C：由于10x0.8=8,則這10年的人口出生率的80%分位數(shù)為從小到大第8個(gè)和第9個(gè)數(shù)的平

13.57+13.83

均數(shù)=13.70,故C錯(cuò)誤;

2

對(duì)于D：這10年的人口出生率的平均數(shù)為

-^（14.57+13.03+13.83+11.99+13.57+12.64+10.86+10.41+8.52+7.52）=11,694小于12%。，故D

正確；

故選：D.

8."碳達(dá)峰''是指二氧化碳的排放不再增長(zhǎng)，達(dá)到峰值之后開(kāi)始下降，而"碳中和''是指企業(yè)、團(tuán)體

或個(gè)人通過(guò)植樹(shù)造林、節(jié)能減排等形式，抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實(shí)現(xiàn)二氧化碳“零排

放某地區(qū)二氧化碳的排放量達(dá)到峰值“（億噸）后開(kāi)始下降，其二氧化碳的排放量S（億噸）與

時(shí)間f（年）滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式5=仍'，若經(jīng)過(guò)4年，該地區(qū)二氧化碳的排放量為4（億噸）.已知

該地區(qū)通過(guò)植樹(shù)造林、節(jié)能減排等形式抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量為W（億噸），則該地區(qū)要

實(shí)現(xiàn)“碳中和”，至少需要經(jīng)過(guò)（）（參考數(shù)據(jù)：1g2=0.30,1g3。0.48）

A.13年B.14年C.15年D.16年

【答案】D

【分析】由條件列式而4=當(dāng)先確定參數(shù)，再結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算解方程而'=3.

43

【詳解】由題意，S=a//=￥，即所以b=1,

44V4

令ab'=g即故便［=］即北1=心，

331Y4J3V43

141g3

可得Z（lg3-21g2）=-lg3,即"大聲口=16.

421g2-lg3

故選：D

二、多選題

9.己知工是直線(xiàn)/上的一個(gè)單位向量，￡與否都是直線(xiàn)/上的向量，Ra=2e>b=-3e>則（）

A.石的坐標(biāo)為-3B.|6|=3

C.2Z+3區(qū)的坐標(biāo)為5D.I2Z+3向=5

【答案】ABD

【分析】根據(jù)題意得到忖=慳卜2,W="4=3,￡3的夾角為180°,再依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A,因?yàn)槿?-3鼠所以B的坐標(biāo)為-3,故A正確；

對(duì)選項(xiàng)B,忖=卜30=3,故B正確.

對(duì)選項(xiàng)C,因?yàn)閍=2e，b=—3e?所以2〃+33的坐標(biāo)為-5,故C錯(cuò)誤;

對(duì)選項(xiàng)D,因?yàn)殁?同=2,W=Re|=3,的夾角為180°,

所以(22+342=47+97+1271=4x22+9x9+12x2x3x(-1)=25,

所以12a+3取|=5,故D正確.

故選：ABD

10.為了解某班學(xué)生每周課外活動(dòng)的時(shí)間，甲同學(xué)調(diào)查了10名男生，其平均數(shù)為9,方差為11；

乙同學(xué)調(diào)查了10名女生，其平均數(shù)為7,方差為8.若將甲、乙兩名同學(xué)調(diào)查的學(xué)生合在一起組成

一個(gè)容量為20的樣本，則該樣本數(shù)據(jù)的()

A.平均數(shù)為8.5B.平均數(shù)為8C.方差為10.5D.方差為10

【答案】BC

【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的定義計(jì)算求解即可.

10x9+10x7

【詳解】由題意，該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)本=：=8,

方差一=寮[11+(9-8)2]+奈[8+(7-8)2]=10.5.

故選：BC

11.設(shè)函數(shù)〃x)=ln(M-a),則下列說(shuō)法正確的是()

A./(x)是偶函數(shù)

B.當(dāng)a=l時(shí)，/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-%0)

C.若/(X)的定義域?yàn)镽,則a的取值范圍為(—,0]

D.若/(X)的值域?yàn)镽,則。的取值范圍為[0,+8)

【答案】AD

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，值域和定義域進(jìn)行逐項(xiàng)的判斷即可求解.

【詳解】對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，因?yàn)楫?dāng)a>0f!寸，函數(shù)定義域?yàn)?f°,-a)U(a,+8),當(dāng)。=0時(shí)，函數(shù)定義域

為(-8,0)U(0,+<?)：

當(dāng)"0時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)镽,函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且/(r)=/(x),所以/(x)是偶函

數(shù)，故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)。=1時(shí)，令國(guó)-1>0,解得x<-l或x>l,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知/(X)的單調(diào)

遞減區(qū)間為(-8,-1),故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C選項(xiàng)，若/(X)的定義域?yàn)镽,則|x|-a>o恒成立，故”0,則。的取值范圍為(-8,0),故

C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，若/(x)的值域?yàn)镽,則-。40,故a20,則。的取值范圍為[。，”)，故D正確.

故選：AD.

12.已知函數(shù)“X),g(x)的定義域均為R,g(x)為偶函數(shù),且〃x)+g(x+l)=l,

/(x+l)-g(x)=3,貝l]()

A.g(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)B./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,2)對(duì)稱(chēng)

C.f(x)是以3為周期的周期函數(shù)D.g(x)是以4為周期的周期函數(shù)

【答案】ABD

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性逐項(xiàng)進(jìn)行求解即可.

【詳解】由/(x)+g(x+l)=l,可得/(x+l)+g(x+2)=l,

又/(x+l)-g(x)=3,所以g(x+2)+g(x)=-2,則g(x+4)+g(x+2)=-2,

所以g(x+4)=g(x),所以g(x)周期為4,故D正確；

同理可得/(x+4)=/(x),所以/(x)周期為4,故C錯(cuò)誤；.

因?yàn)間(x)為偶函數(shù)，所以g(-x)=g(x)=g(x+4),

所以g(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)，故A正確；

因?yàn)?(x)+g(x+l)=l,可得g(x)=l-/(x-l),

又〃x+l)-g(x)=3,所以g(-x)=/(l—x)-3,

由g(/=g(x),可得=即/(1)+/(廠(chǎng)1)=4,

所以/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,2)對(duì)稱(chēng)，故B正確；

故選：ABD.

三、填空題

13.已知2=(機(jī),-2),1=(3,1),若石〃B，則向=.

【答案】2M

【分析】首先根據(jù)1〃5得到，”=-6,再計(jì)算同即可.

【詳解】由3〃很，得機(jī)+6=0,則"?=-6,|a|=V36+4=2V10.

故答案為：2VI6

四、雙空題

14.某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生生活方面的日支出情況，抽出了一個(gè)容量為〃的樣本，將數(shù)據(jù)按［20,30)

,［30,40),［40,50),［50,60),［60,70］分成5組，制定成如圖所示的頻率分布直方圖，則。=

.要從日支出在［50,70］的樣本中用分層抽樣的方法抽取10人，則日支出在［60,70］中被抽取

【分析】根據(jù)頻率之和為1列出方程，求出。=0.005,得到［50,60)內(nèi)和［60,70］內(nèi)的樣本比例，從

而得到在［60,70］中被抽取的人數(shù).

【詳解】(2xa+0.02+0.025+0.045)xl0=l,解得a=0.005.

因?yàn)椋?0,60)內(nèi)和［60,70］內(nèi)的樣本個(gè)數(shù)比例為0.020:0.005=4:1,

根據(jù)分層抽樣可知，日支出在［60,70］中被抽取的人數(shù)為10x占=2.

故答案為：0.005,2

五、填空題

15.設(shè)a,beR,若9/+〃+3劭=6,則3a+6的最大值為.

【答案】2五

【分析】利用條件變形和問(wèn)題建立起聯(lián)系：(3a+6)2=3M+6,再利用基本不等式求出血的范圍即

可求解.

【詳解】9a24-Z?2+3ab=6=（3tz+Z>）2-3ab,

即（3a+by=3ab+6,

因?yàn)?/+/+3，活=622J9a2./+3ab，

2

可得他當(dāng)且僅當(dāng)3〃=b時(shí)，等號(hào)成立，

所以（3a+b\=3ab+6<8,

即3。+6的最大值為2近.

故答案為：20.

——1—

16.已知1內(nèi)一點(diǎn)產(chǎn)滿(mǎn)足力夕=之48+;力C,若口PC6的面積與口/BC的面積之比為1:3,則義

4

的值為.

【答案】卷

【分析】過(guò)點(diǎn)P作尸加〃NC,PN//AB,根據(jù)向量運(yùn)算和平面向量基本定理可得存7=4而，

4N=：/C.作PG_L/C于點(diǎn)G,BHBC于點(diǎn)、H.根據(jù)三角形面積公式結(jié)合三角形相似判斷可得

4

S&PAC=4s△月8c，S^PAB=W,△力8c,列方程求2的值.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)P作PMHAC,PN//AB,則"=麗+而，

——1—

又4P=24B+-4C,

4

__i___

由平面向量基本定理可得行7=/近，AN=；AC.

4

作尸G_U。于點(diǎn)G,BHL4c于點(diǎn)H.

PGPN

又因?yàn)椤魇琋Gs△歷1"，所以,=-^=;1,

BHAB

因?yàn)镾&PAC=,同理S^PAB=~S^ABC.

因?yàn)榭谑珻3的面積與GABC的面積之比為1:3,

所以4+!+!=1,

43

解得九=3.

故答案為：—

六、解答題

2

17.己知命題P：玉eR,x+mx+m<0,集合A是命題P為假命題時(shí)實(shí)數(shù)機(jī)的取值集合，函數(shù)

/白卜叫》+4+不二的定義域?yàn)榧?.

yla-x

(1)求集合A;

(2)已知a>0,若“xeZ”是“xeB”的充分不必要條件，求。的取值范圍.

【答案】(1)/=[0,4]

⑵(4,同

【分析】(1)分析可知，命題。的否定為真命題，由A40可求得集合A；

(2)求出集合8,分析可知AB,可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】(1)解：命題P的否定為YxeR,x2+mx+m>0,

命題P的否定為真命題等價(jià)于△=〃/-4〃?WO,解得04機(jī)44,所以/=[0,4].

/、fx+a>0/、

(2)解：?.?“〉(),要使〃x)有意義，則”7>0，解得一則8=(-a,“)，

因?yàn)槭恰皒eB”的充分不必要條件，則AB,

(―a<0

所以，/，解得。>4,

[a>4

當(dāng)a=4時(shí)，5=(-4,4),此時(shí)A8.

因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(4,+?)).

18.已知幕函數(shù)/。)=(/-3>廿在(0,+紇)上單調(diào)遞減.

⑴求/(x)的解析式；

(2)若Vxe［l,2］,篁W，求°的取值范圍.

X

【答案】(l)/(x)=x-2

⑵

【分析】(1)根據(jù)賽函數(shù)的定義和單調(diào)性列式求解即可；

(2)根據(jù)題意分離變量得到。42,在［10恒成立，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

X

_3=］

【詳解】Q)因?yàn)榛瘮?shù)/(x)=(*-3)?產(chǎn)在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以加〈。一，

解得m=-2,所以〃x)的解析式為/(x)=/.

(2)由/(同4乙心，可得工42*-a,貝1ja42,-L,

XXX

因?yàn)閂=2*/=-1在［1,2］上單調(diào)遞增，

X

所以y=2*-,在［1,2］上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=l時(shí)，取得最小值1.

X

所以a的取值范圍為(-8,1］.

19.已知f(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，/(x)=bg|(x+4)+機(jī).

2

⑴求用的值并求出〃X)在(-8,0)上的解析式；

(2)若求〃的取值范圍.

［答案］(1)m=2,/(x)=-bgi(-x+4)-2

2

(2)(-oo,-4)

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)為R上的奇函數(shù)得到/(0)=0,求出加的值，并利用函數(shù)的奇偶性求出解

析式；

(2)得到函數(shù)的單調(diào)性及從而解不等式，求出答案.

2

【詳解】(1)由題可知/(0)=-2+機(jī)=0,即機(jī)=2,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，

令x<0,貝iJ-x>0,/(-x)=bgi(—+4)+2,

2

又/(X)為奇函數(shù)，所以〃r)=一/(x),

所以-/'（x）=l°gI（-X+4）+2,故/（X）=-logI（-X+4）-2,

22

故/（X）在（-8,0）上的解析式為/（x）=-l°g（x+4）-2.

2

（2）由函數(shù)性質(zhì)可知/（x）在［0,+8）上單調(diào)遞減，則/（x）在R上單調(diào)遞減.

又因?yàn)?（-4）=-bg:8-2=l,所以即/⑷

所以當(dāng)。＜-4時(shí)，/（?）＞!,即a的取值范圍為（7,-4）.

20.某電視臺(tái)舉行沖關(guān)直播活動(dòng)，該活動(dòng)共有四關(guān)，只有一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)兩個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，參加活動(dòng)的選

手從第一關(guān)開(kāi)始依次通關(guān)，只有通過(guò)本關(guān)才能沖下一關(guān).己知第一關(guān)的通過(guò)率為0.7,第二關(guān)、第

三關(guān)的通過(guò)率均為0.5,第四關(guān)的通過(guò)率為0.2,四關(guān)全部通過(guò)可以獲得一等獎(jiǎng)（獎(jiǎng)金為500元），

通過(guò)前三關(guān)就可以獲得二等獎(jiǎng)（獎(jiǎng)金為200元），如果獲得二等獎(jiǎng)又獲得一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金可以累

加.假設(shè)選手是否通過(guò)每一關(guān)相互獨(dú)立，現(xiàn)有甲、乙兩位選手參加本次活動(dòng).

（1）求甲未獲得獎(jiǎng)金的概率；

（2）求甲和乙最后所得獎(jiǎng)金之和為900元的概率.

【答案】⑴0.825

（2）0.0098

【分析】（1）根據(jù)概率乘法公式分別求出獲得一二等獎(jiǎng)概率，再利用對(duì)立事件即可求出甲未獲獎(jiǎng)金

的概率；

（2）根據(jù)最后獎(jiǎng)金總和分析得甲和乙中一人獲得一等獎(jiǎng)，一人獲得二等獎(jiǎng)，根據(jù)概率乘法和加法

公式即可求解.

【詳解】（1）獲得二等獎(jiǎng)的概率為0.7x0.5x0.5x0.8=0.14,

獲得一等獎(jiǎng)的概率為0.7x0.5x0,5x0.2=0.035,

所以甲未獲得獎(jiǎng)金的概率為1-0.14-0.035=0.825.

（2）由（1）可知，獲得二等獎(jiǎng)的概率為0.14,獲得一等獎(jiǎng)的概率為0.035.

甲和乙最后所得獎(jiǎng)金之和為900元，則甲和乙中一人獲得一等獎(jiǎng)，一人獲得二等獎(jiǎng)，

則所求的概率為0.035x0.14+0.14x0.035=0.0098.

21.已知心0,〃＞0,如圖，在口/8C中，點(diǎn)N滿(mǎn)足瘋=切方，AN=nAC＞。是線(xiàn)段BC上

一點(diǎn)，麗=；前，點(diǎn)E為4D的中點(diǎn),且M,N,E三點(diǎn)共線(xiàn).

A

（1）若點(diǎn)。滿(mǎn)足2前=①+反，證明：OEHBC.

（2）求MI+2"的最小值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則，利用劉，萬(wàn)依次表示而，荏，彩，礪，而，再結(jié)合向量共

線(xiàn)定理證明無(wú)〃而即可；

（2）由（1）AE=^-AM+^-AN,結(jié)合結(jié)論可得J+；=l,再利用基本不等式求加+2〃的最小

3加6〃6/7

值.

【詳解】（1）由題可知質(zhì)=詬+而=赤+1而=布+，（就_而）=29+1萬(wàn)，

33、'33

一1一1—

因?yàn)辄c(diǎn)E為ZQ的中點(diǎn)，所以=+吃/C.

36

由2股=麗+），貝U2芯=宓+而+次+%，即彩=；（劉+祝），

赤=萬(wàn)_前=（厚+［碎*+%）=*亦*,

y.CB=AB-AC

所以無(wú)//麗，又旦C,8三點(diǎn)不共線(xiàn),

所以O(shè)E//BC.

（2）因?yàn)镸,N,E三點(diǎn)共線(xiàn),

所以可設(shè)流=4麗，又與7=機(jī)在，AN=nAC，

所以荏=0_；1）而+/1而=（1_4"?而+彳〃就

又下=；刀+：就，

所以0_/1）"?=!，彳〃=）,