運(yùn)籌學(xué)第二章 線性規(guī)劃靈敏度分析

關(guān)于運(yùn)籌學(xué)第二章線性規(guī)劃靈敏度分析2.1線性規(guī)劃靈敏度分析在第1章的討論中，假定以下的線性規(guī)劃模型中的各個系數(shù)cj、bi、aij是確定的常數(shù)，并根據(jù)這些數(shù)據(jù)，求得最優(yōu)解。第2頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.1線性規(guī)劃靈敏度分析其實(shí)，系數(shù)cj、bi、aij都有可能變化，因此，需要進(jìn)行進(jìn)一步的分析，以決定是否需要調(diào)整決策。靈敏度分析研究的另一類問題是探討在原線性規(guī)劃模型的基礎(chǔ)上增加一個變量或者一個約束條件對最優(yōu)解的影響第3頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.1線性規(guī)劃靈敏度分析對例1.1進(jìn)行靈敏度分析最優(yōu)解為（2，6），Maxz＝3600第4頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.1線性規(guī)劃靈敏度分析問題1：如果門的單位利潤由原來的300元提升到500元，最優(yōu)解是否會改變？對總利潤又會產(chǎn)生怎樣的影響?問題2：如果門和窗的單位利潤都發(fā)生變化，最優(yōu)解會不會發(fā)生改變？對總利潤又會產(chǎn)生怎樣的影響?問題3：如果車間2的可用工時增加1個小時，總利潤是否會發(fā)生變化？如何改變?最優(yōu)解是否會發(fā)生變化?問題4：如果同時改變多個車間的可用工時，總利潤是否會發(fā)生變化？如何改變?最優(yōu)解是否會發(fā)生變化?問題5：如果車間2更新生產(chǎn)工藝，生產(chǎn)一扇窗戶由原來的2小時下降到1.5小時,最優(yōu)解是否會發(fā)生改變？總利潤是否會發(fā)生變化？問題6：工廠考慮增加一種新產(chǎn)品，總利潤是否會發(fā)生變化？問題7：如果工廠新增加用電限制，是否會改變原來的最優(yōu)方案？第5頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.2單個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變動下面討論在假定只有一個系數(shù)cj改變，其他系數(shù)均保持不變的情況下，目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變動對最優(yōu)解的影響。如果當(dāng)初對門的單位利潤估計(jì)不準(zhǔn)確，如把它改成500元，是否會影響求得的最優(yōu)解呢？方法1：使用電子表格進(jìn)行分析（重新運(yùn)行規(guī)劃求解）方法2：運(yùn)用敏感性報告尋找允許變化范圍第6頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.2單個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變動方法1：使用電子表格進(jìn)行分析（重新運(yùn)行規(guī)劃求解）可以借助電子表格互動地展開靈敏度分析。當(dāng)模型參數(shù)發(fā)生改變時，只要改變電子表格模型中相應(yīng)的參數(shù)，再通過重新運(yùn)行Excel“規(guī)劃求解”功能，就可以看出改變參數(shù)對最優(yōu)解的影響。需要一個一個地進(jìn)行嘗試，效率略顯低下第7頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.2單個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變動方法2：運(yùn)用敏感性報告尋找允許變化范圍生成“敏感性報告”讀懂相應(yīng)的信息第8頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.2單個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變動結(jié)果：最優(yōu)解沒有發(fā)生改變，仍然是（2，6）由于門的單位利潤增加了200元，因此總利潤增加了（500－300）×2＝400元。第9頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.2單個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變動圖解法（直觀）可以看到，

最優(yōu)解（2，6）保持不變

第10頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.3多個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時變動假如，以前把門的單位利潤（300元）估計(jì)得太低了，現(xiàn)在把門的單位利潤定為450元；同時，以前把窗的單位利潤（500元）估計(jì)得過高了，現(xiàn)在定為400元。這樣的變動，是否會導(dǎo)致最優(yōu)解發(fā)生變化呢方法1：使用電子表格進(jìn)行分析（重新運(yùn)行規(guī)劃求解）方法2：運(yùn)用敏感性報告進(jìn)行分析（百分之百法則）第11頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.3多個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時變動方法1：使用電子表格進(jìn)行分析（重新運(yùn)行規(guī)劃求解）可以看到，最優(yōu)解并沒有發(fā)生變化，總利潤由于門和窗的單位利潤的改變相應(yīng)地改變了(450－300)×2＋(400－500)×6＝－300第12頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.3多個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時變動方法2：運(yùn)用敏感性報告進(jìn)行分析百分之百法則:如果目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時變動，計(jì)算出每一系數(shù)變動量占該系數(shù)允許變動量（允許的增量或允許的減量）的百分比，而后，將各個系數(shù)的變動百分比相加，如果所得的和不超過100%，則最優(yōu)解不會改變；如果超過100%，則不能確定最優(yōu)解是否改變，只能通過重新規(guī)劃求解來判斷了第13頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.3多個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時變動但是變動百分比之和超過100%并不一定表示最優(yōu)解會改變。例如，門和窗的單位利潤都減半變動百分比超過了100%，但從右圖看最優(yōu)解還是（2，6），沒有發(fā)生改變。這是由于這兩個單位利潤同比例變動，等利潤直線的斜率不變，因此最優(yōu)解就不變。第14頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.4單個約束右端值變動單個約束右端值變動對目標(biāo)值的影響如果車間2的可用工時增加1個小時，總利潤是否會發(fā)生變化？如何改變?最優(yōu)解是否會發(fā)生變化?方法1：使用電子表格進(jìn)行分析（重新運(yùn)行規(guī)劃求解）方法2：從敏感性報告中獲得關(guān)鍵信息（影子價格）；第15頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.4單個約束右端值變動方法1：使用電子表格進(jìn)行分析（重新運(yùn)行規(guī)劃求解）總利潤為3750元，增加了：3750-3600=150元。由于總利潤增加了，而目標(biāo)函數(shù)系數(shù)不變，所以最優(yōu)解一定會發(fā)生改變，從圖中可以看出，最優(yōu)解由原來的（2，6）變?yōu)椋?.667，6.5）

第16頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.4單個約束右端值變動方法2：從敏感性報告中獲得關(guān)鍵信息在給定線性規(guī)劃模型的最優(yōu)解和相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值的條件下，影子價格是指約束右端值增加（或減少）一個單位，目標(biāo)值增加（或減少）的數(shù)量第二個約束條件（車間2的工時約束）的影子價格是150，說明在允許的范圍[6，18]（即[12-6，12+6]）內(nèi)，再增加（或減少）一個單位的可用工時，總利潤將增加（或減少）150第17頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.4單個約束右端值變動圖解法（直觀）可以看到，

在這個范圍內(nèi)，每次車間的約束右端值增加（或減少）1，交點(diǎn)的移動就使利潤增長（或減少）影子價格的數(shù)量（150元）第18頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.5多個約束右端值同時變動多個約束右端值同時變動對目標(biāo)值的影響將1個小時的工時從車間3移到車間2，對總利潤所產(chǎn)生的影響方法1：使用電子表格進(jìn)行分析（重新運(yùn)行規(guī)劃求解）方法2：運(yùn)用敏感性報告進(jìn)行分析（百分之百法則）第19頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.5多個約束右端值同時變動方法1：使用電子表格進(jìn)行分析（重新運(yùn)行規(guī)劃求解）總利潤增加了3650-3600=50（元），影子價格有效。第20頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.5多個約束右端值同時變動方法2：運(yùn)用敏感性報告進(jìn)行分析百分之百法則：如果約束右端值同時變動，計(jì)算每一變動占允許變動量（允許的增量或允許的減量）的百分比，如果所有的百分比之和不超過100%，那么，影子價格依然有效，如果所有的百分比之和超過100％，那就無法確定影子價格是否依然有效，只能通過重新進(jìn)行規(guī)劃求解來判斷了第21頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.5多個約束右端值同時變動在影子價格有效范圍內(nèi)，總利潤的變化量可以直接通過影子價格來計(jì)算。比如將車間3的3個工時轉(zhuǎn)移給車間2，由于所以，總利潤的變化量為第22頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.6約束條件系數(shù)變化如果車間2更新生產(chǎn)工藝，生產(chǎn)一扇窗戶由原來的2小時下降到1.5小時,最優(yōu)解是否會發(fā)生改變？總利潤是否會發(fā)生變化？使用電子表格進(jìn)行分析(重新運(yùn)行規(guī)劃求解)規(guī)劃求解后，最優(yōu)解發(fā)生了改變，變成了（2/3，8），總利潤也由3600元增加到了4200元。可見，車間2更新生產(chǎn)工藝后，為工廠增加了利潤。第23頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.7增加一個新變量例2.1如果工廠考慮增加一種新產(chǎn)品：防盜門，其單位利潤為400元。生產(chǎn)一個防盜門會占用車間1、車間2、車間3各2、1、1工時,總利潤是否會發(fā)生變化？使用電子表格進(jìn)行分析(重新運(yùn)行規(guī)劃求解)最優(yōu)解(2,5.5,1）,最大利潤是3750元?？梢娦庐a(chǎn)品為工廠增加了利潤第24頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.8增加一個約束條件比如工廠關(guān)心電力供應(yīng)限制(例2.2假定生產(chǎn)兩種新產(chǎn)品每件需要消耗電力分別為20kw、10kw，工廠總供電最多為90kw),最優(yōu)解是否會發(fā)生變化?使用電子表格進(jìn)行分析(重新運(yùn)行規(guī)劃求解)可見電力約束的確限制了新產(chǎn)品門和窗的產(chǎn)量，最優(yōu)解變成(1.5,6),總利潤也相應(yīng)的下降為3450元。第25頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.9影子價格（1）影子價格是根據(jù)資源在生產(chǎn)中作出的貢獻(xiàn)而做的估價。它是一種邊際價格，其值相當(dāng)于在資源得到最優(yōu)利用的生產(chǎn)條件下，資源（約束右端值）每增加一個單位時目標(biāo)函數(shù)值的增加量；第26頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.9影子價格（2）影子價格的經(jīng)濟(jì)意義和應(yīng)用資源的影子價格實(shí)際上是一種機(jī)會成本。在純市場經(jīng)濟(jì)條件下，當(dāng)資源的市場價格低于影子價格時，可以買進(jìn)這種資源，反之，可以賣出。隨著資源的買進(jìn)和賣出，它的影子價格也將隨之發(fā)生改變，一直到影子價格與市場價格保持同等水平，才處于平衡狀態(tài)。當(dāng)資源的影子價格為0時，表明該種資源未得到充分利用。當(dāng)資源的影子價格不為0時，表明該種資源在生產(chǎn)中已耗費(fèi)完畢?？梢岳糜白觾r格計(jì)算產(chǎn)品的隱含成本（單位資源消耗量×相應(yīng)的影子價格后求和）。當(dāng)產(chǎn)品產(chǎn)值大于隱含成本時，表明生產(chǎn)該產(chǎn)品有利，可計(jì)劃安排生產(chǎn)；否則用這些資源生產(chǎn)別的產(chǎn)品更為有利。第27頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.9影子價格一般來說，對線性規(guī)劃問題的求解就是確定資源的最優(yōu)分配方案，所以對資源的估計(jì)直接涉及到資源的最有效利用。如在大公司內(nèi)部，可借助資源的影子價格確定一些內(nèi)部結(jié)算價格，以便控制有限資源的使用和考核企業(yè)經(jīng)營的好壞。又如在社會上可對一些最緊缺的資源，借助影子價格規(guī)定使用這種資源一個單位必須上交的利潤額，以使一些經(jīng)濟(jì)效益低的企業(yè)自覺地節(jié)約使用緊缺資源，使有限資源發(fā)揮更大的經(jīng)濟(jì)效益。第28頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.9影子價格例2.3某文教用品廠利用原材料白坯紙生產(chǎn)原稿紙、日記本和練習(xí)本三種產(chǎn)品。該廠現(xiàn)有工人100人，每天白坯紙的供應(yīng)量為30000千克。如果單獨(dú)生產(chǎn)各種產(chǎn)品時，每個工人每天可生產(chǎn)原稿紙30捆、或日記本30打，或練習(xí)本30箱。已知原材料消耗為：每捆原稿紙用白坯紙10/3千克、每打日記本用白坯紙40/3千克，每箱練習(xí)本用白坯紙80/3千克。已知生產(chǎn)各種產(chǎn)品的盈利為：每捆原稿紙1元、每打日記本2元，每箱練習(xí)本3元。試討論在現(xiàn)有生產(chǎn)條件下使該廠盈利最大的方案。如白坯紙供應(yīng)量不變，而工人數(shù)量不足時，可從市場上招收臨時工，臨時工費(fèi)用為每人每天15元，問該廠是否招臨時工及招收多少人為宜。第29頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.9影子價格設(shè)該廠每天生產(chǎn)原稿紙x1捆、日記本x2打、練習(xí)本x3箱第30頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2.9影子價格Excel求解結(jié)果為：生產(chǎn)原稿紙1000捆，日記本2000打，練習(xí)本不