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期末考前必刷卷02(范圍:蘇教版2019選擇性必修第一冊(cè))第Ⅰ卷一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若表示圓的方程,則的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榉匠瘫硎疽粋€(gè)圓,所以,解得,所以的取值范圍是.故選:D2.按照小方的閱讀速度,他看完《巴黎圣母院》共需820分鐘.2023年10月26日,他開(kāi)始閱讀《巴黎圣母院》,當(dāng)天他讀了1個(gè)小時(shí),從第二天開(kāi)始,他每天閱讀此書(shū)的時(shí)間比前一天減少2分鐘,則他恰好讀完《巴黎圣母院》的日期為(

)A.2023年11月12日 B.2023年11月13日C.2023年11月14日 D.2023年11月15日【答案】C【解析】根據(jù)題意,從2023年10月26日開(kāi)始到讀完的前一天,他每天閱讀《巴黎圣母院》的時(shí)間(單位:分鐘)依次構(gòu)成等差數(shù)列,且首項(xiàng)為60,公差為,則由,且,得,所以小方讀此書(shū)20天恰好可以讀完,故他恰好讀完《巴黎圣母院》的日期為2023年11月14日.故選:C3.直線過(guò)點(diǎn),則直線與軸、軸的正半軸圍成的三角形的面積最小值為(

)A.9 B.12 C.18 D.24【答案】B【解析】設(shè)直線:,,因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn),所以,即,所以,解得,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)等號(hào)成立,則直線與軸、軸的正半軸圍城的三角形面積.故選:B.4.已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)的值為(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】由函數(shù),則,所以,解得.故選:B.5.已知,,(,),為其前項(xiàng)和,則(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】由(,)可得,已知,,所以,即是一個(gè)以3為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以,即,,,,,,,故選B.6.已知圓的半徑為2,圓心在直線上.點(diǎn).若圓上存在點(diǎn),使得,則圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍為(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意設(shè)圓心,則圓:,設(shè),則,,由,則,即,依題意即圓與圓有交點(diǎn),則,解得,即圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍為.故選:D.7.已知拋物線C:,點(diǎn)M在C上,直線l:與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn),若面積的最小值為,則(

)A.44 B.4 C.4或44 D.1或4【答案】B【解析】不妨設(shè),,由,,知.設(shè),則,故,故.故選:B.8.恰有一個(gè)實(shí)數(shù)滿足成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時(shí),不成立,所以,不是方程的根,故原方程轉(zhuǎn)化為,令,由題意知直線與曲線僅有一個(gè)交點(diǎn).∵由,可得,∴當(dāng)或時(shí),,函數(shù)在和上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減;所以為函數(shù)的極小值.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)的大致圖象如下圖∴由直線與曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)知,即的取值范圍是.故選:B.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分。9.若正項(xiàng)數(shù)列是等差數(shù)列,且,則(

)A.當(dāng)時(shí), B.的取值范圍是C.當(dāng)為整數(shù)時(shí),的最大值為29 D.公差的取值范圍是【答案】ABC【解析】當(dāng),時(shí),公差,,故A正確;因?yàn)槭钦?xiàng)等差數(shù)列,所以,即,且,所以公差的取值范圍是,故D錯(cuò)誤;因?yàn)?,所以的取值范圍是,故B正確;,當(dāng)為整數(shù)時(shí),的最大值為29,故C正確;故選:ABC.10.下列說(shuō)法中,正確的有(

)A.過(guò)點(diǎn)并且傾斜角為0°的直線方程為B.雙曲線的漸近線方程為C.點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為D.拋物線的準(zhǔn)線方程是【答案】BC【解析】對(duì)A,過(guò)點(diǎn)并且傾斜角為0°的直線方程為,故錯(cuò)誤;對(duì)B,雙曲線的漸近線方程為,故正確;對(duì)C,設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為,則由解得,故正確;對(duì)D,拋物線,,準(zhǔn)線方程為,故錯(cuò)誤.故選:BC11.在平面直角坐標(biāo)系中,已知,點(diǎn)滿足的斜率之積為,點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡記為.下列結(jié)論正確的()A.軌跡的方程()B.存在點(diǎn)使得C.點(diǎn),則的最小值為D.斜率為的直線與軌跡交于,兩點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn),則直線的斜率為【答案】AD【解析】對(duì)于A,由已知設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由題意知,化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡方程為,故A正確;對(duì)于B,由橢圓方程知,,,,若,則點(diǎn)在以線段為直徑的圓上,以線段為直徑的圓的方程為的圓在橢圓外,所以橢圓上不存在滿足,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,由設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,由橢圓的定義為,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)為的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí),等號(hào)成立.故C正確.對(duì)于D,設(shè),因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn),所以設(shè),因?yàn)樵跈E圓上,所以,兩式相減得,,即,所以,所以,則直線的斜率為,故D正確.故選:BCD.12.已知函數(shù),若時(shí),有,是圓周率,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則下列結(jié)論正確的是(

)A.的單調(diào)遞增區(qū)間為B.C.若,則D.若,,,,,,則最大【答案】ACD【解析】的定義域?yàn)?,且,?dāng),解得;當(dāng),解得,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,A選項(xiàng)正確;由于的單調(diào)性,可得,∴,所以B選項(xiàng)不正確;時(shí),;時(shí),,由的單調(diào)區(qū)間,可畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)圖.由,,可知,.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,可知,故有.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,所以.綜上,有,所以C選項(xiàng)正確;因?yàn)?,由指?shù)函數(shù)單調(diào)性可知,,,;由冪函數(shù)單調(diào)性可知,,,即有,,故這6個(gè)數(shù)的最大數(shù)在與之中.由及的單調(diào)性,有,即.由,可得,即,所以;綜上可得,6個(gè)數(shù)中最大數(shù)是,所以D選項(xiàng)正確.故選:ACD.第Ⅱ卷三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為30,前項(xiàng)和為100,則它的前項(xiàng)和為.【答案】【解析】為等差數(shù)列,,,成等差數(shù)列,即,,成等差數(shù)列,,解得,又,,成等差數(shù)列,即,,成等差數(shù)列,所以,解得.故答案為:.14.過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為、,則直線的方程為.【答案】【解析】方法1:由題知,圓的圓心為,半徑為,所以過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為、,所以,所以直線的方程為,即;方法2:設(shè),,則由,可得,同理可得,所以直線的方程為.故答案為:15.如圖,過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)引圓的切線,切點(diǎn)為,延長(zhǎng)交雙曲線右支于點(diǎn),為線段的中點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若,則雙曲線的離心率為.

【答案】【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn),連接,.則中,,,則,由直線與圓相切,可得.又雙曲線中,,則,又,則,整理得,兩邊平方整理得,則雙曲線的離心率,故答案為:.16.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中描述了如圖所示的形狀,后人稱(chēng)為“三角垛”.三角垛的最上層(即第一層)有1個(gè)球,第二層有3個(gè)球,第三層有6個(gè)球,…,從第二層開(kāi)始,每層球數(shù)與上一層球數(shù)之差依次構(gòu)成等差數(shù)列.現(xiàn)有60個(gè)籃球,把它們堆放成一個(gè)三角垛,那么剩余籃球的個(gè)數(shù)最少為.

【答案】【解析】設(shè)第層有和球,則,,,,,所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),也適合上式,故,所以這層三角垛的球數(shù)之和為,因?yàn)椋詥握{(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,剩余球數(shù)為個(gè),當(dāng)時(shí),,所以剩余球數(shù)的最小值為個(gè).故答案為:.四、解答題:本題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。17.(10分)已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),且.(1)求,的值;(2)求曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.【解析】(1)由,得,由題意可得,,解得;(2)由(1)得,,,∴,,∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即.取,得,取,得.∴曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;(2)直線與軌跡C交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),若的面積為,求直線的方程.【解析】(1)設(shè),點(diǎn),則由,得,∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為.(2)軌跡C是以為圓心,2為半徑的圓,圓心到直線的距離為,則弦長(zhǎng),坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為,則有,解得,即,求直線的方程為或.19.(12分)已知為數(shù)列的前項(xiàng)和,,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若,,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(1)法一:當(dāng)時(shí),,即,由,得,由,得,兩式相減得:.又,滿足上式.所以當(dāng)時(shí),,又當(dāng)時(shí),,兩式相減得:,所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,所以(n為奇數(shù)),數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,所以(n為偶數(shù)),所以,即的通項(xiàng)公式是.法二:因?yàn)椋?,同理可得,故,因?yàn)?,所以,即,?dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),適合上式,所以的通項(xiàng)公式是.(2)因?yàn)椋十?dāng)時(shí),①,當(dāng)時(shí),②,①、②兩式相減得:,因?yàn)?,,所以,因?yàn)椋援?dāng)為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,所以,所以;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,綜上,.20.(12分)已知橢圓:的右焦點(diǎn)為,離心率為.(1)求的方程.(2)若,為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),,兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的乘積大于0,,,且.證明:直線過(guò)定點(diǎn).【解析】(1)依題意可得則,故的方程為.(2)由題意可知直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立得,設(shè),的坐標(biāo)分別為,則,且,.設(shè)直線,的傾斜角分別為,因?yàn)?,且,兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的乘積大于0,所以,所以則,則即,所以所以,化簡(jiǎn)可得則直線的方程為,故直線過(guò)定點(diǎn)21.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最小值;(2)若對(duì)任意的恒成立,求整數(shù)的最大值【解析】(1)當(dāng)時(shí),,,令,解得:;令,解得:;所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以.(2)由可得:,即,記,,若,即,,則在上單調(diào)遞增,又時(shí),,不合題意;若,即,令,則,令,則,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,令,,則令,解得:,令,解得:;所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且,故整數(shù)的最大值為.22.(12分)已知雙曲線C:的焦距為6,其中一條漸近線的斜率為,過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線C的

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