2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué)試題計(jì)算能力的培養(yǎng)

中考數(shù)學(xué)試題計(jì)算能力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)計(jì)算能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一筆者通過研習(xí)數(shù),學(xué)中考試卷，

發(fā)現(xiàn)考查數(shù)學(xué)計(jì)算能力尤為凸顯，可見我們平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)必須重視學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng).

以下舉例說明.

一、代數(shù)式變形、化簡的計(jì)算

例1設(shè)一元二次方程/-3x-l=0的兩根分別是:王、x2,則

2

X,+x2(x2-3X2)=_________________

解析本題若將所求代數(shù)式中的括號去掉，變?yōu)椋?+々3-3々2,則運(yùn)算就將毫無頭

緒.而由馬是方程：d-3x—l=o的一個(gè)根，可以得到22-3々-1=0,即-3々=1,

代入原代數(shù)式就可以化簡為：M+X2,則問題即求原一元二次方程的兩根之和，直接求出兩

根或運(yùn)用韋達(dá)定理都可以得到答案為3.

由此可見，在代數(shù)式的運(yùn)算中適當(dāng)利用“整體代入”往往能起到十分簡捷的作用.

例2平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)(。,力)在直線y=機(jī)2+2(m>0)上，且

滿足a?+/—2(1+2人機(jī))+4機(jī)2+。=0,則機(jī)=

解析首先，由點(diǎn)(a,b)在直線y=2〃ir+川+2(m>0)上，可以得到

b-2am+m2+2.

222

此時(shí)，由本題的另外一個(gè)條件a+b-2(1+2bfh)+4m+b=0,我們可以考慮將h的

表達(dá)式整體代入，得/+/_2(1+2bm)+4m2+2?m+w2+2=0.

該等式的左邊經(jīng)過適當(dāng)整理、化簡之后，可以得到(。+M)2+屹-2")2=0,由平方的

非負(fù)性，可，知〃=-加，人=2加.再代回匕的表達(dá)式，就可以得到關(guān)于帆的一元二次方

程:m2+2m一2=0,注意到加>0,所以解得根=石一1.

二、圖形推理的計(jì)算

.例3如圖1.,AABC中，ZACS=90°,AC=5,8c=12,。。，回于點(diǎn)0,D

是線段08上一點(diǎn)，OE=2,ED//AC.(ZAr)E<90o),連結(jié)M、CD,設(shè)BE、CD

的中點(diǎn)分別為P、。

⑴求AO的長；

(2)求PQ的長;

⑶設(shè)PQ與AB的交點(diǎn)為M，請直接寫出|PM-的值.

圖1

解析第⑴問由“等積法”或三角形相似(射影定理)，容易得到4。=曾.

第(2)問求線段尸。的長度，是構(gòu)造直角三角形利用勾股定理，還是由P、。別為B8E、

8的中點(diǎn)，利用三角形的中位線呢?但線段BE、8又不在同.一個(gè)三角形之中，顯然不

能直接利用三角形的中位線.由ED//AC,延長交6c于點(diǎn)尸，易知

NCFD=NBFE=90°,如圖1所.示.這時(shí)，在mABE戶中，點(diǎn)尸即為斜邊BE的中點(diǎn)，

作PHHEF,分別交84、BC于點(diǎn)、R、H,則PR=，E0=1,RH=-DF,同樣，

22

在RtkCDF中,作QG〃DF交BC于點(diǎn)G,則QG=g。入聯(lián)結(jié)RQ,易知四邊形RQGH

為

矩形，所以，此時(shí)"RQ自然為直角三角形，且NPRQ=90°.

又因?yàn)?，HF=-BF,FG=-CF

22

可得RQ="G=HF+EG=；+=；BC=6

則,PQ=Jp+62=收.

第⑶問，如圖2所示，由⑵知2。=歷，若能知道與M。的比值.關(guān)系，就可以

算出|-板的值.延長G。交AD于點(diǎn)N,

在AACD中，NQ=AC=NQ=

.cc,…八mPMPR12

由PR//NQ,可得-——

MQNQ55

2

圖2

由此可見，與幾何圖形有關(guān)的線段長度的計(jì)算，往往需要輔以推理證明來獲得解答.

三、結(jié)合圖形分"類討論的計(jì)算

例4平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=f+bx+c經(jīng)過(―1,機(jī)？+2m+1)、

(0,m2+2m+2)兩點(diǎn)，其中加為常數(shù).

(1)求人的值，并用含m的代數(shù)式表示c;

⑵若拋物線yuf+bx+c與x軸有公共點(diǎn)，求機(jī)的值;

⑶設(shè)(a，X)、(a+2,%)是拋物線y=%2+bx+c上的兩點(diǎn)，請比較%-X與。的大

小，并說明理由.

解析⑴，(2)略；

本題第⑶問的計(jì)算涉及到簡單的分類討論.由⑴知b=2,所以y=f+法+。,

%=(a+2)2+2(a+2)+c,y=/+2a+c則％->i=4。+8,比較必一凹與。的大

小，也就是比較4。+8與。的大小，自然得到三種情況.其實(shí)比較%-y與。的大小，也"就

是比較當(dāng)與X的大小關(guān)系，我們也可以結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行解答.如圖3,由拋物線

yuf+bx+c的開口向上，對稱軸為直線％=-1,可以知道圖象上的點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)，

所對應(yīng)的函數(shù)值越大.所以，要比較刈與M的大小關(guān)系，只需要比較9+2,%)、(。，凹)這

兩點(diǎn)到對稱軸直線尤=—1的距離就可以了.也就是要比較|a+2-(-1)|與(-1)|的大小關(guān)

系，通過分類討論也容易得到問題的答案.

y

圖3

k

例5如圖4,平面直角坐標(biāo)系x0y中，點(diǎn)C（3,0）,函數(shù)y=—（Z〉0,x>0）的圖象

x

經(jīng)過Q43C的頂點(diǎn)4加,〃）和邊8c的中點(diǎn)。.

（1）求，”的值；

⑵若AQ4。的面積等于6,求k

k

⑶若p為函數(shù)>=—（攵〉0,x>0）的圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作直線/_Lx軸于點(diǎn)M,

x

PN1

直線/與x軸上方的OABC一邊交于點(diǎn)N,設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為f,當(dāng)——=—時(shí)，求/的

PM4

解析⑴，（2）略；

第⑶問，由于條件中并沒有指明點(diǎn)N具體在：Q43C的哪一條邊上，所以自然需要分

三種情形討論，

①如圖5,點(diǎn)N位于邊Q4上.

PN*NM3

由知——

~PM4PM4

n

所以

解得4=6（負(fù)值舍去）.

②如圖6,點(diǎn)N位于邊AB上.

,PN1“PM4

PM4NM5

2n

所以」V一=?4,解得5

n522

當(dāng)點(diǎn)N位于邊8c上，由于點(diǎn)P可能位于點(diǎn)N的上方，也可能位于點(diǎn)N的下方，此時(shí)

又需要分類討論之.

③如圖7,點(diǎn)N位于邊8c上，且點(diǎn)尸位于點(diǎn)N的上方.

?PNNM3

由----知

PM4PM4

n3

所以223

2n4

解得（負(fù)值舍去）.

⑷如圖8,點(diǎn)N位.于邊BC上且點(diǎn)P位于點(diǎn)N的下方.

,PN1?PM4

由——=一，知----=一

PM4NM5

2〃

V4

所以—

35

—t——n

22

解得4=3+｝（負(fù)值舍去）.

圖8