人教A版高中數(shù)學(xué)必修2學(xué)案第2章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系章末綜合提升

[鞏固層·知識(shí)整合][提升層·題型探究]空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷與證明【例1】如圖所示，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝eq\r(2)，CE＝EF＝1.(1)求證：AF∥平面BDE；(2)求證：CF⊥平面BDE.[證明](1)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連接EO，如圖所示，∵EF∥AC，且EF＝1，AO＝eq\f(1,2)AC＝1，∴四邊形AOEF為平行四邊形，∴AF∥OE.∵OE?平面BDE，AF?平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)連接FO，如圖所示．∵EF∥CO，EF＝CO＝1，且CE＝1，∴四邊形CEFO為菱形，∴CF⊥EO.∵四邊形ABCD為正方形，∴BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF，∴CF⊥BD.又BD∩EO＝O，∴CF⊥平面BDE.空間平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：(1)平行、垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化(2)證明空間線面平行或垂直需注意三點(diǎn)①由已知想性質(zhì)，由求證想判定．②適當(dāng)添加輔助線(或面)是解題的常用方法之一．③用定理時(shí)要先明確條件，再由定理得出相應(yīng)結(jié)論．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直線A1F∥平面ADE[證明](1)因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱所以CC1⊥平面ABC.又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.又因?yàn)锳D⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因?yàn)锳1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1所以A1F⊥B1C因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1所以CC1⊥A1F又因?yàn)镃C1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C所以A1F⊥平面BCC1B1由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD又AD?平面ADE，A1F?平面ADE所以A1F∥平面ADE空間角的計(jì)算問(wèn)題【例2】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO與A′C′所成角的度數(shù)；(2)AO與平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB與平面AOC所成角的度數(shù)．[解](1)∵A′C′∥AC，∴AO與A′C′所成的角就是∠OAC.∵AB⊥平面BC′，OC?平面BC′，∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B.∴OC⊥平面ABO.又OA?平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r(2)，sin∠OAC＝eq\f(OC,AC)＝eq\f(1,2)，∴∠OAC＝30°，即AO與A′C′所成角的度數(shù)為30°.(2)如圖，作OE⊥BC于E，連接AE.∵平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE為OA與平面ABCD所成的角．在Rt△OAE中，OE＝eq\f(1,2)，AE＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up10(2))＝eq\f(\r(5),2)，∴tan∠OAE＝eq\f(OE,AE)＝eq\f(\r(5),5).(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，∴OC⊥平面AOB.又∵OC?平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB與平面AOC所成角的度數(shù)為90°.空間角的求法：求空間各種角的大小一般都轉(zhuǎn)化為平面角來(lái)計(jì)算，空間角的計(jì)算步驟：一作，二證，三計(jì)算．(1)求異面直線所成的角常用平移轉(zhuǎn)化法(轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角).(2)求直線與平面所成的角常用射影轉(zhuǎn)化法(即作垂線、找射影).(3)二面角的平面角的作法常有三種：①定義法；②垂線法；③垂面法．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB≠AC，D、E分別是BC、AB的中點(diǎn)，AC＞AD，設(shè)PC與DE所成的角為α，PD與平面ABC所成的角為β，二面角P-BC-A的平面角為γ，則α、β、γ的大小關(guān)系是________．α＜β＜γ[∵D、E分別是BC、AB的中點(diǎn)，∴DE∥AC，∴PC與DE所成的角為∠PCA，即α；∵PA⊥平面ABC，∴PD與平面ABC所成的角為∠PDA，即β；過(guò)A作AH⊥BC，垂足為H，連接PH，易證BC⊥平面PAH，∴∠PHA是二面角P-BC-A的平面角，即γ.∵AB≠AC，∴AD＞AH，又AC＞AD，∴AC＞AD＞AH，∴eq\f(PA,AC)＜eq\f(PA,AD)＜eq\f(PA,AH)，∴tanα＜tanβ＜tanγ，∴α＜β＜γ.]折疊問(wèn)題【例3】如圖所示，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC為折痕將△ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且AB⊥DA.(1)證明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BP＝DQ＝eq\f(2,3)DA，求三棱錐Q-ABP的體積．[解](1)由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC.又BA⊥AD，且AC?平面ACD，AD?平面ACD，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD.又AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3eq\r(2).又BP＝DQ＝eq\f(2,3)DA，所以BP＝2eq\r(2).作QE⊥AC，垂足為E，則QE＝eq\f(1,3)DC，QE∥DC.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.因此，三棱錐Q-ABP的體積為VQ-ABP＝eq\f(1,3)×QE×S△ABP＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)×3×2eq\r(2)sin45°＝1.解決折疊問(wèn)題的關(guān)鍵和解題步驟：解決折疊問(wèn)題的關(guān)鍵在于認(rèn)真分析折疊前后元素的位置變化情況，看看哪些元素的位置變了，哪些沒(méi)有變，基本思路是利用不變求變，一般步驟如下：⑴平面→空間：根據(jù)平面圖形折出滿足條件的空間圖形．想象出空間圖形，完成平面圖形與空間圖形在認(rèn)識(shí)上的轉(zhuǎn)化．⑵空間→平面：為解決空間圖形問(wèn)題，要回到平面上來(lái)，重點(diǎn)分析元素的變與不變．⑶平面→空間：弄清楚變與不變的元素以后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系去探求變化后元素在空間中的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖2.圖1圖2(1)證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求圖2中的四邊形ACGD的面積．[解](1)證明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，BE∩BC＝B，故AB⊥平面BCGE.又因?yàn)锳B?平面ABC，所以平面ABC⊥平面