靜態(tài)電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法

關(guān)于靜態(tài)電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法一.靜態(tài)電磁場(chǎng)第一節(jié)三類邊值問(wèn)題靜態(tài)電磁場(chǎng)問(wèn)題中最重要的是靜態(tài)電磁場(chǎng)的位函數(shù)方程以及求解位函數(shù)必需的邊界條件。1.靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)、恒流電場(chǎng)、恒流磁場(chǎng)統(tǒng)稱靜態(tài)電磁場(chǎng)。第2頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.恒流電場(chǎng)3.恒流磁場(chǎng)標(biāo)量磁位第3頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天矢量磁位二.三類邊值問(wèn)題第一類邊值問(wèn)題：給定所有邊界位函數(shù)之值。第二類邊值問(wèn)題：給定所有邊界上位函數(shù)沿外法線方向的偏導(dǎo)數(shù)值。第三類邊值問(wèn)題：給定部分場(chǎng)域邊界上位函數(shù)之值，及其余邊界上位函數(shù)沿邊界外法向的偏導(dǎo)數(shù)的值。第4頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天第二節(jié)鏡像法唯一性定理在靜態(tài)電磁場(chǎng)問(wèn)題的求解中，往往使用不同的方法，只要所得的解能滿足位函數(shù)方程（泊松方程或拉普拉斯方程）又能滿足給定的邊界條件，那么這個(gè)解就是唯一正確的解。鏡像法1）保持求解區(qū)域中電荷分布不變，介質(zhì)分布不變，把原分區(qū)域均勻介質(zhì)空間看成全部均勻的介質(zhì)空間；2）用求解區(qū)域外虛設(shè)的簡(jiǎn)單電荷來(lái)代替實(shí)際邊界上復(fù)雜的分布電荷；只要虛設(shè)電荷和求解區(qū)域內(nèi)實(shí)際電荷的共同作用產(chǎn)生的電場(chǎng)能滿足給定的邊界條件，則根據(jù)唯一性定理，這種代替是正確有效的。一般虛設(shè)電荷處于鏡像位置，故稱鏡像法。第5頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天（導(dǎo)板及無(wú)窮遠(yuǎn)處）一.無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像法若導(dǎo)電平面上方有N個(gè)電荷，則只需在其鏡像位置放N個(gè)鏡像電荷即可。（導(dǎo)板及無(wú)窮遠(yuǎn)處）空間任一點(diǎn)Q點(diǎn)電位為：第6頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天二.無(wú)限大介質(zhì)分界平面的鏡像法上半空間下半空間第7頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天上半空間電勢(shì)為下半空間電勢(shì)為第8頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天即中的電場(chǎng)是由與共同產(chǎn)生，其有效區(qū)在上半空間，是等效替代極化電荷的影響。中的電場(chǎng)是由與決定，其有效區(qū)在下半空間，是等效替代極化電荷的作用。第9頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天三.電軸法以y軸為參考點(diǎn),C=

0,則第10頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天等位線方程為：圓心坐標(biāo)圓半徑當(dāng)K取不同數(shù)值時(shí),就得到一族偏心圓。且每個(gè)圓的半徑，圓心位置和電軸位置b之間滿足第11頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天將兩根線電荷看成兩根電軸，并用來(lái)求解平行雙導(dǎo)線系統(tǒng)的方法，稱為電軸法。兩個(gè)電軸點(diǎn)對(duì)任意等位線圓互為鏡像，故電軸法也是鏡像法之一。1.線電荷與圓柱導(dǎo)體將圓柱導(dǎo)體表面的分布電荷集中到電軸上，成為一條線電荷，導(dǎo)體圓柱面成為等位面。第12頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.兩個(gè)相同半徑的平行導(dǎo)體圓柱將兩圓柱表面看成等位面，該問(wèn)題變?yōu)殡p線電荷問(wèn)題。電軸位置為：圓心位置為：第13頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天鏡像法（電軸法）小結(jié)鏡像法（電軸法）的理論基礎(chǔ)是靜電場(chǎng)唯一性定理；鏡像法（電軸法）的實(shí)質(zhì)是用虛設(shè)的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分布，使計(jì)算場(chǎng)域?yàn)闊o(wú)限大均勻介質(zhì)；鏡像法（電軸法）的關(guān)鍵是確定鏡像電荷（電軸）的個(gè)數(shù)（根數(shù)），大小及位置。應(yīng)用鏡像法（電軸法）解題時(shí)，注意：鏡像電荷（電軸）只能放在待求場(chǎng)域以外的區(qū)域。疊加時(shí)，要注意場(chǎng)的適用區(qū)域。第14頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天第二節(jié)分離變量法分離變量法是一種最經(jīng)典的微分方程法，它適用于求解一類具有理想邊界條件的典型邊值問(wèn)題。一般情況下,采用正交坐標(biāo)系可用分離變量法得出拉普拉斯方程或波動(dòng)方程的通解，而只有當(dāng)場(chǎng)域邊界與正交坐標(biāo)面重合或平行時(shí)，才可確定積分常數(shù)，得到邊值問(wèn)題的解。解題的一般步驟：

根據(jù)邊界的幾何形狀和場(chǎng)的分布特征選定坐標(biāo)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的邊值問(wèn)題（微分方程和邊界條件）；

分離變量，將一個(gè)偏微分方程，分離成幾個(gè)常微分方程；

解常微分方程，并疊加各特解得到通解；

利用給定的邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。第15頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天一.直角坐標(biāo)系中的分離變量法直角坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程：設(shè)其解為：將其代入拉普拉斯方程：即：

X、Y、Z分別只是x、y、z的函數(shù)，為使其對(duì)所有的x、y、z點(diǎn)均能得到滿足，它們的分式必須分別為常數(shù)。第16頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天即：1）兩個(gè)實(shí)數(shù)和一個(gè)虛數(shù)；3）若其中一個(gè)為零，則另兩個(gè)可以為一實(shí)一虛，也可以都為0。2）兩個(gè)虛數(shù)和一個(gè)實(shí)數(shù)；并且：為分離常數(shù)分離常數(shù)的取值第17頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天以為例：1）若取實(shí)數(shù)，則X(x)的解為：（令）或2）若取虛數(shù)，則X(x)的解為：（令）或3）若為0，則X(x)的解為：第18頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天分離常數(shù)的取值到底為實(shí)數(shù)、虛數(shù)、或0，由邊界條件決定。即：若在某個(gè)坐標(biāo)方向上，邊界條件是周期性的，則該坐標(biāo)的分離常數(shù)必為實(shí)數(shù)。若在某個(gè)坐標(biāo)方向上，邊界條件是非周期性的，則該坐標(biāo)的分離常數(shù)必為虛數(shù)。若位函數(shù)與某一坐標(biāo)變量無(wú)關(guān)則其分離常數(shù)為0。解得X(x)、Y(y)、Z(z)后，其乘積：即為待求拉普拉斯方程之解，利用邊界條件確定分離常數(shù)和其它待定常數(shù)，再把求得的所有特解線性疊加，即為所求方程之通解。第19頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1設(shè)有無(wú)限長(zhǎng)矩形管，其一邊寬為a，另一邊寬為b，圖中矩形管除上臂電位為外，其余各臂的電位為0，求矩形管內(nèi)的電位分布。解矩形管無(wú)限長(zhǎng)，管臂上電位沿z方向無(wú)變化，故管內(nèi)的電位函數(shù)與z無(wú)關(guān)，即：此為二維平行平面場(chǎng)，拉普拉斯方程為：第20頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天場(chǎng)域邊界x=0、x=a處管壁上場(chǎng)域邊界y=0、y=b處管壁上即沿x方向，場(chǎng)重復(fù)出現(xiàn)零值，作周期變化，因此分離常數(shù)為實(shí)數(shù)。即沿x方向，邊界條件是非周期的，因此分離常數(shù)為虛數(shù)。且：設(shè)：，則，因此：第21頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天邊界條件：（1）（2）（3）（4）由（1）可得：由（2）可得：第22頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天由邊界條件（3）則方程的解為所有特解的線型疊加，即：由邊界條件（4）第23頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天（n為奇數(shù)）（n為偶數(shù)）由三角函數(shù)的正交性（m為奇數(shù)）（m為偶數(shù)）第24頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天（m為奇數(shù)）（m為偶數(shù)）（m為奇數(shù)）（m為偶數(shù)）滿足拉普拉斯方程的通解有無(wú)數(shù)個(gè)，但滿足給定邊界條件的解是唯一的。第25頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天二.圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法圓柱坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程：選擇圓柱坐標(biāo)系的情況多數(shù)為電位僅與r

和有關(guān)，與z無(wú)關(guān)。故今分析電位與坐標(biāo)變量z無(wú)關(guān)的情況，此時(shí)，第三項(xiàng)為0，電位滿足二維拉普拉斯方程：設(shè)其解為：將其代入拉普拉斯方程：第26頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天

R、分別只是r、的函數(shù)，為使其對(duì)任一點(diǎn)成立，它們的分式必須分別為常數(shù)。令第一項(xiàng)等于，可得：當(dāng)時(shí)，上面兩方程的解為:通常：為整數(shù)第27頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天（n為整數(shù)）將和的基本解疊加，構(gòu)成一般解為：當(dāng)時(shí)：基本解：一般通解為：第28頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天二.球坐標(biāo)系中的分離變量法球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程：只討論軸對(duì)稱場(chǎng)，即電位與坐標(biāo)無(wú)關(guān)此時(shí)拉普拉斯方程為：設(shè)其解為：將其代入拉普拉斯方程：第29頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天

R、H分別只是r、的函數(shù)，為使其對(duì)任一點(diǎn)成立，它們的分式必須分別為常數(shù)。令第一項(xiàng)等于k，可得：令，則：——勒讓德方程