阿波羅尼奧斯圓錐曲線

關(guān)于阿波羅尼奧斯圓錐曲線一、圓錐曲線的由來圓錐曲線是橢圓、雙曲線、拋物線的統(tǒng)稱，因?yàn)樗麄兌伎梢酝ㄟ^“用平面截圓錐”來得到，所以叫圓錐曲線。第一個(gè)考察圓錐曲線的事希臘學(xué)者梅內(nèi)赫莫斯（公元前375-前325）第2頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

圓錐曲線的雛形他取三個(gè)頂點(diǎn)分別為直角銳角和鈍角的正圓錐，然后各作一個(gè)平面分別垂直于三個(gè)圓錐的一條母線，并與圓錐相截：他把所得三條截線分別稱為“直角圓錐截線”，“銳角圓錐截線”和“鈍角圓錐截線”，實(shí)際上就是今天我們所說的拋物線，橢圓，一支等軸雙曲線：這是圓錐曲線最早的名稱。第3頁,共39頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)時(shí)，這三種曲線均以圓錐曲面為基礎(chǔ)得到，但這三種曲線是分別以三種不同的圓錐曲面作為基礎(chǔ)得到的。約一百年后，古希臘的著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯更詳盡、更系統(tǒng)地研究了圓錐曲線。第4頁,共39頁，2024年2月25日，星期天阿波羅尼奧斯的圓錐曲線論阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)，所有三種曲線只要以一種圓錐曲線為媒介就夠了，需要改變的只是界面的位置，而且作為媒介的圓錐曲面可以取上面三種中的任何一種第5頁,共39頁，2024年2月25日，星期天阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論第6頁,共39頁，2024年2月25日，星期天拋物線雙曲線第7頁,共39頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)截面與圓錐地面的夾角小于圓錐母線與圓錐地面的夾角時(shí)，截面是橢圓，當(dāng)這兩角相等時(shí)，截線是拋物線，當(dāng)前一個(gè)角大于后一個(gè)角時(shí)，截線是雙曲線。第8頁,共39頁，2024年2月25日，星期天簡(jiǎn)介阿波羅尼奧斯（Apollonius)公元前262年出生于小亞細(xì)亞的玻爾加，公元前190年卒于古埃及的亞歷山大。亞歷山大時(shí)期第三位重要的數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德齊名，其貢獻(xiàn)涉及幾何學(xué)和天文學(xué)。第9頁,共39頁，2024年2月25日，星期天生平《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨作，可以說代表了希臘幾何的最高水平，直至17世紀(jì)笛卡爾、帕斯卡出場(chǎng)之前，始終無人能夠超越。阿波羅尼奧斯寫此書被后世譯者稱為“大幾何學(xué)家”。第10頁,共39頁，2024年2月25日，星期天《圓錐曲線論》全書共八卷，含487個(gè)命題。此書集前人之大成，且提出很多新的性質(zhì)。他推廣了梅內(nèi)克繆斯的方法，證明三圓錐曲線可以由同一個(gè)圓錐體截取而得，并給出拋物線、橢圓、雙曲線、正焦弦等名稱。他以圓錐體底面直徑為橫坐標(biāo)，過頂點(diǎn)的垂線為縱坐標(biāo)，這給后世坐標(biāo)幾何的建立以很大的啟發(fā)。他在解釋太陽系內(nèi)5大行星的運(yùn)動(dòng)時(shí)，提出了本輪均輪偏心模型，為托勒密的地心說提供了工具。第11頁,共39頁，2024年2月25日，星期天學(xué)習(xí)生涯阿波羅尼奧斯年青時(shí)到亞歷山大跟隨歐幾里得的后繼者學(xué)習(xí)，那時(shí)是托勒密三世（246BC—221BC）統(tǒng)治時(shí)期，到了托勒密四世（221BC—205BC）時(shí)代，他在天文學(xué)研究方面已頗有名氣。后來到過小亞細(xì)亞西岸的帕加馬王國(guó)居住與工作，晚年回到亞歷山大，并卒于該城。第12頁,共39頁，2024年2月25日，星期天貢獻(xiàn)阿波羅尼奧斯的主要成就是建立了完美的圓錐曲線論，總結(jié)了前人在這方面的工作，再加上自己的研究成果，撰成了《圓錐曲線論，將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地。第13頁,共39頁，2024年2月25日，星期天除《圓錐曲線論》外，阿波羅尼奧斯還有好幾種著作，為后世學(xué)者（特別是帕波斯）所提及。列舉如下：1《截取線段成定比》2《截取面積等于已知面積》3《論接觸》4《平面軌跡》5《傾斜》6《十二面體與二十面體對(duì)比》第14頁,共39頁，2024年2月25日，星期天此外還有《無序無理量》、《取火鏡》、圓周率計(jì)算以及天文學(xué)方面的著述等。阿波羅尼奧斯和歐幾里得、阿基米德合稱為亞歷山大前期的三大數(shù)學(xué)家（約300BC—200BC），這是古希臘數(shù)學(xué)的全盛時(shí)期或“黃金時(shí)代”。第15頁,共39頁，2024年2月25日，星期天二、圓錐曲線的定義橢圓：平面上到兩定點(diǎn)F1,F2（焦點(diǎn)）的距離之和為定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為橢圓雙曲線：平面上到兩定點(diǎn)F1,F2（焦點(diǎn)）的距離之差的絕對(duì)值為定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線拋物線：平面上到一定點(diǎn)F的距離與到一定直線的距離相等的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為拋物線。第16頁,共39頁，2024年2月25日，星期天圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面上到一定點(diǎn)F的距離與到一不過該定點(diǎn)的定直線L的距離之比為常數(shù)e的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為圓錐曲線。e<1為橢圓e>1為雙曲線e=1為拋物線。第17頁,共39頁，2024年2月25日，星期天離心率的變化過程第18頁,共39頁，2024年2月25日，星期天離心率的連續(xù)量變從上圖可以看出：離心率的連續(xù)量變導(dǎo)致了曲線的之變：當(dāng)e從小于1逐漸趨于1時(shí)，橢圓從右邊逐漸趨近于拋物線當(dāng)e從大于1逐漸趨于1時(shí)，雙曲線的左支逐漸遠(yuǎn)離原點(diǎn)，而右支從左邊逐漸趨近于拋物線?？梢詫佄锞€看成是e趨向于1時(shí)橢圓和雙曲線的極限形式第19頁,共39頁，2024年2月25日，星期天圓錐曲線統(tǒng)一形式在直角坐標(biāo)系下，三種不同的圓錐曲線的方程也可以具有統(tǒng)一的形式。見P163.17世紀(jì)的開普勒和18世紀(jì)的歐拉就已經(jīng)有了這種從運(yùn)動(dòng)的、變化的觀點(diǎn)，把各種圓錐曲線看做是在同一個(gè)系統(tǒng)中的看法。第20頁,共39頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美從給出三種圓錐曲線分別的定義到統(tǒng)一的定義，讓我們看到數(shù)學(xué)的“統(tǒng)一美”。只有抓住了不同事物共同的本質(zhì)，才能用統(tǒng)一的觀點(diǎn)，統(tǒng)一的語言來描述幾種不同的事物。事物的本質(zhì)是內(nèi)在的，當(dāng)我們用統(tǒng)一的語言把它敘述出來時(shí)，這種內(nèi)在的本質(zhì)就外化了，讓我們有一種透過現(xiàn)象看到本質(zhì)的快感。第21頁,共39頁，2024年2月25日，星期天開普勒的行星定律開普勒（15711630）第22頁,共39頁，2024年2月25日，星期天開普勒的行星定律開普勒的行星定律是以布拉赫數(shù)十年對(duì)於行星運(yùn)行的觀察數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，再花十多年功夫才找到一個(gè)吻合布拉赫數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型。他終於在1609年完成了火星運(yùn)行的數(shù)學(xué)理論。第23頁,共39頁，2024年2月25日，星期天開普勒的行星定律第一定律：行星沿橢圓軌道繞太陽運(yùn)行，太陽位於橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)之上。第二定律：在相等時(shí)間內(nèi)，連接每顆行星與太陽的向徑所掃過的面積皆相等。第三定律：每顆行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)周期的平方與它們到太陽的平均距離的立方成正比。第24頁,共39頁，2024年2月25日，星期天開普勒的行星定律太陽火星開普勒的發(fā)現(xiàn)，為圓錐曲線的研究添上了一層實(shí)際的意義。第25頁,共39頁，2024年2月25日，星期天三個(gè)宇宙速度與發(fā)射體的軌跡第一宇宙速度(環(huán)繞地球速度)V1=7.91km/s，第二宇宙速度(脫離地球速度)：V2=11.2km/s第三宇宙速度（脫離太陽系速度）V3=16.7km/s在V1<V<V2,發(fā)射體的軌道是橢圓V=V2，發(fā)射體的軌道是拋物線（的一半）V>V2,發(fā)射體遠(yuǎn)離，軌道是雙曲線一支（的一半），不再回到地球。第26頁,共39頁，2024年2月25日，星期天V2<=V<V3,發(fā)射體的軌道是以太陽為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，發(fā)射體成為一個(gè)人造行星。V>=V3，發(fā)射體將掙脫太陽的引力，飛到太陽系以外去。第27頁,共39頁，2024年2月25日，星期天三、拋物線的應(yīng)用能反射光線的鏡面的縱剖面是一條拋物線，它有一個(gè)特性：從置放在拋物線焦點(diǎn)的點(diǎn)光源發(fā)出的光線，經(jīng)拋物線反射后的光線都是平行的；反之，入射的平行光線經(jīng)拋物線反射后的光線都經(jīng)過焦點(diǎn)第28頁,共39頁，2024年2月25日，星期天拋物線的應(yīng)用汽車前燈

第29頁,共39頁，2024年2月25日，星期天拋物線的應(yīng)用太陽灶：利用太陽光為平行光，經(jīng)過拋物鏡面的反射而集中于焦點(diǎn)，在焦點(diǎn)處產(chǎn)生高溫（焦點(diǎn)的由來）F90285第30頁,共39頁，2024年2月25日，星期天拋物線的應(yīng)用礦山爆破時(shí)，在爆破點(diǎn)處炸開的礦石的軌跡是不同的拋物線。根據(jù)地質(zhì)、炸藥的因素可以算出這些拋物線的范圍。這個(gè)范圍的邊界又是一條拋物線，叫做“安全拋物線”。見教材P168:圖3.5.13第31頁,共39頁，2024年2月25日，星期天雙曲線的建筑方面的應(yīng)用雙曲線繞虛軸旋轉(zhuǎn)形成單葉雙曲面，單葉雙曲面上有兩族直母線。在建筑上可以把鋼筋作為兩族直母線，使他們構(gòu)成單葉雙曲面。這樣設(shè)計(jì)的建筑物非常輕巧又堅(jiān)固。第32頁,共39頁，2024年2月25日，星期天單葉雙曲面之冷卻塔27121455第33頁,共39頁，2024年2月25日，星期天廣州電視塔小蠻腰其設(shè)計(jì)師是荷蘭IBA事務(wù)所的馬克·海默爾和芭芭拉·庫伊特。有一天，我在廚房把一些彈性橡皮繩綁在兩個(gè)橢圓形的木盤之間，一個(gè)在底部，一個(gè)在頂部。當(dāng)我開始旋轉(zhuǎn)頂部橢圓的時(shí)候，一個(gè)復(fù)雜的形狀出現(xiàn)了。我開始激動(dòng)起來，要從這個(gè)簡(jiǎn)單的想法開始，把它發(fā)展成一個(gè)建筑物。第34頁,共39頁，2024年2月25日，星期天小蠻腰第35頁,共39頁，2024年2月25日，星期天小蠻腰第36頁,共39頁，2024年2月25日，星期天雙曲線在航海中的應(yīng)用海上航行的輪船有一種“雙曲線時(shí)差定位法”，就是利用“雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差為一個(gè)常數(shù)”的原理設(shè)計(jì)的。第37頁,共39頁，2024年2月25日，星期天