人教版七年級數(shù)學(xué)下冊同步精講精練專題二元一次方程組的同解、錯解、參數(shù)等問題(原卷版+解析)

七年級下冊數(shù)學(xué)《第八章二元一次方程組》專題二元一次方程組的同解、錯解、參數(shù)等問題題型一直接代入解，解決字母參數(shù)的問題題型一直接代入解，解決字母參數(shù)的問題【例題1】（2022?天津模擬）已知x=?1y=1是二元一次方程組3x+2y=mnx?y=1的解，則m﹣A．1 B．﹣2 C．3 D．﹣4【變式1-1】（2022春?商水縣期末）已知x=?2y=1是二元一次方程組3x+2y=mnx?y=1的解，則m+A．﹣2 B．﹣5 C．1 D．﹣4【變式1-2】（2022秋?青島期末）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組ax?y=43x+b=4的解是x=2y=?2，則a+A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【變式1-3】（2022春?永川區(qū)期末）已知x=2y=1是二元一次方程組mx+ny=8nx?my=1的解，則m+3A．9 B．6 C．5 D．12【變式1-4】（2022春?鳳慶縣期末）已知x=2y=1是二元一次方程組mx+ny=8nx?my=1的解，則A．±2 B．2 C．4 D．2【變式1-5】（2022春?平輿縣期中）關(guān)于x，y的方程組2x?ay=1bx+y=5的解是x=2y=1，則6a﹣A．4 B．±4 C．3 D．±【變式1-6】（2022秋?迎澤區(qū)校級月考）小亮求得方程組2x+y=●2x?y=12的解為x=5A．5，2 B．5，﹣2 C．8，2 D．8，﹣2【變式1-7】（2022春?武山縣校級月考）關(guān)于x、y的方程組3x?y=mx+my=n的解是x=1y=?1，則|m﹣n|的值是【變式1-8】（2022秋?海淀區(qū)校級期中）已知關(guān)于x，y的二元一次方程x+y＝m，x=1y=a+8和x=2a（1）求a的值；（2）x=by=b也是該方程的一個解，求b【變式1-9】（2022春?東莞市校級期中）已知方程組ax?by=?4bx+ay=?8的解為x=2（1）求a、b的值；（2）求a﹣b的值及其算術(shù)平方根．題型二二元一次方程（組）同解問題題型二二元一次方程（組）同解問題【例題2】（2021秋?昌圖縣期末）已知方程組5x+y=3x?2y=5和ax+2y=12x+by=8有相同的解，則a，為（）A．a(chǎn)＝﹣5，b＝3 B．a(chǎn)＝3，b＝﹣5 C．a(chǎn)＝5，b＝﹣3 D．a(chǎn)＝﹣3，b＝5【變式2-1】（2022春?禹州市期末）已知關(guān)于x，y的方程組4x+y=?5ax?by=1和3x?y=?93ax+2by=18有相同的解，則a2﹣bA．﹣3 B．3 C．0 D．﹣4【變式2-2】（2022秋?北碚區(qū)校級期末）關(guān)于x，y的方程組2x+3y=19ax+by=?1與3x?2y=9bx+ay=?7有相同的解，則a+4A．?1 B．?6 C．?10 D．?12【變式2-3】（2022春?營口期末）已知方程組5x+y=3ax+5y=4和x?2y=55x+by=1有相同的解，求a﹣5平方根．【變式2-4】（2022春?沙坪壩區(qū)校級期中）已知關(guān)于x，y的方程組2x?3y=?10ax+by=14和方程組3x+2y=11（1）這兩個方程組的解；（2）求2a+b的值．【變式2-5】（2021春?岳麓區(qū)校級期中）若關(guān)于x，y的二元一次方程組3x?5y=36bx+ay=?8與方程組2x+5y=?26（1）這兩個方程組的相同解；（2）求（2a+b）2021的值．【變式2-6】（2021春?荔浦市期中）已知方程組2x+y=?2ax+by=?4和方程組3x?y=12求（5a+b）2的值．【變式2-7】（2022春?德州期中）已知方程組2x+y=1ax?by=7和方程組bx?ay=8（1）求a，b的值．（2）求|a題型三方程組的解滿足某一附加條件題型三方程組的解滿足某一附加條件【例題3】（2022秋?嶧城區(qū)校級期末）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組2x?5y=3n+7x?3y=4的解相等，則nA．3 B．?13 C．1 【變式3-1】（2022?東平縣校級開學(xué)）若方程組4x+3y=1ax+(1?a)y=3的解x和y互為相反數(shù)，則a＝【變式3-2】（2022秋?大渡口區(qū)校級期末）關(guān)于x，y的二元一次方程組3x+5y=a+22x+3y=a的解適合x+y＝10，則aA．14 B．12 C．6 D．﹣10【變式3-3】（2022春?鎮(zhèn)江期末）若方程組x+y=5kx+y=8的解中，x的值比y的值大1，則kA．5 B．2 C．3 D．﹣2【變式3-4】（2022秋?邢臺期末）若關(guān)于x，y的二元一次方程組x+y=?a+1x?y=3a+5的解，也是二元一次方程x+2y＝﹣1的解，則aA．2 B．1 C．12 【變式3-5】（2022春?榮縣校級期中）已知方程組3x+2y=k2x+3y=k+3的解滿足x+y＝5，求k【變式3-6】（2022春?昌平區(qū)校級期中）已知關(guān)于x，y的方程組5x+3y=2m?1x?y=?m+2的解中x與y的和為3，求m【變式3-7】（2022春?廣州期中）已知關(guān)于x，y的方程組3x+5y=2mx+y=m?1的解滿足x+2y（1）求m的值；（2）化簡：|m?1|﹣|m【變式3-8】（2022春?廣州期中）已知實數(shù)a，b滿足a+1+|a+b|＝0，且以關(guān)于x，y的方程組ax+by=m2ax?by=m+1的解為橫、縱坐標(biāo)的點P（x，y）在第二、四象限的角平分線上，求題型四利用二元一次方程組解決錯解問題題型四利用二元一次方程組解決錯解問題【例題4】（2022春?石河子期末）已知方程組ax+by=35x?cy=1，甲正確地解得x=2y=3，而乙粗心地把c看錯了，得x=3y=6，試求出a，b【變式4-1】（2021春?柳南區(qū)校級期中）在解方程組ax+by=2cx?7y=8時，小明正確地解得方程組的解為x=3y=?2，小剛因把x=?2y=2，求a+b+c【變式4-2】（2022春?陸河縣期末）已知方程組2x+ay=10①bx?3y=?3②，由于甲看錯了方程①中a得到方程組的解為x=3y=?1，乙看錯了方程②中的b得到方程組的解為x=?1y=2．若按正確的a【變式4-3】（2021春?武城縣期末）在解方程組ax+5y=104x?by=?4時，由于粗心，甲看錯了方程組中的a，而得解為x=?3y=?1，乙看錯了方程組中的b，而得解為【變式4-4】（2022秋?霍邱縣月考）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組2ax+y=5①x?by=2②（1）若a＝1，請寫出方程①的所有正整數(shù)解；（2）由于甲看錯了方程①中的a得到方程組的解為x=?2y=1，乙看錯了方程②中的b得到方程組的解為x=1y=3，求a、【變式4-5】（2022春?上蔡縣期中）甲、乙兩人共同解方程組ax+5y=15，①4x?by=?2②，由于甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為x=?3y=?1乙看錯了方程②中的b，得到方程組的解為x=5y=4.，試計算a2015+（?1【變式4-6】（2021春?安居區(qū)期中）在解方程組ax+y=10x+by=7時，由于粗心，甲看錯了方程組中的a，而得到方程組的解為x=1y=6，乙看錯了方程組中的b（1）甲把a看成了什么？乙把b看成了什么？（2）求出原方程組的正確解．【變式4-7】（2021春?九龍坡區(qū)校級期中）已知：甲、乙兩人同解方程組ax+5y=15(1)4x=by?2(2)時，甲看錯了方程（1）中的a，解得x=?2y=1，乙看錯了（2）中的b，解得x=5y=?4，試求a題型五（拓展）二元一次方程（組）正整數(shù)解問題題型五（拓展）二元一次方程（組）正整數(shù)解問題【例題5】若關(guān)于x，y的二元一次方程組2x+ay=122x?y=0有整數(shù)解，則滿足要求的所有整數(shù)a為（）A．0 B．4 C．8 D．12【變式5-1】（2022秋?東寶區(qū)期末）已知關(guān)于x，y的方程組x+2y?6=0x?2y+mx+5=0，若方程組的解中x恰為整數(shù)，m也為整數(shù)，則mA．﹣1 B．1 C．﹣1或3 D．﹣1或﹣3【變式5-2】（2021秋?南岸區(qū)校級期中）m為正整數(shù)，已知二元一次方程組mx?2y=103x?2y=0有整數(shù)解，則m2A．4 B．1或4或16或25 C．64 D．4或16或64【變式5-3】（2021春?沙坪壩區(qū)校級月考）已知m為整數(shù)，二元一次方程組4x?3y=66x+my=26有整數(shù)解，則mA．4或﹣4或﹣5 B．4或﹣4或﹣13 C．4或﹣5或﹣13 D．4或﹣4或﹣5或﹣13【變式5-4】（2020春?雨花區(qū)校級月考）m為正整數(shù)，已知二元一次方程組mx+2y=103x?2y=0有整數(shù)解，則m2A．3或48 B．3 C．4或49 D．48【變式5-5】（2022春?商水縣期末）m為負(fù)整數(shù)，已知二元一次方程組mx+2y=103x+2y=0有整數(shù)解，則m的值為【變式5-6】（2022春?西區(qū)期中）若關(guān)于x、y的方程組x+y=2ax+2y=8的解為整數(shù)，則滿足條件的所有整數(shù)aA．6 B．9 C．12 D．16【變式5-7】已知k為正整數(shù)，且關(guān)于x，y的二元一次方程組kx+2y=103x?2y=0有整數(shù)解，則2k+x+y的平方根為【變式5-8】（2022春?合浦縣期中）方程組x+y=?13x?2y=7的解滿足2x﹣ky＝10（k（1）求k的值．（2）直接寫出關(guān)于x，y的方程（k﹣1）x+2y＝13的正整數(shù)解【變式5-9】（2022春?吳江區(qū)期末）已知關(guān)于x，y的方程組x+2y?6=0（1）請直接寫出方程x+2y﹣6＝0的所有正整數(shù)解；（2）若方程組的解滿足x+y＝0，求m的值；（3）無論實數(shù)m取何值，方程x﹣2y+mx+5＝0總有一個固定的解，請直接寫出這個解？（4）若方程組的解中x恰為整數(shù)，m也為整數(shù)，求m的值．七年級下冊數(shù)學(xué)《第八章二元一次方程組》專題二元一次方程組的同解、錯解、參數(shù)等問題題型一直接代入解，解決字母參數(shù)的問題題型一直接代入解，解決字母參數(shù)的問題【例題1】（2022?天津模擬）已知x=?1y=1是二元一次方程組3x+2y=mnx?y=1的解，則m﹣A．1 B．﹣2 C．3 D．﹣4【分析】將x和y的值代入方程組即可求出m和n的值，進而可得m﹣n的值．【解答】解：因為x=?1y=1是二元一次方程組3x+2y=m所以m＝﹣3+2＝﹣1，﹣n﹣1＝1，n＝﹣2，所以m﹣n＝﹣1+2＝1．則m﹣n的值為1．故選：A．【點評】本題考查了二元一次方程組的解，解決本題的關(guān)鍵是掌握二元一次方程組的解法．【變式1-1】（2022春?商水縣期末）已知x=?2y=1是二元一次方程組3x+2y=mnx?y=1的解，則m+A．﹣2 B．﹣5 C．1 D．﹣4【分析】把方程組的解代入方程組得到關(guān)于m，n的方程組，求出m，n的值，代入代數(shù)式求值即可．【解答】解：把方程組的解代入方程組得?6+2=m?2n?1=1解得m=?4n=?1∴m+n＝﹣4﹣1＝﹣5，故選：B．【點評】本題考查了二元一次方程組的解，把把方程組的解代入方程組得到關(guān)于m，n的方程組是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022秋?青島期末）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組ax?y=43x+b=4的解是x=2y=?2，則a+A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【分析】將x=2y=?2代入二元一次方程組ax?y=4【解答】解：將x=2y=?2代入二元一次方程組ax?y=4得2a+2=46+b=4解得a=1b=?2所以a+b＝1﹣2＝﹣1，故選A．【點評】本題考查了二元一次方程組的解，熟悉二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022春?永川區(qū)期末）已知x=2y=1是二元一次方程組mx+ny=8nx?my=1的解，則m+3A．9 B．6 C．5 D．12【分析】將x=2y=1代入二元一次方程組mx+ny=8nx?my=1，再求m+3【解答】解：∵x=2y=1是二元一次方程組mx+ny=8∴2m+n=8①2n?m=1②①+②得，m+3n＝9，故選：A．【點評】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組與二元一次方程組的關(guān)系，用整體思想解題是關(guān)鍵．【變式1-4】（2022春?鳳慶縣期末）已知x=2y=1是二元一次方程組mx+ny=8nx?my=1的解，則A．±2 B．2 C．4 D．2【分析】將x=2y=1代入mx+ny=8nx?my=1解得m=3n=2【解答】解：∵x=2y=1是二元一次方程組mx+ny=8∴2m+n=8①2n?m=1②由①得，n＝8﹣2m③，將③代入②得，m＝3，將m＝3代入③得，n＝2，∴2m﹣n＝2×3﹣2＝4，∴2m?n的算術(shù)平方根為2，故選：D．【點評】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解與二元一次方程組的關(guān)系，會求算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．【變式1-5】（2022春?平輿縣期中）關(guān)于x，y的方程組2x?ay=1bx+y=5的解是x=2y=1，則6a﹣A．4 B．±4 C．3 D．±【分析】將x=2y=1代入原方程組，可得出關(guān)于a，b的二元一次方程組，解之可得出a，b的值，將其代入6a﹣b中，可求出6a﹣b的值，再求出6a﹣b【解答】解：將x=2y=1代入原方程組得：2×2?a=1解得：a=3b=2∴6a﹣b＝6×3﹣2＝16，∴6a﹣b的平方根是±4．故選：B．【點評】本題考查了二元一次方程組的解以及平方根，代入方程組的一組解，求出a，b值是解題的關(guān)鍵．【變式1-6】（2022秋?迎澤區(qū)校級月考）小亮求得方程組2x+y=●2x?y=12的解為x=5A．5，2 B．5，﹣2 C．8，2 D．8，﹣2【分析】根據(jù)方程的解的定義，把x＝5代入2x﹣y＝12，求得y的值，進而求出●的值，即可得到答案．【解答】解：∵方程組2x+y=●2x?y=12的解為x=5∴把x＝5代入2x﹣y＝12，得2×5﹣y＝12，解得y＝﹣2，把x＝5，y＝﹣2代入2x+y＝●，得2×5﹣（﹣2）＝●，即●＝8，∴這兩個數(shù)分別為：8和﹣2．故選：D．【點評】本題主要考查了二元一次方程組的解，掌握二元一次方程組的解能夠滿足各個方程是解題的關(guān)鍵．【變式1-7】（2022春?武山縣校級月考）關(guān)于x、y的方程組3x?y=mx+my=n的解是x=1y=?1，則|m﹣n|的值是【分析】將x＝1，y＝1代入方程組求出m與n的值，即可確定出所求式子的值．【解答】解：將x＝1，y＝1代入方程組得：m=21+m=n解得：m＝2，n＝3，則|m﹣n|＝|2﹣3|＝1．故答案為：1【點評】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．【變式1-8】（2022秋?海淀區(qū)校級期中）已知關(guān)于x，y的二元一次方程x+y＝m，x=1y=a+8和x=2a（1）求a的值；（2）x=by=b也是該方程的一個解，求b【分析】（1）根據(jù)解得定義，代入可得1+a+8＝m，2a+1＝m，進而求出a＝8；（2）將a＝8代入求出二元一次方程x+y＝m的兩個解，進而確定m的值，代入求出b的值即可．【解答】解：（1）∵x=1y=a+8和x=2ay=1都是關(guān)于x，y的二元一次方程x+y＝∴1+a+8＝m，2a+1＝m，解得a＝8；（2）當(dāng)a＝8時，二元一次方程的解為x=1y=16和x=16∴m＝x+y＝17，又∵x=by=b也是x+y∴b+b＝17，即b=17【點評】本題考查二元一次方程（組）的解，理解解的定義是正確解答的前提．【變式1-9】（2022春?東莞市校級期中）已知方程組ax?by=?4bx+ay=?8的解為x=2（1）求a、b的值；（2）求a﹣b的值及其算術(shù)平方根．【分析】（1）將x=2y=?2代入方程組可得一個關(guān)于a，b（2）先根據(jù)（1）的結(jié)果求出a﹣b的值，再根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)即可得結(jié)果．【解答】解：（1）∵方程組ax?by=?4bx+ay=?8的解為x=2∴2a+2b=?42b?2a=?8，即2a+2b=?4①由①+②得：4b＝﹣12，解得b＝﹣3，將b＝﹣3代入①得：2a﹣6＝﹣4，解得a＝1，故a＝1，b＝﹣3．（2）由（1）已得：a＝1，b＝﹣3，則a﹣b＝1﹣（﹣3）＝4，∵22＝4，∴a﹣b的算術(shù)平方根為2．【點評】本題考查了解二元一次方程組和算術(shù)平方根，熟練掌握方程組的解法和算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型二二元一次方程（組）同解問題題型二二元一次方程（組）同解問題【例題2】（2021秋?昌圖縣期末）已知方程組5x+y=3x?2y=5和ax+2y=12x+by=8有相同的解，則a，為（）A．a(chǎn)＝﹣5，b＝3 B．a(chǎn)＝3，b＝﹣5 C．a(chǎn)＝5，b＝﹣3 D．a(chǎn)＝﹣3，b＝5【分析】先求出方程組5x+y=3x?2y=5的解，再代入方程組ax+2y=12x+by=8可得關(guān)于a、【解答】解：解方程組5x+y=3x?2y=5，得x=1代入代入方程組ax+2y=12x+by=8，得a?4=1解得a＝5，b＝﹣3．故選：C．【點評】本題主要考查了二元一次方程的解及二元一次方程組的解法，正確理解題意，然后根據(jù)題意得到關(guān)于待定系數(shù)的方程組，解方程組是解答此題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022春?禹州市期末）已知關(guān)于x，y的方程組4x+y=?5ax?by=1和3x?y=?93ax+2by=18有相同的解，則a2﹣bA．﹣3 B．3 C．0 D．﹣4【分析】根據(jù)方程組解的定義，先求出方程組的解，再把方程組的解代入含a、b的方程組，求出a、b，最后求出a2﹣b2．【解答】解：∵方程組4x+y=?5ax?by=1和3x?y=?9∴方程組4x+y=?53x?y=?9和ax?by=1解方程組4x+y=?53x?y=?9得x=?2把x=?2y=3代入方程組ax?by=1?2a?3b=1?6a+6b=18解這個方程組，得a=?2b=1∴a2﹣b2＝（﹣2）2﹣12＝3．故選：B．【點評】本題考查了二元一次方程組，掌握方程組的解法是解決本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022秋?北碚區(qū)校級期末）關(guān)于x，y的方程組2x+3y=19ax+by=?1與3x?2y=9bx+ay=?7有相同的解，則a+4A．?1 B．?6 C．?10 D．?12【分析】解不等式組2x+3y=193x?2y=9，可得出x=5y=3，將其代入ax+by=?1bx+ay=?7中，可求出a，b的值，再將a，b的值，代入a【解答】解：不等式組2x+3y=193x?2y=9的解為x=5將x=5y=3代入關(guān)于x，y的方程組ax+by=?1bx+ay=?7得：解得：a=1b=?2∴a+4b?3＝1+4×（﹣2）﹣3＝﹣10．故選：C．【點評】本題考查了二元一次方程組的解，牢記“一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解”是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022春?營口期末）已知方程組5x+y=3ax+5y=4和x?2y=55x+by=1有相同的解，求a﹣5平方根．【分析】根據(jù)方程組的解的意義可求出x、y的值，進而得到a、b的值，再代入計算即可．【解答】解：方程組5x+y=3ax+5y=4和x?2y=55x+by=1的解也是方程組解方程組5x+y=3①x?2y=5②x=1y=?2∴a＝14，b＝2，∴a﹣5b＝14﹣10＝4，∴a﹣5b的平方根，即4的平方根為±4【點評】本題考查平方根，二元一次方程組的解，理解平方根的定義以及二元一次方程組的解是正確解答的前提．【變式2-4】（2022春?沙坪壩區(qū)校級期中）已知關(guān)于x，y的方程組2x?3y=?10ax+by=14和方程組3x+2y=11（1）這兩個方程組的解；（2）求2a+b的值．【分析】（1）將兩個方程組中的第一個方程聯(lián)立可得一個二元一次方程組，求解即可；（2）將兩個方程組中的第二個方程聯(lián)立，將（1）中求出的x，y代入即可求出a，b，即可求解．【解答】解：（1）∵關(guān)于x，y的方程組2x?3y=?10ax+by=14和方程組3x+2y=11∴x，y滿足2x?3y=?10①3x+2y=11②由①×2+②×3可得：2（2x﹣3y）+3（3x+2y）＝﹣10×2+11×3，13x＝13，x＝1，將x＝1代入①可得：2﹣3y＝﹣10，y＝4，∴兩個方程組的解為x=1y=4（2）將兩個方程組中的第二個方程聯(lián)立可得ax+by=14ay?bx=5將x=1y=4代入可得a+4b=14③由③+④×4可得：a+4b+4（4a﹣b）＝14+5×4，17a＝34，a＝2，將a＝2代入③可得：2+4b＝14，b＝3，∴2a+b＝2×2+3＝7．【點評】本題考查二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解二元一次方程組的解法．【變式2-5】（2021春?岳麓區(qū)校級期中）若關(guān)于x，y的二元一次方程組3x?5y=36bx+ay=?8與方程組2x+5y=?26（1）這兩個方程組的相同解；（2）求（2a+b）2021的值．【分析】（1）根據(jù)題意聯(lián)立2x+5y=?26①3x?5y=36②，求出x，y（2）把x=2y=?6代入ax?by=?4bx+ay=?8中進行計算，求出a，【解答】解：由題意得：2x+5y=?26①3x?5y=36②①+②得：5x＝10，解得：x＝2，把x＝2代入①得：4+5y＝﹣26，解得：y＝﹣6，原方程組的解為：x=2y=?6∴這兩個方程組的解為：x=2y=?6（2）把x=2y=?6代入ax?by=?4bx+ay=?8中可得：化簡得：a+3b=?2①b?3a=?4②①×3得：3a+9b＝﹣6③，②+③得：10b＝﹣10，解得：b＝﹣1，把b＝﹣1代入②得：﹣1﹣3a＝﹣4，解得：a＝1，∴（2a+b）2021＝（2﹣1）2021＝12021＝1，∴（2a+b）2021的值為1．【點評】本題考查了二元一次方程組的解，熟練掌握同解方程組是解題的關(guān)鍵．【變式2-6】（2021春?荔浦市期中）已知方程組2x+y=?2ax+by=?4和方程組3x?y=12求（5a+b）2的值．【分析】先求出方程組2x+y=?23x?y=12的解，再把x=2y=?6代入方程組ax+by=?4bx+ay=?8得出2a?6b=?42b?6a=?8，求出a、b的值，再代入（5a+【解答】解：∵方程組2x+y=?2ax+by=?4和方程組3x?y=12∴解方程組2x+y=?23x?y=12得：x=2把x=2y=?6代入方程組ax+by=?4bx+ay=?8得：解得：a=74，b∴5a+b＝5×7∴（5a+b）2＝102＝100．【點評】本題考查了解二元一次方程組和二元一次方程組的解，能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．【變式2-7】（2022春?德州期中）已知方程組2x+y=1ax?by=7和方程組bx?ay=8（1）求a，b的值．（2）求|a【分析】（1）由同解方程可得2x+y=1x+2y=?4和ax?by=7bx?ay=8同解，先解出x、y，再求解a、（2）將（1）所求代入所求的代數(shù)式即可求解．【解答】解：（1）∵方程組2x+y=1ax?by=7和方程組bx?ay=8∴2x+y=1x+2y=?4和ax?by=72x+y=1①x+2y=?4②①×2得，4x+2y＝2③，③﹣②，得3x＝6，∴x＝2，將x＝2代入①可得y＝﹣3，∴方程組的解為x=2y=?3∴2a+3b=7④2b+3a=8⑤④×2得，4a+6b＝14⑥，⑤×3得，6b+9a＝24⑦，⑦﹣⑥，得5a＝10，∴a＝2，將a＝2代入④，得b＝1，∴方程組的解為a=2b=1（2）將a＝2，b＝1代入|a|2?2|+2（1?2【點評】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解法，理解同解方程的含義，利用加減消元法和代入消元法解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．題型三方程組的解滿足某一附加條件題型三方程組的解滿足某一附加條件【例題3】（2022秋?嶧城區(qū)校級期末）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組2x?5y=3n+7x?3y=4的解相等，則nA．3 B．?13 C．1 【分析】把x＝y(tǒng)代入方程組中進行計算即可解答．【解答】解：由題意得：2x?5y=3n+7①x?3y=4②解②得：x＝y(tǒng)＝﹣2，把x＝y(tǒng)＝﹣2代入①得：2×（﹣2）﹣5×（﹣2）＝3n+7，解得：n=?1∴故選：B．【點評】本題考查了二元一次方程組的解，掌握解二元一次方程組的方法是關(guān)鍵．【變式3-1】（2022?東平縣校級開學(xué)）若方程組4x+3y=1ax+(1?a)y=3的解x和y互為相反數(shù)，則a＝【分析】先求出方程組4x+3y=1x+y=0的解，將其代入ax+（1﹣a）y＝3中，可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可求出a【解答】解：方程組4x+3y=1x+y=0的解為x=1將x=1y=?1代入ax+（1﹣a）y＝3得：a﹣（1﹣a解得：a＝2，∴a的值為2．故答案為：2．【點評】本題考查了二元一次方程組的解，牢記“一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解”是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022秋?大渡口區(qū)校級期末）關(guān)于x，y的二元一次方程組3x+5y=a+22x+3y=a的解適合x+y＝10，則aA．14 B．12 C．6 D．﹣10【分析】利用②×2﹣①，可找出x+y＝a﹣2，結(jié)合x+y＝10，可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可求出a的值．【解答】解：3x+5y=a+2①2x+3y=a②②×2﹣①得：x+y＝a﹣2．又∵x+y＝10，∴a﹣2＝10，解得：a＝12，∴a的值為12．故選：B．【點評】本題考查了二元一次方程組的解及二元一次方程的解，通過解二元一次方程組，找出x+y＝10是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022春?鎮(zhèn)江期末）若方程組x+y=5kx+y=8的解中，x的值比y的值大1，則kA．5 B．2 C．3 D．﹣2【分析】根據(jù)二元一次方程組的解的定義解決此題．【解答】解：由題意知，y+1+y＝5．∴y＝2．∴x＝y(tǒng)+1＝3．∴3k+2＝8．∴k＝2．故選：B．【點評】本題主要考查二元一次方程的解，熟練掌握二元一次方程組的解的定義是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-4】（2022秋?邢臺期末）若關(guān)于x，y的二元一次方程組x+y=?a+1x?y=3a+5的解，也是二元一次方程x+2y＝﹣1的解，則aA．2 B．1 C．12 【分析】解原方程組后，根據(jù)同解方程得到含a的一元一次方程，就能求得此題結(jié)果了．【解答】解：解原方程組得，x=a+3y=?2a?2將其代入方程x+2y＝﹣1得，a+3+2（﹣2a﹣2）＝﹣1，解得a＝0，故選：D．【點評】此題考查了含有字母參數(shù)的方程（組）問題的解決能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確解方程（組）．【變式3-5】（2022春?榮縣校級期中）已知方程組3x+2y=k2x+3y=k+3的解滿足x+y＝5，求k【分析】先計算①+②推出x+y=2k+35，再由x+y＝5得到【解答】解：①+②得：5x+5y＝2k+3，∴x+y=2k+3又∵x+y＝5，∴2k+35解得k＝11．【點評】本題主要考查了根據(jù)二元一次方程組的解的情況求參數(shù)，熟知加減消元法是解題的關(guān)鍵．【變式3-6】（2022春?昌平區(qū)校級期中）已知關(guān)于x，y的方程組5x+3y=2m?1x?y=?m+2的解中x與y的和為3，求m【分析】根據(jù)題意先用含m的代數(shù)式表示出x和y，再根據(jù)x與y的和為3求出m的值，代入x=?m+5【解答】解：5x+3y=2m?1x?y=?m+2解得：x=?m+5∴x+y=3m?3又∵x與y的和為3，∴3m?34解得：m＝5，把m＝5代入x=?m+5解得：x=0y=3∴方程組的解為：解得：x=0y=3∴m的值為5，方程組的解為解得：x=0y=3【點評】本題考查了方程組的解的定義，以及解二元一次方程組，正確求得m的值是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-7】（2022春?廣州期中）已知關(guān)于x，y的方程組3x+5y=2mx+y=m?1的解滿足x+2y（1）求m的值；（2）化簡：|m?1|﹣|m【分析】（1）將方程組的兩個方程相減可得2（x+2y）＝m+1，再將x+2y＝2代入即可求出m的值；（2）將m的值代入后，再根據(jù)絕對值的意義化簡即可．【解答】解：（1）3x+5y=2m①x+y=m?1②①﹣②得，2x+4y＝m+1，即2（x+2y）＝m+1③，將x+2y＝2代入③得，4＝m+1，解得，m＝3；（2）當(dāng)m＝3時，原式＝|3?1|﹣|3=3?1﹣（2=3?1﹣2＝23?【點評】本題考查二元一次方程組，絕對值，掌握二元一次方程組的解法以及絕對值的化簡方法是正確解答的前提．【變式3-8】（2022春?廣州期中）已知實數(shù)a，b滿足a+1+|a+b|＝0，且以關(guān)于x，y的方程組ax+by=m2ax?by=m+1的解為橫、縱坐標(biāo)的點P（x，y）在第二、四象限的角平分線上，求【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值，代入方程組求出x，y的值，根據(jù)點P（x，y）在第二、四象限的角平分線上，得到x+y＝0，把x，y的值代入解方程即可得出答案．【解答】解：∵a+1≥0，|a+b∴a+1＝0，a+b＝0，∴a＝﹣1，b＝1，∴關(guān)于x，y的方程組為：?x+y=m?2x?y=m+1解得：x=?2m+1∵點P（x，y）在第二、四象限的角平分線上，∴x+y＝0，∴?2m+1∴m＝﹣2．【點評】本題考查了二元一次方程組的解，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，點的坐標(biāo)，根據(jù)點P（x，y）在第二、四象限的角平分線上，得到x+y＝0是解題的關(guān)鍵．題型四利用二元一次方程組解決錯解問題題型四利用二元一次方程組解決錯解問題【例題4】（2022春?石河子期末）已知方程組ax+by=35x?cy=1，甲正確地解得x=2y=3，而乙粗心地把c看錯了，得x=3y=6，試求出a，b【分析】把x=2y=3，x=3y=6代入方程ax+by＝3即可得到一個關(guān)于a，b的方程組，即可求得a，b的值，把x=2y=3代入方程5x﹣cy【解答】解：根據(jù)題意得：2a+3b=33a+6b=3解得：a=3b=?1把x=2y=3代入方程5x﹣cy＝1，得到：10﹣3c解得：c＝3．故a＝3，b＝﹣1，c＝3．【點評】本題考查了二元一次方程組的解，方程的解的定義，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2021春?柳南區(qū)校級期中）在解方程組ax+by=2cx?7y=8時，小明正確地解得方程組的解為x=3y=?2，小剛因把x=?2y=2，求a+b+c【分析】方程組的解適合每個方程，故小明的解可以代入兩個方程；而小剛只看錯了c，他的解可以代入ax+by＝2；從而求出a、b、c得到答案．【解答】解：把x=3y=?2代入方程組得3a?2b=2①由②得c＝﹣2，把x=?2y=2代入ax+by＝2得﹣2a+2b＝2③由3a?2b=2①?2a+2b=2③得a=4∴a+b+c＝4+5+（﹣2）＝7．【點評】本題考查了方程組解的概念：方程組的解適合每個方程，所以將解代入相應(yīng)的方程就可以得出答案．【變式4-2】（2022春?陸河縣期末）已知方程組2x+ay=10①bx?3y=?3②，由于甲看錯了方程①中a得到方程組的解為x=3y=?1，乙看錯了方程②中的b得到方程組的解為x=?1y=2．若按正確的a【分析】把甲的結(jié)果代入②，乙的結(jié)果代入①組成方程組，求出解即可．【解答】解：根據(jù)題意，可知x=3y=?1滿足方程②，x=?1y=2滿足方程則3b+3=?3?2+2a=10解得：a=6b=?2把a=6b=?2，代入原方程組為2x+6y=10解得：x=?2y=∴原方程組的解為：x=?2y=【點評】本題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．【變式4-3】（2021春?武城縣期末）在解方程組ax+5y=104x?by=?4時，由于粗心，甲看錯了方程組中的a，而得解為x=?3y=?1，乙看錯了方程組中的b，而得解為【分析】把甲的結(jié)果代入第二個方程求出b的值，把乙的結(jié)果代入第一個方程求出a的值，確定出方程組，即可求出解．【解答】解：把x=?3y=?1代入4x﹣by＝﹣4，得：﹣12+b＝﹣4，即b把x=5y=4代入ax+5y＝10，得：5a+20＝10，即a方程組為?2x+5y=10①x?2y=?1②①+②×2得：y＝8，把y＝8代入②得：x＝15，則方程組的解為x=15y=8【點評】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．【變式4-4】（2022秋?霍邱縣月考）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組2ax+y=5①x?by=2②（1）若a＝1，請寫出方程①的所有正整數(shù)解；（2）由于甲看錯了方程①中的a得到方程組的解為x=?2y=1，乙看錯了方程②中的b得到方程組的解為x=1y=3，求a、【分析】（1）將a＝1代入方程，分別令x＝1，x＝2，求出對應(yīng)的y的值即可；（2）將x=?2y=1代入②式可求得a的值；將x=1y=3代入①式可求得【解答】解：（1）將a＝1代入方程可得：2x+y＝5，當(dāng)x＝1時，y＝3；當(dāng)x＝2時，y＝1；當(dāng)x＞2時，y＜1，沒有符合條件的解；∴該方程的正整數(shù)解為：x=1y=3，x=2（2）將x=?2y=1代入②得：﹣2﹣b解得：b＝﹣4，將x=1y=3代入①得：2a解得：a＝1，∴原方程組為2x+y=5①x+4y=2②③×4﹣④得：7x＝18，解得：x=187④×2﹣③得：7解得：y=?1∴原方程組的解為：x=18【點評】本題考查了二元一次方程的整數(shù)解，解二元一次方程組；熟練掌握方程組的解與方程的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．【變式4-5】（2022春?上蔡縣期中）甲、乙兩人共同解方程組ax+5y=15，①4x?by=?2②，由于甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為x=?3y=?1乙看錯了方程②中的b，得到方程組的解為x=5y=4.，試計算a2015+（?1【分析】把x=?3y=?1代入4x﹣by＝﹣2求出b，把x=5y=4代入ax+5y＝15求出【解答】解：根據(jù)題意把x=?3y=?1代入4x﹣by＝﹣2得：﹣12+b解得：b＝10，把x=5y=4代入ax+5y＝15得：5a解得：a＝﹣1，所以a2015+（?110b）2016＝（﹣1）2015+（?1【點評】本題考查了二元一次方程組的解，解一元一次方程，求代數(shù)式的值的應(yīng)用，能求出a、b的值是解此題的關(guān)鍵．【變式4-6】（2021春?安居區(qū)期中）在解方程組ax+y=10x+by=7時，由于粗心，甲看錯了方程組中的a，而得到方程組的解為x=1y=6，乙看錯了方程組中的b（1）甲把a看成了什么？乙把b看成了什么？（2）求出原方程組的正確解．【分析】（1）將甲的解代入方程組中的第二個方程，求出b的值，將乙的解代入第一個方程求出a的值；（2）確定方程組，解方程組即可．【解答】解：（1）將x＝1，y＝6代入第一個方程得：a+6＝10，解得：a＝4；代入第二個方程得：1+6b＝7，解得：b＝1，將x＝﹣1，y＝12代入第一個方程得：﹣a+12＝10，解得：a＝2；代入第二個方程得：12b﹣1＝7，解得：b=2所以，甲把a看成了4，乙把b看成了23（2）方程組為：2x+y=10①x+y=7②①﹣②得：x＝3，將x＝3代入②得：y＝4，則方程組的解為：x=3y=4【點評】此題考查了二元一次方程組的解，解決本題的關(guān)鍵是明確方程組的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．【變式4-7】（2021春?九龍坡區(qū)校級期中）已知：甲、乙兩人同解方程組ax+5y=15(1)4x=by?2(2)時，甲看錯了方程（1）中的a，解得x=?2y=1，乙看錯了（2）中的b，解得x=5y=?4，試求a【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于a、b的二元一次方程組，求出a、b的值，根據(jù)平方根的概念求出平方根即可．【解答】解：根據(jù)題意得，?8=b?25a?20=15解得，a=7b=?6a+b＝1，∴a+b的平方根為：±1．【點評】本題考查的是二元一次方程組的解的定義，能使方程組中每個方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值即是方程組的解，解題的關(guān)鍵是要知道兩個方程組的解分別是哪一個．題型五（拓展）二元一次方程（組）正整數(shù)解問題題型五（拓展）二元一次方程（組）正整數(shù)解問題【例題5】若關(guān)于x，y的二元一次方程組2x+ay=122x?y=0有整數(shù)解，則滿足要求的所有整數(shù)a為（）A．0 B．4 C．8 D．12【分析】兩方程相減消去x表示出y，根據(jù)方程組有整數(shù)解確定出整數(shù)a的個數(shù)即可．【解答】解：消去x得：（a+1）y＝12，當(dāng)a+1≠0，即a≠﹣1時，y=12可得x=6由方程組有整數(shù)解，得到a+1＝±1，±2，±3，±6解得：a＝0，﹣2，1，﹣3，2，﹣4，5，﹣7，故選：C．【點評】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．【變式5-1】（2022秋?東寶區(qū)期末）已知關(guān)于x，y的方程組x+2y?6=0x?2y+mx+5=0，若方程組的解中x恰為整數(shù)，m也為整數(shù)，則mA．﹣1 B．1 C．﹣1或3 D．﹣1或﹣3【分析】利用加減消元法解關(guān)于x、y的方程組得到x=12+m，利用有理數(shù)的整除性得到2+m＝±1，從而得到滿足條件的【解答】解：x+2y?6=0①①+②得（2+m）x＝1，解得x=1∵x為整數(shù)，m為整數(shù)，∴2+m＝±1，∴m的值為﹣1或﹣3．故選：D．【點評】本題考查了二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．也考查了解二元一次方程組．【變式5-2】（2021秋?南岸區(qū)校級期中）m為正整數(shù)，已知二元一次方程組mx?2y=103x?2y=0有整數(shù)解，則m2A．4 B．1或4或16或25 C．64 D．4或16或64【分析】先求出方程組的解，再根據(jù)題意確定m的具體值，即可求解．【解答】解：mx?2y=10①3x?2y=0②①﹣②得，（m﹣3）x＝10，解得x=10將x=10m?3代入②得，y∵方程組有整數(shù)解，m是正整數(shù)，∴m＝2或4或8，∴m2＝4或16或64，故選：D．【點評】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2021春?沙坪壩區(qū)校級月考）已知m為整數(shù)，二元一次方程組4x?3y=66x+my=26有整數(shù)解，則mA．4或﹣4或﹣5 B．4或﹣4或﹣13 C．4或﹣5或﹣13 D．4或﹣4或﹣5或﹣13【分析】把m看作已知數(shù)表示出方程組的解，根據(jù)m為整數(shù)且方程組有整數(shù)解確定出m的值即可．【解答】解：方程組4x?3y=6①6x+my=26②②×2﹣①×3得：（9+2m）y＝34，解得：y=34①×m+②×3得：（4m+18）x＝6m+78，解得：x=6m+78∵m為整數(shù)，二元一次方程組4x?3y=66x+my=26有整數(shù)解，y=∴9+2m＝±34或±17或±2或±1，解得：m＝﹣13或±4或﹣5，當(dāng)m＝﹣13時，x＝0，此時符合題意；當(dāng)m＝4時，x＝3，此時符合題意；當(dāng)m＝﹣4時，x＝27，此時符合題意；當(dāng)m＝﹣5時，x＝﹣24，此時符合題意；所以m的值為：4或﹣4或﹣5或﹣13．故選：D．【點評】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．【變式5-4】（2020春?雨花區(qū)校級月考）m為正整數(shù)，已知二元一次方程組mx+2y=103x?2y=0有整數(shù)解，則m2A．3或48 B．3 C．4或49 D．48【分析】把m看作已知數(shù)表示出方程組的解，由方程組的解為整數(shù)解確定出m的值，代入原式計算即可求出值．【解答】解：mx+2y=10①3x?2y=0②①+②得：（m+3）x＝10，解得：x=10把x=10m+3代入②得：y由方程組為整數(shù)解，得到m+3＝±1，m+3＝±5，解得：m＝﹣2，﹣4，2，﹣8，由m為正整數(shù)，得到m＝2，則原式＝4﹣1＝3