蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三專題特訓(xùn)專題9.3平行四邊形的判定【九大題型】(原卷版+解析)

專題9.3平行四邊形的判定【九大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷能否構(gòu)成平行四邊形】 1【題型2添加條件構(gòu)成平行四邊形】 2【題型3數(shù)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)】 3【題型4求與已知三點(diǎn)組成平行四邊形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】 4【題型5證明四邊形是平行四邊形】 5【題型6全等三角形拼平行四邊形問題】 6【題型7利用平行四邊形的判定和性質(zhì)求解】 8【題型8利用平行四邊形的判定和性質(zhì)證明】 9【題型9平行四邊形的應(yīng)用】 11【知識(shí)點(diǎn)1平行四邊形的判定】(1)定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形(2)定理1：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形(3)定理2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形(4)定理3：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形(5)定理4：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形【題型1判斷能否構(gòu)成平行四邊形】【例1】（2021秋·湖南永州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，為了體驗(yàn)四邊形的不穩(wěn)定性，將四根木條用釘子釘成一個(gè)矩形框架ABCD，然后向右拉動(dòng)框架，給出如下的判斷：①四邊形ABCD為平行四邊形；②對(duì)角線BD的長度不變；③四邊形ABCD的面積不變；④四邊形ABCD的周長不變，其中所有正確的結(jié)論是（

）A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④【變式1-1】（2022春·北京西城·八年級(jí)校考期中）下列∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值中，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（

）A．1∶2∶3∶4 B．1∶4∶2∶3 C．1∶2∶2∶1 D．3∶2∶3∶2【變式1-2】（2021春·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)新鄉(xiāng)市第十中學(xué)?？计谥校┰谒倪呅蜛BCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O．給出下列四組條件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【變式1-3】（2022春·浙江舟山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知?ABCD的一組鄰邊AB，BC，用尺規(guī)作圖作?ABCD，下列4個(gè)作圖中，作法與理論依據(jù)都正確的有幾個(gè)（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【題型2添加條件構(gòu)成平行四邊形】【例2】（2022春·山東棗莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，如果添加一個(gè)條件使四邊形BEDF是平行四邊形，則添加的條件不能是（）A．DE=BF B．AE=FC C．AF=CE D．∠1=∠2【變式2-1】（2022春·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AB，AC上的點(diǎn)，連接FD并延長到點(diǎn)G，已知FG∥AB，則添加下列條件，可以使線段AG，DE互相平分的是（A．AD=EG B．DF=DG C．DE∥AC 【變式2-2】（2022春·黑龍江雙鴨山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若O是四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)，且OB＝OD，AC＝24cm，則當(dāng)OA＝_____cm時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形．【變式2-3】（2022春·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)請(qǐng)你只添加一個(gè)條件（不另加輔助線），使得四邊形DEBF為平行四邊形，你添加的條件是______．(2)添加了條件后，請(qǐng)證明四邊形DEBF為平行四邊形．【題型3數(shù)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)】【例3】（2021春·內(nèi)蒙古包頭·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥BC?，???GH∥AB?，????EF與GH相交于點(diǎn)O，圖中共有個(gè)平行四邊形(A．4個(gè) B．5個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【變式3-1】（2021春·重慶·八年級(jí)期末）下列圖形都是由同樣大小的平行四邊形按一定的規(guī)律組成，其中第①個(gè)圖形中一共有10個(gè)平行四邊形，第②個(gè)圖形中一共有14個(gè)平行四邊形，第③個(gè)圖形中一共有19個(gè)平行四邊形，……按此規(guī)律排列下去，則第⑥個(gè)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)為（）A．39 B．40 C．41 D．42【變式3-2】（2021春·浙江杭州·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A，B，C在同一直線上，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G在同一直線上，且AC//DG,AD//A．4 B．5 C．3 D．6【變式3-3】（2021春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，由25個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的5×5的正方形點(diǎn)陣中，橫、縱方向相鄰的兩點(diǎn)之間的距離都是1個(gè)單位．定義：由點(diǎn)陣中的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形叫做陣點(diǎn)平行四邊形．圖中以A，B為頂點(diǎn)，面積為4的陣點(diǎn)平行四邊形的個(gè)數(shù)為（

）A．6個(gè) B．7個(gè) C．9個(gè) D．11個(gè)【題型4求與已知三點(diǎn)組成平行四邊形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】【例4】（2020春·四川廣元·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(3，3)，(8，3)，(4，6)，若以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則D點(diǎn)的坐標(biāo)不可能是（

）A．(?1，6) B．(9，6) C．(7，0) D．(0，?6)【變式4-1】（2019秋·江蘇南通·八年級(jí)校考期末）以不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作平行四邊形最多能作()A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式4-2】（2022春·湖南邵陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以A（3，5），B（1，1），C（4，1）三點(diǎn)為頂點(diǎn)畫平行四邊形．(1)可以畫多少個(gè)平行四邊形？(2)寫出每個(gè)平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．【變式4-3】（2020春·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1，1)，B(3，2)．（1）如圖1，在y軸上是否存在－點(diǎn)P，使PA＋PB最小，若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（2）如圖2，點(diǎn)C坐標(biāo)為(4，1)，點(diǎn)D由原點(diǎn)O沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形；（3）點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在y軸上，且以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P以及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【題型5證明四邊形是平行四邊形】【例5】（2023秋·山東泰安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，BC＝AC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，連接EF并延長，交△ABC外角∠ACD的平分線于點(diǎn)G．求證：四邊形【變式5-1】（2022春·湖北恩施·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，BE是△ABC的中線，延長BE到D，使ED＝BE，連接AD，CD，補(bǔ)全圖形．判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論．【變式5-2】（2022春·寧夏中衛(wèi)·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合)，△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點(diǎn)E作BC的平行線，分別交射線AB，AC于點(diǎn)F，G，連接BE．(1)求證：△AEB≌△ADC．(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)．探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形？并寫出證明過程．【變式5-3】（2022春·江西九江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC邊上的點(diǎn)，且DE=CF，連接BE和AF的交點(diǎn)為M，CE和DF的交點(diǎn)為N，連接(1)求證：四邊形ABFE為平行四邊形；(2)若AD=6cm，求MN【題型6全等三角形拼平行四邊形問題】【例6】（2022春·福建廈門·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，有兩種形狀不同的直角三角形紙片各兩塊，其中一種紙片的兩條直角邊長分別為1和2，另一種紙片的兩條直角邊長都為2．圖1、圖2、圖3是三張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長均為1．(1)請(qǐng)用三種方法將圖中所給四塊直角三角形紙片拼成平行四邊形（非矩形），每種方法要把圖中所給的四塊直角三角形紙片全部用上，互不重疊且不留空隙，三種方法所拼得的平行四邊形（非矩形）的周長互不相等，并把你所拼得的圖形按實(shí)際大小畫在圖1、圖2、圖3的方格紙上．要求：①所畫圖形各頂點(diǎn)必須與方格紙中的小正方形頂點(diǎn)重合；②畫圖時(shí)，要保留四塊直角三角形紙片的拼接痕跡．(2)請(qǐng)證明你在圖1所拼得的四邊形是平行四邊形（非矩形）．【變式6-1】（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，有兩塊全等的含30°角的直角三角板，將它們拼成形狀不同的平行四邊形，則最多可以拼成（

）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【變式6-2】（2021·河南周口·三模）把三角形形狀的紙片放在方框紙上，使其每一個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，如圖1所示（方格邊長均為∠）．對(duì)這個(gè)三角形進(jìn)剪切、拼接后，可以得到一個(gè)平行四邊形，如圖2中陰影部分所示．剪切、拼接的方案如下：如圖2，取BC的中點(diǎn)M，連接AM﹔剪下△AMC后，拼接到△BEA位置，可得到平行四邊形AEBM．我們約定：剪切、拼接時(shí)，紙片的每一部分都要被用到，而且不得用所給紙片以外的紙片．(1)請(qǐng)你采用不同于圖2的剪切、拼接方案，也得到一個(gè)平行四邊形，在圖3中用陰影表示出你得到的平行四邊形，并補(bǔ)充已知和求證，寫出證明過程．(2)對(duì)這個(gè)三角形進(jìn)行剪切、拼接后，也可以得到一梯形．試在圖4中，用陰影表示出你得到的梯形（不必說明剪切、拼接方案，但必須保留作圖痕跡）．【變式6-3】（2020秋·河北石家莊·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，ΔABC的頂點(diǎn)在8×8的網(wǎng)格中的格點(diǎn)上．(1)畫出ΔABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的ΔA(2)在圖中確定格點(diǎn)D，并畫出一個(gè)以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形，使其為中心對(duì)稱圖形．【題型7利用平行四邊形的判定和性質(zhì)求解】【例7】（2022秋·山東淄博·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在?ABCD中，過對(duì)角線BD上一點(diǎn)P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=3BG，S?BEPG=1.5，則【變式7-1】（2021秋·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AB，AC為腰向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，連接DE，CA的延長線交DE于點(diǎn)F，則與線段AF相等的是（

A．12BC B．12AB C．12AC D．【變式7-2】（2022春·廣東深圳·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，F(xiàn)A⊥AC，垂足為A，AF＝DF＝5，AD＝6，則AC的長為__．【變式7-3】（2022秋·江蘇·八年級(jí)期末）【情境】某校數(shù)學(xué)興趣小組嘗試自制數(shù)學(xué)學(xué)具進(jìn)行自主合作探究．圖①是一塊邊長為12cm的等邊三角形學(xué)具，P是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，Q是邊CB延長線上一動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由點(diǎn)B向CB延長線方向運(yùn)動(dòng)，連接PQ，交AB于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t((1)【問題】填空：CP+CQ=cm；(2)當(dāng)∠DQB=30°時(shí)，求t的值；(3)【探究】如圖②，過點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，在點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)過程中，線段DE的長度是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出DE的長度；若變化，請(qǐng)說明理由．【題型8利用平行四邊形的判定和性質(zhì)證明】【例8】（2022春·吉林長春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，以?ABCD的邊AB、CD為邊，作等邊△ABE和等邊△CDF，連接DE，BF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．【變式8-1】（2022春·四川成都·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BD=2AB，點(diǎn)E為線段OC的中點(diǎn)．(1)求證：∠ABO=2∠ODE；(2)若F，G分別是OB，AD的中點(diǎn)．①判斷△EFG的形狀并證明你的結(jié)論；②當(dāng)EF⊥EG，且AB=25時(shí)，求平行四邊形ABCD【變式8-2】（2022春·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AM上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）．過點(diǎn)D作AB的平行線，過點(diǎn)C作AM的平行線，兩線交于點(diǎn)E，連結(jié)AE．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與M重合時(shí)，求證：四邊形ABDE是平行四邊形；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不與M重合時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)圖3，延長BD交AC于點(diǎn)H，若BH⊥AC，且BH=AM，求∠CAM的度數(shù)．【變式8-3】（2022春·江西吉安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，將△ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE．設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為α度0°≤α<120°，AD交BC于點(diǎn)F，DE分別交BC、AC于點(diǎn)G、H．試探究以下問題：(1)當(dāng)α=_______時(shí)，△ABF為直角三角形；(2)當(dāng)△ADH且為等腰三角形時(shí)，求BF的值；(3)連接BD，是否存在角α，使得四邊形ABDH為平行四邊形?如果存在，直接寫出α的大?。喝绻淮嬖?，請(qǐng)說明理由．【題型9平行四邊形的應(yīng)用】【例9】（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，一塊草地的中間有一條彎路，AC∥BD，CE∥DF．請(qǐng)給出一種方案，把道路改直，且草地的種植面積保持不變．【變式9-1】（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）村莊A和村莊B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸彼此平行，要架設(shè)一座與河岸垂直的橋，橋址應(yīng)如何選擇，才使A與B之間的距離最短？【變式9-2】（2021春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，田村有一口四邊形的池塘，在它的四角A、B、C、D處均有一棵大桃樹、田村準(zhǔn)備開挖養(yǎng)魚，想使池塘的面積擴(kuò)大一倍，并要求擴(kuò)建后的池塘成平行四邊形形狀，請(qǐng)問田村能否實(shí)現(xiàn)這一設(shè)想?若能，畫出圖形，說明理由．【變式9-3】（2021·江蘇無錫·九年級(jí)專題練習(xí)）某市要在一塊平行四邊形ABCD的空地上建造一個(gè)四邊形花園，要求花園所占面積是?ABCD面積的一半，并且把四邊形花園的四個(gè)頂點(diǎn)作為出入口，要求分別在?ABCD中的四條邊上，請(qǐng)你設(shè)計(jì)兩種方案：方案（一）：如圖①所示，兩個(gè)出入口E,F以確定，請(qǐng)?jiān)趫D①上畫出符合要求的四邊形花園，并簡要說明畫法；方案（二）：如圖②所示，一個(gè)出入口M已確定，請(qǐng)?jiān)趫D②上畫出符合要求的梯形花園，并簡要說明畫法專題9.3平行四邊形的判定【九大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷能否構(gòu)成平行四邊形】 1【題型2添加條件構(gòu)成平行四邊形】 4【題型3數(shù)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)】 7【題型4求與已知三點(diǎn)組成平行四邊形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】 10【題型5證明四邊形是平行四邊形】 14【題型6全等三角形拼平行四邊形問題】 18【題型7利用平行四邊形的判定和性質(zhì)求解】 22【題型8利用平行四邊形的判定和性質(zhì)證明】 28【題型9平行四邊形的應(yīng)用】 36【知識(shí)點(diǎn)1平行四邊形的判定】(1)定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形(2)定理1：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形(3)定理2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形(4)定理3：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形(5)定理4：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形【題型1判斷能否構(gòu)成平行四邊形】【例1】（2021秋·湖南永州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，為了體驗(yàn)四邊形的不穩(wěn)定性，將四根木條用釘子釘成一個(gè)矩形框架ABCD，然后向右拉動(dòng)框架，給出如下的判斷：①四邊形ABCD為平行四邊形；②對(duì)角線BD的長度不變；③四邊形ABCD的面積不變；④四邊形ABCD的周長不變，其中所有正確的結(jié)論是（

）A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④【答案】B【分析】①正確，根據(jù)平行四邊形的判定方法即可判斷；②錯(cuò)誤，觀察圖象即可判斷；③錯(cuò)誤，面積是變小了；④正確，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)即可判斷．【詳解】解：∵兩組對(duì)邊的長度分別相等，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故①正確；∵向右扭動(dòng)框架，∴BD的長度變大，故②錯(cuò)誤；∵平行四邊形ABCD的底不變，高變小了，∴平行四邊形ABCD的面積變小，故③錯(cuò)誤；∵平行四邊形ABCD的四條邊不變，∴四邊形ABCD的周長不變，故④正確．故所有正確的結(jié)論是①④．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的周長、面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用這些知識(shí)解決問題．【變式1-1】（2022春·北京西城·八年級(jí)?？计谥校┫铝小螦∶∠B∶∠C∶∠D的值中，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（

）A．1∶2∶3∶4 B．1∶4∶2∶3 C．1∶2∶2∶1 D．3∶2∶3∶2【答案】D【分析】兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，所以∠A和∠C是對(duì)角，∠B和∠D是對(duì)角，對(duì)角的份數(shù)應(yīng)相等，據(jù)此即可求解．【詳解】解：根據(jù)平行四邊形的判定：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，所以只有D符合條件．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，在應(yīng)用判定定理判定平行四邊形時(shí)，應(yīng)仔細(xì)觀察題目所給的條件，仔細(xì)選擇適合于題目的判定方法進(jìn)行解答，避免混用判定方法．【變式1-2】（2021春·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)新鄉(xiāng)市第十中學(xué)?？计谥校┰谒倪呅蜛BCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O．給出下列四組條件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形的5個(gè)判斷定理：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，即可作出判斷．【詳解】解：①根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可知①能判斷這個(gè)四邊形是平行四邊形；②根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可知②能判斷這個(gè)四邊形是平行四邊形；③根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可知③能判斷這個(gè)四邊形是平行四邊形；④根據(jù)平行四邊形的判定定理：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可知④不能判斷這個(gè)四邊形是平行四邊形（例可能是等腰梯形）；故給出下列四組條件中，①②③能判斷這個(gè)四邊形是平行四邊形．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定定理，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確無誤的掌握平行四邊形的判定定理，難度一般．【變式1-3】（2022春·浙江舟山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知?ABCD的一組鄰邊AB，BC，用尺規(guī)作圖作?ABCD，下列4個(gè)作圖中，作法與理論依據(jù)都正確的有幾個(gè)（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)各個(gè)圖形的做法結(jié)合平行四邊形的判定方法進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：圖①，由作圖可知AB=CD，圖②，由作圖可知，作AC的垂直平分線，得到AC的中點(diǎn)O，再連接BO并延長到點(diǎn)D，使OD=BO，根據(jù)“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”可得，圖2作法與理論依據(jù)正確；圖③，作同位角相等，得出AB∥CD，再截取圖④，作同位角相等，得出AB∥CD，再截取綜上所述，作法與理論依據(jù)正確的是圖①、圖②、圖③，共3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖，平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法及尺規(guī)作圖的意義是解題的關(guān)鍵．【題型2添加條件構(gòu)成平行四邊形】【例2】（2022春·山東棗莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，如果添加一個(gè)條件使四邊形BEDF是平行四邊形，則添加的條件不能是（）A．DE=BF B．AE=FC C．AF=CE D．∠1=∠2【答案】A【分析】根據(jù)各選項(xiàng)給出的條件，逐一驗(yàn)證即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE＝BF，不能得出△ADE≌△CBF，∴不能得出四邊形DEBF是平行四邊形，故A錯(cuò)誤；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF，∵AE＝CF，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴∠AED＝∠CFB，DE＝BF，∴∠DEF＝∠BFE；∴DE∥BF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，故B正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF；∵AF＝CE，∴AE＝CF，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴∠AED＝∠CFB，DE＝BF，∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，故C正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF，∵∠ADE＝∠CBF，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝CF，∠AED＝∠BFC，∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥CF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，故D正確；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對(duì)應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意它們的區(qū)別與聯(lián)系．【變式2-1】（2022春·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AB，AC上的點(diǎn)，連接FD并延長到點(diǎn)G，已知FG∥AB，則添加下列條件，可以使線段AG，DE互相平分的是（A．AD=EG B．DF=DG C．DE∥AC 【答案】D【分析】通過分析線段AG，DE互相平分，得四邊形ADGE是平行四邊形，結(jié)合選項(xiàng)，利用平行四邊形的判定定理即可求解．【詳解】若線段AG，DE互相平分，則四邊形ADGE是平行四邊形，∴添加DG=AE，又∵FG∥∴四邊形ADGE是平行四邊形，∴線段AG，DE互相平分，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022春·黑龍江雙鴨山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若O是四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)，且OB＝OD，AC＝24cm，則當(dāng)OA＝_____cm時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形．【答案】12【分析】由OA=12cm求出OC，得出OA=OC，再由平行四邊形的判定定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)OA=12cm時(shí)，OC=24-12=12（cm），∴OC=OA，∵OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，熟記對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022春·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)請(qǐng)你只添加一個(gè)條件（不另加輔助線），使得四邊形DEBF為平行四邊形，你添加的條件是______．(2)添加了條件后，請(qǐng)證明四邊形DEBF為平行四邊形．【答案】(1)DE=BF（答案不唯一）(2)見解析【分析】（1）由平行四邊形的判定可得出答案；（2）根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得出結(jié)論．（1）解：由題意得DE∥BF，由平行四邊形的判定可添加的條件是DE=BF（答案不唯一），故答案為：DE=BF（答案不唯一）；（2）證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴DE∥BF，∵DE=BF，∴四邊形DEBF為平行四邊形．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【題型3數(shù)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)】【例3】（2021春·內(nèi)蒙古包頭·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥BC?，???GH∥AB?，????EF與GH相交于點(diǎn)A．4個(gè) B．5個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥∵EF∥BC??，????EF∥AD??，????∴AE∥OG∥DF，BE∥∴四邊形BCFE，四邊形ADFE，四邊形ABHG，四邊形CDGH，四邊形AEOG，四邊形BEOH，四邊形DFOG，四邊形CFOH均為平行四邊形，∴圖中共有個(gè)平行四邊形9個(gè)．故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2021春·重慶·八年級(jí)期末）下列圖形都是由同樣大小的平行四邊形按一定的規(guī)律組成，其中第①個(gè)圖形中一共有10個(gè)平行四邊形，第②個(gè)圖形中一共有14個(gè)平行四邊形，第③個(gè)圖形中一共有19個(gè)平行四邊形，……按此規(guī)律排列下去，則第⑥個(gè)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)為（）A．39 B．40 C．41 D．42【答案】B【分析】觀察圖形的變化可得10+4=14，14+5=19，19+6=25，25+7=32，32+8=40，即可得結(jié)果．【詳解】解：觀察圖形的變化可知：第①個(gè)圖形中一共有10個(gè)平行四邊形，第②個(gè)圖形中一共有14個(gè)平行四邊形，第③個(gè)圖形中一共有19個(gè)平行四邊形，第④個(gè)圖形中一共有25個(gè)平行四邊形，第⑤個(gè)圖形中一共有32個(gè)平行四邊形，則第⑥個(gè)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)為40．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的認(rèn)識(shí)，規(guī)律型：圖形的變化類，本題是一道根據(jù)圖形進(jìn)行數(shù)字猜想的問題，關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律，然后利用規(guī)律解決一般問題．【變式3-2】（2021春·浙江杭州·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A，B，C在同一直線上，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G在同一直線上，且AC//DG,AD//A．4 B．5 C．3 D．6【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行的判定求解可得．【詳解】解：如圖，圖中的平行四邊形有：?ABED，?ABGF，?BCFE，?ACFD，?PBQF，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．【變式3-3】（2021春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，由25個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的5×5的正方形點(diǎn)陣中，橫、縱方向相鄰的兩點(diǎn)之間的距離都是1個(gè)單位．定義：由點(diǎn)陣中的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形叫做陣點(diǎn)平行四邊形．圖中以A，B為頂點(diǎn)，面積為4的陣點(diǎn)平行四邊形的個(gè)數(shù)為（

）A．6個(gè) B．7個(gè) C．9個(gè) D．11個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的判定，兩組對(duì)邊必須平行，可以得出上下各兩個(gè)平行四邊形符合要求，以及特殊四邊形矩形與正方形即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：一共11個(gè)面積為4的陣點(diǎn)平行四邊形．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，根據(jù)平行四邊形的判定得出結(jié)論是解題的關(guān)鍵．【題型4求與已知三點(diǎn)組成平行四邊形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】【例4】（2020春·四川廣元·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(3，3)，(8，3)，(4，6)，若以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則D點(diǎn)的坐標(biāo)不可能是（

）A．(?1，6) B．(9，6) C．(7，0) D．(0，?6)【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，分別從以BC為對(duì)角線、以AC為對(duì)角線、以AB為對(duì)角線去分析求解即可求得答案．【詳解】解：當(dāng)以BC為對(duì)角線時(shí)：CD=AB=5，此時(shí)D（9，6）；當(dāng)以AC為對(duì)角線時(shí)，CD=AB=5，此時(shí)D（-1，6）；當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí)，AD=BC═4，此時(shí)點(diǎn)D（7，0）．∴D點(diǎn)的坐標(biāo)不可能是：（0，-6）．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊平行且相等．解此題的關(guān)鍵是分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用．【變式4-1】（2019秋·江蘇南通·八年級(jí)校考期末）以不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作平行四邊形最多能作()A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】連接不在同一直線上的三點(diǎn)，得到一個(gè)三角形，分別以三角形的三邊為對(duì)角線，用作圖的方法，可得出選項(xiàng)．【詳解】如圖，以點(diǎn)A，B，C能做三個(gè)平行四邊形：分別是?ABCD，?ABFC，?AEBC.故選B.【變式4-2】（2022春·湖南邵陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以A（3，5），B（1，1），C（4，1）三點(diǎn)為頂點(diǎn)畫平行四邊形．(1)可以畫多少個(gè)平行四邊形？(2)寫出每個(gè)平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)可以畫3個(gè)平行四邊形；(2)（0，5）或（6，5）或（2，?3）．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，將平行四邊形畫出來即可；（2）根據(jù)所作平行四邊形可直接得出點(diǎn)D的坐標(biāo)．（1）解：可以畫3個(gè)平行四邊形，如圖所示：（2）由圖可得：平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，5）或（6，5）或（2，?3）．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2020春·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1，1)，B(3，2)．（1）如圖1，在y軸上是否存在－點(diǎn)P，使PA＋PB最小，若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（2）如圖2，點(diǎn)C坐標(biāo)為(4，1)，點(diǎn)D由原點(diǎn)O沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形；（3）點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在y軸上，且以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P以及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)存在點(diǎn)P的坐標(biāo)，且P(0,54)；(2)D運(yùn)動(dòng)2秒后四邊形ABCD【分析】(1)過A點(diǎn)作關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M，連接BM后與y軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，求出BM解析式，再令y=0進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)；(2)只能是AC為一條對(duì)角線，BD為另一對(duì)角線，設(shè)D(m,0)，利用BD的中點(diǎn)與AC的中點(diǎn)為同一個(gè)點(diǎn)即可求解；(3)分類討論：設(shè)P(m,0)，Q(0,n)，再分成①AB為對(duì)角線；②AP為對(duì)角線；③AQ為對(duì)角線共三種情況分別求解即可．【詳解】解：(1)過A點(diǎn)作關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M(-1，1)，連接BM后與y軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，如下圖所示：設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b，代入M(-1,1)，B(3,2)，{1=?k+b2=3k+b，解之得∴直線BM解析式為y=1令x=0，解得y=54∴存在點(diǎn)P的坐標(biāo)，且P(0,54故答案為：存在點(diǎn)P的坐標(biāo)，使得PA+PB最小，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,54(2)當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形，只能是AC為一條對(duì)角線，另一條對(duì)角線為BD，設(shè)D(m,0)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1+42,線段BD的中點(diǎn)坐標(biāo)為(m+32,又線段AC與BD中點(diǎn)為同一個(gè)點(diǎn)，∴m+32=5故四邊形ABCD是平行四邊形，D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)，又速度為1個(gè)單位每秒，∴經(jīng)過2秒后，四邊形ABCD是平行四邊形，故答案為：2秒；(3)分類討論：設(shè)P(m,0)，Q(0,n)，A(1,1)，B(3,2)，情況①：AB為對(duì)角線時(shí)，另一對(duì)角線為PQ，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,32)又線段AB和線段PQ的中點(diǎn)為同一個(gè)點(diǎn)，∴{2=m2情況②：AQ為對(duì)角線時(shí)，另一對(duì)角線為BP，線段AQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(12,又線段AQ和線段BP的中點(diǎn)為同一個(gè)點(diǎn)，∴{12=情況③：AP為對(duì)角線時(shí)，另一對(duì)角線為BQ，線段AP的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1+m2,又線段AQ和線段BP的中點(diǎn)為同一個(gè)點(diǎn)，∴{1+m綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)或(-2,0)或(2,0)，對(duì)應(yīng)的Q點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)或(0,1)或(0,-1)．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及判定、平行四邊形的存在性問題等，熟練掌握判定法則及平行四邊形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【題型5證明四邊形是平行四邊形】【例5】（2023秋·山東泰安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，BC＝AC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，連接EF并延長，交△ABC外角∠ACD的平分線于點(diǎn)G．求證：四邊形【答案】見解析【分析】先由BC=AC可以知道角相等，再利用角平分線的性質(zhì)進(jìn)行等角轉(zhuǎn)化得到平行，然后根據(jù)中點(diǎn)得到邊相等，進(jìn)而得到全等三角形，最后根據(jù)△AEF≌△CFG得到相等，最后得出結(jié)論．【詳解】解：∵BC=AC∴∠BAC=∠ABC∵CG是外角∠ACD的角平分線∴∠ACG=∠DCG=∵∠ACD=∠BAC+∠ABC=2∠BAC∴∠ACG=∠BAC∴AE∵點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)∴AF=FC∴在△AEF和△CGF中∴∠ACG=∠BAC∴△AEF≌△CFG∴AE=CG∴四邊形AECG是平行四邊形【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，利用全等三角形的判定和性質(zhì)得到邊相等是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022春·湖北恩施·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，BE是△ABC的中線，延長BE到D，使ED＝BE，連接AD，CD，補(bǔ)全圖形．判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論．【答案】四邊形ABCD是平行四邊形，理由見解析【分析】按題意畫出圖形，證明AC與BD互相平分即可得出結(jié)論．【詳解】解：補(bǔ)全圖形如下，證明：∵BE是△ABC的中線，∴E是AC的中點(diǎn)，又∵DE＝BE，即E是BD的中點(diǎn)，∴AC與BD互相平分，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線，平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022春·寧夏中衛(wèi)·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合)，△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點(diǎn)E作BC的平行線，分別交射線AB，AC于點(diǎn)F，G，連接BE．(1)求證：△AEB≌△ADC．(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)．探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形？并寫出證明過程．【答案】(1)見解析(2)四邊形BCGE是平行四邊形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，然后求出∠BAE=∠CAD，再利用邊角邊證明△AEB和△ADC全等；（2）四邊形BCGE是平行四邊形，因?yàn)椤鰽EB≌△ADC，所以可得∠ABE=∠C=60°，進(jìn)而證明∠ABE=∠BAC，則可得到EB∥GC，又EG∥BC，所以四邊形BCGE（1）證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°．又∵∠EAB=∠EAD?∠BAD，∠DAC=∠BAC?∠BAD，∴∠EAB=∠DAC，在△AEB和△ADC中，AB=AC∠EAB=∠DAC∴△AEB≌△ADCSAS（2）解：四邊形BCGE是平行四邊形，理由如下：由1得△AEB≌△ADC，∴∠ABE=∠C=60°．又∵∠BAC=∠C=60°，∴∠ABE=∠BAC，∴EB∥GC又∵EG∥BC，∴四邊形BCGE是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運(yùn)用知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022春·江西九江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC邊上的點(diǎn)，且DE=CF，連接BE和AF的交點(diǎn)為M，CE和DF的交點(diǎn)為N，連接(1)求證：四邊形ABFE為平行四邊形；(2)若AD=6cm，求MN【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）由一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證四邊形ABFE為平行四邊形；（2）由平行四邊形的性質(zhì)可得DN=FN，AM=MF，由三角形中位線定理可求解．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵DE=CF，∴AE=BF．∴四邊形ABFE是平行四邊形；（2）解：∵DE=CF，AD∥∴四邊形DEFC是平行四邊形，∴DN=FN，∵四邊形ABFE是平行四邊形，∴AM=MF，∴MN∥AD，【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，掌握平行四邊形的對(duì)角線互相平分是解題的關(guān)鍵．【題型6全等三角形拼平行四邊形問題】【例6】（2022春·福建廈門·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，有兩種形狀不同的直角三角形紙片各兩塊，其中一種紙片的兩條直角邊長分別為1和2，另一種紙片的兩條直角邊長都為2．圖1、圖2、圖3是三張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長均為1．(1)請(qǐng)用三種方法將圖中所給四塊直角三角形紙片拼成平行四邊形（非矩形），每種方法要把圖中所給的四塊直角三角形紙片全部用上，互不重疊且不留空隙，三種方法所拼得的平行四邊形（非矩形）的周長互不相等，并把你所拼得的圖形按實(shí)際大小畫在圖1、圖2、圖3的方格紙上．要求：①所畫圖形各頂點(diǎn)必須與方格紙中的小正方形頂點(diǎn)重合；②畫圖時(shí)，要保留四塊直角三角形紙片的拼接痕跡．(2)請(qǐng)證明你在圖1所拼得的四邊形是平行四邊形（非矩形）．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）圖1可以先用邊長為1、2的直角三角形拼出矩形，再分別在邊長為2的兩側(cè)拼上邊長都為2的直角三角形；圖2可以先用邊長都為2的直角三角形拼出矩形，再分別在邊長為2的兩側(cè)拼上邊長都為2、1的直角三角形；圖3以四個(gè)直角三角形的直角邊拼出對(duì)角線為3的平行四邊形即可；（2）根據(jù)平行四邊形的判定方法證明即可．（1）解：如圖所示：（2）證明：如圖1中，∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝22∴四邊形ABCD是平行四邊形．（同理，圖2和圖3均可根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行證明）【點(diǎn)睛】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，平行四邊形的判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用直角三角形和平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行拼接．【變式6-1】（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，有兩塊全等的含30°角的直角三角板，將它們拼成形狀不同的平行四邊形，則最多可以拼成（

）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【答案】C【分析】分別以不同的三邊為對(duì)角線進(jìn)行拼接即可得．【詳解】以不同的三邊為對(duì)角線進(jìn)行拼接，可拼成如下三種平行四邊形：故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，掌握理解并靈活運(yùn)用判定方法是解題關(guān)鍵．【變式6-2】（2021·河南周口·三模）把三角形形狀的紙片放在方框紙上，使其每一個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，如圖1所示（方格邊長均為∠）．對(duì)這個(gè)三角形進(jìn)剪切、拼接后，可以得到一個(gè)平行四邊形，如圖2中陰影部分所示．剪切、拼接的方案如下：如圖2，取BC的中點(diǎn)M，連接AM﹔剪下△AMC后，拼接到△BEA位置，可得到平行四邊形AEBM．我們約定：剪切、拼接時(shí)，紙片的每一部分都要被用到，而且不得用所給紙片以外的紙片．(1)請(qǐng)你采用不同于圖2的剪切、拼接方案，也得到一個(gè)平行四邊形，在圖3中用陰影表示出你得到的平行四邊形，并補(bǔ)充已知和求證，寫出證明過程．(2)對(duì)這個(gè)三角形進(jìn)行剪切、拼接后，也可以得到一梯形．試在圖4中，用陰影表示出你得到的梯形（不必說明剪切、拼接方案，但必須保留作圖痕跡）．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）沿中位線裁剪即為平行四邊形．BC是拼成四邊形的一條邊，即可，再根據(jù)拼接方法，寫出已知、求證，利用平行線的判定定理證明即可；（2）沿一腰的中點(diǎn)D向底邊剪開，得出FD=DG，進(jìn)而得出梯形．（1）解：所畫圖形如下所示，已知：沿△ABC的中位線NE裁剪下△ANE，將△ANE按如圖所示拼接在一起，即點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)N與點(diǎn)M重合，AE與CE重合，得到四邊形BCMN，求證：四邊形BCMN是平行四邊形．證明：由題意，得△ANE≌△CME，∴∠A=∠ACM，AE=CM，∴AN∥CM，即BN∥CM，∴四邊形BCMN是平行四邊形．（2）解：所畫圖形如下所示，【點(diǎn)睛】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及平行四邊形性質(zhì)與判定、梯形的性質(zhì)，正確利用全等三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式6-3】（2020秋·河北石家莊·九年級(jí)校考期中）如圖所示，ΔABC的頂點(diǎn)在8×8的網(wǎng)格中的格點(diǎn)上．(1)畫出ΔABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的ΔA(2)在圖中確定格點(diǎn)D，并畫出一個(gè)以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形，使其為中心對(duì)稱圖形．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）由題意可知旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)方向，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的畫圖方法作圖即可；（2）如圖有三種情況，構(gòu)造平行四邊形即可.【詳解】解：（1）如圖ΔAB（2）如圖，D、D’、D’’均為所求.【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)及中心對(duì)稱圖形，熟練掌握作旋轉(zhuǎn)圖形的方法及中心對(duì)稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵.【題型7利用平行四邊形的判定和性質(zhì)求解】【例7】（2022秋·山東淄博·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在?ABCD中，過對(duì)角線BD上一點(diǎn)P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=3BG，S?BEPG=1.5，則【答案】4.5##9【分析】由條件可證明四邊形HPFD、BEPG為平行四邊形，可證明S四邊形AEPH=S四邊形【詳解】解：∵EF∥BC，GH∥AB，∴四邊形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG為平行四邊形，∴S同理可得SΔPHD=∴S即S四邊形∵CG=3BG，S?BEPG∴S故答案為：4.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①兩組對(duì)邊分別平行?四邊形為平行四邊形，②兩組對(duì)邊分別相等?四邊形為平行四邊形，③一組對(duì)邊平行且相等?四邊形為平行四邊形，④兩組對(duì)角分別相等?四邊形為平行四邊形，⑤對(duì)角線互相平分?四邊形為平行四邊形．【變式7-1】（2021秋·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AB，AC為腰向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，連接DE，CA的延長線交DE于點(diǎn)F，則與線段AF相等的是（

A．12BC B．12AB C．12AC D．【答案】A【分析】如圖，作DH⊥CF交CF的延長線于H，連接EH，證明△BCA≌△【詳解】解：如圖，作DH⊥CF交CF的延長線于H，連接∵∠ACB∴∠BAC+∠DAH∴∠BAC∵AB∴△BCA≌△∴AC=DH∵∠DHA=∠EAH∴DH∥AE，∴四邊形ADHE是平行四邊形，∴AF∴AF故選A．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式7-2】（2022春·廣東深圳·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，F(xiàn)A⊥AC，垂足為A，AF＝DF＝5，AD＝6，則AC的長為__．【答案】9.6【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DC，BA=BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA，證明AB∥DF，進(jìn)而得到四邊形AFDB為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到BD=AF=5，AB=DF=5，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案．【詳解】解：∵BD垂直平分AC，∴DA＝DC，BA＝BC，∴∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA，∴∠DAC＋∠BAC＝∠DCA＋∠BCA，即∠DAB＝∠BCD，∵∠BCD＝∠ADF，∴∠DAB＝∠ADF，∴AB∥DF，∵FA⊥AC，DB⊥AC，∴AF∥BD，∴四邊形AFDB為平行四邊形，∴BD＝AF＝5，AB＝DF＝5，設(shè)BE＝x，則DE＝5－x，在Rt△AEB中，AB在Rt△AED中，AD∴AB2?B解得：x＝75∴AE＝52∴AC＝2AE＝9.6，故AC的長為9.6，故答案為：9.6．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022秋·江蘇·八年級(jí)期末）【情境】某校數(shù)學(xué)興趣小組嘗試自制數(shù)學(xué)學(xué)具進(jìn)行自主合作探究．圖①是一塊邊長為12cm的等邊三角形學(xué)具，P是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，Q是邊CB延長線上一動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由點(diǎn)B向CB延長線方向運(yùn)動(dòng)，連接PQ，交AB于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t((1)【問題】填空：CP+CQ=cm；(2)當(dāng)∠DQB=30°時(shí)，求t的值；(3)【探究】如圖②，過點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，在點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)過程中，線段DE的長度是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出DE的長度；若變化，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)24(2)4(3)不變，是定值6【分析】（1）由線段和差關(guān)系可求解；（2）由直角三角形的性質(zhì)可列方程，即可求t的值；（3）過點(diǎn)Q作QF⊥AB交AB延長線于點(diǎn)F連接EQ，PF，由全等三角形的性質(zhì)可證AB=EF，由題意可證四邊形PEQF是平行四邊形，可得【詳解】（1）解：∵△ABC是邊長為12的等邊三角形，∴∠ACB=60°，設(shè)AP=tcm則PC=(12?t)cm，∴QC=QB+BC=(12+t)cm∴CP+CQ=12?t+12+t=24（2）解：∵∠ACB=60°，∴∠QPC=90°∴QC=2PC∴12+t=2(12?t)，解得：t=4（3）解：線段DE的長度不改變，如圖：過點(diǎn)Q作QF⊥AB交AB延長線于點(diǎn)F連接EQ∵PE⊥AB，∴QF∥∵點(diǎn)P、∴AP=BQ∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°∵AP=BQ，∴△AEP≌∴AE=BF∴BE+AE=BF+BE∴AB=EF=12∵PE⊥AB，∴QF∥∴四邊形PEQF是平行四邊形，∴DE=DF=【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形綜合題，等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練全等三角形判定是解答此題的關(guān)鍵．【題型8利用平行四邊形的判定和性質(zhì)證明】【例8】（2022春·吉林長春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，以?ABCD的邊AB、CD為邊，作等邊△ABE和等邊△CDF，連接DE，BF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出AD=CB，AB=CD，∠DAB=∠BCD，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出AB=BE=AE=CD=CF=DF，∠BAE=DCF=60°，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出∠DAE=∠BCF，再根據(jù)SAS，得出△ADE≌△CBF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出DE=BF，再根據(jù)平行四邊形的判定定理，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=CB，AB=CD，∠DAB=∠BCD，∵△ABE和△CDF是等邊三角形，∴AB=BE=AE=CD=CF=DF，∠BAE=DCF=60°，∴∠DAB?∠BAE=∠BCD?∠DCF，∴∠DAE=∠BCF，在△ADE和△CBF中，AD=CB∠DAE=∠BCF∴△ADE≌△CBFSAS∴DE=BF，∵BE=DF，∴四邊形BFDE是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)、定理．【變式8-1】（2022春·四川成都·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BD=2AB，點(diǎn)E為線段OC的中點(diǎn)．(1)求證：∠ABO=2∠ODE；(2)若F，G分別是OB，AD的中點(diǎn)．①判斷△EFG的形狀并證明你的結(jié)論；②當(dāng)EF⊥EG，且AB=25時(shí)，求平行四邊形ABCD【答案】(1)見解析，(2)①△EFG【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)易證∠CDO=∠ABO，再證△CDO是等腰三角形，由等腰三角形三線合一性質(zhì)得出∠ODE=∠CDE=1（2）①易證DE⊥CO，由G為AD中點(diǎn)，得出EG=12AD，再由E、F分別是OC、OB的中點(diǎn)，得出EF=12BC，由平行四邊形的性質(zhì)得②先證四邊形BEFG是平行四邊形，得出∠EFG=∠GDE，∠DGE=∠FEG，再證△EFG、△DEG、△AED都是等腰直角三角形，設(shè)DG=GE=x，則DE=AE=2x，CE=13AE=2x3，由勾股定理求出【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD,AB=CD，∴∠CDO=∠ABO，∵BD=2AB，∴AB=DO=CD，∴△CDO是等腰三角形，∵點(diǎn)E為線段OC的中點(diǎn)，∴∠ODE=∠CDE=1∴∠ABO=2∠ODE；（2）①△EFG的形狀為等腰三角形，理由如下：∵△CDO是等腰三角形，E是CO中點(diǎn)，∴DE⊥CO，∴∠DEA=90°，∵G為AD中點(diǎn)，∴EG=1∵E、F分別是OC、OB的中點(diǎn)，∴EF=1∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，∴EG=EF，∴△EFG是等腰三角形；②解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，AB=CD=25，AD=BC，AD∵E、F分別是OC、OB的中點(diǎn)，∴CE=13AE，EF∴EF∥BC，∴EF∥∵G是AD的中點(diǎn)，∴DG=1∴EF=DG，∴四邊形BEFG是平行四邊形，∴∠EFG=∠GDE，EF∥∴∠DGE=∠FEG，∵EF⊥EG，∴∠FEG=∠DGE=90°，由①得：EG=EF，∴△EFG是等腰直角三角形，∴∠EFG=∠GDE=45°，∴△DEG是等腰直角三角形，∴DG=GE，∵∠DEA=90°，∴△AED是等腰直角三角形，∴DE=AE，設(shè)DG=GE=x，則DE=AE=2x，在Rt△DEC中，由勾股定理得：C即(25解得：x=3或x=?3(不合題意，舍去)，∴DE=32∴AC=4CE=4×2∴S【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、中位線定理、平行線的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形面積的計(jì)算等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022春·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AM上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）．過點(diǎn)D作AB的平行線，過點(diǎn)C作AM的平行線，兩線交于點(diǎn)E，連結(jié)AE．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與M重合時(shí)，求證：四邊形ABDE是平行四邊形；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不與M重合時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)圖3，延長BD交AC于點(diǎn)H，若BH⊥AC，且BH=AM，求∠CAM的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)成立，證明見解析(3)30°【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)可得同位角相等，再利用ASA證明ΔABD?ΔEDC（2）過點(diǎn)M作MG∥DE交EC于點(diǎn)G，則四邊形DMGE為平行四邊形，得ED=GM且ED//GM，由（1）可得AB=GM且（3）取線段HC的中點(diǎn)I，連接MI，由三角形中位線定理得MI∥BH，MI=12BH（1）解：證明：∵DE∥∴∠EDC=∠ABM，∵CE∥∴∠ECD=∠ADB，∵AM是ΔABC的中線，且D與M∴BD=DC，∴Δ∴AB=ED，∵AB∥∴四邊形ABDE是平行四邊形；（2）成立，理由如下：過點(diǎn)M作MG∥DE交EC于點(diǎn)∵CE∥∴四邊形DMGE為平行四邊形，∴ED=GM且ED∥由（1）可得AB=GM且AB∥∴AB=ED且AB∥∴四邊形ABDE為平行四邊形；（3）取線段HC的中點(diǎn)I，連接MI，∴MI是ΔBHC∴MI∥BH，∵BH⊥AC且BH=AM，∴MI=12AM∴∠CAM=30°．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，遇中點(diǎn)取中點(diǎn)構(gòu)造中位線是解決問題（3）的關(guān)鍵．【變式8-3】（2022春·江西吉安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，將△ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE．設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為α度0°≤α<120°，AD交BC于點(diǎn)F，DE分別交BC、AC于點(diǎn)G、H．試探究以下問題：(1)當(dāng)α=_______時(shí)，△ABF為直角三角形；(2)當(dāng)△ADH且為等腰三角形時(shí)，求BF的值；(3)連接BD，是否存在角α，使得四邊形ABDH為平行四邊形?如果存在，直接寫出α的大?。喝绻淮嬖冢?qǐng)說明理由．【答案】(1)60°或90°(2)BF的值為23?2(3)不存在；理由見解析【分析】（1）分兩種情況：①當(dāng)∠AFB＝90°時(shí)；由角的互余關(guān)系即可求出結(jié)果；②當(dāng)∠BAF＝90°時(shí)，即α＝90°；（2）分兩種情況：①當(dāng)AD＝DH時(shí)，作FN⊥AB于N，設(shè)FN＝x，則BF＝2x，BN=3x，AN＝FN＝②當(dāng)AH＝DH時(shí)，∠DAH＝∠D＝30°，由勾股定理即可求出BF；（3）若四邊形ABDH為平行四邊形，則AB∥DH，得出α＝∠D＝30°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADB≠∠DAH，得出BD與AH不平行，即可得出結(jié)論．（1）解：分兩種情況：①當(dāng)∠AFB＝90°時(shí)，α＝90°?∠B＝60°；②當(dāng)∠BAF＝90°時(shí)，即α＝90°；綜上分析可知，當(dāng)α＝60°或90°時(shí)，△ABF為直角三角形．故答案為：60°或90°．（2）解：分兩種情況：①當(dāng)AD＝DH時(shí)，∠DAC＝∠AHD＝12∵AB=AC=2，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAC=18