蘇科版八年級數學下冊舉一反三專題特訓專題9.3平行四邊形的判定【九大題型】(原卷版+解析)

專題9.3平行四邊形的判定【九大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷能否構成平行四邊形】 1【題型2添加條件構成平行四邊形】 2【題型3數圖形中平行四邊形的個數】 3【題型4求與已知三點組成平行四邊形的點的個數】 4【題型5證明四邊形是平行四邊形】 5【題型6全等三角形拼平行四邊形問題】 6【題型7利用平行四邊形的判定和性質求解】 8【題型8利用平行四邊形的判定和性質證明】 9【題型9平行四邊形的應用】 11【知識點1平行四邊形的判定】(1)定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(2)定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形(3)定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形(4)定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形(5)定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形【題型1判斷能否構成平行四邊形】【例1】（2021秋·湖南永州·九年級?？茧A段練習）如圖，為了體驗四邊形的不穩(wěn)定性，將四根木條用釘子釘成一個矩形框架ABCD，然后向右拉動框架，給出如下的判斷：①四邊形ABCD為平行四邊形；②對角線BD的長度不變；③四邊形ABCD的面積不變；④四邊形ABCD的周長不變，其中所有正確的結論是（

）A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④【變式1-1】（2022春·北京西城·八年級?？计谥校┫铝小螦∶∠B∶∠C∶∠D的值中，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（

）A．1∶2∶3∶4 B．1∶4∶2∶3 C．1∶2∶2∶1 D．3∶2∶3∶2【變式1-2】（2021春·河南新鄉(xiāng)·八年級新鄉(xiāng)市第十中學?？计谥校┰谒倪呅蜛BCD中，對角線AC,BD相交于點O．給出下列四組條件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【變式1-3】（2022春·浙江舟山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知?ABCD的一組鄰邊AB，BC，用尺規(guī)作圖作?ABCD，下列4個作圖中，作法與理論依據都正確的有幾個（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【題型2添加條件構成平行四邊形】【例2】（2022春·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點，如果添加一個條件使四邊形BEDF是平行四邊形，則添加的條件不能是（）A．DE=BF B．AE=FC C．AF=CE D．∠1=∠2【變式2-1】（2022春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AB，AC上的點，連接FD并延長到點G，已知FG∥AB，則添加下列條件，可以使線段AG，DE互相平分的是（A．AD=EG B．DF=DG C．DE∥AC 【變式2-2】（2022春·黑龍江雙鴨山·八年級統(tǒng)考期末）若O是四邊形ABCD的對角線AC和BD的交點，且OB＝OD，AC＝24cm，則當OA＝_____cm時，四邊形ABCD是平行四邊形．【變式2-3】（2022春·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)．(1)請你只添加一個條件（不另加輔助線），使得四邊形DEBF為平行四邊形，你添加的條件是______．(2)添加了條件后，請證明四邊形DEBF為平行四邊形．【題型3數圖形中平行四邊形的個數】【例3】（2021春·內蒙古包頭·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥BC?，???GH∥AB?，????EF與GH相交于點O，圖中共有個平行四邊形(A．4個 B．5個 C．8個 D．9個【變式3-1】（2021春·重慶·八年級期末）下列圖形都是由同樣大小的平行四邊形按一定的規(guī)律組成，其中第①個圖形中一共有10個平行四邊形，第②個圖形中一共有14個平行四邊形，第③個圖形中一共有19個平行四邊形，……按此規(guī)律排列下去，則第⑥個圖形中平行四邊形的個數為（）A．39 B．40 C．41 D．42【變式3-2】（2021春·浙江杭州·八年級期末）如圖，點A，B，C在同一直線上，點D，E，F(xiàn)，G在同一直線上，且AC//DG,AD//A．4 B．5 C．3 D．6【變式3-3】（2021春·內蒙古呼倫貝爾·八年級統(tǒng)考期末）如圖，由25個點構成的5×5的正方形點陣中，橫、縱方向相鄰的兩點之間的距離都是1個單位．定義：由點陣中的四個點為頂點的平行四邊形叫做陣點平行四邊形．圖中以A，B為頂點，面積為4的陣點平行四邊形的個數為（

）A．6個 B．7個 C．9個 D．11個【題型4求與已知三點組成平行四邊形的點的個數】【例4】（2020春·四川廣元·八年級統(tǒng)考期末）已知A，B，C三點的坐標分別是(3，3)，(8，3)，(4，6)，若以A，B，C，D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，則D點的坐標不可能是（

）A．(?1，6) B．(9，6) C．(7，0) D．(0，?6)【變式4-1】（2019秋·江蘇南通·八年級?？计谀┮圆辉谕恢本€上的三個點為頂點作平行四邊形最多能作()A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式4-2】（2022春·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系內，以A（3，5），B（1，1），C（4，1）三點為頂點畫平行四邊形．(1)可以畫多少個平行四邊形？(2)寫出每個平行四邊形第四個頂點D的坐標．【變式4-3】（2020春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系xOy中，已知點A(1，1)，B(3，2)．（1）如圖1，在y軸上是否存在－點P，使PA＋PB最小，若存在求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．（2）如圖2，點C坐標為(4，1)，點D由原點O沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動，求點D運動幾秒時，四邊形ABCD是平行四邊形；（3）點P在x軸上，點Q在y軸上，且以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點P以及對應的點Q的坐標．【題型5證明四邊形是平行四邊形】【例5】（2023秋·山東泰安·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，BC＝AC，點E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點，連接EF并延長，交△ABC外角∠ACD的平分線于點G．求證：四邊形【變式5-1】（2022春·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期末）如圖，BE是△ABC的中線，延長BE到D，使ED＝BE，連接AD，CD，補全圖形．判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結論．【變式5-2】（2022春·寧夏中衛(wèi)·八年級?？计谀┤鐖D，△ABC是等邊三角形，點D是射線BC上的一個動點(點D不與點B，C重合)，△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點E作BC的平行線，分別交射線AB，AC于點F，G，連接BE．(1)求證：△AEB≌△ADC．(2)當點D在線段BC上時．探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形？并寫出證明過程．【變式5-3】（2022春·江西九江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC邊上的點，且DE=CF，連接BE和AF的交點為M，CE和DF的交點為N，連接(1)求證：四邊形ABFE為平行四邊形；(2)若AD=6cm，求MN【題型6全等三角形拼平行四邊形問題】【例6】（2022春·福建廈門·八年級統(tǒng)考期中）如圖，有兩種形狀不同的直角三角形紙片各兩塊，其中一種紙片的兩條直角邊長分別為1和2，另一種紙片的兩條直角邊長都為2．圖1、圖2、圖3是三張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1．(1)請用三種方法將圖中所給四塊直角三角形紙片拼成平行四邊形（非矩形），每種方法要把圖中所給的四塊直角三角形紙片全部用上，互不重疊且不留空隙，三種方法所拼得的平行四邊形（非矩形）的周長互不相等，并把你所拼得的圖形按實際大小畫在圖1、圖2、圖3的方格紙上．要求：①所畫圖形各頂點必須與方格紙中的小正方形頂點重合；②畫圖時，要保留四塊直角三角形紙片的拼接痕跡．(2)請證明你在圖1所拼得的四邊形是平行四邊形（非矩形）．【變式6-1】（2021·全國·九年級專題練習）如圖，有兩塊全等的含30°角的直角三角板，將它們拼成形狀不同的平行四邊形，則最多可以拼成（

）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【變式6-2】（2021·河南周口·三模）把三角形形狀的紙片放在方框紙上，使其每一個頂點都在格點上，如圖1所示（方格邊長均為∠）．對這個三角形進剪切、拼接后，可以得到一個平行四邊形，如圖2中陰影部分所示．剪切、拼接的方案如下：如圖2，取BC的中點M，連接AM﹔剪下△AMC后，拼接到△BEA位置，可得到平行四邊形AEBM．我們約定：剪切、拼接時，紙片的每一部分都要被用到，而且不得用所給紙片以外的紙片．(1)請你采用不同于圖2的剪切、拼接方案，也得到一個平行四邊形，在圖3中用陰影表示出你得到的平行四邊形，并補充已知和求證，寫出證明過程．(2)對這個三角形進行剪切、拼接后，也可以得到一梯形．試在圖4中，用陰影表示出你得到的梯形（不必說明剪切、拼接方案，但必須保留作圖痕跡）．【變式6-3】（2020秋·河北石家莊·九年級?？计谥校┤鐖D所示，ΔABC的頂點在8×8的網格中的格點上．(1)畫出ΔABC繞點A逆時針旋轉90°得到的ΔA(2)在圖中確定格點D，并畫出一個以A、B、C、D為頂點的四邊形，使其為中心對稱圖形．【題型7利用平行四邊形的判定和性質求解】【例7】（2022秋·山東淄博·八年級?？计谀┤鐖D，在?ABCD中，過對角線BD上一點P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=3BG，S?BEPG=1.5，則【變式7-1】（2021秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AB，AC為腰向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，連接DE，CA的延長線交DE于點F，則與線段AF相等的是（

A．12BC B．12AB C．12AC D．【變式7-2】（2022春·廣東深圳·八年級?？计谀┤鐖D，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，F(xiàn)A⊥AC，垂足為A，AF＝DF＝5，AD＝6，則AC的長為__．【變式7-3】（2022秋·江蘇·八年級期末）【情境】某校數學興趣小組嘗試自制數學學具進行自主合作探究．圖①是一塊邊長為12cm的等邊三角形學具，P是邊AC上一個動點，由點A向點C運動，速度為1cm/s，Q是邊CB延長線上一動點，與點P同時以相同的速度由點B向CB延長線方向運動，連接PQ，交AB于點D，設點P運動的時間為t((1)【問題】填空：CP+CQ=cm；(2)當∠DQB=30°時，求t的值；(3)【探究】如圖②，過點P作PE⊥AB，垂足為E，在點P，點Q運動過程中，線段DE的長度是否發(fā)生變化？若不變，請求出DE的長度；若變化，請說明理由．【題型8利用平行四邊形的判定和性質證明】【例8】（2022春·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）如圖，以?ABCD的邊AB、CD為邊，作等邊△ABE和等邊△CDF，連接DE，BF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．【變式8-1】（2022春·四川成都·八年級?？计谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，BD=2AB，點E為線段OC的中點．(1)求證：∠ABO=2∠ODE；(2)若F，G分別是OB，AD的中點．①判斷△EFG的形狀并證明你的結論；②當EF⊥EG，且AB=25時，求平行四邊形ABCD【變式8-2】（2022春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）已知，在△ABC中，點M是BC的中點，點D是線段AM上一點（不與點A重合）．過點D作AB的平行線，過點C作AM的平行線，兩線交于點E，連結AE．(1)如圖1，當點D與M重合時，求證：四邊形ABDE是平行四邊形；(2)如圖2，當點D不與M重合時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；(3)圖3，延長BD交AC于點H，若BH⊥AC，且BH=AM，求∠CAM的度數．【變式8-3】（2022春·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，將△ABC繞頂點A逆時針旋轉得到△ADE．設旋轉角度為α度0°≤α<120°，AD交BC于點F，DE分別交BC、AC于點G、H．試探究以下問題：(1)當α=_______時，△ABF為直角三角形；(2)當△ADH且為等腰三角形時，求BF的值；(3)連接BD，是否存在角α，使得四邊形ABDH為平行四邊形?如果存在，直接寫出α的大?。喝绻淮嬖?，請說明理由．【題型9平行四邊形的應用】【例9】（2022春·八年級課時練習）如圖，一塊草地的中間有一條彎路，AC∥BD，CE∥DF．請給出一種方案，把道路改直，且草地的種植面積保持不變．【變式9-1】（2022·全國·九年級專題練習）村莊A和村莊B位于一條小河的兩側，若河岸彼此平行，要架設一座與河岸垂直的橋，橋址應如何選擇，才使A與B之間的距離最短？【變式9-2】（2021春·八年級課時練習）如圖，田村有一口四邊形的池塘，在它的四角A、B、C、D處均有一棵大桃樹、田村準備開挖養(yǎng)魚，想使池塘的面積擴大一倍，并要求擴建后的池塘成平行四邊形形狀，請問田村能否實現(xiàn)這一設想?若能，畫出圖形，說明理由．【變式9-3】（2021·江蘇無錫·九年級專題練習）某市要在一塊平行四邊形ABCD的空地上建造一個四邊形花園，要求花園所占面積是?ABCD面積的一半，并且把四邊形花園的四個頂點作為出入口，要求分別在?ABCD中的四條邊上，請你設計兩種方案：方案（一）：如圖①所示，兩個出入口E,F以確定，請在圖①上畫出符合要求的四邊形花園，并簡要說明畫法；方案（二）：如圖②所示，一個出入口M已確定，請在圖②上畫出符合要求的梯形花園，并簡要說明畫法專題9.3平行四邊形的判定【九大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷能否構成平行四邊形】 1【題型2添加條件構成平行四邊形】 4【題型3數圖形中平行四邊形的個數】 7【題型4求與已知三點組成平行四邊形的點的個數】 10【題型5證明四邊形是平行四邊形】 14【題型6全等三角形拼平行四邊形問題】 18【題型7利用平行四邊形的判定和性質求解】 22【題型8利用平行四邊形的判定和性質證明】 28【題型9平行四邊形的應用】 36【知識點1平行四邊形的判定】(1)定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(2)定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形(3)定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形(4)定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形(5)定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形【題型1判斷能否構成平行四邊形】【例1】（2021秋·湖南永州·九年級?？茧A段練習）如圖，為了體驗四邊形的不穩(wěn)定性，將四根木條用釘子釘成一個矩形框架ABCD，然后向右拉動框架，給出如下的判斷：①四邊形ABCD為平行四邊形；②對角線BD的長度不變；③四邊形ABCD的面積不變；④四邊形ABCD的周長不變，其中所有正確的結論是（

）A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④【答案】B【分析】①正確，根據平行四邊形的判定方法即可判斷；②錯誤，觀察圖象即可判斷；③錯誤，面積是變小了；④正確，根據平行四邊形性質即可判斷．【詳解】解：∵兩組對邊的長度分別相等，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故①正確；∵向右扭動框架，∴BD的長度變大，故②錯誤；∵平行四邊形ABCD的底不變，高變小了，∴平行四邊形ABCD的面積變小，故③錯誤；∵平行四邊形ABCD的四條邊不變，∴四邊形ABCD的周長不變，故④正確．故所有正確的結論是①④．故選：B．【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質、平行四邊形的周長、面積等知識，解題的關鍵是熟練應用這些知識解決問題．【變式1-1】（2022春·北京西城·八年級校考期中）下列∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值中，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（

）A．1∶2∶3∶4 B．1∶4∶2∶3 C．1∶2∶2∶1 D．3∶2∶3∶2【答案】D【分析】兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，所以∠A和∠C是對角，∠B和∠D是對角，對角的份數應相等，據此即可求解．【詳解】解：根據平行四邊形的判定：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，所以只有D符合條件．故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，在應用判定定理判定平行四邊形時，應仔細觀察題目所給的條件，仔細選擇適合于題目的判定方法進行解答，避免混用判定方法．【變式1-2】（2021春·河南新鄉(xiāng)·八年級新鄉(xiāng)市第十中學?？计谥校┰谒倪呅蜛BCD中，對角線AC,BD相交于點O．給出下列四組條件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】根據平行四邊形的5個判斷定理：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，即可作出判斷．【詳解】解：①根據平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可知①能判斷這個四邊形是平行四邊形；②根據平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可知②能判斷這個四邊形是平行四邊形；③根據平行四邊形的判定定理：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可知③能判斷這個四邊形是平行四邊形；④根據平行四邊形的判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可知④不能判斷這個四邊形是平行四邊形（例可能是等腰梯形）；故給出下列四組條件中，①②③能判斷這個四邊形是平行四邊形．故選：A．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的判定定理，解題關鍵是準確無誤的掌握平行四邊形的判定定理，難度一般．【變式1-3】（2022春·浙江舟山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知?ABCD的一組鄰邊AB，BC，用尺規(guī)作圖作?ABCD，下列4個作圖中，作法與理論依據都正確的有幾個（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據各個圖形的做法結合平行四邊形的判定方法進行判斷即可．【詳解】解：圖①，由作圖可知AB=CD，圖②，由作圖可知，作AC的垂直平分線，得到AC的中點O，再連接BO并延長到點D，使OD=BO，根據“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”可得，圖2作法與理論依據正確；圖③，作同位角相等，得出AB∥CD，再截取圖④，作同位角相等，得出AB∥CD，再截取綜上所述，作法與理論依據正確的是圖①、圖②、圖③，共3個．故選：C．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖，平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法及尺規(guī)作圖的意義是解題的關鍵．【題型2添加條件構成平行四邊形】【例2】（2022春·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點，如果添加一個條件使四邊形BEDF是平行四邊形，則添加的條件不能是（）A．DE=BF B．AE=FC C．AF=CE D．∠1=∠2【答案】A【分析】根據各選項給出的條件，逐一驗證即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE＝BF，不能得出△ADE≌△CBF，∴不能得出四邊形DEBF是平行四邊形，故A錯誤；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF，∵AE＝CF，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴∠AED＝∠CFB，DE＝BF，∴∠DEF＝∠BFE；∴DE∥BF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，故B正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF；∵AF＝CE，∴AE＝CF，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴∠AED＝∠CFB，DE＝BF，∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，故C正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF，∵∠ADE＝∠CBF，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝CF，∠AED＝∠BFC，∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥CF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，故D正確；故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握判定定理是解題的關鍵．平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質相呼應，每種方法都對應著一種性質，在應用時應注意它們的區(qū)別與聯(lián)系．【變式2-1】（2022春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AB，AC上的點，連接FD并延長到點G，已知FG∥AB，則添加下列條件，可以使線段AG，DE互相平分的是（A．AD=EG B．DF=DG C．DE∥AC 【答案】D【分析】通過分析線段AG，DE互相平分，得四邊形ADGE是平行四邊形，結合選項，利用平行四邊形的判定定理即可求解．【詳解】若線段AG，DE互相平分，則四邊形ADGE是平行四邊形，∴添加DG=AE，又∵FG∥∴四邊形ADGE是平行四邊形，∴線段AG，DE互相平分，故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵．【變式2-2】（2022春·黑龍江雙鴨山·八年級統(tǒng)考期末）若O是四邊形ABCD的對角線AC和BD的交點，且OB＝OD，AC＝24cm，則當OA＝_____cm時，四邊形ABCD是平行四邊形．【答案】12【分析】由OA=12cm求出OC，得出OA=OC，再由平行四邊形的判定定理即可得出結論．【詳解】解：當OA=12cm時，OC=24-12=12（cm），∴OC=OA，∵OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故答案為：12．【點睛】本題考查平行四邊形的判定，熟記對角線互相平分的四邊形為平行四邊形是解題的關鍵．【變式2-3】（2022春·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)．(1)請你只添加一個條件（不另加輔助線），使得四邊形DEBF為平行四邊形，你添加的條件是______．(2)添加了條件后，請證明四邊形DEBF為平行四邊形．【答案】(1)DE=BF（答案不唯一）(2)見解析【分析】（1）由平行四邊形的判定可得出答案；（2）根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得出結論．（1）解：由題意得DE∥BF，由平行四邊形的判定可添加的條件是DE=BF（答案不唯一），故答案為：DE=BF（答案不唯一）；（2）證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴DE∥BF，∵DE=BF，∴四邊形DEBF為平行四邊形．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵．【題型3數圖形中平行四邊形的個數】【例3】（2021春·內蒙古包頭·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥BC?，???GH∥AB?，????EF與GH相交于點A．4個 B．5個 C．8個 D．9個【答案】D【分析】根據平行四邊形的判定和性質定理即可得到結論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥∵EF∥BC??，????EF∥AD??，????∴AE∥OG∥DF，BE∥∴四邊形BCFE，四邊形ADFE，四邊形ABHG，四邊形CDGH，四邊形AEOG，四邊形BEOH，四邊形DFOG，四邊形CFOH均為平行四邊形，∴圖中共有個平行四邊形9個．故選：D【點睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．【變式3-1】（2021春·重慶·八年級期末）下列圖形都是由同樣大小的平行四邊形按一定的規(guī)律組成，其中第①個圖形中一共有10個平行四邊形，第②個圖形中一共有14個平行四邊形，第③個圖形中一共有19個平行四邊形，……按此規(guī)律排列下去，則第⑥個圖形中平行四邊形的個數為（）A．39 B．40 C．41 D．42【答案】B【分析】觀察圖形的變化可得10+4=14，14+5=19，19+6=25，25+7=32，32+8=40，即可得結果．【詳解】解：觀察圖形的變化可知：第①個圖形中一共有10個平行四邊形，第②個圖形中一共有14個平行四邊形，第③個圖形中一共有19個平行四邊形，第④個圖形中一共有25個平行四邊形，第⑤個圖形中一共有32個平行四邊形，則第⑥個圖形中平行四邊形的個數為40．故選：B．【點睛】本題考查的是平行四邊形的認識，規(guī)律型：圖形的變化類，本題是一道根據圖形進行數字猜想的問題，關鍵是通過歸納與總結，得到其中的規(guī)律，然后利用規(guī)律解決一般問題．【變式3-2】（2021春·浙江杭州·八年級期末）如圖，點A，B，C在同一直線上，點D，E，F(xiàn)，G在同一直線上，且AC//DG,AD//A．4 B．5 C．3 D．6【答案】B【分析】根據平行四邊形兩組對邊分別平行的判定求解可得．【詳解】解：如圖，圖中的平行四邊形有：?ABED，?ABGF，?BCFE，?ACFD，?PBQF，故選B．【點睛】本題主要考查平行四邊形的判定，解題的關鍵是掌握：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．【變式3-3】（2021春·內蒙古呼倫貝爾·八年級統(tǒng)考期末）如圖，由25個點構成的5×5的正方形點陣中，橫、縱方向相鄰的兩點之間的距離都是1個單位．定義：由點陣中的四個點為頂點的平行四邊形叫做陣點平行四邊形．圖中以A，B為頂點，面積為4的陣點平行四邊形的個數為（

）A．6個 B．7個 C．9個 D．11個【答案】D【分析】根據平行四邊形的判定，兩組對邊必須平行，可以得出上下各兩個平行四邊形符合要求，以及特殊四邊形矩形與正方形即可得出答案．【詳解】解：根據題意得：一共11個面積為4的陣點平行四邊形．故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，根據平行四邊形的判定得出結論是解題的關鍵．【題型4求與已知三點組成平行四邊形的點的個數】【例4】（2020春·四川廣元·八年級統(tǒng)考期末）已知A，B，C三點的坐標分別是(3，3)，(8，3)，(4，6)，若以A，B，C，D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，則D點的坐標不可能是（

）A．(?1，6) B．(9，6) C．(7，0) D．(0，?6)【答案】D【分析】根據平行四邊形的性質，分別從以BC為對角線、以AC為對角線、以AB為對角線去分析求解即可求得答案．【詳解】解：當以BC為對角線時：CD=AB=5，此時D（9，6）；當以AC為對角線時，CD=AB=5，此時D（-1，6）；當以AB為對角線時，AD=BC═4，此時點D（7，0）．∴D點的坐標不可能是：（0，-6）．故選：D．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊平行且相等．解此題的關鍵是分類討論數學思想的運用．【變式4-1】（2019秋·江蘇南通·八年級?？计谀┮圆辉谕恢本€上的三個點為頂點作平行四邊形最多能作()A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】連接不在同一直線上的三點，得到一個三角形，分別以三角形的三邊為對角線，用作圖的方法，可得出選項．【詳解】如圖，以點A，B，C能做三個平行四邊形：分別是?ABCD，?ABFC，?AEBC.故選B.【變式4-2】（2022春·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系內，以A（3，5），B（1，1），C（4，1）三點為頂點畫平行四邊形．(1)可以畫多少個平行四邊形？(2)寫出每個平行四邊形第四個頂點D的坐標．【答案】(1)可以畫3個平行四邊形；(2)（0，5）或（6，5）或（2，?3）．【分析】（1）根據平行四邊形的性質，將平行四邊形畫出來即可；（2）根據所作平行四邊形可直接得出點D的坐標．（1）解：可以畫3個平行四邊形，如圖所示：（2）由圖可得：平行四邊形第四個頂點D的坐標為（0，5）或（6，5）或（2，?3）．【點睛】本題考查了坐標與圖形的性質、平行四邊形的性質等知識；熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．【變式4-3】（2020春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系xOy中，已知點A(1，1)，B(3，2)．（1）如圖1，在y軸上是否存在－點P，使PA＋PB最小，若存在求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．（2）如圖2，點C坐標為(4，1)，點D由原點O沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動，求點D運動幾秒時，四邊形ABCD是平行四邊形；（3）點P在x軸上，點Q在y軸上，且以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點P以及對應的點Q的坐標．【答案】(1)存在點P的坐標，且P(0,54)；(2)D運動2秒后四邊形ABCD【分析】(1)過A點作關于y軸的對稱點M，連接BM后與y軸的交點即為所求的點P，求出BM解析式，再令y=0進而求出P點坐標；(2)只能是AC為一條對角線，BD為另一對角線，設D(m,0)，利用BD的中點與AC的中點為同一個點即可求解；(3)分類討論：設P(m,0)，Q(0,n)，再分成①AB為對角線；②AP為對角線；③AQ為對角線共三種情況分別求解即可．【詳解】解：(1)過A點作關于y軸的對稱點M(-1，1)，連接BM后與y軸的交點即為所求的點P，如下圖所示：設直線BM的解析式為y=kx+b，代入M(-1,1)，B(3,2)，{1=?k+b2=3k+b，解之得∴直線BM解析式為y=1令x=0，解得y=54∴存在點P的坐標，且P(0,54故答案為：存在點P的坐標，使得PA+PB最小，此時P點坐標為(0,54(2)當四邊形ABCD是平行四邊形，只能是AC為一條對角線，另一條對角線為BD，設D(m,0)，由中點坐標公式可知：線段AC的中點坐標為(1+42,線段BD的中點坐標為(m+32,又線段AC與BD中點為同一個點，∴m+32=5故四邊形ABCD是平行四邊形，D點的坐標為(2,0)，又速度為1個單位每秒，∴經過2秒后，四邊形ABCD是平行四邊形，故答案為：2秒；(3)分類討論：設P(m,0)，Q(0,n)，A(1,1)，B(3,2)，情況①：AB為對角線時，另一對角線為PQ，線段AB的中點坐標為(2,32)又線段AB和線段PQ的中點為同一個點，∴{2=m2情況②：AQ為對角線時，另一對角線為BP，線段AQ的中點坐標為(12,又線段AQ和線段BP的中點為同一個點，∴{12=情況③：AP為對角線時，另一對角線為BQ，線段AP的中點坐標為(1+m2,又線段AQ和線段BP的中點為同一個點，∴{1+m綜上所述，P點坐標為(4,0)或(-2,0)或(2,0)，對應的Q點坐標為(0,3)或(0,1)或(0,-1)．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質及判定、平行四邊形的存在性問題等，熟練掌握判定法則及平行四邊形的性質是解決本題的關鍵．【題型5證明四邊形是平行四邊形】【例5】（2023秋·山東泰安·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，BC＝AC，點E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點，連接EF并延長，交△ABC外角∠ACD的平分線于點G．求證：四邊形【答案】見解析【分析】先由BC=AC可以知道角相等，再利用角平分線的性質進行等角轉化得到平行，然后根據中點得到邊相等，進而得到全等三角形，最后根據△AEF≌△CFG得到相等，最后得出結論．【詳解】解：∵BC=AC∴∠BAC=∠ABC∵CG是外角∠ACD的角平分線∴∠ACG=∠DCG=∵∠ACD=∠BAC+∠ABC=2∠BAC∴∠ACG=∠BAC∴AE∵點F是AC的中點∴AF=FC∴在△AEF和△CGF中∴∠ACG=∠BAC∴△AEF≌△CFG∴AE=CG∴四邊形AECG是平行四邊形【點睛】本題考查了三角形的判定和性質，平行四邊形的判定，利用全等三角形的判定和性質得到邊相等是解題的關鍵．【變式5-1】（2022春·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期末）如圖，BE是△ABC的中線，延長BE到D，使ED＝BE，連接AD，CD，補全圖形．判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結論．【答案】四邊形ABCD是平行四邊形，理由見解析【分析】按題意畫出圖形，證明AC與BD互相平分即可得出結論．【詳解】解：補全圖形如下，證明：∵BE是△ABC的中線，∴E是AC的中點，又∵DE＝BE，即E是BD的中點，∴AC與BD互相平分，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【點睛】本題考查了三角形的中線，平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關鍵．【變式5-2】（2022春·寧夏中衛(wèi)·八年級?？计谀┤鐖D，△ABC是等邊三角形，點D是射線BC上的一個動點(點D不與點B，C重合)，△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點E作BC的平行線，分別交射線AB，AC于點F，G，連接BE．(1)求證：△AEB≌△ADC．(2)當點D在線段BC上時．探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形？并寫出證明過程．【答案】(1)見解析(2)四邊形BCGE是平行四邊形，理由見解析【分析】（1）根據等邊三角形的性質可得AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，然后求出∠BAE=∠CAD，再利用邊角邊證明△AEB和△ADC全等；（2）四邊形BCGE是平行四邊形，因為△AEB≌△ADC，所以可得∠ABE=∠C=60°，進而證明∠ABE=∠BAC，則可得到EB∥GC，又EG∥BC，所以四邊形BCGE（1）證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°．又∵∠EAB=∠EAD?∠BAD，∠DAC=∠BAC?∠BAD，∴∠EAB=∠DAC，在△AEB和△ADC中，AB=AC∠EAB=∠DAC∴△AEB≌△ADCSAS（2）解：四邊形BCGE是平行四邊形，理由如下：由1得△AEB≌△ADC，∴∠ABE=∠C=60°．又∵∠BAC=∠C=60°，∴∠ABE=∠BAC，∴EB∥GC又∵EG∥BC，∴四邊形BCGE是平行四邊形．【點睛】本題考查了全等三角形判定和性質，等邊三角形的性質，平行四邊形的判定，靈活運用相關的性質定理、綜合運用知識是解題的關鍵．【變式5-3】（2022春·江西九江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC邊上的點，且DE=CF，連接BE和AF的交點為M，CE和DF的交點為N，連接(1)求證：四邊形ABFE為平行四邊形；(2)若AD=6cm，求MN【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證四邊形ABFE為平行四邊形；（2）由平行四邊形的性質可得DN=FN，AM=MF，由三角形中位線定理可求解．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵DE=CF，∴AE=BF．∴四邊形ABFE是平行四邊形；（2）解：∵DE=CF，AD∥∴四邊形DEFC是平行四邊形，∴DN=FN，∵四邊形ABFE是平行四邊形，∴AM=MF，∴MN∥AD，【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質，三角形中位線定理，掌握平行四邊形的對角線互相平分是解題的關鍵．【題型6全等三角形拼平行四邊形問題】【例6】（2022春·福建廈門·八年級統(tǒng)考期中）如圖，有兩種形狀不同的直角三角形紙片各兩塊，其中一種紙片的兩條直角邊長分別為1和2，另一種紙片的兩條直角邊長都為2．圖1、圖2、圖3是三張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1．(1)請用三種方法將圖中所給四塊直角三角形紙片拼成平行四邊形（非矩形），每種方法要把圖中所給的四塊直角三角形紙片全部用上，互不重疊且不留空隙，三種方法所拼得的平行四邊形（非矩形）的周長互不相等，并把你所拼得的圖形按實際大小畫在圖1、圖2、圖3的方格紙上．要求：①所畫圖形各頂點必須與方格紙中的小正方形頂點重合；②畫圖時，要保留四塊直角三角形紙片的拼接痕跡．(2)請證明你在圖1所拼得的四邊形是平行四邊形（非矩形）．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）圖1可以先用邊長為1、2的直角三角形拼出矩形，再分別在邊長為2的兩側拼上邊長都為2的直角三角形；圖2可以先用邊長都為2的直角三角形拼出矩形，再分別在邊長為2的兩側拼上邊長都為2、1的直角三角形；圖3以四個直角三角形的直角邊拼出對角線為3的平行四邊形即可；（2）根據平行四邊形的判定方法證明即可．（1）解：如圖所示：（2）證明：如圖1中，∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝22∴四邊形ABCD是平行四邊形．（同理，圖2和圖3均可根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形進行證明）【點睛】本題考查作圖—應用與設計作圖，平行四邊形的判定，勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用直角三角形和平行四邊形的性質進行拼接．【變式6-1】（2021·全國·九年級專題練習）如圖，有兩塊全等的含30°角的直角三角板，將它們拼成形狀不同的平行四邊形，則最多可以拼成（

）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【答案】C【分析】分別以不同的三邊為對角線進行拼接即可得．【詳解】以不同的三邊為對角線進行拼接，可拼成如下三種平行四邊形：故選：C．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，掌握理解并靈活運用判定方法是解題關鍵．【變式6-2】（2021·河南周口·三模）把三角形形狀的紙片放在方框紙上，使其每一個頂點都在格點上，如圖1所示（方格邊長均為∠）．對這個三角形進剪切、拼接后，可以得到一個平行四邊形，如圖2中陰影部分所示．剪切、拼接的方案如下：如圖2，取BC的中點M，連接AM﹔剪下△AMC后，拼接到△BEA位置，可得到平行四邊形AEBM．我們約定：剪切、拼接時，紙片的每一部分都要被用到，而且不得用所給紙片以外的紙片．(1)請你采用不同于圖2的剪切、拼接方案，也得到一個平行四邊形，在圖3中用陰影表示出你得到的平行四邊形，并補充已知和求證，寫出證明過程．(2)對這個三角形進行剪切、拼接后，也可以得到一梯形．試在圖4中，用陰影表示出你得到的梯形（不必說明剪切、拼接方案，但必須保留作圖痕跡）．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）沿中位線裁剪即為平行四邊形．BC是拼成四邊形的一條邊，即可，再根據拼接方法，寫出已知、求證，利用平行線的判定定理證明即可；（2）沿一腰的中點D向底邊剪開，得出FD=DG，進而得出梯形．（1）解：所畫圖形如下所示，已知：沿△ABC的中位線NE裁剪下△ANE，將△ANE按如圖所示拼接在一起，即點A與點C重合，點N與點M重合，AE與CE重合，得到四邊形BCMN，求證：四邊形BCMN是平行四邊形．證明：由題意，得△ANE≌△CME，∴∠A=∠ACM，AE=CM，∴AN∥CM，即BN∥CM，∴四邊形BCMN是平行四邊形．（2）解：所畫圖形如下所示，【點睛】此題主要考查了翻折變換的性質以及平行四邊形性質與判定、梯形的性質，正確利用全等三角形的性質是解題關鍵．【變式6-3】（2020秋·河北石家莊·九年級校考期中）如圖所示，ΔABC的頂點在8×8的網格中的格點上．(1)畫出ΔABC繞點A逆時針旋轉90°得到的ΔA(2)在圖中確定格點D，并畫出一個以A、B、C、D為頂點的四邊形，使其為中心對稱圖形．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）由題意可知旋轉中心、旋轉角、旋轉方向，根據旋轉的畫圖方法作圖即可；（2）如圖有三種情況，構造平行四邊形即可.【詳解】解：（1）如圖ΔAB（2）如圖，D、D’、D’’均為所求.【點睛】本題考查了圖形的旋轉及中心對稱圖形，熟練掌握作旋轉圖形的方法及中心對稱圖形的定義是解題的關鍵.【題型7利用平行四邊形的判定和性質求解】【例7】（2022秋·山東淄博·八年級?？计谀┤鐖D，在?ABCD中，過對角線BD上一點P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=3BG，S?BEPG=1.5，則【答案】4.5##9【分析】由條件可證明四邊形HPFD、BEPG為平行四邊形，可證明S四邊形AEPH=S四邊形【詳解】解：∵EF∥BC，GH∥AB，∴四邊形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG為平行四邊形，∴S同理可得SΔPHD=∴S即S四邊形∵CG=3BG，S?BEPG∴S故答案為：4.5．【點睛】本題主要考查平行四邊形的判定和性質，掌握平行四邊形的判定和性質是解題的關鍵，即①兩組對邊分別平行?四邊形為平行四邊形，②兩組對邊分別相等?四邊形為平行四邊形，③一組對邊平行且相等?四邊形為平行四邊形，④兩組對角分別相等?四邊形為平行四邊形，⑤對角線互相平分?四邊形為平行四邊形．【變式7-1】（2021秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AB，AC為腰向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，連接DE，CA的延長線交DE于點F，則與線段AF相等的是（

A．12BC B．12AB C．12AC D．【答案】A【分析】如圖，作DH⊥CF交CF的延長線于H，連接EH，證明△BCA≌△【詳解】解：如圖，作DH⊥CF交CF的延長線于H，連接∵∠ACB∴∠BAC+∠DAH∴∠BAC∵AB∴△BCA≌△∴AC=DH∵∠DHA=∠EAH∴DH∥AE，∴四邊形ADHE是平行四邊形，∴AF∴AF故選A．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．【變式7-2】（2022春·廣東深圳·八年級?？计谀┤鐖D，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，F(xiàn)A⊥AC，垂足為A，AF＝DF＝5，AD＝6，則AC的長為__．【答案】9.6【分析】根據線段垂直平分線的性質得到DA=DC，BA=BC，根據等腰三角形的性質得到∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA，證明AB∥DF，進而得到四邊形AFDB為平行四邊形，根據平行四邊形的性質得到BD=AF=5，AB=DF=5，根據勾股定理列出方程，解方程得到答案．【詳解】解：∵BD垂直平分AC，∴DA＝DC，BA＝BC，∴∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA，∴∠DAC＋∠BAC＝∠DCA＋∠BCA，即∠DAB＝∠BCD，∵∠BCD＝∠ADF，∴∠DAB＝∠ADF，∴AB∥DF，∵FA⊥AC，DB⊥AC，∴AF∥BD，∴四邊形AFDB為平行四邊形，∴BD＝AF＝5，AB＝DF＝5，設BE＝x，則DE＝5－x，在Rt△AEB中，AB在Rt△AED中，AD∴AB2?B解得：x＝75∴AE＝52∴AC＝2AE＝9.6，故AC的長為9.6，故答案為：9.6．【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定和性質、線段垂直平分線的性質，掌握垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關鍵．【變式7-3】（2022秋·江蘇·八年級期末）【情境】某校數學興趣小組嘗試自制數學學具進行自主合作探究．圖①是一塊邊長為12cm的等邊三角形學具，P是邊AC上一個動點，由點A向點C運動，速度為1cm/s，Q是邊CB延長線上一動點，與點P同時以相同的速度由點B向CB延長線方向運動，連接PQ，交AB于點D，設點P運動的時間為t((1)【問題】填空：CP+CQ=cm；(2)當∠DQB=30°時，求t的值；(3)【探究】如圖②，過點P作PE⊥AB，垂足為E，在點P，點Q運動過程中，線段DE的長度是否發(fā)生變化？若不變，請求出DE的長度；若變化，請說明理由．【答案】(1)24(2)4(3)不變，是定值6【分析】（1）由線段和差關系可求解；（2）由直角三角形的性質可列方程，即可求t的值；（3）過點Q作QF⊥AB交AB延長線于點F連接EQ，PF，由全等三角形的性質可證AB=EF，由題意可證四邊形PEQF是平行四邊形，可得【詳解】（1）解：∵△ABC是邊長為12的等邊三角形，∴∠ACB=60°，設AP=tcm則PC=(12?t)cm，∴QC=QB+BC=(12+t)cm∴CP+CQ=12?t+12+t=24（2）解：∵∠ACB=60°，∴∠QPC=90°∴QC=2PC∴12+t=2(12?t)，解得：t=4（3）解：線段DE的長度不改變，如圖：過點Q作QF⊥AB交AB延長線于點F連接EQ∵PE⊥AB，∴QF∥∵點P、∴AP=BQ∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°∵AP=BQ，∴△AEP≌∴AE=BF∴BE+AE=BF+BE∴AB=EF=12∵PE⊥AB，∴QF∥∴四邊形PEQF是平行四邊形，∴DE=DF=【點睛】本題考查的是三角形綜合題，等邊三角形的性質及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質，熟練全等三角形判定是解答此題的關鍵．【題型8利用平行四邊形的判定和性質證明】【例8】（2022春·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）如圖，以?ABCD的邊AB、CD為邊，作等邊△ABE和等邊△CDF，連接DE，BF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．【答案】證明見解析【分析】根據平行四邊形的性質，得出AD=CB，AB=CD，∠DAB=∠BCD，再根據等邊三角形的性質，得出AB=BE=AE=CD=CF=DF，∠BAE=DCF=60°，再根據角之間的數量關系，得出∠DAE=∠BCF，再根據SAS，得出△ADE≌△CBF，再根據全等三角形的性質，得出DE=BF，再根據平行四邊形的判定定理，即可得出結論．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=CB，AB=CD，∠DAB=∠BCD，∵△ABE和△CDF是等邊三角形，∴AB=BE=AE=CD=CF=DF，∠BAE=DCF=60°，∴∠DAB?∠BAE=∠BCD?∠DCF，∴∠DAE=∠BCF，在△ADE和△CBF中，AD=CB∠DAE=∠BCF∴△ADE≌△CBFSAS∴DE=BF，∵BE=DF，∴四邊形BFDE是平行四邊形．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質、等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質，解本題的關鍵在熟練掌握相關的性質、定理．【變式8-1】（2022春·四川成都·八年級?？计谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，BD=2AB，點E為線段OC的中點．(1)求證：∠ABO=2∠ODE；(2)若F，G分別是OB，AD的中點．①判斷△EFG的形狀并證明你的結論；②當EF⊥EG，且AB=25時，求平行四邊形ABCD【答案】(1)見解析，(2)①△EFG【分析】（1）由平行四邊形的性質易證∠CDO=∠ABO，再證△CDO是等腰三角形，由等腰三角形三線合一性質得出∠ODE=∠CDE=1（2）①易證DE⊥CO，由G為AD中點，得出EG=12AD，再由E、F分別是OC、OB的中點，得出EF=12BC，由平行四邊形的性質得②先證四邊形BEFG是平行四邊形，得出∠EFG=∠GDE，∠DGE=∠FEG，再證△EFG、△DEG、△AED都是等腰直角三角形，設DG=GE=x，則DE=AE=2x，CE=13AE=2x3，由勾股定理求出【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD,AB=CD，∴∠CDO=∠ABO，∵BD=2AB，∴AB=DO=CD，∴△CDO是等腰三角形，∵點E為線段OC的中點，∴∠ODE=∠CDE=1∴∠ABO=2∠ODE；（2）①△EFG的形狀為等腰三角形，理由如下：∵△CDO是等腰三角形，E是CO中點，∴DE⊥CO，∴∠DEA=90°，∵G為AD中點，∴EG=1∵E、F分別是OC、OB的中點，∴EF=1∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，∴EG=EF，∴△EFG是等腰三角形；②解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，AB=CD=25，AD=BC，AD∵E、F分別是OC、OB的中點，∴CE=13AE，EF∴EF∥BC，∴EF∥∵G是AD的中點，∴DG=1∴EF=DG，∴四邊形BEFG是平行四邊形，∴∠EFG=∠GDE，EF∥∴∠DGE=∠FEG，∵EF⊥EG，∴∠FEG=∠DGE=90°，由①得：EG=EF，∴△EFG是等腰直角三角形，∴∠EFG=∠GDE=45°，∴△DEG是等腰直角三角形，∴DG=GE，∵∠DEA=90°，∴△AED是等腰直角三角形，∴DE=AE，設DG=GE=x，則DE=AE=2x，在Rt△DEC中，由勾股定理得：C即(25解得：x=3或x=?3(不合題意，舍去)，∴DE=32∴AC=4CE=4×2∴S【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、中位線定理、平行線的判定與性質、勾股定理、平行四邊形面積的計算等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質和等腰直角三角形的判定與性質是解題的關鍵．【變式8-2】（2022春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）已知，在△ABC中，點M是BC的中點，點D是線段AM上一點（不與點A重合）．過點D作AB的平行線，過點C作AM的平行線，兩線交于點E，連結AE．(1)如圖1，當點D與M重合時，求證：四邊形ABDE是平行四邊形；(2)如圖2，當點D不與M重合時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；(3)圖3，延長BD交AC于點H，若BH⊥AC，且BH=AM，求∠CAM的度數．【答案】(1)見解析(2)成立，證明見解析(3)30°【分析】（1）利用平行線的性質可得同位角相等，再利用ASA證明ΔABD?ΔEDC（2）過點M作MG∥DE交EC于點G，則四邊形DMGE為平行四邊形，得ED=GM且ED//GM，由（1）可得AB=GM且（3）取線段HC的中點I，連接MI，由三角形中位線定理得MI∥BH，MI=12BH（1）解：證明：∵DE∥∴∠EDC=∠ABM，∵CE∥∴∠ECD=∠ADB，∵AM是ΔABC的中線，且D與M∴BD=DC，∴Δ∴AB=ED，∵AB∥∴四邊形ABDE是平行四邊形；（2）成立，理由如下：過點M作MG∥DE交EC于點∵CE∥∴四邊形DMGE為平行四邊形，∴ED=GM且ED∥由（1）可得AB=GM且AB∥∴AB=ED且AB∥∴四邊形ABDE為平行四邊形；（3）取線段HC的中點I，連接MI，∴MI是ΔBHC∴MI∥BH，∵BH⊥AC且BH=AM，∴MI=12AM∴∠CAM=30°．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的判定與性質，三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質等知識，遇中點取中點構造中位線是解決問題（3）的關鍵．【變式8-3】（2022春·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，將△ABC繞頂點A逆時針旋轉得到△ADE．設旋轉角度為α度0°≤α<120°，AD交BC于點F，DE分別交BC、AC于點G、H．試探究以下問題：(1)當α=_______時，△ABF為直角三角形；(2)當△ADH且為等腰三角形時，求BF的值；(3)連接BD，是否存在角α，使得四邊形ABDH為平行四邊形?如果存在，直接寫出α的大?。喝绻淮嬖?，請說明理由．【答案】(1)60°或90°(2)BF的值為23?2(3)不存在；理由見解析【分析】（1）分兩種情況：①當∠AFB＝90°時；由角的互余關系即可求出結果；②當∠BAF＝90°時，即α＝90°；（2）分兩種情況：①當AD＝DH時，作FN⊥AB于N，設FN＝x，則BF＝2x，BN=3x，AN＝FN＝②當AH＝DH時，∠DAH＝∠D＝30°，由勾股定理即可求出BF；（3）若四邊形ABDH為平行四邊形，則AB∥DH，得出α＝∠D＝30°，由等腰三角形的性質得出∠ADB≠∠DAH，得出BD與AH不平行，即可得出結論．（1）解：分兩種情況：①當∠AFB＝90°時，α＝90°?∠B＝60°；②當∠BAF＝90°時，即α＝90°；綜上分析可知，當α＝60°或90°時，△ABF為直角三角形．故答案為：60°或90°．（2）解：分兩種情況：①當AD＝DH時，∠DAC＝∠AHD＝12∵AB=AC=2，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAC=18