2023年中考數(shù)學(xué)幾何模型-動(dòng)點(diǎn)最值之隱圓模型（講+練）（解析版）

專題13動(dòng)點(diǎn)最值之隱圓模型

模型一、動(dòng)點(diǎn)定長(zhǎng)模型

若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP,則B、C、P三點(diǎn)共圓，A圓心，AB半徑

例.如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCO中，ZA=60°,M是邊的中點(diǎn)，N是A8邊上的一動(dòng)

點(diǎn)，將“MN沿所在直線翻折得到△A'MN,連接A'C,則A'C長(zhǎng)度的最小值是.

【答案】V7-1.

【解析】考慮△AA/N沿所在直線翻折得到“"MM可得MA'=MA=1,所以4軌跡是以

M點(diǎn)為圓心，MA為半徑的圓弧.連接CM,與圓的交點(diǎn)即為所求的A，，此時(shí)A'C的值最小.

構(gòu)造直角△MHC,勾股定理求CM,再減去4M即可，答案為近一］.

【變式訓(xùn)練1】如圖，在RtZiABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)F在邊AC上，并且CF=2,

點(diǎn)E為邊8C上的動(dòng)點(diǎn)，將ACE尸沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊48距離

的最小值是.

【解析】考慮到將AFCE沿EF翻折得到AFPE,可得。點(diǎn)軌跡是以尸點(diǎn)為圓心，F(xiàn)C為半徑

的圓弧.過(guò)產(chǎn)點(diǎn)作與圓的交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)P到A8的距離最小.由相

似先求再減去FP,即可得到答案為1.2.

【變式訓(xùn)練2】如圖，矩形ABC。中，AB=4,BC=8,P、。分別是直線BC、AB上的兩個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，4E=2,^AEQ沿EQ翻折形成△FEQ,連接PF、PD,則PF+PD的最小值是.

【答案】8

【解析】尸點(diǎn)軌跡是以E點(diǎn)為圓心，EA為半徑的圓，作點(diǎn)。關(guān)于8c對(duì)稱點(diǎn)。，連接P。，

PF+PD化為PF+PD，.連接EZT,與圓的交點(diǎn)為所求F點(diǎn)，與8c交點(diǎn)為所求尸點(diǎn)，勾股定

理先求m',再減去E尸即可.

模型二、直角圓周角模型

固定線段AB所對(duì)動(dòng)角NC恒為90°,則A、B、C三點(diǎn)共圓，AB為直徑

IB

例.如圖，RtAABC中，AB1BC,AB=8,BC=4,P是AABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足

ZPBC,則線段CP長(zhǎng)的最小值是.

【答案】472-4

【解析】V^PBC+ZPBA=90°,NPBC=NHB,；.N租B+/P8A=90°,AZAPB=90°,

.??P點(diǎn)軌跡是以AB為直徑的圓弧.

當(dāng)。、P、C共線時(shí)，CP取到最小值，勾股定理先求0C,再減去OP即可.

【變式訓(xùn)練1】如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)M和N分別從B、C同時(shí)出發(fā)，以

相同的速度沿BC、CD向終點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)，連接AM、BN,交于點(diǎn)P,連接PC,則PC長(zhǎng)的最

小值為（）

2石一2C.375-1D.2石

【答案】A

【詳解】由題意得：BM=CN,

團(tuán)四邊形ABCD是正方形，00ABM=?BCN=9O°,AB=BC=4,

在13ABM和mBCN中，AB=BC,0ABM=0BCN,MB=CN,00ABM勵(lì)BCN(SAS),EGBAM=0CBN,

03ABP+回CBN=90",00ABP+BBAM=9O°,國(guó)APB=90",

田點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心為0,運(yùn)動(dòng)路徑一條弧BG,是這個(gè)圓的!，

4

連接0C交圓。于P,此時(shí)PC最小，I3AB=4,I3OP=OB=2,由勾股定理得：0C="彳=

2出,

團(tuán)PC=0C-0P=2石-2；

故選：A.

【變式訓(xùn)練2】如圖，E、尸是正方形ABC。的邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足連接b

交BD于點(diǎn)G,連接BE交AG于點(diǎn)”，若正方形邊長(zhǎng)為2,則線段。，長(zhǎng)度的最小值是.

【解析】根據(jù)條件可知：ZDAG=ZDCG=ZABE,易證AGLBE,即/AH8=90。，所以H

點(diǎn)軌跡是以為直徑的圓弧當(dāng)H、。共線時(shí)，。，取到最小值，勾股定理可求.答案

【變式訓(xùn)練3】如圖，點(diǎn)M是矩形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BN0AM于點(diǎn)P,交

矩形ABCD的邊于點(diǎn)N,連接DP,若AB=6,AD=4,則DP的長(zhǎng)的最小值為()

A.2B.I2屈c(diǎn).4D.5

13

【答案】A

【詳解】解：0BN0AM,EBAPB=90",

0AB=6為定長(zhǎng)，則P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AB為直徑，在AB上方的半圓，取AB的中點(diǎn)為0,

連接0D,0D與半圓的交點(diǎn)，就是DP長(zhǎng)的最小值時(shí)的位置，如圖所示：

0AB=6,AD=4,E)0P'=0A=；AB=3,0D=^AD2+OA2=>/42+32=5,

E)DP,=OD-OP,=5-3=2,?DP的長(zhǎng)的最小值為2,故選：A.

模型三、四點(diǎn)共圓模型

固定線段AB所對(duì)同側(cè)動(dòng)角NP=NC,則A、B、C、P四點(diǎn)共圓

例.如圖，MSC0AADE,ZBAC=ZDAE=90：AB=4,4c=3,尸是OE的中點(diǎn)，若點(diǎn)

E是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接8P,則3尸的最小值是()

BEC

56

A.-B.2C.一D.4

25

【答案】B

【,詳解】解：EBABC團(tuán)團(tuán)ADE,ADE=E)ABE,回點(diǎn)A,D.B,E四點(diǎn)共圓，

H3DAE=90°,E0DBE=9O°,(3F是DE的中點(diǎn)，0BF=yDE,團(tuán)當(dāng)DE最小時(shí)，BF的值最小，

回若點(diǎn)E是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，13當(dāng)AEI3BC時(shí)，AE最小，此時(shí)，DE最小，

A8xAC12

團(tuán)團(tuán)BAC=90°,AB=4,AC=3,團(tuán)BC=5,0AE=-------------=>

BC5

35

ACBC—=——

團(tuán)團(tuán)ABC雷ADE,團(tuán)=,012DE，

AEDE—

團(tuán)DE=4,因BF=2,故選B.

B飛C

【變式訓(xùn)練1】如圖，在四邊形ABC。中，ZBCD=90°,AC為對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)。作OF_LAB,

垂足為E，交C2延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,若AC=CF,4CAD=ZCFD,DF-AD=2,AB=6,

則ED的長(zhǎng)為絲.

一5一

一

1一

FBCFBC

【解答】解：ZCAD=ZCFD,2點(diǎn)4,F,C。四點(diǎn)共圓，

/.ZMD+ZDCF=180o,ZMC=ZFDC,

9

VZDCF=90°,.,.ZMD=90°,：AC=FC,：.ZFAC=ZAFCf

VDF1AB,:.NABF+NBFE=NCDF+/BFE=90。，

AZABF=ZCDFf：.ZAFB=ZABF,：.AF=AB=6,

"：DF-AD=2,：.DF=AD+2,'：DF2=AF2+AD1,：.(2+AD)2=62+AD2,解得：AO=8,

：.DF=IO,

'：ZFAD=90°,AE±DF,：./XADE^^DAF,二地=理，，。￡=^1=$=鯉，

DFADDF105

故答案為：32.

5

【變式訓(xùn)練2】如圖，P為菱形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接P4,PB,PD,ZAPD=ZBAD=60°,

AB=2,則P8+PD的最大值為（）

C.>/3+-D.—1

22+

【答案】B

【詳解】如圖，連接80.在菱形A8CO中,

AB=4).又，，ZBAZ)=60°.EIZXABO是等邊三角形，=ZAfi￡>=60°.

X0ZAP￡>=ZZ?A￡>=6O°.自動(dòng)點(diǎn)P一定在△AB￡>的外接圓］0的劣弧8。上，

0ABPD=ZAPD+ZAPB=ZAPD+ZADB=120°.在AP上取A￡=BP,連接OE.

⑦AE=BP，ZDAE=ZDBP,DA=DB,HAA￡D^ABP￡>，；.DE=DP，

ZAED=ZBPD=120°,

..ZD￡P(guān)=60。，回△POE為等邊三角形，:.PE=PD,:.AP=AE+EP=BP+PD.

當(dāng)”為。的直徑時(shí)，8P+PD的值最大，此時(shí)NABP=90。，ZPAB=30°.

24I-

又-AB=2,.1PB+P。的最大值為——=~^-故選：B.

cos3003

【變式訓(xùn)練3】如圖，在幽8c中，BC=9,AC=12,AB=15,。為直線A8上方一點(diǎn)，連接

AD,BD,且EMD8=90。,過(guò)D作直線BC的垂線，垂足為E,則線段BE的長(zhǎng)度的最大值為.

D

E

【答案】12.

【詳解】解：在a48c中,81=9,AC=12,AB=15,BC2=81,AC2=144,AB2=225,

BC2+AC2=AB2.，NC=90。，

回&4。8=90。，；.A、C、D、8共圓

取A8的中點(diǎn)0連接。。，過(guò)點(diǎn)。作。尸JLEB于點(diǎn)尸

如圖，當(dāng)OD//5C時(shí)，BE最大，此時(shí)ODLAC,ODLDE,

110

OF//AC,OF_LO。,BF=—BC=—x9=—，.■.四邊形ODEF是矩形，

222

.?.EF=OD=1AB=-X15=—,

222

915

BE=BF+EF=-+—=\2,

22

故答案為：12.

課后訓(xùn)練

1.如圖，在RS48C中，NACB=90。，BC=4,AC=10,點(diǎn)。是4c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CD為

直徑作圓O,連接30交圓。于點(diǎn)E,則AE的最小值為.

【解析】連接CE,由于CD為直徑，故/CE￡>=90°,考慮到CD是動(dòng)線段，故可以將此題

看成定線段CB對(duì)直角NCEB.取CB中點(diǎn)所以E點(diǎn)軌跡是以M為圓心、CB為直徑的

圓弧.連接AM,與圓弧交點(diǎn)即為所求E點(diǎn)，此時(shí)AE值最小，

AE=AM-EM=yllO2+22-2=2726-2.

2.如圖，A8是半回。的直徑，點(diǎn)C在半回。上，AB=5cm,4C=4cm.。是8c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

連接AD,過(guò)點(diǎn)C作CE0AD于E,連接BE.在點(diǎn)D移動(dòng)的過(guò)程中，BE的最小值為（）

【答案】B

【詳解】解：如圖，連接8。、BC.

2-fC

D

0CEI2MD,024EC=9O°,

回在點(diǎn)D移動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)E在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

B48是直徑，0MCB=9C)。，

在RtMBC中，EWC=4,48=5,BC=ylAB2-AC2=>/52-42=3-O'E=2,

在RtE)8C。'中，BO=JBC'CQ2=>/22+32=713，

IZlOT+BfsrO'B,田當(dāng)。\E、B共線時(shí)，BE的值最小,最小值為。8-。任=布-2,

故選：B.

3.如圖，在平行四邊形4BCD中，AB=8,AD=6,以AB為邊向右作等邊ABE,F為邊CD

上一點(diǎn)，DF=2,連接EF,則EF的最小值為_.

【答案】29-6

【詳解】解：如圖，在AB上取點(diǎn)。，使得A0=2,則AO=DF,

BAOElDf,團(tuán)四邊形AOFD是平行四邊形，

SOF=AD=6,即：點(diǎn)尸在以。為圓心，6為半徑的圓上，

連接。E,當(dāng)點(diǎn)F恰好在?！晟蠒r(shí)，EF最小，過(guò)點(diǎn)E作EHM8,

在等邊aA8E中，AB=AE=8,AH=4,0H￡=782-42=45/3>

團(tuán)在RtOHE中，OH=4-2=2,團(tuán)?！?,2?+（4后J=2屈，

EEF=2jB-6,即EF的最小值為2萬(wàn)-6.

4.如圖，正方形A3CZ）的邊長(zhǎng)為5,點(diǎn)。是中心，點(diǎn)M在邊AB上，連接08,OM,過(guò)。

作ON_LOM,交邊8c于點(diǎn)N.若8"=2,則助V的長(zhǎng)是.

【答案】3

【詳解】連接MMOC,00MOA/=90°,團(tuán)M8N=90°,團(tuán)M、。、N、8四點(diǎn)共圓，

SBBOM+SBNO=180°,

EBBNO+回。NC=180°,回團(tuán)8MO=I2ONC,

回點(diǎn)。是正方形A8CD的中心，I3O8=OC,06OC=90°,

00/WO/V=0/WOB+0BOW=90°,回BOC=?8ON+EINOC=90°,

EE/WOB=RINOC,EHMOBEBNOC,0NC=/WB=2,

回正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5,0BC=5,0BN=BC-M?=5-2=3.故答案為：3.

5.在RtAABC中，ZC=90°,AC=10,BC=12,點(diǎn)。為線段BC上一動(dòng)點(diǎn).以CO為。。

直徑，作AO交。。于點(diǎn)E,連8E,則8E的最小值為一8.

屋」總

3

【解答】解：如圖，連接CE,...NCED=NCEA=90。，點(diǎn)E在以AC為直徑的。Q上,

：AC=10,.,.QC=QE=5,

當(dāng)點(diǎn)Q、E、B共線時(shí)8E最小，

：8C=12,.?.QB={BC2_HQC2=3二比：=。8-QE=8,.?.8E的最小值為8,

故答案為8.

6.如圖，在AABC中，/C=90。，點(diǎn)。是3c邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)8作交AD的延

An

長(zhǎng)線于E.若AC=2,BC=4,則黑的最小值為（）

V5+1

D.

2

【答案】D

【詳解】如圖1,過(guò)點(diǎn)E作麻，8c于F,

AnAC

0ZC=9O°,^ACHEF,團(tuán).ACD^EDF,S一二一，

DEEF

AF)Ar

加c是定值，睢座取最大值時(shí)5r而有最小值,又回曲5E,射，8,E，C四點(diǎn)共圓,

設(shè)AB的中點(diǎn)為。，連接。E,當(dāng)0EL8C時(shí)，EF有最大值,

如圖2,當(dāng)點(diǎn)E是8c中點(diǎn)時(shí)，EF的值最大,

此時(shí)，E,F,。共線.回AC=2,BC=4,^AB=y]AC2+BC2=722+42=2y/5^OE=OB=45,

22

I3O￡_L8C,0BF=；BC=2,^OF=y]OB-BF=>/5^4=l-@EF=OE-OF=君-I,

AC_22(百+1)后+1嗯的最小值為守故選。

DE-EF-75-l-(V5-l)(>/5+l)-2

7.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,動(dòng)點(diǎn)、E、F分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分

別沿48、CD向終點(diǎn)B、。移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，過(guò)點(diǎn)B作直線EF的垂線

BG,垂足為點(diǎn)G,連接AG,則AG長(zhǎng)的最小值為.

【解析】首先考慮整個(gè)問(wèn)題中的不變量，僅有AE=CF,BGLEF,但ZBGE所對(duì)的8E邊是

不確定的.

重點(diǎn)放在AE=C