2023年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編：數(shù)列、平面向量

2023年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編：數(shù)列、平面向量

一、填空題

1.（2023?全國甲卷）記為為等比數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和.若8s6=753，則｛即｝的公比為.

2.（2023?天津卷）在△ABC中，乙4=60°,BC=1,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，若設(shè)通=五,

AC=b'則荏可用亂加表示為;若融=』前,則荏?加的最大值為

3.（2023?全國乙卷）已知｛an｝為等比數(shù)列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8,則a7=.

4.（2023?上海卷）已知不=（一2,3）,b=（1,2）,求N?E=;

5.（2023?上海卷）已知｛aj為等比數(shù)列，月.臼=3,q=2,求S6=;

6.（2023?新高考回卷）已知向量五，B滿足同一瓦=冉，口+山=|2&—瓦，嘛\=

二、選擇題

7.（2023?全國甲卷）已知正項(xiàng)等比數(shù)列,仁中,%=1,Sn為｛斯｝前n項(xiàng)和,S5=5S3-4,則S4=

（）

A.7B.9C.15D.30

8.（2023.全國甲卷）向量向=|&=1,日|=收且五+b+m=6，則cos〈3—,,b—c）=（）

A.-1B.-1C.|D.1

9.（2023?全國甲卷）已知向量五=（3,1）,b=（2,2）,則cos伍+丸a—b）=（）

A.三B.巫C.第D?等

1717

10.（2023?全國甲卷）記Sn為等差數(shù)列｛的｝的前n項(xiàng)和.若。2+。6=10,a4a8=45,則S5=（）

A.25B.22C.20D.15

11.（2023?全國甲卷）已知橢圓需+*=1，%,92為兩個(gè)焦點(diǎn)，。為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn),

=

COSZF1PF2則|尸。|=（）

A2BC

524D.竽

12.（2023?天津卷）已知｛a｝為等比數(shù)列，S"為數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和,an+1=2Sn+2,則的值為

（）

A.3B.18C.54D.152

13.（2023,全國乙卷）已知等差數(shù)列{恤}的公差為冬，集合S={cosanlnCN*},若5={a,b},則ab=

)

A.-1B.-1C.0D.1

14.（2023?全國乙卷）已知。。的半徑為1,直線PA與。。相切于點(diǎn)A,直線PB與。。交于B,C兩

點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若仍。|=衣，則西.麗的最大值為（）

A.1^2B.C.1+V2D.2+V2

15.（2023?全國乙卷）正方形ZBCC的邊長是2,E是AB的中點(diǎn)，則品.前=（）

A.yfsB.3C.2^5D.5

（?新高考團(tuán)卷）記為等比數(shù)列｛｝的前項(xiàng)和,若=—?jiǎng)t（）

16.2023Snann5,S6=2152,S&=

A.120B.85C.-85D.-120

17.（2023?新高考回卷）記&為數(shù)列｛a/的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：｛a“為等差數(shù)列；乙：｛字｝為等差數(shù)列，則

（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

18.（2023?新高考團(tuán)卷）已知向量a=（l,1）,b=（l,-1）.若（a+入b）_L（a+jib）,則（）

A.入+|i=lB.X+|i=-1C.加=1D.卻=-1

三、解答題

（?全國甲卷）已知數(shù)列｛｝中，設(shè)聯(lián)為｛｝前項(xiàng)和,

19.2023ana2=1,Sann2Sn=nan.

（1）求｛即｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛噴｝的前n項(xiàng)和7”.

（?天津卷）已知｛｝為等差數(shù)列,

20.20239a2+a5=16,a5-a3=4.

（1）求｛廝｝的通項(xiàng)公式和

（2）已知｛為｝為等比數(shù)列，對(duì)于任意kCN*,若2?1WnS2卜—1，則九<須<%+1，

（I）當(dāng)k22時(shí)，求證：2卜—1<%<2卜+1;

（II）求｛%｝的通項(xiàng)公式及其前幾項(xiàng)和.

21.（2023?全國乙卷）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB1BC,AB=2,BC=2&，PB=PC=V6，

BP,AP,BC的中點(diǎn)分別為。，E,0,點(diǎn)F在AC上，BF1AO.

p

(1)求證：EF〃平面/D。；

(2)若4P0F=120。，求三棱錐P-ABC的體積。

22.(2023?全國乙卷)記Sn為等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和,已知口2=11，Sio=40.

(1)求｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛|a”|｝的前n項(xiàng)和7n.

23.(2023?上海卷)已知/(x)=仇x,取點(diǎn)(%.(%))過其曲線y=f(x)作切線交y軸于(0,a2),取點(diǎn)

(。2〃。2))過其曲線y=/(x)作切線交y軸于(0,a3),若。3〉0則繼續(xù)，若a3W0則停止，以此類推得到

數(shù)列｛aj

(1)若正整數(shù)m22,證明a?t=/nam-i-1；

(2)若正整數(shù)m>2,試比較cim與Om-i-2大小；

(3)若正整數(shù)kN3,是否存在k使得由，a2,03?“依依次成等差數(shù)列?若存在，求出k的所有取值，

若不存在，請(qǐng)說明理由.

24.(2023?新高考回卷)已知｛an｝為等差數(shù)列,bn='"一,，"為濟(jì)數(shù)，記方,附為｛即｝｛g｝的前n項(xiàng)

2an,n為偶數(shù)

和，S4=32,T3=16

(1)求｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式.

(2)證明：當(dāng)n>5時(shí)，Tn>Sn.

25.(2023?新高考回卷)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,且d>l,令“=①，記S“,T”分別為數(shù)

列5｝，｛匕｝的前n項(xiàng)和.

(1)若3a2=3%+。3,$3+73=21，求｛即｝的通項(xiàng)公式;

(2)若｛%｝為等差數(shù)列，且$99-799=99,求d.

26.（2023?新高考團(tuán)卷）甲乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未

命中則換為對(duì)方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為

0.8,由抽簽決定第一次投籃的人選，第一次投籃的人是甲，乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

(3)已知：若隨機(jī)變量Xj服從兩點(diǎn)分布，且P(%=1)=1-P(Xj=0)=q”i=1,2,???,n,

則EQXiXD=記前n次（即從第I次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為丫，求EW）.

答案解析部分

1.【答案】一4

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】當(dāng)q=1時(shí)，顯然8s6豐7s3,不滿足題意；

當(dāng)q#i時(shí),s”=。噌;1)

V8S=75,...8~z—-7~z~，即8(q6-1)=8(q3+l)(q3—1)=7(q3-1),

63q—1q—1

二8(q3+1)=7,解得q=_：

故答案為：—々

【分析】利用等比數(shù)列公式Sn=等早代入求解。

2.【答案】|a+|h；25

【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式；向量加減混合運(yùn)算；余弦定理

【解析】【解答】如圖所示，

第一空：?.?點(diǎn)。為48的中點(diǎn),點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)

--AD=98，

由平行四邊形法則易得族=/(辰+筋)=3融+=蓊+轉(zhuǎn)

第二空：由：喬=事近，

?'?斯—=抑1T，

，AF=4B+BF=AB+=4B+'(BA+AC)='a+'b，

-,-AE-?1F=?(|a+=||a|+gb|+|a|&COS2J4=1|a|+挹|+閨耶

又'Z=60°,BC=1,

PI+\b\-172-2

根據(jù)余弦定理得：cos%，LL=「2即1同1?b=同11+b-i

W

o—>12

T|2T2解得RI+!|W2,

q+

b-1<2

綱+耶|+言同阿=胴+易（同+阿T）=3（BI+阿）一身〈分

故當(dāng)且僅當(dāng)同=w時(shí)，被刀的最大為基.

故答案填：13.

【分析】根據(jù)題意，將其中兩邊視為基底向量，由平行四邊形法則易表示AE-,同理利用基底向量可表

示林，進(jìn)而表示荏?希，表示后的結(jié)構(gòu)易聯(lián)想到使用基本不等式求其最大值，由基底夾角結(jié)合第三邊

BC=1可聯(lián)想使用余弦定理得出平方和與乘積的等量關(guān)系，消元且使用基本不等式可求得荏?赤的最大

值.

3.【答案】一2

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

【解析】【解答】設(shè)首項(xiàng)為即，公比為q，

217

貝！]口2。405=ajq8,Q3Q6=a/q7,a9a1Q=a1q

?a2a4a5=Q3a6，09。10=—8,

?3c8_2c72c17-Q

??Qn]q—Qn]q,na】q—_o?

??a】W0，qV0

化簡整理得的q=l,qi5=—8,即q5=—2,

07=a1q6=Qiq）xq5=—2,

故答案為：-2.

【分析】設(shè)｛即｝首項(xiàng)為由，公比為q,由已知條件結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式整理化簡得出答案.

4.【答案】4

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

【解析】【解答】：五=（一2,3）,5=（1,2）

?'?a-b=（-2）xl+3x2=4

故答案為：4

【分析】由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算代入即得答案.

5.【答案】189

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】15｝為等比數(shù)列且的=3,q=2,

s6-i—q-1二2-189-

故答案為：189

【分析】代入等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即得答案.

6.【答案】V3

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

【解析】【解答】?*'a+b=2a—b,a+b=2a—b=>a2+2a-b+b2=4a2-4a-b4-h2

化簡得相=2；)，

_>—?T—>2TT—>—>—>—>

'''a—b=V3)a—b=a2—2a-b+b2=b2=3^?-b=V3

故答案為：V3

【分析】利用向量性質(zhì)，同時(shí)平方化簡得出答案。

7.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】根據(jù)題意，設(shè)數(shù)列｛a"的公比為q(q>l),

..馬=嘩普=超,同理5sL4=5*-4,

由S5—5s3—4?

二彳三1=5彳三1-4,整理得q5-5q3+4q=q(q2_i)(q2_4)=0,解得q=2,

旬(1-4)

=15-

i-q

故選：c.

【分析】根據(jù)題意設(shè)出公比，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式將已知條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于q的方程從而解出q,

即可算出S*

8.【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)乘的運(yùn)算；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

【解析】【解答】e**a+h4-c=0?

.T—>

??a+b=-c，

又?；|Q|=|b|=l,\c\=V2?

22

，(a+b)=|a|+2a-b+|b|=2+2a-&=|-c|=2'解得或.匕=O'口嗎J.b?

如下圖，

不妨設(shè)&=ZOB=b,OC=~c,

由平行四邊形法則易得力+辦=OC'四邊形OACB為正方形,

以O(shè)A、OB分別為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則a-(1,0)，b=(0,1),c=(1>1)>則c—(—1，1)'

a—c=(2/1),b—c=(1,2)，

|a—c|=V5,b—cl=V5

故選：D.

【分析】由已知向量模與向量和的關(guān)系，利用向量性質(zhì)得出熱工=0,同時(shí)根據(jù)特殊數(shù)值關(guān)系，以分析

向量間的位置分布，可結(jié)合平面將向量坐標(biāo)化，進(jìn)而計(jì)算得出向量的夾角余弦值.

9.【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

【解析】【解答】；a=(3,1)，b=(2,2)，；i+b=(5,3),a-6=(1,—

?1?a+b=V52+32=V34,|a—h|-V2,(a+b)?(a-b)=(5,3>(1,-1)=5-3=2,

a+b]-[a—b

————2717

???cos<a+b,a—b>=

V2xV34~1T

a+bCL—b

故選：B

TT

【分析】由；=（3,1）,b=（2,2），向量坐標(biāo)運(yùn)算分別計(jì)算?+1）?（；-④，a+b\,a-b再利

a-\-b)-a—b

用公式cosVa+b,a-b>=,得出答案。

a+b||a—b|

10.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列概念與表示；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】???{4}為等差數(shù)列，

?,?有。2+@6=204=10，???。2+%=2a4=10,。4=5

,**=45,**?CIQ—9

...d—a84a4=i,a3=a4—d=5-1=4

**?S5=Q]+。2+。3++。5=5。3=20

故選：C

【分析】利用等差中項(xiàng)公式逐步分析，由需求S5轉(zhuǎn)化成求5a3。

1L【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】向量的模；余弦定理

【解析】【解答】根據(jù)題意，易得a=3,c=V3,不妨設(shè)尸1（-b，0）為橢圓左焦點(diǎn)，如下圖所示

設(shè)PF1=x,則PF?=2a—x=6—x,

在^&PF2中，根據(jù)余弦定理得cosb/??=1=#寸6芝212,整理得2/一⑵+15=0,

1--------------------4

2

?9?sinZ-F1PF2=y/1—COSZF1PF2=5

又：SAPFIF2=；.PFi?P&sinN/P尸2=j'尸/2?|yp|

將同2=3代入4+W=1

?'?\xp\2=/，

22

；"。|=Jkpl+|yP|=等

故選：B.

【分析】根據(jù)橢圓定義設(shè)PF1=x,則PF?=6-由余弦定理得出關(guān)于x的等量關(guān)系2/一12%+

15=0,結(jié)合面積的兩種表達(dá)方式，利用整體的等量關(guān)系可直接將|%|計(jì)算后代入橢圓方程即可算出

|PO|的值.

12.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】'：an+1=2Sn+2......①，

??Q九二2s九一1+2......（2）

由①一②得，an+1-an=2（Sn-Sn^=2an,即泮；=3,

wn—1

；.｛an｝公比為3,

當(dāng)n=l時(shí)，?2=2sl+2=2al+2=3%,解得西=2,

?4=O.1Q3=2x3，=54>

故選：C.

【分析】由遞推公式即與Sn關(guān)系得出數(shù)列｛冊(cè)｝公比為，再由遞推公式當(dāng)n=l時(shí)，即=力求出首項(xiàng)即得

的值.

13.【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；余弦函數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】設(shè)等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為。1，由其公差為手,

易得@2=a】H—03=01H—。4=+2冗...以八=a1H—g-(TI—1),

即得cos%,(%+第,(%+等),cosa=cosQ+2TT)=cos%cosa=

cosa2=coscosa3=cos4n

cos[a]H—(n-1)j,

由集合S只含有兩個(gè)元素，即cosan=a或cosc1n=b.

由上述可知不妨cosa】=costz4=且a1Va】+-2-Va】H—g-VQ]+2TC,

故cos。？=cosa3=b,

.\a2+a3=2TT,即弧+竽）+（即+竽）=2TT,解得臼=0,

。]=（2TT\2TT1

**.a=coscosO=1,b=cos%+—J=COST=-2

故ab=

【分析】根據(jù)題意結(jié)合余弦函數(shù)周期性分析得出cos%=cos%，cosa2=8SQ3，即可計(jì)算ab的值.

14.【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；函數(shù)戶Asin（3X+6）的圖象與性質(zhì)

—>——>—>

【解析】【解答】根據(jù)題意，由P4-P/）=PA-PDcos^PAD,

當(dāng)cosNPAD夾角越小值越大，同時(shí)結(jié)合圓的對(duì)稱性，故當(dāng)PA與PC在圓O同測的圓弧上時(shí)，達(dá)到最

大，

如下圖所示，連接PO,OA,OD,

??.OA*1,Z.OAP=90°,

.->—?2—>2

,9AP=PO-OA=1?

N

???△04P是等腰直角三角形，ZOPA=45°,

又???D為BC的中點(diǎn)，

AOD1PC

由|P0|=V2,設(shè)4。P。=a，Z-APD=0

:*PD=V2cosa,cos0=cos(45°—a)=/(cosa+sina)?

TTTITI^2

PA-PD=PA?\PD\COSZ-PAD=V2cosax號(hào)(cosa+sina)=cos2a+sinacosa

即PA?PD=(2cos2a+2sinacosa)=*(cos2a+sin2a+1)=/[V2sin(2a+力+1]

當(dāng)且僅當(dāng)sin(2a+號(hào)=>時(shí),[V2sin(2a+亨)+1]=短;1

即a=工+kn(kGZ*)時(shí)，pA.PDmax=弩.

故選：A

【分析】結(jié)合草圖分析，可設(shè)夾角NPOD=a,LAPD=6,表示出兩?而結(jié)合二倍角與輔助角公式得

出正弦型函數(shù)，從而分析得出答案.

15.【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

【解析】【解答】由正方形4BCD的邊長為2,E為48中點(diǎn)可知，ABAD=2,AB-AD=0^

EC=EB+BC=^AB+AD^ED=EA+AD=^BA+AD=AD-^AB

(4D-2AB)=AD-4A產(chǎn)=4-1=3

故選：B

【分析】以6，G為基底表示防，訪運(yùn)用數(shù)量積進(jìn)行計(jì)算。

16.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】???數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，

顯然當(dāng)q=1時(shí)不符合題意，

S

"n=a^-n'*1），

6

_%(1—q2)_a1(l-</4)_^(1-q)

"3~1_qX-i_q一'%-i-q

,?，$6=21s2，Qitjq，=21的,：勺―)=>(q6—1)=(q2—1)(Q4+q2+1)=21(g2-1)=>q4+q2—

，—q，—q

20=0,

解得q2=4,q2=一5(舍去)

代入S—駕滬得自」

的(1-q8)i

4

???SQ=---3-------=夕(1-4)=-85

1-qJ

故選：c

【分析】直接利用等比通項(xiàng)公式，代入條件解出公比q,為避免分類討論跳過求ai,得到值瑞=寺關(guān)系

即得答案。

17.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】甲：設(shè)數(shù)列｛斯｝首項(xiàng)為田，公差為d],則a”=%+(ri—l)d,Sn=a"；。]n=九的+

n(n—l)d1

2，

所以另=%+(n-1),，

由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可知數(shù)列倍｝是首項(xiàng)為由，公差為受的等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；

乙：設(shè)數(shù)列管｝是首項(xiàng)為a2,公差為d2則彗=a2+(n-l)d2，

nna

-'-Sn=(a2+(n-l)c?2)=2+"S產(chǎn)％，

由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可知數(shù)列｛斯｝是首項(xiàng)為。2,公差為2d2的等差數(shù)列，即乙是甲的充分條件；

甲是乙的充要條件。

故選：C

【分析】根據(jù)題意表達(dá)數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式即得答案。

18.【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積判斷平面向量的垂直關(guān)系

【解析】【解答】?Q+ab=(l+a，1—4),a+4b=(1+〃，1—〃),且e+Xb)X(CL+)，

,,(CL+Ab).(CL+p.b)=(1+A,1—入)(1+1—4)=(1+4)(1+〃)+(1—A)(l—〃)=2+

2A/z=0,

即=-i

故選：D

【分析】該題主要考察了向量的四則運(yùn)算及向量垂直的意義，即之_L盛函.力=0

19.【答案】(1)由做=1

令n=2,代入2Sn=九即得

2s2=2(。1+a2)=2a2，解得，

El32Sn=nan,①

則2Sn_i=5-l)an_i，(n>2)……②

由①-②整理得，置=半多(22)

冊(cè)有"一幺一血__即一

映力1一2一3一…?一71—1一1

所以此時(shí)斯=n-l(n>3)

將=0與4=1代入通項(xiàng)，等式成立

故斯—n—l(n6N*).

(2)由(1)的冊(cè)="—l(>€N*),

令bn==會(huì)

則的=比+厲+久+...+如一1+bn

1.23n-1?n個(gè)

=2+/+/+……+尹+/……③

.?.2〃=,+|+/+……++……④

由④-③得Tn=(1-揄+他(2—1)+會(huì)(3—2)+........+(n-1-n+2)

1

Tn=2-p(n+2),nEN*.

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列的遞推公式

【解析】【分析】(1)由。2=1與遞推式2Sn=na”得出劭，進(jìn)而由Sn與即的遞推式構(gòu)造得出即與斯一的關(guān)

系，從而得出｛a。｝的通項(xiàng)公式.

(2)由數(shù)列｛號(hào)與結(jié)構(gòu)可用錯(cuò)位相減法求得前n項(xiàng)和7\.

20.【答案】(1)解：設(shè)等差數(shù)列｛a"的首項(xiàng)為由，公差為d,

；?。2+。5=2al+d=16,。5一。3=24=4?

解得：d=2,%=3

，｛。九｝通項(xiàng)公式為，即=Qi+(幾一l)d=2n+1

由求和項(xiàng)數(shù)為(2九-1)-271T+1=2rlt,

n-1義

.工葭匕a；=2X(2X2=T+1)+2*1(231-1)2=22n-l+2In-l=3x22n-2=3x4n-l

(2)(I)由(1)斯=2n+l,

<n<2k-l，

kk+1k+1

-'-2+l<2n+l<2-1)即2k+1<an<2-1，

由：瓦<an<bk+i，

??<2"+1WunW2“+1—1<bk+i，

kk+1

^bk<2+l,2-1<bk+1>即2"-l<瓦，(k>2)

k

故2k-l<bk<2+l(k>2)；

證畢！

(II)由(1)得，2"—1<%<2"+1522),則，3<b2<5

設(shè)｛%｝的公比為q,

2n+1-l<察<2n+1+l33

則即2一渦w<q<2+自恒成立，

2n+1+l2n-l

33

0,

當(dāng)71->+8，則2n+1+]TO,2^^

.?.此時(shí)為使q在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)恒成立，q=2,

n2

此時(shí)“=b2-q-=b2-2n-

同理，由2皿一1<勾<2"+1(>22)

2n-1<&,2"-2<2"+1

...金三1<b2<煞|，即4--7^2<電<4+予占恒成立，

故人2=4,

???勾=W,2n-2=2n,

.".bi=2,

，S_2x(1-2)_2九+1_2

—1—2一乙乙

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【分析】(1)利用通項(xiàng)公式將已知等差數(shù)列各項(xiàng)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)與公差的方程組，進(jìn)而解方程組

得出通項(xiàng)公式；利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式結(jié)合求和符號(hào)及其意義代入計(jì)算得出￡[4.1見；

nnn+1

(2)根據(jù)題意易得2-l<bn<2+l(n>2),從而為分析q與首項(xiàng)，即得2"+1-1<bn+1<2+

1,從而結(jié)合不等式恒成立分析得出q的值；結(jié)合n的取值此處分析員，同理，通過不等式恒成立分析即

可得出.

21.【答案】(1)如圖，連接DE,OF,設(shè)6=血晶，

.—>->—>一TT

則BF=BA+mAC=BA+m{AB+BC)=(m-Y)AB+mBC>

又ib=6+礪=6+；立

???BF140且AB1BC,即6.忌=o.

■■BF-AO=[(m-1)AB+mBc\■(/IB+|BC)=(m-l)ifi24-0+jBC2=0-

由；AB=2,BC=2岱代入得4(6-1)+0+夕X8=O

解得m=；，

AF=^AC,即F為4c中點(diǎn)，

又,：BP,AP,BC的中點(diǎn)分別為D,E,0,

OF||力B且OF=DE||4B且CE=*AB，

：.DE||OFS.DE=OF,

，四邊形DEFO為平行四邊形，.?.EF〃DO

又???DOu平面ADO,EF||平面ADO,

(2)由(1)得，OF是△ABC的中位線，

易得SACFO-4sA48C，

"^P-ABC=4%-CF。

VOF||AB,OF=AB1BC,■■■CO1OF,OF=^AB=1

。為BC中點(diǎn)，PB=PC=V6,CO1PO,PO=>JPB2-OB2=2

又?：FOCPO=0,FO,P。u平面POF,CO1平面POF,

Vp_CF0=VC_PFO=^CO-SAPOF=^COOP-OFsinl20°=恪，

_276

???^P-ABC=^P-CFO=—o—

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定

【解析】【分析】（1）以條件BF_LAO作為切入點(diǎn)，考慮以忌，病為基底從向量角度表示麻，盛）并運(yùn)用

數(shù)量積為0確判斷F點(diǎn)的位置，從而得出F為中點(diǎn)，由多個(gè)中點(diǎn)產(chǎn)生的中位線證明線面平行；

（2）由（1）易知底面存在中位線，即存在面積的倍數(shù)關(guān)系，利用等高可將三棱錐P-ABC體積轉(zhuǎn)化為P-

OFC,利用條件簡單分析得到的線面垂直，即以^POF為底面、OC為高求出此時(shí)幾何體的體積即得答

案。

22.【答案】（1）設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為由，公差為d,

n,

則a；,=%+（九一l）d,Sn=%+2"

???02=+d=11,S10=10?i+45d=40,解得即=13,d——2,

???an=13—2（n—1）=15—2n

（2）由（1）知S幾=13九+九（九-1）x（—2）=14九一"2,

+

令%=15-2n<0,解得nC苧，n&N

當(dāng)71工7時(shí)，CLn>?？傻肨九=+\d2I+…+|即|=+。2+…+=14n—層；

a=a

當(dāng)幾>8時(shí)，an<?？傻肨九=|。11+l@2l+…+\n\（。1+@2+---。7）—（。8+。9+-----n）=

22

2（%+與----F07）—（。1+。2■1-----Fan）=2s7-Sn=98-（14幾-n）=n-14n+98,

f14九一九2,n<7

Tn=\

In2-14n+98,n>8

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；數(shù)列的求和

【解析】【分析】（1）利用公式斯=。1+5-1“，S”=忖+的押］幾根據(jù)已知條件表達(dá)有關(guān)如與d

的方程組計(jì)算并得出答案；

（2）討論斯的符號(hào)去絕對(duì)值，分類得出rn。

23.【答案】(1)根據(jù)題意，可設(shè)(am_1,f(%nT))過其曲線y=/(x)切線交y軸于(0，&n)，

由/(%)=lnx(x>0),

則［(%)=］,

1

則過(％nT，/(。皿-力)的斜率k=/'(am-l)==，

um-l

1i

,此時(shí)切線方程為y-/(a-i)=------(X-am-1),即y=-------X+lnam-1-1.

mum-lum-l

令X=0,即由。狙=InQm-l-1，證畢；

(2)由⑴得Qm=lnQm.1-1,故am-(am-x-2)=lnam_1-am_r+1

令t=。時(shí)1，g(t)=Int-t4-l(t>0)

則g'(t)=f—1,

???g'(t)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

令g'(t)=0,則t=1.

故g(t)在(0、1］上單調(diào)遞增,在(1,+8)單調(diào)遞減，

即=9(1)=Ini-1+1=0,

?W)<0,即Int—t4-1<0,

,,。771*"(。血-1-2)g0,即—a?n—1—2.

(3)由(1)易得a2=In%—L的二上敢―1，?…，的=1。恁-1—1，

①假設(shè)kN2存在02,的…隊(duì)依次成等差數(shù)列，設(shè)公差為d,

—a9

Ad=a32=04-的二???=縱-cf-k-i

，d=(lna2—1)—(InQi-1)=(lna3—1)—(lna2—1)=...=(Ina九—1)—(lnan_2-1)=Ind,

由日=Ind,由(2)可知d-1>Ind,

Ad>Ind,即d=Ind方程無實(shí)數(shù)解；

工當(dāng)kN2時(shí),a2,的…t依次成等差數(shù)列不成立;

②當(dāng)Ql，a2,03成等差數(shù)列，即2@2=。1+。3，

=In%—1,。3=加。2—1

.??%=e?2+i,

/.2a2=eQ+i+ina2—1,即e02+i+ina2-2a2-1=0

令。2—九，h(n)=en+1+Inn-2n—l

則》(ri)=en+1+^-2

n+1

,：a2>0,即n>0,.-.e+--2>e-2>0,

在(0,+8)上單調(diào)遞增，

XV/i(l)=e2-3>0,h(e-10)=ee-1°+1+Ine-10-2xe-10-1<e2-11<0)

.,.h(n)在(e-i。，1)上必存在一個(gè)零點(diǎn)使得/i(n)=0,

二方程6。2+1+lna2-2a2-1=0有唯一解，

即存在k=3時(shí)，劭，a2,as成等差數(shù)列.

綜上所述，存在k=3時(shí)，即，a2,&3成等差數(shù)列.

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；數(shù)列的遞推公式

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，可得到切線方程與y軸交點(diǎn)與切點(diǎn)的前后關(guān)系，故可設(shè)

結(jié)合題意按一般求導(dǎo)法求切線方程易證得am=ln/n-i-1；

(2)由⑴結(jié)合作差法易，令《=?-I且構(gòu)造函數(shù)。⑷=Int-t+l(t>0),求導(dǎo)得出函數(shù)極值從而得出二

者大小關(guān)系；

(3)假設(shè)對(duì)任意的k滿足a?,。3,“以依次成等差數(shù)列，將式子變形整理易得d=Ind,結(jié)合(2)可知該方

程無解，故此時(shí)假設(shè)不成立；另假設(shè)特殊情形的,a2,a3成等差數(shù)列進(jìn)而消元轉(zhuǎn)化成只含的方程

+1

e^+lna2-2a2-l=0,轉(zhuǎn)化成函數(shù)與x軸交點(diǎn)問題，求導(dǎo)進(jìn)行單調(diào)性分析即得答案.

24.【答案】(1)???數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為的公差d,

,,(a-6,n為奇數(shù)

由田=n

2斯，n為偶數(shù)

???瓦=%—6,b2=2a2=2al+2d,%=。3—6=(a1+2d)—6

由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得54=4QI+6d=32,.…….①

73=必+勿+出=4al+4d=16,.......(2)

聯(lián)立①②，解得的=5,d=2,

?.?｛。九｝為通項(xiàng)公式為冊(cè)=3+2九

(2)由(1)知Sn=>的+'(幾？1)、=*+4九,

_(an-6,幾為奇數(shù)_(2n-3,九為奇數(shù)

n=n=

.I2an,ri為偶數(shù)''(4n+6,九為偶數(shù)'

Q)當(dāng)n為偶數(shù)且n>5,此時(shí)7rl=bi+岳+岳+%+…+b九—i+%=(比+必+…+bn_1)+(岳+

b4+…+^n)

=[-1+3+…+2(n—1)—3]+[14+22+…+(4n+6)]

[(-1)+2(71_1)_3]X卜[(14)+(4n+6)]xg

2+2

327

~2n+2n

則T”_S,=,n2+-(n2+4律)=④何_般)=ln(n—1)>0,即7">Sn

②)11n為奇數(shù)且n>5,此時(shí)7^=61+62+63+64+…+^n-1+%=(比+/?3+…+勾)+(匕2++

…+匕-1)

=[—1+3+…+(2n—3)]+[14+22+…+4(ri—1)+6]

[(-l)4-2n-3]x^tl[14+4(n-l)+6]x^l

222

則Tn—Sn=1n+1n—5—(n+4n)=^(n—3n—10)="(n+2)(n—5)>0,即〃>Sn

???綜上所述，當(dāng)九>5時(shí)，Tn>Sn.

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；數(shù)列的求和

【解析】【分析】(1)直接利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式代入求解；

(2)分組求出當(dāng)九為奇數(shù)和偶數(shù)7n的值，與％作差結(jié)合二次函數(shù)或因式分解比較代數(shù)式的大小。

25.【答案】(1)?.,3七=3%+。3且an是等差數(shù)列

；?3(。1+d)=3al+&+2d),

整理得的=d>l,

此時(shí)斯=%+n(n—l)d=dn,6=儲(chǔ)產(chǎn)=生N

nana

所以S3+73=(即+做+劭)+(力1+82+力3)=6d+%+；+，=6d+，=21,解得d—3

Aan=dn=3n.

(2)由等差數(shù)列可設(shè)冊(cè)=nd+4bn=d1n+B

則%=din+=(1—dd^n24-[1—G4dl4-Bd)]n+AB=0

ndn+41

1—ddi=0

?1—+BcT)=0

AB=0

①若A=0時(shí)，則d=B=%，此時(shí)，an=dn,bn=^n+^

2

a-i=d,比=3

則S=（ai+—）n=（d+dn）n_（比+bQn_弓+蘇+初_（3+n）n

22ln=2=2=2d

貝US99—T99=處學(xué)您-f”=99

解得d=部颯=-1（舍去）

②若B=0時(shí)，則4=三，a=d,此時(shí)，cin=dn+d,bn=^n

,1

=2dJ,b1=口

a

同理可得S=（。1+即）兀=（3d+dn）n,_（3+如）“_G+扣）71_（l+n）n

n22*=2~2-=2d

貝"99一T99=加+羅陰_（1+駕X99=99

解得d=號(hào)（舍去）或i=—1（舍去）

綜上所述d=

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【分析】（1）結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式消元，均可以用d表示ai、an、bn；

（2）利用已知條件設(shè)等差數(shù)列為一次函數(shù)型，將已知條件消元整理轉(zhuǎn)化成只含d表示.

26.【答案】（1）設(shè)第2次投籃的人是乙的概率為P,

第1次甲投籃未中，第2次乙投籃的概率：Pi=0.5X0.4=1，

兩次投籃都是乙的概率：P2=0.5X0.8=|）

故第二次投籃是乙的概率為P=Pi+P2=|.

（2）設(shè)第E投籃的人是甲的概率為P”

則匕=0.6%+0.2a-%>=|PT+/,

=外一門|1明—9，所以｛匕是首項(xiàng)為Pi—：4公比為q=|,nPjdl）“

所以P,4.（曠+9

（3）由（2）得p,=9仔由題意得甲第i投籃次數(shù)匕服從兩點(diǎn)分布，且P（匕=1）=1一

16\5/3

P（匕=0）=qt，

K）=￡7=iPt，

.n

?'?Wk+31

檢驗(yàn)當(dāng)=0時(shí)也滿足上式,

綜上所述：E(Y)=11一值)+號(hào)，nEN

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用；概率的基本性質(zhì)；分類加法計(jì)數(shù)原理

【解析】【分析】(1)結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理及分步乘法計(jì)數(shù)原理得出答案；

(2)為求第i次投籃的概率，根據(jù)題意，需由i-1次計(jì)算，從而找出前一次與后一次的關(guān)系，求p的關(guān)系即

需利用數(shù)列關(guān)系構(gòu)造法求其通項(xiàng)公式；

(3)根據(jù)題意Xi服從二項(xiàng)分布，為求E")進(jìn)一步分析即求pi前n項(xiàng)和.

試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分：128分

客觀題（占比）28.0(21.9%)

分值分布

主觀題（占比）100.0(78.1%)

客觀題（占比）14(53.8%)

題量分布

主觀題（占比）12(46.2%)

2、試卷題量分