陜西省榆林市十校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月月考試題數(shù)學(xué)（文）

文科數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)，則（）A.0 B.－1 C.2 D.－22設(shè)全集，集合A，B滿足，，則（）A. B. C. D.3.如圖，已知一個(gè)三棱錐的主視圖、左視圖和俯視圖均為斜邊長為4的等腰直角三角形，則該三棱錐的體積為（）A. B. C. D.4.已知非零向量，滿足，且，則的最小值為（）A.2 B. C. D.15.已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且其圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.6.已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足，則P滿足的概率為（）A. B. C. D.7已知拋物線：，：，若直線l：與交于點(diǎn)A，B，且與交于點(diǎn)P，Q，且，則（）A.1 B.2 C.4 D.68.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若，且，則的面積（）A.1 B. C. D.9.已知函數(shù)在的最小值為－1，則（）A.2e B.3 C.e D.110.如圖，已知圓柱的斜截面是一個(gè)橢圓，該橢圓的長軸AC為圓柱的軸截面對(duì)角線，短軸長等于圓柱的底面直徑.將圓柱側(cè)面沿母線AB展開，則橢圓曲線在展開圖中恰好為一個(gè)周期的正弦曲線.若該段正弦曲線是函數(shù)圖像的一部分，且其對(duì)應(yīng)的橢圓曲線的離心率為，則的值為（）A. B. C. D.211.已知A，B是圓C：的兩點(diǎn)，且是正三角形，則直線AB的方程為（）A. B.C. D.12.已知函數(shù)，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線的切線l，切點(diǎn)為A，過A且與l垂直的直線交x軸于點(diǎn)B，則面積的取值范圍是（）A. B. C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知數(shù)據(jù)15，14，14，a，16的平均數(shù)為15，則其方差為______.14.已知某圓臺(tái)的上底面圓心為，半徑為r，下底面圓心為，半徑為2r，高為h.若該圓臺(tái)的外接球球心為O，且，則______.15.若雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是其右支上的動(dòng)點(diǎn)，與其左支交于點(diǎn)Q.若存在P，使得，則C的離心率的取值范圍為______.16.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，P為圓上一點(diǎn)，則的最大值為______.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.某酒店為了調(diào)查入住賓客對(duì)該酒店服務(wù)的滿意率，對(duì)一個(gè)月來曾入住過的顧客進(jìn)行回訪，回訪結(jié)果顯示，顧客的滿意率為80%.在不滿意的顧客中，對(duì)住宿環(huán)境不滿意的占60%，對(duì)服務(wù)員的服務(wù)態(tài)度不滿意的占40%.（1）若在回訪的所有顧客中，對(duì)住宿環(huán)境不滿意的顧客共有240人，求此次回訪的顧客總數(shù)；（2）若在一同住宿的甲、乙等五名顧客中，隨機(jī)選擇兩名進(jìn)行回訪，求甲、乙兩人中至少一人被選中的概率.18.如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，.（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.19.已知等比數(shù)列公比，且，首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為.（1）若，且為定值，求q的值；（2）若對(duì)任意恒成立，求q的取值范圍.20.已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為A.過點(diǎn)F且不與x軸重合的直線l與C交于P，Q兩點(diǎn)（P在x軸上方），直線AP交直線：于點(diǎn)M.當(dāng)P的橫坐標(biāo)為時(shí)，.（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求的值.21.已知.（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，設(shè)，且不等式的解集為，證明：.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為.（1）以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，求圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）求圓C上的點(diǎn)到直線距離的最小值.[選修45：不等式選講]23.已知正數(shù)滿足.（1）若，求最小值；（2）證明：.文科數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則（）A.0 B.－1 C.2 D.－2【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，根據(jù)是實(shí)數(shù)求出的值【詳解】因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以.故選：B2.設(shè)全集，集合A，B滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由集合的交并補(bǔ)運(yùn)算的定義求解即可.【詳解】由題意，若，則，故A錯(cuò)誤；若，則，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，故，故C正確；若，則，故D錯(cuò)誤.故選：C.3.如圖，已知一個(gè)三棱錐的主視圖、左視圖和俯視圖均為斜邊長為4的等腰直角三角形，則該三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三視圖可以畫出該幾何體的直觀圖,可得一條側(cè)棱與底面垂直，底面是直角三角形，得四面體的高與底面積，計(jì)算四面體的體積.【詳解】知直角邊長為，所以體積.故選：D4.已知非零向量，滿足，且，則的最小值為（）A.2 B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】利用向量數(shù)量積與模長關(guān)系結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：B5.已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且其圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先分析題意結(jié)合已知信息，求出周期，解出答案可得.【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且其圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，得出的周期，所以.故選：A.6.已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足，則P滿足的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用線性規(guī)劃結(jié)合幾何概型計(jì)算即可.【詳解】如圖，可行域?yàn)樗鶉傻膮^(qū)域，，，滿足的區(qū)域?yàn)椋?，易知，所以的概?故選：D7.已知拋物線：，：，若直線l：與交于點(diǎn)A，B，且與交于點(diǎn)P，Q，且，則（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】分別將直線l與拋物線，聯(lián)立，要使，只需，整理解出即可.【詳解】結(jié)合題意：要使，即，只需滿足直線l與拋物線聯(lián)立，，消去x，整理得，所以，直線l與拋物線聯(lián)立，，消去x，整理得，所以，解得.故選:C.8.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若，且，則的面積（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)同角平方和關(guān)系可得，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式即可得，即可求解，或者利用二倍角公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可求解.【詳解】方法1：因?yàn)椋?，又，所以，由于，解得，則，由可得均為銳角，所以，則，所以，即，所以.方法2：因?yàn)椋?，又，故均為銳角，所以，即，因?yàn)?，故，?所以，則，故，.故選：A9.已知函數(shù)在的最小值為－1，則（）A.2e B.3 C.e D.1【答案】B【解析】【分析】首先分析題意，可知恒成立，再設(shè)，解出，求出，即.【詳解】由題意可知，恒成立，且存在，使得等號(hào)成立，所以恒成立，且存在，使得等號(hào)成立，設(shè)，則，令，解得，時(shí)，；時(shí)，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，易知，即.故選：B.10.如圖，已知圓柱的斜截面是一個(gè)橢圓，該橢圓的長軸AC為圓柱的軸截面對(duì)角線，短軸長等于圓柱的底面直徑.將圓柱側(cè)面沿母線AB展開，則橢圓曲線在展開圖中恰好為一個(gè)周期的正弦曲線.若該段正弦曲線是函數(shù)圖像的一部分，且其對(duì)應(yīng)的橢圓曲線的離心率為，則的值為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，以及橢圓的幾何性質(zhì)，利用勾股定理列出方程，即可求解.【詳解】由題意，橢圓曲線在展開圖中恰好為函數(shù)圖像的一部分，可得，且，所以圓柱的底面直徑，設(shè)橢圓長軸長為2a，短軸長為2b，因?yàn)殡x心率為，可得，所以，由勾股定理得，解得.故選：A.11.已知A，B是圓C：的兩點(diǎn)，且是正三角形，則直線AB的方程為（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合圖形，先判斷出切線與原點(diǎn)與圓心連線的夾角為，進(jìn)而得到兩點(diǎn)恰為切點(diǎn)，再應(yīng)用點(diǎn)到線的距離即可求解.【詳解】設(shè)是圓的圓心，，由題意可知，圓與軸相切于D點(diǎn)，則，又，所以，又是正三角形，則兩點(diǎn)恰為切點(diǎn)設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合，由題意可知，，且，所以，不妨設(shè)線段AB中點(diǎn)為H，則，設(shè)直線AB：，即，則，則或，結(jié)合圖形知時(shí)與圓沒有交點(diǎn)，故舍去，則，所以直線AB的方程為.故選：C12.已知函數(shù)，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線的切線l，切點(diǎn)為A，過A且與l垂直的直線交x軸于點(diǎn)B，則面積的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先設(shè)出切點(diǎn)，求出，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線l方程，根據(jù)切線l過原點(diǎn)求出切點(diǎn)坐標(biāo)和直線l的斜率；再根據(jù)已知條件求出直線的方程，進(jìn)一步求出點(diǎn)B坐標(biāo)；最后根據(jù)三角形面積公式表示出面積，利用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?設(shè)切點(diǎn)為，則，.所以切線l方程為.因?yàn)榍芯€l過坐標(biāo)原點(diǎn)O，所以將代入切線方程，整理得，解得：.所以，則點(diǎn)，.因?yàn)橹本€過A且與直線l垂直，所以，則直線的方程為.令，解得，所以點(diǎn)B坐標(biāo)為.所以.因，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于：先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決過原點(diǎn)的曲線切線方程問題；再根據(jù)平面兩直線垂直得出直線的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)B坐標(biāo)；最后表示出面積，利用基本不等式求解即可.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知數(shù)據(jù)15，14，14，a，16的平均數(shù)為15，則其方差為______.【答案】##【解析】【分析】先由平均數(shù)的公式計(jì)算出平均數(shù)，再根據(jù)方差的公式計(jì)算【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：14.已知某圓臺(tái)的上底面圓心為，半徑為r，下底面圓心為，半徑為2r，高為h.若該圓臺(tái)的外接球球心為O，且，則______.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)圓臺(tái)與球的特征計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，所?解之得.故答案為：315.若雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是其右支上的動(dòng)點(diǎn)，與其左支交于點(diǎn)Q.若存在P，使得，則C的離心率的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，所以，所以，由于，所以，解得，所?故答案為：16.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，P為圓上一點(diǎn)，則的最大值為______.【答案】200【解析】【分析】首先分析題意，方法一過O作于H，在過P作圓的一條切線，最后通過圖像，求出.方法二設(shè)出通過化簡，得出的最大值為200.【詳解】方法1：過O作于H，則，且易知H在以線段OA為直徑的圓上，設(shè)該圓的圓心為，則，過P作圓的一條切線，切點(diǎn)為B，則，故當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，的值最大.記圓的圓心為，其半徑，則由幾何關(guān)系可知，故的值最大為方法2：設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，的最大值為200.故答案為：200.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.某酒店為了調(diào)查入住賓客對(duì)該酒店服務(wù)的滿意率，對(duì)一個(gè)月來曾入住過的顧客進(jìn)行回訪，回訪結(jié)果顯示，顧客的滿意率為80%.在不滿意的顧客中，對(duì)住宿環(huán)境不滿意的占60%，對(duì)服務(wù)員的服務(wù)態(tài)度不滿意的占40%.（1）若在回訪的所有顧客中，對(duì)住宿環(huán)境不滿意的顧客共有240人，求此次回訪的顧客總數(shù)；（2）若在一同住宿的甲、乙等五名顧客中，隨機(jī)選擇兩名進(jìn)行回訪，求甲、乙兩人中至少一人被選中的概率.【答案】（1）人（2）【解析】【分析】（1）利用頻率、頻數(shù)與樣本容量的關(guān)系求解；（2）利用古典概率模型求解【小問1詳解】住宿環(huán)境不滿意的顧客在所有顧客中所占的比例為，所以回訪的顧客總數(shù)為人；【小問2詳解】設(shè)甲、乙兩人中至少一人被選中為事件A，由題意可知，甲乙兩人都未被選中的概率為,所以.18.如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，.（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）分別作的中點(diǎn)，證得，得到，再由，得到，根據(jù)線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而證得平面平面.（2）過作于，求得，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，結(jié)合，即可求解.【小問1詳解】證明：分別作的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，且四邊形為等腰梯形，可得，所以，在等腰梯形中，因?yàn)?，，可得，所以，因?yàn)槭钦切?，是中點(diǎn)，所以，又由，可知又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問2詳解】解：由（1）知，，且為的中點(diǎn)，可得，過作于，因?yàn)?，則為的中點(diǎn)，且，所以，又由，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.19.已知等比數(shù)列的公比，且，首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為.（1）若，且為定值，求q的值；（2）若對(duì)任意恒成立，求q的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式、等比數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)算變形即可得解.（2）對(duì)公比進(jìn)行分類討論即可，結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行適當(dāng)放縮比較即可得解.【小問1詳解】易知，若，且為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為定值－1.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，有，即要滿足恒成立，當(dāng)時(shí)，由于，這與恒成立矛盾.當(dāng)時(shí)，有，即要滿足恒成立，當(dāng)時(shí)，由于，故.綜上，q的取值范圍是.20.已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為A.過點(diǎn)F且不與x軸重合的直線l與C交于P，Q兩點(diǎn)（P在x軸上方），直線AP交直線：于點(diǎn)M.當(dāng)P的橫坐標(biāo)為時(shí)，.（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件及橢圓的定義求得a、b的值即可.（2）根據(jù)題意設(shè)出直線l，求出表達(dá)式，根據(jù)直線AP交直線：于點(diǎn)M，與，求出點(diǎn)M坐標(biāo)，進(jìn)而求出的值.【小問1詳解】由題意可知，，即，設(shè)，則，且有，所以，又，整理化簡有，所以（不合題意舍去），或，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由題可知，直線l的斜率不為0，設(shè)l：，，，將l與C的方程聯(lián)立，，消去x，整理得，所以，，則，又直線AP的方程為，則，所以，且，所以，所以，整理得，因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸上方，所以直線的斜率，且，所以，即，所以，又，所以，所以，即.21.已知.（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，設(shè)，且不等式的解集為，證明：.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）首先分析題意，可知，再分情況討論a,總結(jié)出的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）通過（1），可知，再分析題意，設(shè)出，