高考數(shù)學(xué)理北師大版一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練9-5空間直角坐標(biāo)系空間向量及其運(yùn)算

核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算

1.在空間四邊形ABCD中,若=(3,5,2),=(7,1,4),點(diǎn)E,F分別為線(xiàn)段BC,AD的中點(diǎn),則的坐標(biāo)為 ()A.(2,3,3) B.(2,3,3)C.(5,2,1) D.(5,2,1)2.在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,0,2),B(1,3,1),點(diǎn)M在y軸上,且M到A與到B的距離相等,則M的坐標(biāo)是________________.

3.如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,O為AC的中點(diǎn).用QUOTE,QUOTE,QUOTE表示QUOTE,則QUOTE=________________.

4.G為正四面體ABCD外接球的球心,則=x+y+z,x,y,z分別是 ()A.QUOTE,QUOTE,QUOTE B.QUOTE,QUOTE,QUOTEC.QUOTE,QUOTE,QUOTE D.QUOTE,QUOTE,QUOTE【解析】1.選B.因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別為線(xiàn)段BC,AD的中點(diǎn),設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),所以=,=QUOTE(+),=QUOTE(+).所以=QUOTE(+)QUOTE(+)=QUOTE(+)=QUOTE[(3,5,2)+(7,1,4)]=QUOTE(4,6,6)=(2,3,3).2.設(shè)M(0,y,0),則QUOTE=(1,y,2),QUOTE=(1,3y,1),由題意知|QUOTE|=|QUOTE|,所以12+y2+22=12+(3y)2+12,解得y=1,故M(0,1,0).答案:(0,1,0)3.因?yàn)镼UOTE=QUOTE=QUOTE(QUOTE+QUOTE),所以QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE(QUOTE+QUOTE)+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE.答案:QUOTE+QUOTE+QUOTE4.選A.取BC的中點(diǎn)M,△BCD的中心為O,則=QUOTE,=QUOTE+QUOTE,=QUOTE+QUOTE,=QUOTE+QUOTE+QUOTE,即x=y=z=QUOTE.用已知向量表示某一向量的方法(1)用已知向量來(lái)表示未知向量,一定要結(jié)合圖形,以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量,我們可把這個(gè)法則稱(chēng)為向量加法的多邊形法則.(3)在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法則,向量加法的平行四邊形法則在空間中仍然成立.考點(diǎn)二共線(xiàn)向量定理、共面向量定理及其應(yīng)用

【典例】1.已知a=(2,1,3),b=(1,4,2),c=(7,5,λ),若向量a,b,c共面,則實(shí)數(shù)λ等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE2.如圖,已知M,N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心,且G為AM上一點(diǎn),且GM∶GA=1∶3.求證:B,G,N三點(diǎn)共線(xiàn). 導(dǎo)學(xué)號(hào)【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1因?yàn)閍,b,c共面,想到c=xa+yb,列出方程組可求參數(shù)值.2要證B,G,N三點(diǎn)共線(xiàn),只要證QUOTE=λQUOTE即可,想到選擇恰當(dāng)?shù)幕蛄糠謩e表示QUOTE和QUOTE.【解析】1.選D.因?yàn)橄蛄縜,b,c共面,所以由共面向量基本定理,存在惟一有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使得xa+yb=c,所以QUOTE,解方程組得λ=QUOTE.2.設(shè)QUOTE=a,QUOTE=b,QUOTE=c,則QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=a+QUOTE(a+b+c)=QUOTEa+QUOTEb+QUOTEc,QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE(QUOTE+QUOTE)=a+QUOTEb+QUOTEc=QUOTE.所以QUOTE∥QUOTE,即B,G,N三點(diǎn)共線(xiàn).證明三點(diǎn)共線(xiàn)和空間四點(diǎn)共面的方法比較三點(diǎn)(P,A,B)共線(xiàn)空間四點(diǎn)(M,P,A,B)共面QUOTE=λQUOTE且同過(guò)點(diǎn)PQUOTE=xQUOTE+yQUOTE對(duì)空間任一點(diǎn)O,QUOTE=QUOTE+tQUOTE對(duì)空間任一點(diǎn)O,QUOTE=QUOTE+xQUOTE+yQUOTE1.e1,e2是平面內(nèi)不共線(xiàn)兩向量,已知QUOTE=e1ke2,QUOTE=2e1+e2,QUOTE=3e1e2,若A,B,D三點(diǎn)共線(xiàn),則k的值是 ()A.2 B.-3 C.2 【解析】選A.QUOTE=QUOTEQUOTE=e12e2,又A,B,D三點(diǎn)共線(xiàn),設(shè)QUOTE=λQUOTE,所以QUOTE,所以k=2.2.如圖,已知平行六面體ABCDA'B'C'D',E,F,G,H分別是棱A'D',D'C',C'C和AB的中點(diǎn),求證E,F,G,H四點(diǎn)共面.【證明】取QUOTE=a,QUOTE=b,QUOTE=c,則QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+2QUOTE+QUOTE=ba+2a+QUOTE(QUOTE+QUOTE+QUOTE)=b+a+QUOTE(baca)=QUOTEbQUOTEc,所以QUOTE與b,c共面.即E,F,G,H四點(diǎn)共面.考點(diǎn)三空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

命題精解讀1.考什么:(1)考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算、利用數(shù)量積求線(xiàn)段長(zhǎng)度、夾角大小以及證明垂直問(wèn)題.(2)考查直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2.怎么考:常見(jiàn)命題方向:證明線(xiàn)線(xiàn)垂直,求空間角.3.新趨勢(shì):以柱、錐、臺(tái)體為載體,利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算解決求值問(wèn)題.學(xué)霸好方法1.(1)利用數(shù)量積解決問(wèn)題的兩條途徑:一是根據(jù)數(shù)量積的定義,利用模與夾角直接計(jì)算;二是利用坐標(biāo)運(yùn)算.(2)利用數(shù)量積可解決有關(guān)垂直、夾角、長(zhǎng)度問(wèn)題.①a≠0,b≠0,a⊥b?a·b=0;②|a|=QUOTE;③cos<a,b>=QUOTE.2.交匯問(wèn)題:與立體幾何知識(shí)聯(lián)系,考查證明垂直,求空間角等問(wèn)題.空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【典例】1.在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中,E是BC的中點(diǎn),則·= ()A.0 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE2.已知向量a=(1,1,0),b=(1,0,2)且ka+b與2ab互相垂直,則k=___________. 導(dǎo)學(xué)號(hào)【解析】1.選D.·=QUOTE·=QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.由題意得,ka+b=(k1,k,2),2ab=(3,2,2).所以(ka+b)·(2a2k2×2=5k7=0,解得k=QUOTE.答案:QUOTE數(shù)量積的應(yīng)用【典例】已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5).(1)求以QUOTE,QUOTE為邊的平行四邊形的面積.(2)若|a|=QUOTE,且a分別與QUOTE,QUOTE垂直,求向量a的坐標(biāo). 導(dǎo)學(xué)號(hào)【解析】(1)由題意可得:QUOTE=(2,1,3),QUOTE=(1,3,2),所以cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以sin<QUOTE,QUOTE>=QUOTE,所以以QUOTE,QUOTE為邊的平行四邊形的面積為S=2×QUOTE|QUOTE|·|QUOTE|·sin<QUOTE,QUOTE>=14×QUOTE=7QUOTE.(2)設(shè)a=(x,y,z),由題意得QUOTE解得QUOTE或QUOTE所以向量a的坐標(biāo)為(1,1,1)或(1,1,1).1.已知向量a=(1,0,1),則下列向量中與a成60°夾角的是 ()A.(1,1,0) B.(1,1,0)C.(0,1,1) D.(1,0,1)【解析】選B.經(jīng)檢驗(yàn),選項(xiàng)B中向量(1,1,0)與向量a=(1,0,1)的夾角的余弦值為QUOTE,即它們的夾角為60°.2.如圖所示,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面為平行四邊形,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1,且兩兩夾角為(1)求AC1的長(zhǎng).(2)求證:AC1⊥BD.(3)求BD1與AC夾角的余弦值.【解析】(1)記=a,=b,=c,則|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,所以a·b=b·c=c·a=QUOTE.||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2×QUOTE=6,所以||=QUOTE,即AC1的長(zhǎng)為QUOTE.(2)因?yàn)?a+b+c,=ba,所以·=(a+b+c)·(ba)=a·b+b2+b·ca2a·ba·c=b·ca·c=|b|·|c|cos60°|a||c|cos60°=0.所以⊥,所以AC1⊥BD.(3)=b+ca,=a+b,所以||=QUOTE,||=QUOTE,·=(b+ca)·(a+b)=b2a2+a·c+b·c=1.所以cos<,>==QUOTE.所以AC與BD1夾角的余弦值為QUOTE.如圖,在△ABC中,AD⊥AB,QUOTE=QUOTE,|QUOTE|=1,則Q