電磁場與電磁波第3章-恒定電流的電場和磁場教材

第三章恒定電流的電場和磁場運動的電荷在它周圍不但產(chǎn)生電場，同時還產(chǎn)生磁場。由恒定電流或永久磁鐵產(chǎn)生的磁場不隨時間變化，稱為恒定磁場，也稱靜磁場。本章主要討論恒定電流產(chǎn)生的電場和磁場的基本特性以及磁場計算等，主要內(nèi)容有：

3.1恒定電流的電場*

3.2磁感應(yīng)強度*

3.3恒定磁場的基本方程*

3.4矢量磁位

3.5磁偶極子

3.6磁介質(zhì)中的場方程*

3.7恒定磁場的邊界條件*

3.8標量磁位

3.9互感和自感*

3.10磁場能量

3.11磁場力

1.幾個基本概念電流：導(dǎo)體內(nèi)電子在電場的作用下，沿著與電場方向相反的方向運動，形成電流。規(guī)定正電荷運動的方向為電流的方向。電場強度I：單位時間內(nèi)通過某導(dǎo)線截面的電荷量。用來描述一根導(dǎo)線上總電流的強弱。3.1恒定電流的電場3.1.1電流密度圖3-1電流密度

I是通量,并不反映電流在每一點的流動情況。電流密度描述電荷在空間的流動情況（即計及導(dǎo)體截面的大?。?。它是一個矢量，方向與導(dǎo)體正某點的正電荷運動方向相同，大小等于與正電荷運動方向垂直的單位面積上的電流強度。電流密度的單位是安培/米3(A/m3)。導(dǎo)體內(nèi)每一點都有一個電流密度，因而構(gòu)成一個矢量場。我們稱這一矢量場為電流場。電流場的矢量線叫做電流線。

電流密度：設(shè)通過ΔS的電流為ΔI，則該點處的電流密度

為其中，為某點處正電荷運動的方向，即與面元ΔS垂直?？梢詮碾娏髅芏?/p>

求出流過任意面積S的電流強度。一般情況下，電流密度

和面積元dS的方向并不相同。此時，通過面積S的電流就等于電流密度

在S上的通量，即

面電流密度：設(shè)通過Δl的電流為ΔI，則該點處的電流密度為圖3-2面電流密度

電流僅僅分布在導(dǎo)體表面的一個薄層內(nèi)電流可分為傳導(dǎo)電流和運流電流。

傳導(dǎo)電流是指導(dǎo)體中或半導(dǎo)體中自由電荷在電場作用下做定向運動所形成的電流，如金屬中的電流。電解液中的電流。

運流電流是指帶電粒子在真空中或氣體中運動時形成的電流，如真空管中的電流。當(dāng)體密度為ρ的帶電粒子以速度v運動時，運流電流密度為3.1.2電荷守恒定律

1.電荷守恒定律內(nèi)容在體密度為的空間內(nèi)，任取一個封閉的曲面S，通過S流出的電流應(yīng)該等于以S為邊界的體積V內(nèi)單位時間內(nèi)電荷減少的量，即電荷守恒定律表明，任一封閉系統(tǒng)的電荷總量不變，即任一個體積V內(nèi)的電荷增量必定等于流入這個體積的電荷量。3.1.2電荷守恒定律對式(3-5)，因積分在固定體積內(nèi)進行，即積分限與時間無關(guān)，以上微分可以移到積分內(nèi)。電流連續(xù)性方程積分式一般是空間點r和時間t的函數(shù)，故寫成求偏微分形式。由散度定理得要使這個積分對任意的體積V均成立，必須使被積函數(shù)為零，即電流連續(xù)性方程微分式導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)，任意點的電荷分布不隨時間變化，即故恒定電流場的電流連續(xù)性方程為－－微分式－－積分式則恒定電流的矢量線總是無起始點無終點的閉合曲線。3.1.3歐姆定律的微分形式－－微分式－－積分式是電導(dǎo)率，單位為西門子/米（S/m）。積分式描述一段導(dǎo)線上的導(dǎo)電規(guī)律；微分式描述導(dǎo)體內(nèi)任一點的與的關(guān)系，比積分式更細致的描述導(dǎo)體的導(dǎo)電規(guī)律。注：運流電流不遵從歐姆定律。1.電源外部的歐姆定律材料電導(dǎo)率σ/(S/m)鐵(99.98%)107

黃銅1.46×107

鋁3.54×107

金3.10×107

鉛4.55×107

銅5.80×107

銀6.20×10硅1.56×10-3

表3-1常用材料的電導(dǎo)率

2.電源內(nèi)部的歐姆定律要想在導(dǎo)線中維持恒定電流，必須依靠非靜電力使正電荷從電源負極向正極運動，不斷補充極板上的電荷，從而使得電荷分布保持不變。這種提供非靜電力將其它形式的能量轉(zhuǎn)為電能裝置稱為電源。非靜電力：不是由靜止電荷產(chǎn)生的力。例如：電池內(nèi)由化學(xué)反應(yīng)使正、負電荷分離的力；發(fā)電機內(nèi)由電磁感應(yīng)產(chǎn)生作用與電荷上的落侖磁力。非靜電力是維持導(dǎo)體內(nèi)電流恒定流動的必要條件。圖3-3電動勢將非靜電力對電荷的影響等效為一個非保守場(非庫侖場)，其電場強度E'只存在于電源內(nèi)部(如圖)。在電源外部只存在由恒定分布的電荷產(chǎn)生的電場(庫侖場)，用E表示。在電源內(nèi)部既有庫侖場,也有非保守場，二者方向相反。

電動勢：在電源內(nèi)部搬運單位正電荷從負極到正極時非靜電力所做的功，用ε表示。其數(shù)學(xué)表達式為電動勢主要用來描述電源的特性。與有無外電路無關(guān)，它是表示電源本身的特征量。對恒定電流場來說，其性質(zhì)與靜電場相同，故有式中的積分路徑是電源之內(nèi)或之外的導(dǎo)體中的任何閉合回路。式中的積分路徑是整個電流回路進行的。3.1.4焦耳定律

電流的熱效應(yīng)：導(dǎo)體內(nèi)自由電子在運動過程中不斷與金屬晶格點陣上的質(zhì)子碰撞，把自身的能量傳給質(zhì)子，使晶格點陣的熱運動加劇，導(dǎo)體溫度上升。

焦耳熱：在發(fā)生電流的熱效應(yīng)時，由電能轉(zhuǎn)換來的熱能。注：焦耳定律不適應(yīng)于運流電流。因為對于運流電流而言，電場力對電荷所作的功轉(zhuǎn)變?yōu)殡姾傻膭幽?，而不是轉(zhuǎn)變?yōu)殡姾膳c晶格碰撞的熱能。（W/m

）3

——焦耳定律的微分形式

電路中的焦耳定律，可由它的積分而得，即（W）——

焦耳定律的積分形式可以證明導(dǎo)體內(nèi)任一點的熱功率體密度為3.1.5恒定電流場的基本方程導(dǎo)體中恒定電場(電源外部)的基本方程：微分式：積分式：歐姆定律：焦耳定律的微分形式：3.1.6恒定電流場的邊界條件圖3-4邊界條件將恒定電流場基本方程的積分式應(yīng)用到兩種不同的導(dǎo)體界面上，可得到恒定電流場的邊界條件為說明分界面上電場強度的切向分量是連續(xù)的，電流密度法向分量是連續(xù)的。在恒定電場中，用電位φ表示的邊界條件為式中，Jn=J1n=J2n,當(dāng)時，分界面上的面電荷密度為零。在導(dǎo)體的電導(dǎo)率為常數(shù)時，在恒定電流下，導(dǎo)體內(nèi)電荷密度為零。對于分布均勻的導(dǎo)體，電荷只能分布在分界面上，其面密度為的法向邊界條件當(dāng)?shù)谝环N媒質(zhì)為良導(dǎo)體，第二種媒質(zhì)為不良導(dǎo)體時，即σ1>>σ2，則有故θ2≈0。它表明，只要θ1≠π/2,電流線垂直于良導(dǎo)體表面穿出，良導(dǎo)體表面近似為等位面。應(yīng)用邊界條件，可得折射定律例3-1

設(shè)同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a,外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)、外導(dǎo)體間填充電導(dǎo)率為σ的導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖3-5所示，求同軸線單位長度的漏電電導(dǎo)。圖3-5同軸線橫截面分析：電導(dǎo)計算公式為漏電電導(dǎo)由同軸線內(nèi)外導(dǎo)體間漏電電流形成，故求出漏電電流的大小以及與其產(chǎn)生電壓的關(guān)系。漏電電流方向沿半徑從內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體。故要分析周圍場。解：媒質(zhì)內(nèi)的漏電電流沿徑向從內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，設(shè)沿軸向方向單位長度(L=1)從內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的漏電電流為I，則媒質(zhì)內(nèi)任一點的電流密度和電場為

內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為單位長度的漏電電導(dǎo)為例3-2

一個同心球電容器的內(nèi)、外導(dǎo)體半徑為a、b,

內(nèi)、外導(dǎo)體間填充電導(dǎo)率為σ的媒質(zhì)，求該電容器的漏電電導(dǎo)。同心球電容器橫截面解：(思路同例題3-1)媒質(zhì)內(nèi)的漏電電流沿徑向從內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，設(shè)流過半徑為r的任一同心球面的漏電電流為I，則媒質(zhì)內(nèi)任一點的電流密度和電場為

內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為漏電電導(dǎo)為也可以通過計算媒質(zhì)內(nèi)的焦耳損耗功率，并由P=I2R求出漏電電阻R：3.1.7恒定電流場與靜電場的比擬由表3-2知：1）兩個場場量之間有一一對應(yīng)關(guān)系，如下表表2兩種場對應(yīng)物理量靜電場導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場（電源外）EEDJI2）它們在方程和邊界中處于相同的地位，因而它們是對偶量。3）二者電位都滿足拉普拉斯方程，只要兩種情況下邊界條件相同，二者電位必定相同。

故可以采用靜電比擬法計算。恒定電場(電源外）靜電場()靜電場()表3-2恒定電場與靜電場的比較靜電比擬法：當(dāng)某一特定的靜電問題的解已知時，與其相應(yīng)的恒定電場的解可以通過對偶量的代換直接得出。這種方法稱為靜電比擬法。

例：如圖將金屬導(dǎo)體1、2作為正負極板置于無限大電解質(zhì)或無限大導(dǎo)電媒質(zhì)中?？捎渺o電比擬法從電容計算極板間電導(dǎo)或者反之。圖3-6兩極板間的電場

例：平行雙導(dǎo)線，線徑為a，線間距為d，周圍介質(zhì)的介電常數(shù)為ε，電導(dǎo)率為σ。例3-3

計算深埋地下半徑為a的導(dǎo)體球的接地電阻(如圖3-7所示)。設(shè)土壤的電導(dǎo)率為σ0。圖3-7例3-3用圖解：導(dǎo)體球的電導(dǎo)率一般總是遠大于土壤的電導(dǎo)率，可將導(dǎo)體球看作等位體。用靜電比擬法，位于電介質(zhì)中的半徑為a的導(dǎo)體球的電容為所以導(dǎo)體球的接地電導(dǎo)為接地電阻為

實驗表明，導(dǎo)體中有恒定電流通過時，在導(dǎo)體內(nèi)部和它周圍的媒質(zhì)中，不僅有恒定電場，同時還有不隨時間變化的磁場，簡稱恒定磁場（StaticMagneticField）。恒定磁場和靜電場是性質(zhì)完全不同的兩種場，但在分析方法上卻有許多共同之處。學(xué)習(xí)本章時，注意類比法的應(yīng)用。磁感應(yīng)強度（B）（畢奧—沙伐定律）H

的旋度B的散度基本方程磁位()（J=0）分界面上銜接條件磁矢位（A）邊值問題數(shù)值法解析法分離變量法鏡像法有限元法有限差分法電感的計算磁場能量及力磁路及其計算恒定磁場知識結(jié)構(gòu)框圖基本實驗定律(安培力定律）第四章靜態(tài)場的解3.2磁感應(yīng)強度

1.安培環(huán)路定律(Ampere’sforceLaw)1820年,法國物理學(xué)家安培從實驗中總結(jié)出電流回路之間的相互作用力的規(guī)律,稱為安培力定律。圖3-8安培定律安培定律指出：在真空中載有電流I1的回路C1上任一線元dl1對另一載有電流I2的回路C2上任一線元dl2的作用力表示為則回路C2受到C1的作用力為令(3-29)

2.畢奧——沙伐定律（Biot-SavartLaw）用場的觀點解釋，力應(yīng)理解為第一個回路C1在空間產(chǎn)生磁場，第二個回路C2在這一磁場中受力，即－－畢奧——沙伐定律上式表示回路C1在r2點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度（或磁通密度）。單位T（wb/m2）特斯拉。－－線電流對體分布的電流規(guī)定：r'表示源點，r表示場點。對面分布的電流可以用上式計算各種形狀的載流回路在外磁場中受到的力和力矩。對以速度運動的點電荷q，其在外磁場

中受的力是如果空間還存在外電場E，電荷q受到的力還要加上電場力。這樣，就得到帶電q以速度運動的點電荷在外電磁場中受到的電磁力為－－－洛侖茲力公式。3.洛侖磁力電流元在外磁場中受的力為例3-4

求載流I的有限長直導(dǎo)線(參見圖3-9)外任一點的磁場。

解：

取直導(dǎo)線的中心為坐標原點，導(dǎo)線和z軸重合，在圓柱坐標中計算。從對稱關(guān)系能夠看出磁場與坐標φ無關(guān)，取φ=0不失一般性。圖3-9例3-4用圖

場點源點所以式中：對于無限長直導(dǎo)線(l→∞)，α1=π/2,α2=-π/2，其產(chǎn)生的磁場為3.3恒定磁場的基本方程3.3.1磁通連續(xù)性原理－－通量.散度

畢奧——沙伐定律是恒定磁場的一個基本實驗定律。由此定理出發(fā)，討論恒定磁場的其它特性。

1.磁通量磁感應(yīng)強度在有向曲面上的通量簡稱為磁通量(或磁通)，單是Wb(韋伯)，用Φ表示：如果S是一個閉曲面，則可以證明上式表明：磁感應(yīng)強度穿過任意閉合曲面的通量恒為零。－－－磁通連續(xù)性原理(或磁場中的高斯定律）－－積分式使用散度定理，得到由于上式中積分區(qū)域V是任意的，所以對空間的各點，有－－微分式上式表明：是無頭無尾的閉合線，是一個無源場(即無散度源)。3.2.2安培環(huán)路定律－－環(huán)量.旋度可以證明，當(dāng)積分回路C和電流I相交鏈時，有當(dāng)穿過積分回路C的電流是幾個電流時，－－積分式上式表明：在真空中，磁感應(yīng)強度沿任意回路的環(huán)量等于真空磁導(dǎo)率乘以與該回路相交鏈的電流的代數(shù)和。電流的正負由積分回路的繞行方向與電流方向是否符合右手螺旋關(guān)系來確定。符合取正，否則為負。根據(jù)斯托克斯定理，可以導(dǎo)出安培回路定律的微分形式：由于因積分區(qū)域S是任意的，因而有它說明磁場的渦旋源是電流。－－－微分式應(yīng)用：可用此微分式從磁場求電流分布。對于對稱分布的電流，我們可以用安培環(huán)路定律的積分形式，從電流求出磁場。恒定磁場的基本方程：積分式微分式－－磁通連續(xù)性原理－－安培環(huán)路定律

例3-5

半徑為a的無限長直導(dǎo)線，載有電流I，計算導(dǎo)體內(nèi)、外的磁感應(yīng)強度。解:在導(dǎo)線內(nèi)電流均勻分布，導(dǎo)線外電流為零，則r≤ar>a

應(yīng)用：可用此微分式從磁場求電流分布。對于對稱分布的電流，我們可以用安培環(huán)路定律的積分形式，從電流求出磁場。當(dāng)r>a時，積分回路包圍的電流為I；當(dāng)r≤a時，包圍電流為Ir2/a2。

所以當(dāng)r≤a時，當(dāng)r>a時，寫成矢量形式為r≤ar>a

3.4矢量磁位

1.磁矢位的引出由磁矢位

也可直接從BiotSavartLaw導(dǎo)出。

稱磁矢位(Magneticvectorpotential)，單位：T·m(特斯拉·米)或wb/m（韋伯/米）。但由式(3-40)確定的并不唯一，但它們具有雖不同的散度。指定一個磁矢位的散度，使唯一，稱為一種規(guī)范。在恒定磁場中，選取較為方便。－－－庫侖規(guī)范為拉普拉斯算符，除直角坐標系外，在其它任意坐標系中展開都很復(fù)雜。1.磁矢位滿足的微分方程－－－磁矢位的泊松方程對無源區(qū)()，磁矢位滿足：－－－拉普拉斯方程

在直角坐標系下，可以展開為與靜電場中泊松方程對比，可寫出磁矢位的解：寫成矢量形式：若磁場由面電流產(chǎn)生時，線電流產(chǎn)生的磁矢位為磁通的計算也可以通過磁矢位表示：注：每個電流元產(chǎn)生的磁矢位

與此元電流，，

具有相同的方向。

例3-6

求長度為l的載流直導(dǎo)線的磁矢位。圖3-11直導(dǎo)線磁矢位

解：用定義求。建立如圖坐標系，磁矢位方向與電方向相同流，故只有z分量，場點坐標為(r,φ,z)。當(dāng)l>>z時，有若再取l>>r,則有當(dāng)l→∞時，上式為無窮大。這是因為當(dāng)電流分布在無限區(qū)域時，不能把無限遠處作為磁矢位的參考點。而以上計算均是基于參考點為無窮遠處的。當(dāng)電流分布在無限區(qū)域時，一般指定一個磁矢位的參考點，就可以使磁矢位不為無窮大。當(dāng)指定r=r0處為磁矢位的零點時，可以得出

將上式用圓柱坐標的旋度公式，可求出例3–7

用磁矢位重新計算載流直導(dǎo)線的磁場。解：

r≤ar>a

從電流分布可以知道磁矢位僅僅有z分量，而且它只是坐標r的函數(shù)，即設(shè)在導(dǎo)線內(nèi)磁位是,

導(dǎo)線外磁位是，則由式(3-41)

得

r>a時，r<a時，用待定系數(shù)發(fā)確定常數(shù)。r=0處磁矢位不應(yīng)是無窮大，可以得出C1=0由可以求出導(dǎo)線內(nèi)、外的磁場分別為導(dǎo)體外部的磁感應(yīng)強度為分界面上沿圓周方向的磁感應(yīng)強度連續(xù)，得3.5磁偶極子圖3-12磁偶極子

1.磁矩定義：一個載流回路的磁矩是一個矢量，其方向與環(huán)路的法線方向一致，大小等于電流乘以回路面積。

2.磁偶極子：將載有恒定電流的小回路稱為磁偶極子。

3.磁偶極子的磁場強度I—分子電流，電流方向與方向成右手螺旋關(guān)系磁偶極子的磁場與電偶極子的電場強度相似。對于任一載流回路，只要磁矩給定，遠區(qū)的磁場表達式均相同。在遠區(qū)（觀察點到導(dǎo)線的距離遠大于回路的尺寸），磁偶極子的磁力線和電偶極子的電力線具有相同的分布。在近區(qū)，二者并不相同，因為電力線從正電荷出發(fā)，到負電荷終止，而磁力線總是沒頭沒尾的閉合曲線。3.6磁介質(zhì)中的場方程當(dāng)空間存在磁介質(zhì)時，磁介質(zhì)在磁場作用下會產(chǎn)生磁化。媒質(zhì)的磁化產(chǎn)生的物理現(xiàn)象和分析方法與靜電場媒質(zhì)的極化類同。磁化的磁介質(zhì)也產(chǎn)生磁場，它產(chǎn)生的磁場疊加在原來的磁場上，引起磁場的改變。3.6.1磁化強度

1.基本概念

分子電流：任何物質(zhì)原子內(nèi)部的電子總是沿軌道作公轉(zhuǎn)運動，同時作自旋運動。電子運動時所產(chǎn)生的效應(yīng)與回路電流所產(chǎn)生的效應(yīng)相同。物質(zhì)分子內(nèi)所有電子對外部所產(chǎn)生的磁效應(yīng)總和可用一個等效回路電流來表示，這個等效回路電流稱為分子電流。

分子磁矩：分子電流的磁矩。

磁化：在外磁場作用下，電子的運動狀態(tài)要產(chǎn)生變化，這種現(xiàn)象叫物質(zhì)的磁化。

磁介質(zhì)：能被引起磁化的物質(zhì)叫磁介質(zhì)。

2.磁介質(zhì)分為三類：

1)抗磁性磁介質(zhì)，如金、銀、銅、石墨、鍺、氯化鈉等；

2)順磁性磁介質(zhì)，如氮氣、硫酸亞鐵等；

3)鐵磁性磁介質(zhì)，如鐵、鎳、鈷等。這三類磁介質(zhì)在外磁場的作用下，都要產(chǎn)生感應(yīng)磁矩，且物質(zhì)內(nèi)部的故喲磁矩沿外磁場方向取向，這就是物質(zhì)發(fā)生了磁化。故磁化介質(zhì)可以看作真空中沿一定方向排列的磁偶極子的集合。媒質(zhì)的磁化磁化強度的單位是A/m(安培/米)。3.磁化強度定義：即介質(zhì)內(nèi)單位體積內(nèi)的分子磁矩。它是一個宏觀物理量，定量描述介質(zhì)磁化程度的強弱。3.6.2磁化電流

磁化電流：磁介質(zhì)被外磁場磁化后，可以看作是真空中一系列的磁偶極子。磁化介質(zhì)產(chǎn)生的附加磁場實際上就是這些磁偶極子在真空中產(chǎn)生的磁場。磁化介質(zhì)中由于分子磁矩的有序排列，在介質(zhì)內(nèi)部要產(chǎn)生某一個方向的凈電流，在介質(zhì)的表面也要產(chǎn)生宏觀面電流。－－磁化電流圖3-14磁化電流示意圖

和極化電流計算公式的推導(dǎo)過程相似，由磁矢位的計算公式可以推導(dǎo)處磁化電流表達式，為－－－等效體電流密度－－－等效面電流密度其中，是磁化介質(zhì)表面的外法向。

有磁介質(zhì)存在時，場中任一點的B是自由電流和磁化電流共同作用在真空中產(chǎn)生的磁場。磁化電流具有與傳導(dǎo)電流相同的磁效應(yīng)。磁偶極子與電偶極子對比模型電量產(chǎn)生的電場與磁場電偶極子磁偶極子例3-7

半徑為a、高為L的磁化介質(zhì)柱(如圖3-15所示)，磁化強度為M0(M0為常矢量，且與圓柱的軸線平行)，求磁化電流

和磁化面電流

。

圖3–15例3-7用圖

解：取圓柱坐標系的z軸和磁介質(zhì)柱的中軸線重合，磁介質(zhì)的下底面位于z=0處，上底面位于z=L處。此時，，由式(3-52)得磁化電流為在界面z=0上，在界面z=L上，

在界面r=a上，

3.6.3磁場強度

1.一般形式的安培環(huán)路定律在外磁場的作用下，磁介質(zhì)內(nèi)部有磁化電流。

磁化電流

和外加的電流都產(chǎn)生磁場，這時應(yīng)將真空中的安培環(huán)路定律修正為下面的形式：移相后得2.磁場強度定義其中

稱為磁場強度，單位是A/m(安培/米)。說明：?

的環(huán)量僅與環(huán)路交鏈的自由電流有關(guān)。

?環(huán)路上任一點的是由系統(tǒng)全部載流體產(chǎn)生的。

?電流的正、負僅取決于環(huán)路與電流的交鏈是否滿足右手螺旋關(guān)系，是為正，否為負。－－－安培環(huán)路定律積分式－－－安培環(huán)路定律微分式即恒定磁場是有旋的。3.6.4磁導(dǎo)率

1.磁化率對于線性各向同性的磁介質(zhì)，與之間的關(guān)系為是一個無量綱常數(shù)，稱為磁化率。2.磁導(dǎo)率是介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率，是一個無量綱數(shù)；是介質(zhì)的磁導(dǎo)率，單位和真空磁導(dǎo)率相同，為H/m(亨/米)。3.本構(gòu)關(guān)系：指和的關(guān)系，即它表示磁化介質(zhì)的磁化特性。鐵磁材料的B和H的關(guān)系是非線性的，并且B不是H的單值函數(shù)，會出現(xiàn)磁滯現(xiàn)象。3.6.5磁介質(zhì)中恒定磁場基本方程微分式積分式－－－磁矢位微分方程恒定磁場是有旋無源場,電流是激發(fā)磁場的渦旋源

例3–8

同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，外半徑為c，如圖3-16所示。設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體分別流過反向的電流I，兩導(dǎo)體之間介質(zhì)的磁導(dǎo)率為μ，求各區(qū)域的、、。

圖3-16同軸線示意圖

注：以后如無特別聲明，對良導(dǎo)體(不包括鐵等磁性物質(zhì))一般取其磁導(dǎo)率為μ0。解：因同軸線為無限長，則其磁場沿軸線無變化，該磁場只有φ分量，且其大小只是r的函數(shù)。分別在各區(qū)域使用介質(zhì)中的安培環(huán)路定律，求出各區(qū)的磁場強度，

然后由求出

和

。

當(dāng)r≤a時，電流I在導(dǎo)體內(nèi)均勻分布，且流向+z方向。由安培環(huán)路定律得此區(qū)域的磁導(dǎo)率為μ0，可得(r≤a)(r≤a)當(dāng)a<r≤b時，與積分回路交鏈的電流為I，該區(qū)磁導(dǎo)率為μ，可得(a<r≤b)當(dāng)b<r≤c時，考慮到外導(dǎo)體電流均勻分布，可得出與積分回路交鏈的電流為則當(dāng)r>c時，此區(qū)域的、

、

為零。3.7恒定磁場的邊界條件

在不同磁介質(zhì)的分界面上，磁場是不連續(xù)的。和經(jīng)過界面時會發(fā)生突變。場矢量在不同磁介質(zhì)的界面上的變化規(guī)律叫做邊界條件。本節(jié)由恒定磁場的基本方程的積分式導(dǎo)出恒定磁場的邊界條件。求解過程和電場邊界條件的解法相似。

圖3-17Bn的邊界條件1.磁感應(yīng)強度法向分量由假設(shè)圓柱體的高度h→0，則得寫成矢量形式為上式說明磁感應(yīng)強度的法向分量在兩種介質(zhì)的分界面上是連續(xù)的。－－－標量式圖3-18Ht的邊界條件1.磁場強度切向分量由介質(zhì)中積分形式的安培環(huán)路定律得上式說明：磁場強度的切向分量在界面兩側(cè)不連續(xù)。用下標t表示切向分量，上式可以寫成標量形式：如果無面電流()，這一邊界條件變成為3.8標量磁位根據(jù)磁介質(zhì)中恒定磁場的基本方程式可知，在無自由電流()的區(qū)域里，磁場強度是無旋的。此時，磁場強度可以表示為一個標量函數(shù)的負梯度，即稱為磁場的標量位函數(shù)(簡稱為標量磁位或磁標位)，單位為A(安培)。上式中的負號是為了與靜電位對應(yīng)而人為加入的。在均勻介質(zhì)中，由式(3-60)和(3-61)可得將式(3-72)代入到上式中，可得磁標位滿足拉普拉斯方程，即

所以用微分方程求磁標位時，也同靜電位一樣，是求拉普拉斯方程的解。磁場的邊界條件用磁標位表示時，為磁標位在求解永磁體的磁場問題時比較方便(因其內(nèi)無自由電流)。永磁體的磁導(dǎo)率遠大于空氣的磁導(dǎo)率，因而永磁體表面是一個等位(磁標位)面，這時可以用靜電比擬法來計算永磁體的磁場。對非均勻介質(zhì)，在無源區(qū)(J=0)，引入磁荷的概念后，磁標位滿足泊松方程，即式中：位函數(shù)比較內(nèi)容引入位函數(shù)的依據(jù)位與場的關(guān)系微分方程位與源的關(guān)系電位磁位磁矢位（A）(有源或無源）(無源）(有源或無源）磁位、磁矢位

與電位的比較3.9互感和自感

1.磁鏈的定義在線性磁介質(zhì)中，任一回路在空間產(chǎn)生的磁場與回路電流成正比，因而穿過任意的固定回路的磁通量Φ也是與電流成正比。如果回路由細導(dǎo)線繞成N匝，則總磁通量是各匝的磁通之和。稱總磁通為磁鏈，用Ψ表示。對于密繞線圈，可以近似認為各匝的磁通相等，從而有Ψ=NΦ。

2.自感的定義

在線性各向同性媒質(zhì)中，L

僅與回路的幾何尺寸、媒質(zhì)參數(shù)有關(guān)，與回路的電流無關(guān)?；芈返碾娏髋c該回路交鏈的磁鏈的比值稱為自感，即單位：H（亨利）自感又分為內(nèi)自感Li

和外自感L0，即內(nèi)自感是導(dǎo)體內(nèi)部僅與部分電流交鏈的磁鏈與回路電流比值，即自感計算的一般步驟：設(shè)外自感是導(dǎo)體外部閉合的磁鏈與回路電流的比值，即內(nèi)磁鏈與外磁鏈

3.互感的定義用Ψ12表示載流回路C1的磁場在回路C2上產(chǎn)生的磁鏈。則互感是Ψ12與I1的比值，即互感的單位與自感相同。同樣可以定義互感M21，即互感的大小也取決于回路的尺寸、形狀以及介質(zhì)的磁導(dǎo)率和回路的匝數(shù)。電流I1產(chǎn)生與回路2交鏈的磁鏈

4.互感和自感的計算如圖(3-19)，當(dāng)導(dǎo)線的直徑遠小于回路的尺寸而且也遠小于兩個回路之間的最近距離時，兩回路都可以用軸線的幾何回路代替。圖3-19互感設(shè)兩個回路都只有一匝。當(dāng)回路C1載有電流I1時，C2上的磁鏈為式中，

為電流I1在C2上的磁矢位，即－－－諾伊曼公式自感也可用，但當(dāng)兩個線元重合（R→0）時，積分區(qū)域無窮大，這與實際不符，主要原因時忽略了回路導(dǎo)線面積。圖3-20內(nèi)自感－－－具有互易性故外自感為：例3-9

求無限長平行雙導(dǎo)線(如圖3-21所示)單位長外自感。圖3-21平行雙導(dǎo)線解：設(shè)導(dǎo)線中電流為I，由無限長導(dǎo)線的磁場公式，可得兩導(dǎo)線之間軸線所在的平面上的磁感應(yīng)強度為磁場的方向與導(dǎo)線回路平面垂直。單位長度上的外磁鏈為所以單位長外自感為3.10磁場能量

磁場作為一種特殊的物質(zhì)，和電場一樣具有能量。有專家預(yù)測，21世紀將是以磁力（磁能）作為能源代表的時代。高溫超導(dǎo)體磁場特性的發(fā)現(xiàn)與利用，使夢想中之能源——受控?zé)峋圩?磁流體發(fā)電，太陽能衛(wèi)星電站，逐步成為現(xiàn)實，利用磁能作為驅(qū)動力的超導(dǎo)體磁懸浮列車和超導(dǎo)磁動力船己向我們馳來。先計算兩個分別載流I1和I2的電流回路系統(tǒng)所儲存的磁場能量。假定回路的形狀、相對位置不變，同時忽略焦耳熱損耗。因為系統(tǒng)的總能量只與系統(tǒng)最終的狀態(tài)有關(guān)，與建立狀態(tài)的方式無關(guān)。在磁場建立的過程中，設(shè)兩回路的電流分別為i