北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)相似三角形整理與復(fù)習(xí)

PAGE相似三角形整理與復(fù)習(xí)【考點(diǎn)分析】①了解比例的性質(zhì)、線(xiàn)段的比、成比例的線(xiàn)段；通過(guò)建筑、藝術(shù)上的實(shí)例了解黃金分割．②通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似，了解相似多邊形和相似比．③掌握兩條直線(xiàn)被一組平行線(xiàn)所截，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例．一、比例線(xiàn)段比例線(xiàn)段：在四條線(xiàn)段中，如果其中兩條線(xiàn)段的比等于另外兩條線(xiàn)段的比，那么這四條線(xiàn)段叫做成比例線(xiàn)段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線(xiàn)段.第四比例項(xiàng)：若，則d叫a、b、c的第四比例項(xiàng).比例中項(xiàng)：若，即，則b叫a、c的比例中項(xiàng).針對(duì)練習(xí)：1、下列說(shuō)法中正確的是（

）

A.兩條線(xiàn)段的比總是整數(shù)B.兩條線(xiàn)段的比總是正數(shù)

C.兩條線(xiàn)段的比可能為0D.兩條線(xiàn)段的比與所采用的長(zhǎng)度單位有關(guān)2、下列各組中的四條線(xiàn)段成比例的是()A.a=，b=3，c=2，d=B.a=4，b=6，c=5，d=10C.a=2，b=，c=2，d=D.a=2，b=3，c=4，d=1二、比例的性質(zhì)1基本性質(zhì)：（a、b、c、d都不為零）2等比性質(zhì)：如果，那么．溫馨提示：(1)此性質(zhì)的證明運(yùn)用了“設(shè)法”，這種方法是有關(guān)比例計(jì)算，變形中一種常用方法．(2)應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母是否為零．(3)可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立．如：；其中三、黃金分割點(diǎn)C把線(xiàn)段AB分成兩條線(xiàn)段AC和BC,如果,那么稱(chēng)線(xiàn)段AB被點(diǎn)C黃金分割,點(diǎn)C叫做線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn),AC與AB的比叫做黃金比.黃金比=黃金比=BCABCA四、相似多邊形1.一般地,形狀相同的圖形稱(chēng)為相似圖形。2.對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。3、相似多邊形的性質(zhì)（1）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比和對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比都等于相似比。（2）相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方。例1、（1）若2x－5y=0，則y∶x=________，=________.（2）已知，求下列各式的值：變式練習(xí)1：（1）已知，則（2）已知x∶y∶z=3∶4∶5，①求的值；②若x+y+z=6，求x、y、z.（2）若,且2a－b+3c=21.試求a，b，c.例2、如圖，用紙折出黃金分割點(diǎn)：裁一張正方的紙片ABCD，先折出BC的中點(diǎn)E，再折出線(xiàn)段AE，然后通過(guò)折疊使EB落到線(xiàn)段EA上，折出點(diǎn)B的新位置B′，因而EB′=EB．類(lèi)似地，在A(yíng)B上折出點(diǎn)B″使AB″=AB′．這是B″就是AB的黃金分割點(diǎn)．請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論．變式練習(xí)2：據(jù)有關(guān)實(shí)驗(yàn)測(cè)定，當(dāng)氣溫處于人體正常體溫（37°C）的“黃金分割點(diǎn)”時(shí)，人感到最舒適.這個(gè)氣溫約為_(kāi)______°C.例3、以長(zhǎng)為2的線(xiàn)段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P，連結(jié)PD，在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)F，使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M在A(yíng)D上，（1）求AM、DM的長(zhǎng).（2）求證：AM2=AD·DM.（3）根據(jù)（2）的結(jié)論你能找出圖中的黃金分割點(diǎn)嗎？變式練習(xí)3：如果一個(gè)矩形ABCD(AB＜BC)中，≈0.618，那么這個(gè)矩形稱(chēng)為黃金矩形，黃金矩形給人以美感.在黃金矩形ABCD內(nèi)作正方形CDEF，得到一個(gè)小矩形ABFE(如圖)，請(qǐng)問(wèn)矩形ABFE是否是黃金矩形？請(qǐng)說(shuō)明你的結(jié)論的正確性.例4、如圖，將矩形ABCD沿兩條較長(zhǎng)邊的中點(diǎn)的連線(xiàn)對(duì)折，得到的矩形ADFE與矩形ABCD相似，確定矩形ABCD長(zhǎng)與寬的比。變式練習(xí)4：在長(zhǎng)8cm，寬4cm的矩形中截去一個(gè)矩形，使留下的矩形（圖中陰影部分）與矩形相似，那么留下的矩形的面積為（）cm2。A32B8C24D12課堂練習(xí)選擇題已知線(xiàn)段a、b、c、d滿(mǎn)足ab=cd，把它改寫(xiě)成比例式，錯(cuò)誤的是()A.a∶d=c∶b B.a∶b=c∶dC.d∶a=b∶c D.a∶c=d∶b下列說(shuō)法中正確的是：所有的（）都相似。A、菱形B、矩形C、正方形D、梯形一條線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)有（）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)已知點(diǎn)M將線(xiàn)段AB黃金分割(AM＞BM)，則下列各式中不正確的是()A.AM∶BM=AB∶AMB.AM=ABC.BM=ABD.AM≈0.618AB下列各組圖形中相似的是（）A、①②③B、②③④C、①③④D、①②④如圖，正五邊形FGHMN是由正五邊形ABCDE經(jīng)過(guò)位似變換得到的，若AB:FG=2:3，則下列結(jié)論正確的是（）A．2DE=3MN，B．3DE=2MN，C.3∠A=2∠FD．2∠A=3∠F已知,則下列式子中正確的是（）A.a∶b=c2∶d2B.a∶d=c∶bC.a∶b=（a+c）∶（b+d）D.a∶b=（a－d）∶（b－d）如果一個(gè)矩形對(duì)折后所得矩形與原矩形相似，則此矩形的長(zhǎng)邊與短邊的比是()A.2∶1 B.4∶1C.∶1 D.1∶

（二）填空題如果,那么=________.若5：2=（3-x）：x，則x=___________在1∶500000的地圖上，A、B兩地的距離是64cm，則這兩地間的實(shí)際距離是________.（三）解答題已知線(xiàn)段AB=10cm，C、D是AB上的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，求線(xiàn)段CD的長(zhǎng).在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例，如果一古塔在地面上的影長(zhǎng)為50m，同時(shí)高為1.5m的測(cè)桿的影長(zhǎng)為2.5m，那么古塔的高是多少?已知實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足,求的值.自我鞏固以下列長(zhǎng)度（同一單位）為長(zhǎng)的四條線(xiàn)段中，不成比例的是（）A、2，5，10，25B、4，7，4，7C、2，，，4D、，，2，若,且3a－2b+c=3,則2a+4b－3c的值是（）A.14 B.42C.7 D.五邊形ABCDE∽五邊形A′B′C′D′E′，若對(duì)應(yīng)邊AB與A′B′的長(zhǎng)分別為50厘米和40厘米，則五邊形A′B′C′D′E′與五邊形ABCDE的相似比是()A.5∶4 B.4∶5C.5∶2 D.2∶5若點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，且AB=2，則AC=（）A、B、C、D、或以下五個(gè)命題：①所有的正方形都相似②所有的矩形都相似③所有的三角形都相似④所有的等腰直角三角形都相似⑤所有的正五邊形都相似.其中正確的命題有_______.圖形的相似（二）圖形的相似（二）知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1.相似三角形相似三角形的定義：對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)邊的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.相似三角形叫做相似比.(2)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)邊.2.三角形相似的條件(1)，兩三角形相似.(2)，兩三角形相似.(3)，兩三角形相似.3.相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形的，與都等于相似比.(2)相似三角形周長(zhǎng)之比等于，相似三角形面積之比等于.例1、如圖，D為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，E為ΔABC外一點(diǎn)，且∠1=∠2，∠3=∠4.(1)ΔABD與ΔCBE相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)ΔABC與ΔDBE相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.變式練習(xí)1：如圖，已知BD、CE都是△ABC的高。_E_A_C_B__E_A_C_B_D（2）試猜想∠ADE與∠ABC有何關(guān)系？并說(shuō)明你的猜想。例2、如圖△ABC是一塊銳角三角形材料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要求把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在A(yíng)B、AC上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？變式練習(xí)2：在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的頂點(diǎn)P、N分別在A(yíng)B、AC上，QM在邊BC上.若BC=8cm，AD=6cm，且PN=2PQ，求矩形PQMN的周長(zhǎng).例3、已知：如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AE是△ABC的外角平分線(xiàn)，BF是∠ABC的平分線(xiàn)，BF的延長(zhǎng)線(xiàn)交AE于E．求證：(1)AF＝BF＝BC；(2)EF∶BF＝BC∶FC．

課堂檢測(cè)（一）選擇題下列命題錯(cuò)誤的是（）A.兩個(gè)全等的三角形一定相似B.兩個(gè)直角三角形一定相似C.兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例D.相似的兩個(gè)三角形不一定全等如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，下列條件：⑴∠B＋∠DAC＝90°；⑵∠B＝∠DAC；⑶EQ\F(CD,AD)=EQ\F(AC,AB)；⑷其中一定能夠判定△ABC是直角三角形的有（）A、1 B、2 C、3 D、4第2題圖第2題圖在△ABC與△中，有下列條件：①；⑵③∠A＝∠；④∠C＝∠。如果從中任取兩個(gè)條件組成一組，那么能判斷△ABC∽△的共有（ ）組。A、1 B、2 C、3 D、4如圖，D、E分別是AB、AC上兩點(diǎn)，CD與BE相交于點(diǎn)O，下列條件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是（）∠B=∠CB.∠ADC=∠AEBC.BE=CD，AB=ACD.AD∶AC=AE∶AB第4題圖第6題圖第4題圖第6題圖5.下列說(shuō)法中正確的是()A.位似圖形可以通過(guò)平移而相互得到B.位似圖形的對(duì)應(yīng)邊平行且相等C.位似圖形的位似中心不只有一個(gè)D.位似中心到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之比都相等6.如圖所示，D、E分別是ΔABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，DE∥BC，并且AD∶BD=2，那么SΔADE∶S四邊形DBCE=（）A.B.C.D.7.△ABC和△A′B′C′符合下列條件，其中使△ABC和△A′B′C′不相似的是（）A.∠A=∠A′=45°∠B=26°∠B′=109°B.AB=1AC=1.5BC=2A′B′=4A′C′=2B′C′=3C.∠A=∠B′AB=2AC=2.4A′B′=3.6B′C′=3D.AB=3AC=5BC=7A′B′=A′C′=B′C′=8.如圖，在大小為4×4的正方形網(wǎng)格中，是相似三角形的是（）①②③④A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④第9題（二）填空題第9題9.如圖，在RTABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=8，BC=6，則AD=_________。第10題圖10.如圖，AD=DF=FB，DE∥FG∥BC，則SⅠ∶SⅡ∶SⅢ=.第10題圖11.兩個(gè)相似多邊形的一組對(duì)應(yīng)邊分別為3cm和4.5cm，如果它們的面積之和為130cm2，那么較小的多邊形的面積是cm2.12.已知△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為3cm,4cm,5cm,△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的形狀是______，又知△A′B′C′的最大邊長(zhǎng)為20cm，那么△A′B′C′的面積為_(kāi)_______.（三）解答題 13已知：如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP=3PC， Q