2022-2023學(xué)年山東省濟(jì)寧市高三年級上冊期中考試數(shù)學(xué)試題2

2022-2023學(xué)年第一學(xué)期期中質(zhì)量檢測

高三數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合尸=｛劃k也（1）｝,集合。=｛yly=2-｝,則（）

A.P=QB.PUQc.Q[PD.PI2=0

*

2.給出的下列條件中能成為的充要條件的是（）

22v

A.xt>ytB.y>yC.lnx>lnyD.e'>e

3.已知數(shù)列｛《,｝成等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S.，若q=5,S3=S”則S“=（）

A.7B.6C.5D.4

4.函數(shù)/（力=〈.；I八（是偶函數(shù)，貝la,人的值可能是（）

[sin（x-/?）（x>0）

71.兀71.71

A.a=—,b=一B.a=一,b

3336

2兀.712兀75兀

a=——,/?=—D.ci=—=—

3636

已知向量由=（。-5,1）,「=（1,。+1），若，且&丄方，則11

5.------------1------------的最小值為（）

3a+2。2。+3b

丄11

A.B.—C.—D.—

5101520

6.已知函數(shù)/（x）=&sinx,函數(shù)g（x）的圖象可以由函數(shù)/（x）的圖象先向左平移0">0）個單位長

IJT

度，再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊?>o）得到，若x=w是函數(shù)g（x）的一個

極大值點(diǎn)，*=一己是與其相鄰的一個零點(diǎn)，則的值為（）

A——血B.0C.1D.72

7.已知函數(shù)/(力=3/一一占+2,且/(/)+/(3。-4)>2,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.(-4,1)B.(-8D5L+8)

C.(―oo,-1)U(4,4W)D.(—1,4)

第頁1

8,設(shè)a20222022,c=202『°23,則()

A.a<h<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為4,其前〃項(xiàng)和為S“，前”項(xiàng)積為Z,,且滿足條件4>1,。2022"2023>1，

（出022—1）?（出023-1）<。,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.｛4｝為遞減數(shù)列

B.$2022+1<^2023

C.4022是數(shù)列｛1｝中的最大項(xiàng)D.7^5<1

10.數(shù)學(xué)家們在探尋自然對數(shù)底e=2.71828與圓周率兀之間的聯(lián)系時，發(fā)現(xiàn)了如下的公式:

23n

rtxxxx

(1)e=1H---------1-----------1-----------F...H-----------F...

1!2!3!n\

3

.XvXVXY5d\/?+!01

(2)sinx-------------------1-----------------------F...4-(—1)+

1!3!5!7!v7(2n-l)!'"

v246丫2〃一2

?XX/-xn+1X

(3)COSX=1---------1----------------------F...4-(-1I-------------;—卜??.

2!4!6!'丿(2〃-2)!

據(jù)此判斷以下命題正確的是（）（已知i為虛數(shù)單位）

A.eu=cosx+isinxB.eu=sinx+icosx

LvLv

C./+1=0D.|e+e-|<2

11.窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷,

圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFG”的邊長為1,P是正八邊形

ABCDEFGH邊上任意一點(diǎn),則（）

圖1圖2

UUL1tUULUUULU^ULIH

A.A”與CF能構(gòu)成一組基底B.OA+OC=垃OB

第頁2

c.乳在法向量上投影向量的模為+D.蕩?防的最大值為3+20

12.設(shè)定義在R上的函數(shù)〃尤)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為尸(X)和g'(x),若/(x+2)-g(l—x)=2,

/'(x)=g'(x+l),且g(x+l)為奇函數(shù)，則下列說法中一定正確的是()

A.g(l)=OB.函數(shù)g'(x)的圖象關(guān)于x=2對稱

20212022

c.￡/(i)g(女)=0D.伙)=0

A=1￡=1

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)。>0/>0,則使得命題“若ln(a+b)>0,貝iJlna+lM>C”為假命題的一組。,人的值是

-ax+1,x<a,

14.設(shè)函數(shù)〃x)=、2若/(X)存在最小值，〃的取值范圍___________.

(x-2),x>a.

15.若△ABC的邊長a,b,c成等差數(shù)列，且邊。，c的等差中項(xiàng)為1,則

siq+A)+(A&81的取值范圍是

16.定義：設(shè)函數(shù)y=/(x)在m3上的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),若/'(X)在(。力)上也存在導(dǎo)函數(shù)，則稱函數(shù)

y=/(%)在(。,〃)上存在二階導(dǎo)函數(shù)，簡記為y=/"(x).若在區(qū)間(。/)上/"(x)>0,則稱函數(shù)

?I(3、

y=/(x)在區(qū)間(。⑼上為''凹函數(shù)”.已知/(%)=弓恁"一弓％2Inx—lna—；在區(qū)間(0,+e)上為

“凹函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.命題P：已知事函數(shù)/(x)=(，〃—1)2——+2在(0,+8)上單調(diào)遞增，且函數(shù)

g(x)=；/(x)+4x-31nx在(a,a+l)上單調(diào)遞增時，實(shí)數(shù)”范圍為集合A；命題，關(guān)于x的不等式

2/+1)40的解集為反

(1)若命題P為真命題，求集合A；

(2)在(1)的條件下，若xeA是xeB的充分不必要條件.求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

第頁3

18.在①（sinA—sinC）tz=（Z?-c）（sinB+sinC）,②=―-—，③sin（B+C）=@cos（8-'］這

cosC2a-c〃I6丿

三個條件中選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.

已知Y4BC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,冃.

（1）求角8；

（2）若a+c=6，點(diǎn)。是4c的中點(diǎn)，求線段8。的取值范圍.

19.已知〃eN*，拋物線y=一/+〃與x軸正半軸相交于點(diǎn)A,在點(diǎn)A處的切線在y軸上的截距為

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

4〃cos〃兀

（2）若么=（&_］）g+i），求數(shù)列也｝的前項(xiàng)和S,.

20.2022年夏季各地均出現(xiàn)了極端高溫天氣，空調(diào)便成了很好的降溫工具，而物體的降溫遵循牛頓冷卻定

t

律.如果物體的初始溫度為北，則經(jīng)過一定時間f后的溫度7滿足7—7；其中北是環(huán)

境溫度，〃稱為半衰期，現(xiàn)將一杯80℃的茶水放在250c的空調(diào)房間，1分鐘后茶水降至75C.（參考數(shù)據(jù)：

lg3?0.4771,lg5?0.6990,lgll?1.0414)

（1）經(jīng)研究表明，此茶的最佳飲用口感會出現(xiàn)在55℃,為了獲得最佳飲用口感，從泡茶開始大約需要等

待多少分鐘？（保留整數(shù)）

（2）為適應(yīng)市場需求，2022年某企業(yè)擴(kuò)大了某型號變頻空調(diào)的生產(chǎn)，全年需投入固定成本200萬元，

1a

-x3+10X72,0<X<40

3

每生產(chǎn)x千臺空調(diào)，需另投入成本/（X）萬元，且/（%）=＜已知每臺空調(diào)售價

301%+^^-3700,%>40

x

3000元，且生產(chǎn)的空調(diào)能全部銷售完.問2022年該企業(yè)該型號的變頻空調(diào)的總產(chǎn)量為多少千臺時，獲利

最大?并求出最大利潤.

21.已知函數(shù)/(x)=2sinX--sinx+—+2A/3COS2

13丿I6丿卜一訐亞

（1）求函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間;

7TC

（2）若函數(shù)g（x）=/（2x）—a在區(qū)間0,—上恰有3個零點(diǎn)玉,工2，毛（七＜W＜七），

（i）求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

第頁4

(ii)求sin。％+%-芻)的值.

22.已知函數(shù)/(x)=odnx+%2,g(x)=e*+x-l,aeR.

(1)討論函數(shù)/(x)極值點(diǎn)個數(shù)；

(2)若0＜。＜1,求證：/'(x)＜g(x).

第頁5

2023屆山東省濟(jì)寧市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知集合P=卜B=11)(》-1)},集合Q={y|y=2*T},則()

A.…B.PUQC.Q=PD.PI(2=0

w

【答案】B

【分析】求得集合尸，。對應(yīng)函數(shù)的定義域和值域，根據(jù)集合之間的包含關(guān)系和集合運(yùn)算即可求得結(jié)果.

【詳解】P={x|y=ln(x-1)}={巾)1},Q={y|y=2"T}={y|y)O},

故PrQ,PU。，。不包含于P,PlQ=P,則ACD錯誤，B正確.

*

故選：B.

2.給出的下列條件中能成為x>y的充要條件的是()

A."2>城B.C.lnx>lnyD.

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對每個選項(xiàng)逐一分析，即可判斷和選擇.

【詳解】對A：當(dāng)f=0時，無法由推出4>”2,不符合；

對B：若f<o,由%>y,無法得到不符合；

對C：根據(jù)y=lnx是(0,”o)上的單調(diào)增函數(shù)，故lnx>lny,等價于x>y>0,不是的充要條件，不

符合；

對D：根據(jù)y=e''是R上的單調(diào)增函數(shù)，故e'>e>等價于》>丫，即e、>e>是工>丫的充要條件，D符合.

故選：D.

3.已知數(shù)列{%}成等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S.,若4=5,83=69,則、=()

A.7B.6C.5D.4

【答案】C

【分析】設(shè)出公差，根據(jù)前〃項(xiàng)和基本量計(jì)算岀公差，從而求出醞=5.

【詳解】設(shè){《,}的公差為d,由q=5,S3=當(dāng)?shù)茫?/p>

3q+3d=9/+364,解得：(1=--,

第頁6

10

故S"=llq+55d=55+55x5.

故選：C

4-函數(shù)小)/二曝0；是偶函數(shù)，則〃，b的值可能是()

71.兀兀,71

A.a=—,b=—B.a=一,b=一

3336

2兀,712九,5兀

C.a=—,/?=—D.a=—,b=—

3636

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，x<0時，一>。，代入分段函數(shù)，又函數(shù)為偶函數(shù)，可得cosa-a)=-sin(x+?,利

用誘導(dǎo)公式化簡為同名函數(shù)，就可得到自變量之間的關(guān)系.

【詳解】當(dāng)x<()時，-x>0,f(-x)=sin(-x-b)f因?yàn)楹瘮?shù)〃力是偶函數(shù)，〃一x)=/(x),即

cos(x-〃)=sin(-x-0)=-sin(x+/?),即一sin(手+(x-a))=-sin(x+Z?),則有〃+8=手+2%4,分析選項(xiàng),

只有D選項(xiàng)滿足。+6=彳37r.

2

故選：D

rr11

5.己知向量加=(。一5」),〃=(1力+1),若。>0活>0,且方丄力則一二+丁二的最小值為()

3a+2。2。+3b

1111

A.-B.—C.—D.—

5101520

【答案】A

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式求得。力滿足的等量關(guān)系，結(jié)合基本不等式，即可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意，mn=a-5+b+\=Q,即a+6=4,pllJ（3a+26）+（2a+3Z?）=20,又a>0]>0,

故一!—+―!—=—|―5—+—-—|f（3a+2Z>）+（2?+3b\]

3a+2b2a+3620\3a+2b2a+36丿L'丿'〃

1f_2a+3h3a+2h\^1f__l2a+3h~~3〃+2Z?）1

=—2+---------+---------->—x2+2J---------x----------=-,

20V3a+2b2a+3b）20（\3a+2b2a+3b）5

當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)1=手?，且4+6=4,即。=6=2時取得等號.

3a+2b2a+3b

故選：A.

6.已知函數(shù)〃x)=J^sinx,函數(shù)g(x)的圖象可以由函數(shù)〃x)的圖象先向左平移底0>0)個單位長度，

1

再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膩A(。>0)得到，若X=7rg是函數(shù)g(x)的一個極大值

CDO

點(diǎn)，X=-^是與其相鄰的一個零點(diǎn)，則的值為()

A.-V2B.0C.1D.>/2

第頁7

【答案】c

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換，以及g(x)的極大值點(diǎn)和零點(diǎn)求得解析式，再求函數(shù)值即可.

【詳解】函數(shù)/(x)的圖象先向左平移°">0)個單位長度，得到y(tǒng)=0sin(x+9)的圖象，

再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?gt;0)得到g(x)=&sin(8+9)的圖象;

由題可知，(=(,解得T=?，則取乎|，又g倍)伝嗚、看+4=夜，

TTTTJT

故可得—卜(p=2kjtH—,kwZ,解得(p-2k冗-\—,kGZ,

424

故=V2sinxy+2kn:+=夜sin(2k?r+與)=>/2sin=1.

故選：C.

7.已知函數(shù)〃x)=3/-高+2,且/(経)+〃3a-4)>2,則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

A.(<l)B.(-8,-4)7(1,+8)

C.(-00,-1)U(4,-KO)D.(-1,4)

【答案】B

【分析】設(shè)8(*)=3/+蕓(xeR),即/(x)=g(x)+l,結(jié)合條件得到：gS)>_g(3“_4),

再由g(x)的奇偶性和單調(diào)性得到：?2>4-3?,即可求解.

【詳解】由題意得，函數(shù)/"(x)=3x3--一+1+1=3/+1二1+1,

e+1e+1

設(shè)g(x)=3d+記(XGR),則〃x)=g(x)+l,

由f(42)+f(3a-4)>2,得g3)+g(3a-4)>0ngS)>-g(3“-4),

又因?yàn)間(-x)=3(T)3+1^=-貨=-g(x)，

所以g(x)是R上的奇函數(shù),即-g(x)=g(-x),

又有g(shù)(x)=3x3+^—^-=3x3--^—+1>

e+1e+1

2

因?yàn)檠?3/是R上的增函數(shù)，y=—是R上的增函數(shù)，

e+1

所以g(x)是R上的增函數(shù)；

則g(/)>-g(3a-4)og(42)>g(4-3a),即〃>4-3?,

整理得：a2+3a-4>0,解得：或。<-4,

第頁8

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(v,T)U(l,小)，

故選：B.

8.ig：a=2O23202',b=2O222022,c=20212023,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】A

【分析】同時取自然對數(shù)可得Ina=2021In2023,In=2022In2022,Inc=2023In2021,根據(jù)

2021+2023=2022+2022=4044,考慮構(gòu)造函數(shù).f(x)=(4044-x)Inx,利用函數(shù)單調(diào)性比較大小.

【詳解】ia^a=2O232O2'^=2O222O22,c=2O212023,同時取自然對數(shù)可得lna=20211n2023,

In6=2022In2022,Inc=2023In2021,因?yàn)?021+2023=2022+2022=4044,故考慮設(shè)

/(x)=(4044-x)lnx(x>1011),則lna=/(2023),lnfe=/(2022),lnc=/(2021),且

4044,、4044

r(x)=-lnx+竺竺—1因?yàn)楹瘮?shù)y=—Inx—1在1011,+8)上單調(diào)遞減，函數(shù)丫=竺竺在

XX

(1011,+8)上單調(diào)遞減，所以尸(X)=一111萬+多巴-1在。011,+8)上單調(diào)遞減，又

/,(10U)=-lnl011+4-l<0,所以當(dāng)x>10H時,所以函數(shù)f(x)=(4O44-x)lnx在(1011,+oo)上

單調(diào)遞減,又2021<2022<2023,所以〃2023)<“2022)<“2021),所以

2021In2023<2022In2022<2023In2021,即lna<ln8vine,所以a<6<c,

故選：A.

二、多選題

9.設(shè)等比數(shù)列｛《,｝的公比為q,其前n項(xiàng)和為S”,前n項(xiàng)積為Z,,且滿足條件4>1，密必，的必>1，

(%儂-1)?(g023-l)<0，則下列選項(xiàng)正確的是()

A.｛a”｝為遞減數(shù)列B.&?22+1<$2023

C.%22是數(shù)列｛ZJ中的最大項(xiàng)D.7LM5<1

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意，求得4的范圍，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，對每個選項(xiàng)進(jìn)行分析，即可判斷和選擇.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛%｝為等比數(shù)列，且4>1,?2022辺2023>1，故9>。，該數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列；

若4=1,顯然不滿足題意，舍去；若4>1,則%=a4i>l,不滿足(%)22-1),(。23-1)<0,舍去；

第頁9

若"（0,1）,則該數(shù)列為單調(diào)減數(shù)列，由（%>22-1）-（4023-1）<0,

故可得“2022>］，°V“2023<1或°<。2022<1,叼023>】,

顯然。<。2022<1，。2023>1不滿足題意，故舍去，則県2>1，0<^2023<1

對A：因?yàn)?>1國?0,1）,故數(shù)列｛6｝為單調(diào)減數(shù)列，A正確;

対B：%O23<1，即$2023-$2022<1，即,^2022+1>,^2023，故B錯誤;

對C:因?yàn)椋?｝單調(diào)遞減，且%?2>1，4023<1，故Z,的最大值為n。22,C正確;

對D：GMS“4045=(旳023)故D正確;

故選:ACD.

10.數(shù)學(xué)家們在探尋自然對數(shù)底ez2.71828與圓周率兀之間的聯(lián)系時，發(fā)現(xiàn)了如下的公式:

..xx2x3xn

(1)e=l+—+—+—+.??+—+

1!2!3!n\

(2)sinx=----F…+(-If

F與+不7!

，，+1

(3)cosx=l-—...+(-l)-^——+...

2!4!6!'，(2n-2)!

據(jù)此判斷以下命題正確的是（）（己知i為虛數(shù)單位）

A.eu=cosx+isinxB.eu=sinx+icosx

C.ei/r+1=0D.b+e士<2

【答案】ACD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算以及已知條件，結(jié)合三角函數(shù)有界性，即可判斷和選擇.

【詳解】對A：由e'=1+“+土+土+…+土+

1!2!3!n\

w+l工"2丫2”-1

可得/=1+士一二一Ei+L+(-l)+㈠向

"可1!2!3!'丿(2n-2)l

3512nl

X.X.X.X.7八“+1x~.

乂isinx=-1-----1-<-----1------1+...+(—I)---------1+...,

1!3!5!7!V'(2n-l)!

cosx=l±+--2

----1-…+(-if(2〃_2)!+…'

2!4!6!

故口J得e"=cosx+isinx,A正確;

第頁10

一—2x2n-l

對B.eu=l+-i--i+L+(-l)"+1+(f"i+L,

」1!2!3!V'(2n-2)!⑵Ll)!

，，+

icosx=i-—i+—i-—i+...+(-l)'7^Ti+...,

2!4!6!、丿(2〃-2)!

357

「.xxxX

Vsinx=--------H-----------+...++...

1!3!5!7!

顯然e"wsinx+icosx,B錯誤；

對C：由=cos為+isinx可得3"=—1,故e'"+l=O,C正確；

對D：由『=cosx+isinx可得e7=cos(-x)+isin(-x)=cosx-isinx,則卜"+e-1=|2cosx|,

又|cosx|〈l,故卜"+6士卜2,D正確.

故選：ACD.

11.窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷,

圖2是從窗花圖屮抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為1,P是正八邊形

ABCDEFGH邊上任意一點(diǎn)，則()

C.器在戲向量上的投影向量的模為等D-既規(guī)的最大值為3+20

【答案】BCD

【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，證明出NBAF=90。，從而建立平面直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到罰

與器平行，故A錯誤;

B選項(xiàng)，求出QA,0C,。8得到B正確；

C選項(xiàng)，求出髭，AB,利用投影向量的計(jì)算公式求出答案；

onuuuuuuuiuruuuu)

D選項(xiàng)，取A8的中點(diǎn)"，得至2-MA;=PM2求出1蹣111'H的最大值，從而得到「1小1tll心1tMi的

最大值.

第頁11

【詳解】連接4R

1800-45°

因?yàn)檑獭?=45。，故N048=-------------=67.5°,

2

1?no_13s。

因?yàn)閆AOF=3x45°=135°,故ZOAF=———=22.5°,

2

故ZBAF=67.5°+22.5°=90°,

以48所在直線為了軸，AF所在直線為），軸，建立平面直角坐標(biāo)系,

CI1+也，遮

則A（0,0）,8（l,0）,H_孚等）?（。⑸

22

7

故AH=---\,CF=-1----+1

I22丿(22丿

所以游與器平行，不能構(gòu)成一組基底，A錯誤;

uum

03=0,0)

iwiurLUL?

故OA+OC=二008,B正確;

/0夜、iur在，立+力

G-+1,AGAB=(1,0),

T'T22丿

+1-(1,0)「

故泥在益向量上的投影向量的模長為冷豊I22JV2,C正確;

i

IBJUl_a.a(LKJUKl■■■■■■■1I■■■I■■■

取AB的中點(diǎn)M,貝IJPA+PB=2PM，PA-PB=BA=2MA，

LU1UUU\2ULUlizlUlUll\2UULT

則例Z+啊=4PM',(PA-啊=4MA2,

第頁12

nuULUixui，airiixmoi

兩式相減得：PAPB=PM~-MA2=PM~一一,

4

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E或尸重合時，蹣2最大，

最大值為厶"+4尸=；+(0+1)2=3+2&,

則PB的最大值為9+2夜一：=3+2應(yīng)，D正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：

①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的

特征直接進(jìn)行求解；

②數(shù)化，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解

等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識進(jìn)行求解.

12.設(shè)定義在R上的函數(shù)〃力與g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為尸⑺和g'(x),若J(x+2)-g(l-x)=2,

/'(x)=g'(x+l),且g(x+l)為奇函數(shù)，則下列說法中一定正確的是()

A.g⑴=0B.函數(shù)g'(x)的圖象關(guān)于x=2對稱

20212022

c.￡〃%)g(k)=OD.￡g(左)=0

A=lJt=l

【答案】AC

【分析】由g(x+l)為奇函數(shù)可得g⑴=0,由”x+2)-g(l—x)=2取導(dǎo)數(shù)可得_f(x)+g，(3—x)=0,結(jié)合

20290()21

條件ra)=g'(x+i),判斷B,再由條件判斷函數(shù)/(力，g(x)的周期，由此計(jì)算￡g(z),口孫⑻,

k=lk=\

判斷C,D.

【詳解】因?yàn)間(x+l)為奇函數(shù)，所以g(x+l)=—g(—x+1),取x=0可得g(l)=0,A對，

因?yàn)椤▁+2)-g(l-x)=2,所以r(x+2)+g，(I)=0；

所以/'(x)+g'(3T)=0,又r(x)=g'(x+l),g'(x+l)+g'(3-x)=0,

故/(2+x)+g，(2-x)=0,所以函數(shù)g'(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱，B錯，

因?yàn)?'(x)=g'(x+l),所以[〃x)-g(x+l)]'=0，所以〃x)-g(x+l)=c,c為常數(shù)，

因?yàn)閒(x+2)-g(l—x)=2,所以"x)—g(3—尤)=2,

所以g(x+l)-g(3-x)=2-c,取x=l可得c=2,所以g(x+l)=g(3-x),

第頁13

又g(x+l)=—g(—x+l)，所以g(3-x)=-g(-x+l),所以g(x)=-g(x-2),

所以g(x+4)=-g(x+2)=g(x),故函數(shù)g(x)為周期為4的函數(shù)，

因?yàn)間(x+2)=-g(x),所以g(3)=-g(l)=。，g(4)=-g(2),

所以g⑴+g(2)+g(3)+g(4)=0,

2022

所以Zg⑻=[g⑴+g⑵+g⑶+g(4)]+[g(5)+g⑹+g(7)+g⑻]+…

Jl=l

+[g(2017)+5(2018)+g(2019)+g(2020)]+g(2021)+g(2022),

2022

所以￡g(%)=505x0+g(2021)+g(2022)=8⑴+g⑵=g⑵，

k=\

2022

由已知無法確定g(2)的值，故2g仏)的值不一定為0,D錯；

&=1

因?yàn)?(x+2)-g(l-x)=2,所以〃x+2)=2-g(x+l),〃x+6)=2-g(x+5),

所以/(x+2)=/(x+6),故函數(shù)/*)為周期為4的函數(shù)，/(x+4)g(x+4)=/(x)g(x)

所以函數(shù)f(x)g(x)為周期為4的函數(shù)，

又/⑴=2—g(O),/(2)=2-g(l)=2,/(3)=2—g(2)=2+g(0),"4)=2—g(3)=2,

所以/(Dg(l)+/⑵g⑵+/(3)g(3)+/(4)g(4)=0+2g(2)+2g(4)=0,

2021

所以Z/伙)g(厶)=505[/⑴g(l)+/(2)g(2)+/(3)g(3)+f(4)g(4)]+/(202l)g(2021)

k=l

2021

Xf⑻g㈤=〃l)g(l)=0,c對,

k=\

故選：AC.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：抽象函數(shù)對稱性與周期性的判斷如下：

若〃x+a)=f(—x+b),則函數(shù)y=f(x)關(guān)于》=學(xué)對稱；

若/(x+a)+/(-x+b)=0,則函數(shù)y=/(x)關(guān)于(彎,0)中心對稱；

若『(x+4)=/(x+S，貝他/是y=/(x)的一個周期

三、填空題

13.設(shè)〃>0力>0,則使得命題“若ln(a+6)>0,則lna+lnb>0"為假命題的一組。力的值是

【答案】a=\,b=\(答案不唯一)

【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求得滿足的條件，即可選取“力的值.

第頁14

【詳解】根據(jù)題意，滿足題意的“力滿足ln(a+6)>0,且lna+ln匕40,

即ln(a+/?)>Inl,lna/><In1,解得a+8>\,Q<ab<\,

則答案不唯一，不妨取。=1,6=1,滿足題意.

故答案為：。=1/=1.(答案不唯一)

-dx+l,x<a,

14.設(shè)函數(shù)c、2若/(X)存在最小值，。的取值范圍___________.

\x-2),x>a.

【答案】[0,1]

【分析】根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)丫=-欠+1的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，可知，a=o符合條件，〃<0不符合條件，

a>0時函數(shù)尸㈤+1沒有最小值，故/(x)的最小值只能取y=(x-2尸的最小值再求解即可.

1,x<0

【詳解】若。=0時，"x)=/.2八，???/(X)min=0；

(x-2),x>0

若a<0時，當(dāng)x<a時，/。)=-以+1單調(diào)遞增，當(dāng)x—Yo時，/(x)^-oo,故/⑺沒有最小值，不符合題

目要求；

若。>0時，

當(dāng)x<a時，/(x)=-ar+l單調(diào)遞減，f(x)>/(?)=-?2+1,

0,(0<67<2)

當(dāng)X"時‘匹"九-2『,(此2)

—a2+12()或-4+12(4-2)2,

解得0<。41,

綜上可得04。41；

故答案為：[0,1]

15.若△ABC的邊長仇。成等差數(shù)列，且邊”的等差中項(xiàng)為1,則由6+同卜(泊卜儲+與

的取值范圍是.

【答案】

【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，求得〃以及。關(guān)系，利用誘導(dǎo)公式和余弦定理化簡目標(biāo)式為關(guān)于。的函數(shù)

關(guān)系，結(jié)合。的取值范圍，求函數(shù)值域即可.

(詳解】sinf+Usinfj-cos(A+fi)=cosA+cos5+cosC,

第頁15

.22222i2122

由余弦定理可得：cosA+cosB+cosC=—————+a+C----+-+"

2bclaclab

由題可知a+c=2,BPc=2-a,且〃=1,

1+c2-a2+c2-1a2-c2+\6ac-3.3

故cosA+cos3+cosC=------------+-------------+-------------=----------=3-

lac2a2ac2a(2-&)'

,

由a+l>c,c+l>〃，即a+l>2—a,2—。+1>。可得。w?1J

,1）單調(diào)遞增，在[1,|

又/⑷=2a(2-a)在單調(diào)遞減，且/（1）=2,/

J_3時，/(〃)w(g,2,3（3

故當(dāng)令2。（2_。）=，，又y=3-1,2單調(diào)遞增,

2,22

I3,故“(3

當(dāng)t時，y=i,當(dāng)f=2時，y=,即cosA+cosB+cosCJl,/.

2

故答案為:

16.定義：設(shè)函數(shù)在（。⑼上的導(dǎo)函數(shù)為:（力，若ra）在（。㈤上也存在導(dǎo)函數(shù)，則稱函數(shù)

>=〃%）在（。乃）上存在二階導(dǎo)函數(shù),簡記為y=f〃（x）.若在區(qū)間（。⑼上一（力>0,則稱函數(shù)y=〃x）在

區(qū)間（。㈤上為"凹函數(shù)".已知/⑴毛肉“氐中M-皿-/在區(qū)間⑼+⑹上為“凹函數(shù)”，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍為.

【答案】管,+8）

【分析】對函數(shù)/（X）求導(dǎo)兩次得到了"（X）,再由廣（力>0得到2xe2，>ln±e%,構(gòu)造函數(shù)g（x）=xe，，利

a

用導(dǎo)數(shù)證明g（x）在（0,+。）上單調(diào)遞增，

從而得到2x>ln?,變式得：〃>産，再次構(gòu)造函數(shù)//（x）=W，求卩可.

【詳解】函數(shù)f（x）=*T[lnx-lna-|）的定義域?yàn)椋?,+孫

則/'（x）=ae2*_x（lnx_lna_：）_gx,即f^x）=2a^'-\nx+\na,

由題意得，/"（犬）=2加2*-111*+111〃>0在（0,+。）上恒成立；

所以2/'>lnx-ln?=ln—,

a

則2e2A>丄In所以2萬/>-ln-=ln-e'"%

aaaaa

令g（x）=xe*（x>0）,則g'（九）=（x+l）e1

x>0時,g'（x）>0,所以g（力在（0,+8）上為增函數(shù)，

第頁16

由2比標(biāo)>ln土e叱，得g(2x)>g(ln'],

akaJ

所以2x>ln土，則A