2021版高考數(shù)學(xué)(人教A版理科)一輪復(fù)習(xí)：核心素養(yǎng)測評四十一

核心素養(yǎng)測評四十一

等差與等比數(shù)列的綜合

(30分鐘60分)

一、選擇題(每小題5分，共20分)

1.已知1,a,a,9四個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，1,b,b,b,9五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則

12123

b(a-a)=()

221

A.8B.-8C.±8D.l

8

【解析】選A.由1,a,a,9成等差數(shù)列，得公差d=a-a=2二區(qū)由1,b,b,b,9成

1221ATa123

等比數(shù)列，得岳=1X9,所以b=±3,當(dāng)b=-3時(shí)，1,-3成等比數(shù)列，此時(shí)忻=1X

(-3)無解，所以b=3,所以b(a-a)=3X2=8.

2221a

2.等差數(shù)列列｝,等比數(shù)列列｝,滿足a=b=1,a=b,則a能取到的最小整數(shù)是

nn11539

()

A.-lB.0C.2D.3

【解析】選B.等差數(shù)列｛a｝的公差設(shè)為d,等比數(shù)列｛b｝的公比設(shè)為q,q于0,

nn

由a=b=1,a=b,可得1+4d=qz,

1153

則a=1+8d=1+2(q-1)=2q-1>-1,

922

可得a能取到的最小整數(shù)是0.

9

-1-

3.已知在等差數(shù)列｛a｝中,a>0,d>0,前n項(xiàng)和為S,等比數(shù)列｛b｝滿足b=a,b=a,

n1nn1144

前n項(xiàng)和為T,則()

n

A.S>TB.S<T

4444

C.S=TD.SWT

4444

【解析】選A.設(shè)等比數(shù)列｛b｝的公比為q,

n

則由題意可得q>1,數(shù)列｛b｝單調(diào)遞增，

n

又S-丁=a+a-(b+b)-a+a-aq-^=a(1-q)+a(1——\(a_aq)

41

442323141q1<qjCJ

丄(b-b)>0,所以S>T.

Q4244

【一題多解】選A.不妨取a=7n-4,貝”等比數(shù)歹”｛b｝的公比q=，叵=2,所以

a

nnx]l

S=54,T?141廿；=45,顯然s>T.

44l~q44

4.已知a,b,c成等比數(shù)歹U,a,m,b和b,n,c分別成兩個(gè)等差數(shù)列，則上+￡等于

mn

A.4B.3C.2D.1

【解析】選C.由題意得b?=ac,

2m=a+b,2n=b+c,

b+c

則a+cm_a*~^~+c*~^~_ab+ac+ac+bc

'mnmn唸*匕ab^ac+b^^bT'

222

【一題多解】解答本題，還有以下解法：

特殊值法：選C.因?yàn)閍,b,c成等比數(shù)列,

所以令a=2,b=4,c=8,

-2-

又a,m,b和b,n,c分別成兩個(gè)等差數(shù)列，

>a+匕。匕+cL

貝mUm=----=3,n=------=6,

22

因此土+￡=。+且=2.

m箇H￡

二、填空題(每小題5分，共20分)

5.S為等比數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和.若a=1,且3s,2S,S成等差數(shù)列,則

nn1123

a=__________.

n-

【解析】由3s,2S,S成等差數(shù)列，得4S=3S+S，即3S-3S=S一S,則3a=a，得公

123213213223

比q—3,所以a—3qn-i=3n-i.

n1

答案：3e

6.已知等差數(shù)列｛a｝的公差和首項(xiàng)都不等于0,且a,a,a成等比數(shù)列,則

n248

a?

【解析】設(shè)公差為d,因?yàn)樵诘炔顢?shù)列｛a｝中，a,a,a成等比數(shù)列，所以Q于aa,

n248428

所以(a+3d)2=(a+d)(a+7d),所以ch二ad,因?yàn)閐于0,所以d=a,

11111

所以豆+旳+旳=15嘰3.

cio十QQS

答案：3

7.(2020?銀川模擬)已知｛a｝是等差數(shù)列,a=1,公差dWO,S為其前n項(xiàng)和,若

n1n

a,a,a成等比數(shù)列，則S=.口

1258II

【解析】因?yàn)閍,a,a成等比數(shù)列，則成=a?a,

125f15

即(1+d)2=1X(1+4d),解得d=2.

-3-

所以a=1+(n-1)X2=2n-1,a=2X8-1=15,

n8

S=+x(1+15)=64.

87

答案:64

8.已知等差數(shù)列｛Q,J的公差dWO,且,a『%,成等比數(shù)列，若a1l,S”為數(shù)列他」

的前n項(xiàng)和，則由T的最小值為________.n

a“+51—1

【解析】依題意：因?yàn)閍,a,a成等比數(shù)列，a=1,

13131

所以M=aa，所以(1+2d)2=1+12d,d羊0,

“R113

解得d=2.可得a=2n-1,S=E,

nn

貝產(chǎn)'rt+24j『+12=&+2>T〔n+2)+16=n+2+Jj—4>4,當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，等號(hào)成立.

。壯十5力;7樸+2刀+7

答案:4

三、解答題(每小題10分，共20分)

9.(2019?全國卷II)已知數(shù)列｛a｝和｛b｝滿足a=1,b=0,4a=3a-b+4,

nn11n+1nn

4b=3b-a-4.

n+1nn

(1)證明：｛a+b｝是等比數(shù)列，｛a-b｝是等差數(shù)列.

nnnn

⑵求｛a｝和｛b｝的通項(xiàng)公式.

nn

【解析】⑴由題設(shè)得4(a+b)=2(a+b),

n+1n+1nn

即a+b=-(a+b).

n+1n+17nn

又因?yàn)閍+b：1,所以｛Q“+b,J是首項(xiàng)為1,公比為｝的等比數(shù)列.

由題設(shè)得4(a-b)=4(a-b)+8,

n+1n+1nn

-4-

即a-b=a-b+2.

n+1n+1nn

又因?yàn)閍「"=1,所以｛冊-乩）是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.

(2)由(1)知,a+b——,a-b=2n-1.

nnnn

所以a=丄[(a+b)+(a-b)]=」_+n-丄,

nynnnnyH?

b=-[(a+b)-(a-b)]=—-n+—.

nnnnn7”7

10.已知等差數(shù)列｛a｝前三項(xiàng)的和為-3,前三項(xiàng)的積為8.

n

⑴求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式.

n

⑵若a,a,a成等比數(shù)列,求數(shù)列｛|a丨｝的前n項(xiàng)和S.

231nn

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差為d,

n

貝Ia-a+d,a=a+2d.

2131

由題意得.3QI+3d=-3,

a(ch+d)(ay4-2d)=8,

解得=2,或m=-4,

(d=-3,[(j=3.

所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得

a=2-3(n-1)=-3n+5或a=-4+3(n-1)=3n-7.

nn

故a=-3n+5或a=3n-7.

nn

⑵當(dāng)a=-3n+5時(shí)，a,a,a分別為-1,-4,2,不成等比數(shù)列;

n231

當(dāng)a=3n-7時(shí)，a,a,a分別為-1,2,-4,成等比數(shù)列,滿足條件.

n231

-3n+7,=1,2,

故|a|=13n-71=

3n-7,n>