數據模型與決策21

數據、模型與決策丁邦ingbangjunmba@163.com

數據模型與決策21第二講離散概率分布數據模型與決策21離散概率基礎概率第一定律:任何事件的概率都是0和1之間的數.例將一枚均勻的硬幣拋出，觀察是正面向上還是反面向上，由完備性和對稱性，這兩個結果出現的可能性相等，即P（出現正面）=0.5；P（出現反面）=0.5概率：是指不確定的結果出現的可能性。例從一副撲克牌（通常去掉大小猴）中任取一張，取到的是A，這種可能性就是概率。數據模型與決策21概率第二定律:如果事件A和事件B是互斥的,那么P(A或B)=P(A)+P(B)舉例：從一副撲克牌中隨機抽取一張，記A=“方快10”，B=“K”，那么，事件A和事件B是互斥的，于是P(A或B)=P(A)+P(B)=1/52+4/52=5/52離散概率基礎數據模型與決策21離散概率基礎概率第三定律:符號A|B表示事件B發(fā)生的情況下出現了事件A,則

P(A|B)例：從一副撲克牌中隨機抽取一張，記

A=“該牌是任何花色K”，

B=“該牌是花牌（J、Q、K）”則P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=數據模型與決策21離散概率基礎

中國學生（C）外國學生(I)合計男生（M）251540女生（W）451560合計7030100例一個班級學生情況統(tǒng)計如下，求P（C|M）解：P（C|M）=數據模型與決策21離散概率基礎

中國學生（C）外國學生(I)合計男生（M）0.250.150.4女生（W）0.450.150.6合計0.700.301這個班學生的概率分布為另解：P（C|M）=數據模型與決策21離散概率基礎同理，可求P（M|C）=25/70第三定律也可以寫成:或:這就是概率的乘法公式。公式中的符號“∩”也可省去。數據模型與決策21離散概率基礎概率第四定律:如果A、B是相互獨立的事件P(A|B)=P(A)舉例：從一副撲克牌中隨機抽取一張，記

A=“該牌是一張5”，B=“該牌是梅花”

“AB”=“該牌是梅花5”所以，P(A）=P(A|B)則P(A)=4/52=1/13P(A|B)=P(A和B)/P(B)=數據模型與決策21離散概率基礎第四定律也可以寫成:或:即：獨立的兩個事件乘積的概率等于概率的乘積。這也叫概率的乘法公式。數據模型與決策21如何計算決策樹中的概率CarolineJanse是一家消費品公司市場銷售經理，她正在考慮是否生產一種無泡沫的新型自動洗碗清潔劑。為了使得該問題簡化，我們假設市場要么是疲軟的，要么是堅挺的。如果市場是堅挺的，那么公司將贏利1800萬美元，如果市場是疲軟的，那么公司將虧損800萬美元，根據經驗和直覺的綜合考慮，卡羅林估計市場是堅挺的概率為30%在決定是否生產之前，她可以對無泡沫市場進行一項全國性的調查測試，費用將達到240萬美元。數據模型與決策21這種市場調查測試不可能完全準確預測新產品市場，也就是說，它可能會誤導新產品市場。過去的這類調查結果表明：如果市場是疲軟的(weakly)，那么有10%的可能性測試結果對市場是肯定的(Yes)，同樣，如果市場是堅挺的(strong)，那么有20%的可能性測試結果對市場是否定的(No)?？_林可以決定要么不生產無泡沫產品，要么在決定是否生產之前，進行調查測試；要么不進行調查測試，直接進行生產。利用第一講的方法，我們對Caroline問題構造了如下的決策樹：數據模型與決策21ACG不生產市場調查測試否定的調查結果不生產不調查，生產市場堅挺市場疲軟BF生產不生產D生產市場堅挺市場疲軟E市場堅挺市場疲軟0.30.71800-800-240-10401560-10401560-240p1=?p2=?p3=?p4=?p5=?p6=?答案p1=0.310p2=0.690p3=0.774p4=0.226p5=0.087p6=0.913肯定的調查結果數據模型與決策21解：記S=市場堅挺，W=市場疲軟

Y=調查結果是肯定的

N=調查結果是否定的P(W)=1-P(S)=1-0.3=0.7,由已知：P(S)=0.30,P(Y|W)=0.1,P(N|S)=0.20P(Y和W)=P(Y|W)P(W)=0.1*0.7=0.07,P(Y|S)=1-P(N|S)=1-0.20=0.80，P(N|W)=1-P(Y|W)=1-0.10=0.90.數據模型與決策21P1=0.31P2=0.69P3=P(S|Y)=P(S∩Q)/P(Y)=0.24/0.31=0.774P4=P(W|Y)=P(W∩Q)/P(Y)=0.07/0.31=0.226P5=P(S|N)=P(S∩N)/P(N)=0.06/0.69=0.087P6=P(W|N)=P(W∩N)/P(N)=0.63/0.69=0.913

市場堅挺(S)市場疲軟(W)合計市場調查是堅挺的(Y)

0.24

0.070.31市場調查是疲軟的(N)

0.06

0.630.69

合計0.300.701.00數據模型與決策21ACG不生產市場調查測試否定的調查結果不生產不調查，生產市場堅挺市場疲軟BF生產不生產D生產市場疲軟E市場堅挺市場疲軟0.30.71800-800-240-10401560-1040-240p1=0.31p2=0.69P3=0.774p4=0.226P5=0.087p6=0913肯定的調查結果1560市場堅挺972.4-813.8-240972.4135.84-20135.84數據模型與決策21Caroline的最佳策略是：首先選擇市場調查測試；當市場調查測試給出肯定的結果時，她選擇生產；當市場調查測試給出否定的結果時，她選擇不生產；這一決策的EMV是$135.84。數據模型與決策21隨機變量及其分布

斯隆學院的學生暑期工作的收入資料假定被收集到了，去年的情況是這樣的（指第一年的MBA學生的收入）：總的工資（12周）獲得此類工資的學生所占百分比$21,6005%$16,80025%$12,00040%$6,00025%$05%數據模型與決策21隨機變量及其分布

上面的表格就是斯隆學院的學生暑期工作的周收入(假設為X)的分布

隨機變量：一個概率模型中可以用數值表示一個不確定的量。用大寫的字母X、Y、W等表示如：X=“斯隆學院的學生暑期工作的周收入”

Y=“一個硬幣拋2次，出現的正面數”W=“上海市明年7月份的降雨的毫米數”數據模型與決策21隨機變量及其分布隨機變量的分布需要指出其取值和相應的概率，通常用表格或函數表示表格法：X=Bill參加校園招聘計劃的收入X21600168001200060000Pr0.050.250.400.250.05函數法：設Y=“一個硬幣拋2次，出現的正面數”,p=拋一次硬幣出現正面的概率數據模型與決策21二項分布每次試驗只有兩個可能的結果，即“成功”和“失敗”出現“成功”的概率p對每次試驗結果是相同，進行n次重復試驗，出現“成功”的次數的概率分布稱為二項分布設X為n次重復試驗中事件A出現的次數，X取x

的概率為數據模型與決策21二項分布（Excel）計算二項分布的函數是

BINOMDIST（k,n,p,cumulative）,它有兩種形式例生產過程的質量控制假如一個生產過程的產品為合格品的概率是0.83，為廢品的概率是0.17，現在假設生產5個這樣的產品，求其中至少有一個是廢品的概率。解p=數據模型與決策21二項分布的應用案例分析：航空公司機票超售問題數據模型與決策21整概率分布的體指標平均值方差與標準差數據模型與決策21概率分布的整體指標平均值：也稱期望，定義為隨機變量的取值與相應的概率相乘，再將所有乘積求和的結果，公式是：例：X=Bill參加校園招聘計劃的收入X21600168001200060000Pr0.050.250.400.250.05這個數字含義非常清楚，它就是Bill能夠獲得期望收入數據模型與決策21期望值與輪盤賭數據模型與決策21長期來看，莊家必贏數據模型與決策21概率分布的整體指標方差：定義為隨機變量與其期望偏差的平方的期望公式是：例：X=Bill參加校園招聘計劃的收入X21600168001200060000Pr0.050.250.400.250.05這個數字特別大，其單位是平方美元，與X的單位不一致，它的算術平方根是3458.60美元，與X的單位一致，人們更喜歡使用，并稱它為標準差數據模型與決策21隨機變量的線性函數考慮到Bill參加校園招聘計劃有一定的成本（與接收John的機會相比，有時間成本），假如該成本是600美元，那么Bill暑期打工12周的實際收入R1為：R1=X-600如果換成月收入，那么Bill暑期打工每月的實際收入R2為R2=?R1=?X-200，這是隨機變量X的線性函數數據模型與決策21隨機變量的線性函數我們可以求出R2的分布：R12100016200114005600-600Pr0.050.250.400.250.05R17000540038001866-200Pr0.050.250.400.250.05我們也可以求出R1的分布：有了R1的分布，我們自然能夠求出R1的期望和標準差，并且可以用下面的簡化公式。數據模型與決策21隨機變量的線性函數例R1的期望和標準差分別是：數據模型與決策21協(xié)方差與相關性實例：太陽鏡和雨傘的銷售量概率pi太陽鏡的銷售量xi雨傘的銷售量yi0.135410.1578100.058100.130130.216420.0529220.13510.114260.152110.054623問題：太陽鏡和雨傘的銷售量之間有關系嗎？數據模型與決策21協(xié)方差與相關性X與Y的相關性定義為其中分子COV（X,Y）叫做X與Y的協(xié)方差，定義為例太陽鏡的銷售量與雨傘的銷售量的相關性為：數據模型與決策21聯合概率分布與獨立性兩個事件A與B的獨立性是指P(AB)=P(A)P(B)考慮隨機變量（X，Y）的概率，記（X，Y）的取值為（xi，yi），相應的概率為pi，將它們列出一個表，就是（X，Y）的聯合分布例記X=“拋一枚均勻硬幣出現的正面數”Y=“拋一枚均勻硬幣出現的正面數減去反面數”則X可能的取值是0、1；Y的可能取值是-1,1數據模型與決策21聯合概率分布與獨立性X與Y的聯合分布為：XY-11010.500.50合計合計0.50.510.50.5數據模型與決策21聯合概率分布與獨立性兩個變量相互獨立，當且僅當對所有x、y都是成立的。例（1）上面拋硬幣的例子中，X與Y獨立。

（2）太陽鏡的銷售量與雨傘的銷售量不獨立。您能驗證一下嗎？提示：（1）需要寫出四個式子驗證。

（2）只要找到一個式子不成立即可。P(X=35,Y=1)=0.1,P(X=35)=0.2,P(Y=1)=0.1不相關就是指沒有任何關系，比如兩個股票，一個漲跌不影響另一個漲跌。數據模型與決策21兩個隨機變量的和在投資市場里，通常要考慮資產組合配置，這就涉及到隨機變量和的概念，最簡單的情況是兩個隨機變量之和假設X、Y是兩個隨機變量，Z=aX+bY，其中a、b是已知常數，那么從該表達式可以看出：（1）若COV（X，Y）>0,則Var（aX+bY）>a2Var（X）+b2Var（Y）（2）若COV（X，Y）>0,則Var（aX+bY）<a2Var（X）+b2Var（Y）由此可見，選擇負相關的兩個資產組合投資，可以降低風險。見P91案例數據模型與決策21兩個隨機變量的和例假設AB兩個資產的投資收益率分別為8%和15%，方差分別是100元和400元，且它們的協(xié)方差為-150，現在將1萬元投資AB兩個資產，求最佳分配比例。解設投資資產A、B的比例分別為x、1-x，則資產組合的方差為由此可見，當x=68.75%時組合風險達到最小，此時總收益是68.75%*10000*8%+31.25%*10000*15%=1018.7