四川省德陽市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

德陽市高中2022級第三學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測考試數(shù)學(xué)試卷說明：1.本試卷分第I卷和第Ⅱ卷，共4頁.考生作答時(shí)，須將答案答在答題卡上，在本試卷、草稿紙上答題無效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.2.本試卷滿分150分，120分鐘完卷.第I卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.集合，集合，則集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接求并集即可.【詳解】因?yàn)榧希?，則集合.故選：D.2.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)特征，列式求解.【詳解】函數(shù)的定義域需滿足，即.所以函數(shù)的定義域是.故選：B3.已知空間向量，，若，則（）A.2 B.-2 C.0 D.4【答案】C【解析】【分析】由空間向量的加法運(yùn)算求出，再由可求出，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，，則，由可得：，解得：，則.故選：C.4.等差數(shù)列滿足，，則（）A.4 B.3 C. D.2【答案】B【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，先根據(jù)條件列方程求出和，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知可得，解得，所以.故選：B.5.若直線：平分圓的周長，則的傾斜角為（）A.45° B.135° C.60° D.120°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線過圓心可得,即可求出的斜率，進(jìn)而求出的傾斜角.【詳解】直線：平分圓的周長，所以直線過圓心，所以，所以，則的斜率為，則的傾斜角為.故選：A.6.一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示）的曲面是旋轉(zhuǎn)拋物面（拋物線圍繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)而得的一種空間曲面，拋物線的對稱軸、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)分別稱為旋轉(zhuǎn)拋物面的軸線、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)），已知衛(wèi)星波束以平行于旋轉(zhuǎn)拋物面的軸線的方式射入該衛(wèi)星接收天線經(jīng)反射后聚集到焦點(diǎn)處（如圖②所示），已知該衛(wèi)星接收天線的口徑（直徑）為6m，深度為1m，則其頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于（）A. B. C.1m D.【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入點(diǎn)求出，進(jìn)而可得答案.【詳解】如圖所示，以接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標(biāo)系，使接收天線的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)重合，焦點(diǎn)在上，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得在拋物線上，所以，得，其頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于.故選：A.7.設(shè)雙曲線的離心率為，則當(dāng)取最小值時(shí)，（）A. B.2 C. D.3【答案】C【解析】【分析】先表示出雙曲線的離心率，再由基本不等式即可得出答案.【詳解】雙曲線的離心率為，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等，所以.故選：C.8.設(shè)、是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，若為直角三角形，則的面積為（）A. B. C.或1 D.1或【答案】D【解析】【分析】分析確定直角頂點(diǎn)后位置，當(dāng)焦點(diǎn)（或）為直角，結(jié)合三角形的面積公式即可求解.【詳解】由已知，若是直角三角形，則直角頂點(diǎn)可能是點(diǎn)P，;若是直角三角形，則直角頂點(diǎn)可能是焦點(diǎn)（或）為直角頂點(diǎn)，此時(shí)（或），.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：分類討論得出直角位置，結(jié)合橢圓定義得出面積計(jì)算即可；二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分，）9.已知為直線，、、為不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】AD【解析】【分析】利用平行垂直的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于A：，，平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，正確；對于B：，，平行于同一條直線的兩個(gè)平面可能平行，可能相交，錯(cuò)誤；對于C：，，垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面可能平行，可能相交，錯(cuò)誤；對于D：，，垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，正確；故選：AD.10.已知函數(shù)的圖象為（）A.的最小值為0B.的最小正周期為C.將向右平移個(gè)單位所得圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷每個(gè)選項(xiàng)．【詳解】，對于A，的最小值為，故A錯(cuò)誤；對于B，的最小正周期為，故B正確；對于C，將向右平移個(gè)單位可得：，為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，故C正確；對于D，由于，所以，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上有增有減，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.在一次奧運(yùn)會(huì)男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動(dòng)員甲和乙進(jìn)入決賽（比賽采用三局兩勝制，即率先獲得兩局勝利者贏得比賽，隨即比賽結(jié)束）.假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4.某同學(xué)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1～5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)1，2或3時(shí)，表示甲獲勝，當(dāng)出現(xiàn)4或5時(shí)，表示乙獲勝，以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組進(jìn)行冠軍模擬預(yù)測，如果產(chǎn)生如下20組隨機(jī)數(shù)：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354，根據(jù)頻率估計(jì)概率的思想，下列說法正確的有（）A.甲獲得冠軍的概率近似值為0.65B.甲以2：0的比分獲得冠軍的概率近似值為0.5C.比賽總共打滿三局的概率近似值為0.55D.乙以2：0的比分獲得冠軍的概率近似值為0.15【答案】ACD【解析】【分析】由20組隨機(jī)數(shù)中分別先求出甲獲得冠軍的數(shù)，甲以2：0的比分獲得冠軍的數(shù)，比賽總共打滿三局的數(shù)和乙以2：0的比分獲得冠軍的數(shù)，從而可求出各選項(xiàng)頻率，進(jìn)而可得答案.【詳解】對于A，表示甲獲得冠軍的數(shù)有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314共13組數(shù)，故估計(jì)該場比賽甲獲勝的概率為，故A正確；對于B，表示甲以2：0的比分獲得冠軍的數(shù)有：123，114，332，125，334，314，共6組數(shù)，故估計(jì)甲以2：0的比分獲得冠軍概率為，故B錯(cuò)誤；對于C，表示比賽總共打滿三局的數(shù)有：423，423，344，525，152，342，534，512，432，151，354共11組數(shù)，故估計(jì)比賽總共打滿三局的概率為，故C正確；對于D，表示乙以2：0的比分獲得冠軍的數(shù)有：453，443，541共3組數(shù)，故估計(jì)乙以2：0的比分獲得冠軍的概率為，故D正確；故選：ACD.12.已知平面上兩點(diǎn)M、N之間的距離為6，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則（）A.動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長度為B.不存在滿足的點(diǎn)C.的取值范圍為D.當(dāng)P、M、N不共線時(shí)，的最大面積為50【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標(biāo)系，求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，再逐項(xiàng)分析、計(jì)算判斷即得.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，顯然，由，得，整理得，因此點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，點(diǎn)的軌跡長度為，A正確；當(dāng)時(shí)，，由得，顯然，于是直線與圓的交點(diǎn)滿足，B錯(cuò)誤；顯然，而點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，則，即的取值范圍為，C正確；顯然點(diǎn)到直線，即軸距離的最大值為，，D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及與圓相離的圖形F上的點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離最值問題，轉(zhuǎn)化為圖形F上的點(diǎn)與圓心距離加或減圓半徑求解.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案直接填在答題卡上）13.設(shè)為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為____________.【答案】3【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算，然后即可得虛部.【詳解】，其虛部為.故答案為：.14.已知定義在上的奇函數(shù)，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知，從而可求解.【詳解】由題意知為在上的奇函數(shù)，所以.故答案為：.15.等比數(shù)列滿足，類比“”，我們記，則__________.【答案】32【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得.所以.故答案為：.16.已知四面體中，，且與平面所成的角為，則當(dāng)時(shí)，的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，且點(diǎn)在平面內(nèi)，根據(jù)條件，將問題轉(zhuǎn)化成當(dāng)在面上的投影與共線時(shí)，求的最小值，建立平面直角坐標(biāo)系，得到，即點(diǎn)與，的距離之和，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，且點(diǎn)在平面內(nèi)，取中點(diǎn)，則，顯然，當(dāng)在面上的投影與共線時(shí)，會(huì)比不共線的小，當(dāng)在面上的投影與共線時(shí)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，又，且與平面所成的角為，設(shè)，則，，，得到，，所以，其可表示為點(diǎn)與，的距離之和，作關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，顯然，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化成當(dāng)在面上的投影與共線時(shí)，求的最小值，再通過建立平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)與，的距離之和，從而解決問題.四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟，）17.在一次拋擲硬幣的試驗(yàn)中規(guī)定：若正面向上（用數(shù)字1表示），質(zhì)點(diǎn)向東移動(dòng)1個(gè)單位；若正面向下（用數(shù)字0表示），質(zhì)點(diǎn)向北移動(dòng)1個(gè)單位.甲同學(xué)將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲了3次，則質(zhì)點(diǎn)在水平面中從點(diǎn)經(jīng)過3次移動(dòng)后到達(dá)點(diǎn)，記事件“”.（1）寫出甲同學(xué)進(jìn)行該試驗(yàn)的樣本空間，并求；（2）如果乙同學(xué)按照甲同學(xué)完全相同的方式獨(dú)立的進(jìn)行試驗(yàn)，記事件“”，求A與B至少有一個(gè)發(fā)生的概率.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由樣本空間的定義以及古典概型概率即可求解.（2）由獨(dú)立乘法公式以及并事件的概率公式即可求解.【小問1詳解】由題意，事件，從而.【小問2詳解】由（1）知，事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生可以表示為“”由獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式及概率的性質(zhì)得.18.已知圓經(jīng)過三點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）求過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）設(shè)出圓的一般方程，利用待定系數(shù)法求解；（2）根據(jù)直線斜率是否存在，分兩種情況討論，由直線與圓的位置關(guān)系列式求解．【小問1詳解】設(shè)圓C的方程為，則有，得，即圓C的方程為.【小問2詳解】由（1）知圓心，半徑.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，即，由圓心到直線的距離等于半徑，得，解得，則直線的方程為；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，符合題意，從而所求直線的方程為或.19.已知首項(xiàng)為1的正項(xiàng)等比數(shù)列滿足.（1）求.（2）令，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可；（2）先根據(jù)對數(shù)運(yùn)算得出通項(xiàng)，再應(yīng)用裂項(xiàng)相消求解即得.【小問1詳解】設(shè)公比為，由得解得或（舍去）所以.【小問2詳解】由（1）知所以，從而所以20.如圖，梭長為的正方體中，點(diǎn)M、N分別在線段和上運(yùn)動(dòng)，且.（1）用含有的代數(shù)式表示；（2）當(dāng)最小時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系,由表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間的距離公式表示出；（2）求出的最小值，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出平面與平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【小問1詳解】由題意以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系,,因?yàn)椋?，，，則，，所以.【小問2詳解】由（1）知，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值1.此時(shí)，，，設(shè)平面的法向量，則，即，取，則，，即，顯然可取平面的法向量.設(shè)平面與平面夾角為，則.21.的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知B為A與C的等差中項(xiàng)，且.（1）求的值；（2）記面積為，若，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由可得，再由兩角和與差的正弦公式代入已知式化簡可求出答案；（2）由（1）知，，由正弦定理求出，，，再由三角形的面積公式求得，即可求出答案.【小問1詳解】由得由得即所以.【小問2詳解】由（1）知，，，在中由正弦定理令，所以，，，所以由得所以周長為.22.橢圓：的離心率，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、（位于上方），焦點(diǎn)為、，四邊形的內(nèi)切圓半徑為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線交于M、N兩點(diǎn)（M位于P與N之間），記、的面積分別為、，令，，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）對直線斜率是否存在分類討論，斜率不存在的時(shí)候特殊位置分析，斜率存在的時(shí)候，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理和題中已知條件分析計(jì)算即可得到結(jié)果.【小問1