備考2024年中考數(shù)學(xué)專題突破（全國通用）專題1-6 二倍角的解題策略：倍半角模型與絕配角（原卷版）

專題1-6二倍角的解題策略：倍半角模型與絕配角導(dǎo)語：見到2倍角的條件，首先想到“導(dǎo)”，將圖形中的角度都推導(dǎo)出來，挖掘出隱藏邊的信息，再觀察角度的位置，結(jié)合其他條件，這里做題的經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)了六個(gè)字：翻、延、倍、分、導(dǎo)、造目錄知識(shí)點(diǎn)梳理 策略一：向外構(gòu)造等腰（大角減半） 策略二：向內(nèi)構(gòu)造等腰（小角加倍或大角減半） 策略三：沿直角邊翻折半角（小角加倍） 策略四：鄰二倍角的處理 【經(jīng)典例題講解】 【一題多解1】圍繞2倍角條件，解法圍繞“翻”

“延”

倍”“分” 【一題多解2】常規(guī)法與倍半角處理對比 策略五：絕配角模型 題型一向外構(gòu)造等腰三角形（大角減半） 2023·深圳南山區(qū)聯(lián)考二模 2023·山西·統(tǒng)考中考真題 題型二向內(nèi)構(gòu)造等腰（小角加倍或大角減半） 題型三沿直角邊翻折半角（小角加倍） 2023·深圳寶安區(qū)二模 2023·深圳中學(xué)聯(lián)考二模 題型四鄰二倍角的處理 題型五絕配角 題型六坐標(biāo)系中的二倍角問題 宿遷·中考 鹽城·中考 河南·中考 2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題 江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題 內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題 2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題 2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題 題型七其它構(gòu)造方式 知識(shí)點(diǎn)梳理策略一：向外構(gòu)造等腰（大角減半）已知條件：如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACBAACBD輔助線作法：延長CB到D，使BD＝BA，連接AD結(jié)論：AD＝AC，△BDA∽△ADC策略二：向內(nèi)構(gòu)造等腰（小角加倍或大角減半）已知條件：如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠B輔助線作法：法一：作∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，結(jié)論：∠DBC＝∠C，DB＝DCAADBC法二：在BC上取一點(diǎn)E，使AE＝CE，則∠AEB＝2∠C＝∠B（作AC中垂線得到點(diǎn)E）總結(jié)：策略一和策略二都是當(dāng)2倍角和1倍角共邊時(shí)對應(yīng)的構(gòu)造方法，下面我們再來看看不在同一個(gè)三角形中時(shí)該如何處理策略三：沿直角邊翻折半角（小角加倍）已知條件：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，連接AD，∠B＝2∠CADAABCDE輔助線作法：沿AC翻折△ACD得到△ACE結(jié)論：AD＝AE，∠DAE＝∠B，BA＝BE，△ADE∽△BAE策略四：鄰二倍角的處理已知條件：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，∠BAD＝2∠CAD輔助線作法：法一：向外構(gòu)造等腰（導(dǎo)角得相似）延長AD到E，使AE＝AB，連接BE，結(jié)論：BD＝BE，∠DBE＝∠BAD，△BDE∽△ABE法二：作平行線，把二倍角轉(zhuǎn)到同一個(gè)三角形中，延長AD到F，使CE∥AB，則∠F＝∠BAD【經(jīng)典例題講解】例題1如圖，在正方形ABCD中，AB＝1，點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，則CF的長是()A． B． C． D．例題2如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AF平分∠BAE，交BC于點(diǎn)F，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ABG，則CF的長為．例題3如圖，面積為24的□ABCD中，對角線BD平分∠ABC，過點(diǎn)D作DE⊥BD交BC的延長線于點(diǎn)E，DE＝6，則sin∠DCE的值為()例題4如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)E，則DE＝_________．

總結(jié)：具體問題具體對待，并非哪一種方法絕對簡單，需根據(jù)問題特征選取較為合適的方法．【一題多解1】圍繞2倍角條件，解法圍繞“翻”

“延”

倍”“分”如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，AB＝3，BC＝5，求線段AC的長．（5種解法）【一題多解2】常規(guī)法與倍半角處理對比如圖，AB為⊙O的直徑，BC、CD是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)B、D，點(diǎn)E為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OD、CE、DE，已知AB＝2，BC＝2，當(dāng)CE＋DE的值最小時(shí)，則的值為()（3種解法）A． B． C． D．如圖，AB為⊙O的直徑，D是弧BC的中點(diǎn)，BC與AD、OD分別交于點(diǎn)E、F．(1)求證：DO//AC；(2)求證：(3)若tan，求sin∠CDA的值。（3種解法）

策略五：絕配角模型【釋義】當(dāng)m，n兩個(gè)角滿足m＋2n＝180°時(shí)，稱其為一對絕配角，或者半角的余角與它本身稱為絕配角【舉例】常見的劇配角組合如下：絕配角組合1組合2組合3組合4組合5m2α90＋2α90－2α60＋2α60－2αn90－α45－α45＋α60－α60－α【解決】思路(一)：根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°，構(gòu)造等腰三角形。思路(二)：根據(jù)平角是180°，m和2個(gè)n構(gòu)成一個(gè)平角(有兩條邊在同一直線上)用一句話概括為：有等腰找等腰，沒等腰造等腰其中“等腰”指的是以m為頂角、以n為底角的等腰三角形，了解絕配角模型，可以給我們提供一些輔助線思路（一）共頂共邊翻折當(dāng)兩個(gè)角滿足兩個(gè)角滿足m＋2n＝180°時(shí)，且共頂點(diǎn)共一邊，這樣的兩個(gè)角是什么樣的呢?發(fā)現(xiàn)OD為∠AOB鄰補(bǔ)角的平分線，此時(shí)處理問題一般用翻折，把OB沿OD翻折．例題1：已知Rt△ABC中∠C＝90°，，，求的值．（2種解法） (二)共三角形等腰(1)若為同一個(gè)三角形的內(nèi)角，則此時(shí)三角形為等腰三角形．(2)若分別為同一個(gè)三角形的內(nèi)角和外角，則另一內(nèi)角為，此時(shí)三角形為等腰三角形(3)若分別為同一個(gè)三角形的內(nèi)角和外角，此時(shí)可以以m為頂角作等腰三角形，此時(shí)會(huì)構(gòu)成另一個(gè)相似的等腰三角形．(4)若為同一個(gè)三角形的內(nèi)角，與(3)的情況相同．總結(jié)：“半角的余角，等腰形來找”例題2：如圖在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，CD的中點(diǎn)，連接BE，BF，且∠ABE＝2∠FBC，若BE＝5，則BF的長度為．（5種解法） 重點(diǎn)題型·歸類精重點(diǎn)題型·歸類精練題型一向外構(gòu)造等腰三角形（大角減半）如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BC＝a，AC＝b，AB＝c，探究a，b，c滿足的關(guān)系．AACB如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AB＝3，AC＝2eq\r(,6)，求BC的長．AABC2023·深圳南山區(qū)聯(lián)考二模一副三角板按如圖1放置，圖2為簡圖，D為AB中點(diǎn)，E、F分別是一個(gè)三角板與另一個(gè)三角板直角邊AC、BC的交點(diǎn)，已知AE=2，CE=5，連接DE，M為BC上一點(diǎn)，且滿足∠CME=2∠ADE，EM=．2023·山西·統(tǒng)考中考真題如圖，在四邊形中，，對角線相交于點(diǎn)．若，則的長為．

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，AD交BC于點(diǎn)D，ED⊥AD交AB于點(diǎn)E，△ADE的外接圓⊙O交AC于點(diǎn)F，連接EF．(1)求證：BC是⊙O的切線；(2)求⊙O的半徑r及∠3的正切值． 如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)P在AB的延長線上，點(diǎn)C在⊙O上，且PC2＝PB·PA．(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)已知PC＝20，PB＝10，點(diǎn)D是弧AB的中點(diǎn)，DE⊥AC，垂足為E，DE交AB于點(diǎn)F，求EF的長．題型二向內(nèi)構(gòu)造等腰（小角加倍或大角減半）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，∠ACD＝2∠B，EQ\F(AD,BD)＝EQ\F(1,3)，求cosB的值．AACBD如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，∠BAD＝2∠C，BD＝2，CD＝3，求AD的長．AACDB如圖，BM是以AB為直徑的⊙O的切線，B為切點(diǎn)，BC平分∠ABM，弦CD交AB于點(diǎn)E，DE＝OE．(1)求證：△ACB是等腰直角三角形；(2)求證：OA2＝OEDC；(3)求tan∠ACD的值．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABD＝2∠BDC，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，求BC的長．BBCAD如圖，在△ABC中，∠C＝2∠B，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AE是BC邊上的高，若AE＝4，CE＝2，求DE的長．AABCDE如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC于點(diǎn)D，AE為BC邊上的中線，BD＝3，DE＝2，求AE的長．AACDBE如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，BD＝2DC，點(diǎn)E在AD的延長線上，∠ABC＝2∠DEC，AD·DE＝18，求sin∠BAC的值．AABECD如圖，在□ABCD中，∠D＝2∠ACB，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，若BE＝2，CE＝3，求AE的長．AADBCE如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC＝4，CD＝2eq\r(,11)，∠ABD＝2∠DBC，求BD的長．AADBC題型三沿直角邊翻折半角（小角加倍）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，∠B＝2∠CAD，AB·CD＝5，求AD的長．AABDC如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，BD＝2CD，∠B＝2∠DAC，AB＝4，求AD的長．AABDC如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，∠B＝2∠DAC，BD＝3，DC＝2，求AD的長．AABDC2023·深圳寶安區(qū)二模如圖，在中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，，則的值為．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，連接BD，∠A＝2∠DBC，求tan∠ABD的值．BBCADC2023·深圳中學(xué)聯(lián)考二模如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，，交的延長線于點(diǎn)，若，，則．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，BD＝2CD，∠ABC＝2∠DAC，求EQ\F(AE,EC)的值．AABEDC如圖，在△Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，DC平分∠ADE，∠B＝2∠ACD，求CE的長．DDABCE如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是中線，AB＝6，AD＝eq\r(,41)，求BC，AC的長．AABCD如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC上的點(diǎn)，連接AD，DE，∠AED＝2∠DAE，CE＝7，BD＝18eq\r(,2)，求DE的長．AABCDE如圖，在△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC，BD＝3，CD＝2，求AD的長．AACBD題型四鄰二倍角的處理如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠DAC＝2∠DAB，BD＝4，DC＝9，求AD的長．AABCD如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn)，∠DBC＝2∠ABD，CD＝3，BC＝7，求BD的長．DDABC如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，∠BAD＝2∠CAD，BD＝10，DC＝3，求AD的長．AABCD如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在邊AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD⊥BE交BE的延長線于點(diǎn)D，BD＝8，AC＝11，則BC的長為_________．BBECAD如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在CA的延長線上，∠ABC＝2∠DBA，DE⊥BA交BA的延長線于點(diǎn)E，若BE＝8，CD＝11，求BD的長．EEABCD題型五絕配角如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D，E分別為BC，AC上的點(diǎn)，∠B＝2∠CDE，∠ADE＝45°，AB＝5，AE＝3，則BD的長為_________．AABCDE如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，∠ACD＝2∠B，若BD＝2，AD＝4，求CD的長．BBCADC如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，BD＝2CD，∠DAC＝2∠B，AD＝eq\r(,2)，求AB的長．AABCD如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段AD上，∠CED＝2∠BAD，若AE＝9，DE＝3，求BC的長．AACBDE如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在BC的延長線上，點(diǎn)E在線段AD上，∠DAC＝2∠DBE，BE與AC交于點(diǎn)F，若CF＝1，DE＝2，則CD的長為_________．AABCDFE如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，BD＝2CD，∠DAC＝2∠ABC，若AD＝，求AB的長．BBDCA如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC⊥CD，AB＝AC，∠ABD＝2∠ADC，CD＝2eq\r(,5)，求AD的長．AADBC如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，∠ADC＝60°，∠BAD＝2∠CAD，BD＝5，CD＝1，求AD的長．AABDC如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上一點(diǎn)，連接BE，DE，∠ABE＝2∠EDC，AE＝3，求DE的長．AABCDE如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上一點(diǎn)，連接BE，DE，∠ABE＝2∠EDC，CE＝2eq\r(,6)，求AE的長．AAEBCD如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別為邊AC，BC上的點(diǎn)，∠ABD＝2∠BAE，BE＝3eq\r(,2)，CD＝7，求BD的長．AABCEDC如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC上的點(diǎn)，連接AD，DE，∠ADB＝2∠CDE，BD＝3，CE＝4，求CD的長．AABDCE如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)，AD＜BD，∠ADC＝2∠ACD，AB＝8，CD＝3，求AD的長．BBCDA如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)D，E為邊BC上兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)E左側(cè)），且BD＝CE，∠DAE＝EQ\F(1,2)∠BAC，求DE的長．AABCDE題型六坐標(biāo)系中的二倍角問題宿遷·中考如圖，拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A坐標(biāo)為(1，0)，與y軸交于點(diǎn)。(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)連接AC，點(diǎn)P在拋物線上，且滿足∠PAB＝2∠ACO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

鹽城·中考如圖，二次函數(shù)的圖像與一次函數(shù)y＝kx－k＋2的圖像交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，直線AB分別與x軸、y軸交于C、D兩點(diǎn)，其中k＜0．(1)求AB兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2)二次函數(shù)圖像的對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，是否存在實(shí)數(shù)k，使得若存在，求出k的值；若不存在，說明理由。河南·中考如圖，拋物線y＝ax2＋6x＋c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C。直線y＝x－5經(jīng)過點(diǎn)B、C。（1）求拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)A的直線交直線BC于點(diǎn)M，連接AC，當(dāng)直線AM與直線BC的夾角等于∠ACB的2倍時(shí)，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)。

2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)E在直線上，若，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是．

江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，連接、．已知，則．內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題如圖，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)，與y軸交于點(diǎn)C（(0，﹣3)．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）如圖2，連接AC，點(diǎn)P在拋物線上，且滿足∠PAB＝2∠ACO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，連接、．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖，點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，分別交、軸于點(diǎn)、，當(dāng)中有某個(gè)角的度數(shù)等于度數(shù)的2倍時(shí)，請求出滿足條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)．2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P為第一象限拋物線上的點(diǎn)，連接．

(1)直接寫出結(jié)果；_____，_____，點(diǎn)A的坐標(biāo)為_____，______；(2)如圖1，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2020·湖南張家界·中考真題）如圖，拋物線交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線經(jīng)過點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線上是否存在點(diǎn)M，使與直線的夾角等于的2倍？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．題型七其它構(gòu)造方式如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上，且∠DBC＝2∠BAE，AE＝