2023年高考全國甲卷數(shù)學(理)試卷及解析

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(全國甲卷)

理科數(shù)學

一、選擇題

I設(shè)全集U=Z集合M={Rx=3k+l,keZ},N={x\x=3A+2,ZwZ},du(MuN)二

()

A.{x|x=3左,左￡Z}B.x=3k-l,keZ}

C.{x|x=3k-2,keZ}D.0

2.設(shè)aeR,(a+i)(l-ai)=2,,則。=()

A.-1B.OC.1D.2

3.執(zhí)行下面的程序框圖，輸出的8=()

A.21C.55D.89

rr

4.已知向量a,A,c滿足，S.a+b+c=Q'則cos〈a-c,b-c)=()

4224

A.---B.---C.一D.-

5555

5.設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的各項均為正數(shù)，前〃項和S“，若q=1,S5=5S3-4,則S4=()

1565

A.—B.—C.15D.40

88

6.某地的中學生中有60%的同學愛好滑冰，50%的同學愛好滑雪，70%的同學愛好滑冰或愛好滑

雪.在該地的中學生中隨機調(diào)查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為（）

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

7.設(shè)甲：sin2a+sin2=1.乙:sina+cos^=0,則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條

件

22

8.已知雙曲線C:：?一馬=l（a>0,b>0）的離心率為石，C的一條漸近線與圓

ah~

（工一2）2+（>一3）2=1交于A,B兩點，則|A8|=（）

A6R2石「36n4百

5555

9.現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2

人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

（兀、71

10.函數(shù)y=/（x）的圖象由函數(shù)y=cos2x+-的圖象向左平移一個單位長度得到，則

I6J6

y=/（x）的圖象與直線y=的交點個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

11.已知四棱錐P-A3C。的底面是邊長為4的正方形，PC=PD=3,ZPCA=45°,則VPBC的

面積為（）

A.20B.3亞C.472D.672

12.設(shè)。為坐標原點，可，居為橢圓。:工+工=1的兩個焦點，點P在C上,

96

3

貝小。尸|二（）

COSZFIPF2-

13R病「好D岳

A.—D.----D.------

5252

二、填空題

2/兀

13.若/（x）=（九一ly+or+sinx+-為偶函數(shù)，貝但=.

3x-2y<3

14.若x,y滿足約束條件?一2x+3yW3,設(shè)z=3x+2y的最大值為.

x+y>l

15.在正方體ABC?！狝4GA中，E,F分別為AB,的中點，以E尸為直徑的球的球面與該

正方體的棱共有個公共點.

16.在VA6C中，ABAC=60°,AB=2,BC=y/6,48AC的角平分線交BC于。，則AO=

三、解答題

17.設(shè)5.為數(shù)列｛q｝的前〃項和，已知4=1,25“=叫,.

（1）求｛凡｝的通項公式；

（2）求數(shù)列■紫，的前〃項和

18.如圖，在三棱柱ABC-44G中，底面ABC,NACB=90°,A4=2,4到平面8004

的距離為1.

（1）證明：AC=AC；

（2）己知A4與B4的距離為2,求A4與平面BCC4所成角的正弦值.

19.一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng).實驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到實驗組，

另外20只分配到對照組，實驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境,

一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.

（1）設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；

（2）實驗結(jié)果如下：

對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

實驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為:

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(i)求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m,再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個數(shù),

完成如下列聯(lián)表：

<m>m

對照組

實驗組

(ii)根據(jù)(i)中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重

的增加量有差異.

/_n(ad-bc'y

(a+))(c+d)(a+c)(b+d)

k00.1000.0500.010

3841

P伊次)2.7066.635

20.已知直線x—2y+l=0與拋物線C:y2=2px(p>0)交于46兩點，S.\AB\=4>J\5.

(1)求P；

UUUllUUU

(2)設(shè)f為C的焦點，M,N為C上兩點，F(xiàn)MFN=。，求△MFN面積的最小值.

,一一、sinx

21.已知函數(shù)/(x)=ax-----—,XG[0,—2j

COS'X

(1)當a=8時，討論〃x)的單調(diào)性;

(2)若/(x)<sin2x恒成立，求)的取值范圍.

四、選做題

JV=2+/cos(X

22.已知點P(2,l),直線/:「一，.(f為參數(shù))，a為/的傾斜角，/與X軸正半軸，y軸正半

y=l+rsina

軸分別交于A,8兩點，且|PA1|PB|=4.

(1)求a；

(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求/的極坐標方程.

23.設(shè)a>0,函數(shù)/(%)=2,一同一。.

(1)求不等式/(x)<x的解集；

(2)若曲線y=/(x)與x軸所圍成的圖形的面積為2,求a.

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(全國甲卷)

理科數(shù)學(精品解析)

一、選擇題

?設(shè)全集U=Z集合M={xlx=3A+l,ZeZ},N={x|x=3Z+2,ZeZ}3u(M2N)=

()

A.{x\x=3k,keZ}B.{x|x=3k-l,keZ}

C.{}(\x=3k-2,k&Z}D.0

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補集的運算即可解出.

【詳解】因為整數(shù)集Z={x|x=3火,AeZ}U{x|x=3Z+l,&eZ}U{x|x=3k+2,Z:eZ},

U=Z,所以，a(MUN)={x|x=3AMeZ}.

故選：A.

2.設(shè)awR,(a+i)(l-ai)=2,,貝ija=()

A.-1B.O?C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)的代數(shù)運算以及復數(shù)相等即可解出.

【詳解】因為(a+i)(l-ai)=a-/i+i+a=2a+(l-/)i=2,

2a=2

所以，2八，解得：a=L

i-a=0

故選：c.

3.執(zhí)行下面的程序框圖，輸出的8=()

A.21B.34C.55D.89

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)程序框圖模擬運行，即可解出.

【詳解】當A=1時，判斷框條件滿足,第一次執(zhí)行循環(huán)體，4=1+2=3,8=3+2=54=1+1=2；

當攵=2時，判斷框條件滿足，第二次執(zhí)行循環(huán)體，A=3+5=8,6=8+5=13,k=2+l=3；

當女=3時，判斷框條件滿足，第三次執(zhí)行循環(huán)體，4=8+13=21,8=21+13=34,攵=3+1=4；

當々=4時，判斷框條件不滿足，跳出循環(huán)體，輸出8=34.

故選：B.

4.已知向量乩［滿足在=b|=1,而=血，且￡+<+』=$,則3〈！一。,6-0=()

【答案】D

【解析】

【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.

【詳解】因為』+力+所以「+力=」，

即』?+力2+25力/2,即1+1+25.》=2,所以。力=。

，「uurruuirruuirr

如圖，設(shè)04=a,OB=b,0C=c,

c

AB邊上的高。。=1,A。=1,

22

所以CD=C0+0D=8+也=迪，

22

tanZACD==-,cosZACD=—

CD3V10

cos(a-c,/>-c)=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-l

故選:D.

5.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù)，前〃項和S“，若4=1,S5=5S3-4,則§4=()

1565

A.—B.—C.15D.40

88

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于4的方程，計算出名即可求出54.

【詳解】由題知l+q+d+/+</=5(l+q+d)-4,

即q3+/=4彳+4^,即/+夕2_4g_4=0,即(q_2)(q+l)(q+2)=0.

由題知q>0,所以夕=2.

所以邑=1+2+4+8=15.

故選:c.

6.某地的中學生中有60%的同學愛好滑冰，50%的同學愛好滑雪，70%的同學愛好滑冰或愛好滑

雪.在該地的中學生中隨機調(diào)查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為()

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

【答案】A

【解析】

【分析】先算出同時愛好兩項的概率，利用條件概率的知識求解.

【詳解】同時愛好兩項的概率為0.5+0.6-0.7=04,

記“該同學愛好滑雪”為事件A,記“該同學愛好滑冰”為事件B,

則P(A)=().5,P(AB)=0.4,

…?P(A8)0.4八。

所以P(B|A)------------=0.8.

P(A)0.5

故選:A.

7.設(shè)甲：sin2a+sin2/5=l,乙：sina+cos￡=0,則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條

件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.

【詳解】當sin2a+sin2p=l時，例如a=萬,6=0但sina+cos0H0,

即sin?。+sir？0=1推不出sina+cos0=0；

當sina+cos/?=0時，sin2a+sin2=(-cosP)2+sin2/3=1,

即sina+cosp=0能推出5足2。+5[1120=1.

綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.

故選：B

22

8.已知雙曲線。：.一==13>0/>0)的離心率為石，C的一條漸近線與圓

(x-2)2+(y—3)2=1交于A,8兩點，則|AB|=()

A6R275r375n4石

5555

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.

【詳解】由6=逐，則￡=白匕=1+4=5,

aa"a

h

解得一=2,

a

所以雙曲線的一條漸近線不妨取y=2x,

則圓心(2,3)到漸近線的距離d=-3|=,

V？TT5

所以弦長|AB|=2ylr2—d2=211一g=4f..

故選：D

9.現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2

人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有()

A.120B.60C.30D.20

【答案】B

【解析】

【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天公益活動的情況，即可得解.

【詳解】不妨記五名志愿者為。，"c,d,e,

假設(shè)〃連續(xù)參加了兩天公益活動，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動，共

有A；=12種方法，

同理：連續(xù)參加了兩天公益活動，也各有12種方法，

所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動的選擇種數(shù)有5x12=60種.

故選：B.

JT\jr

10.函數(shù)y=/'(x)的圖象由函數(shù)y=cos2x+-的圖象向左平移二個單位長度得到，則

I6)6

y=/(x)的圖象與直線y=gx—；的交點個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

［分析］先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得/(x)=-sin2x,再作出/(x)與y=；的部分大致

圖像，考慮特殊點處/(%)與y=的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.

(兀、兀

【詳解】因為y=cos2x+-向左平移二個單位所得函數(shù)為

I6)6

(兀、兀(兀、

y=cos2x+—+—=cos2x+—=-sin2,r,所以/(x)=-sin2x,

LI6j6jt2J

i?(iA

而？=5彳一不顯然過。，一不與(1,0)兩點，

2212)

作出了(X)與y=gx-g的部分大致圖像如下，

，22^/

49^0-

士4c3兀3兀7TC3K與處/與》一；的大小關(guān)

考慮2x=,2x=—,2x=—，NN即x=,x=?,x=(x)y=g

2224

系，

業(yè)3兀…/37rL.(3兀、_,1f3TT>13兀+4,

當工=時，/=-sin=-1,y

414J12J214J28

“3兀L/3兀、.3K13JI13兀-41

當工=一時，f—=-sin—=1,y=—X—------=--------<1；

414J2-228

.7?！?7兀、.7兀［177t17兀-41

當工二彳時,—siny=l,^=-x-------=------->I.

I28

所以由圖可知，/（X）與＞的交點個數(shù)為3.

故選：C.

11.已知四棱錐P-ABC。的底面是邊長為4的正方形，PC=PO=3,NPC4=45。，則VPBC的

面積為（）

A.2亞B.372C.472D,672

【答案】C

【解析】

【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得VP。。三VPCO,YPDB4PCA,從而得到

PA=PB,再在△PAC中利用余弦定理求得P4=J萬，從而求得P8=J萬，由此在VPBC中利

用余弦定理與三角形面積公式即可得解；

法二：先在△PAC中利用余弦定理求得PA=J萬，cosZPCB=-,從而求得PA-PC=—3,再

利用空間向量的數(shù)量積運算與余弦定理得到關(guān)于的方程組，從而求得PB=M，由此在

VPBC中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.

【詳解】法一：

連結(jié)AC,8。交于0,連結(jié)P。，則。為AC,8。的中點，如圖，

因為底面ABC。為正方形，AB=4,所以AC=3。=4近，則。0=C。=2&，

又PC=PD=3,P0=0P,所以YPD0三VPC0,則NPOO=NPC。，

又PC=PD=3,AC=BD=4V2-所以VPDB三VPCA,則PA=PB,

在△PAC中，PC=3,AC=4V2,ZPCA=45°，

則由余弦定理可得尸矛=AC?+PC?一2AC.PCcosZPCA=32+9-2x472x3x—17.

2

故=則

故在VPBC中，PC=3,PB=4l7,BC=4,

所以cos/PC八生上旅二"I=四曰」

2PCBC2x3x43

又0<NPCB<%,所以<nNPCB=J1一cos?NPCB=巫

3

所以VPBC的面積為S=1PC-8CsinZPCB=-x3x4x^^=472.

223

法二:

連結(jié)AC,80交于。，連結(jié)P。，則。為AC,8。的中點，如圖,

因為底面A8CD為正方形，AB=4,所以AC=8。=40，

在/XPAC中，PC=3,NPCA=45°,

則由余弦定理可得尸矛=AC?+尸^一2AC.PCcosZPCA=32+9-2x472x3x—=17.故

2

所以3"。=空+"-我」￥必=浮則

2PAPC2x717x3

\

uuruuir,UUIHUUIT,.—

PA-PC=|P^||PC|cosZAPC=Vr7x3x-

17

/

不妨記PB=Z.BPD=0,

uuiri/Uiiruuiriuuruuiruuruuirzuuuruutr

因為PO=5（PA+PC）x=5（zPB+PO）x,所以（zPA+PC）x2=（PB+PD）x2,

uur,uuir,uuruuiruuuruuir,uuiruuir

即nnPA+PC+2PA-PC=PB~2+PD+2PB-PD，

則17+9+2x（—3）=m~+9+2x3xmcos0,整理得加？+6/〃cos0-11=0①，

又在△P8。中，BD?=PB?+PD?-2PB-PDcosNBPD，即32=//+9—6機cos。，則

m2-6mcos6—23=0②，

兩式相加得2〃/-34=0，故=m=J萬，

故在VPBC中，PC=3,PB=y/V7,BC=4,

PC2+BC2-PB2_9+16-17_1

所以cosNPCB=-

2PCBC2x3x431

又0<NPCB<%,所以sinNPCB=Jl一cos?NPCB=巫

3

所以VPBC的面積ZPCB=Ix3x4x^^=472.

223

故選：c.

22

12.設(shè)O為坐標原點，6，尺為橢圓。：工+匕=1的兩個焦點，點P在C上，

96

3

COS^F{PF2=-,貝小。尸|二()

A12V30c11V35

5252

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出△產(chǎn)片用的面積，即可得到點P的坐標，從而得出

|0P|的值；

方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出|P用|P段尸用2+歸入「，再結(jié)合中線的向量公式以及

數(shù)量積即可求出;

方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出|P月「+|P周2,即可根據(jù)中線定理求出.

【詳解】方法一:設(shè)/耳產(chǎn)工=2仇0＜。＜曰，所以見對弓=/tan4^^=02tan6,

cos20-sin20_l-tan2^3

由cosZFPF=cos20==-,解得:tan0=—,

]2cos20+sin20l+tan2052

由橢圓方程可知,/=912=6,/=/一〃=3,

所以，SVPFM=；x|月K|x|%卜;x26x|y/=6x；,解得：%=3,

即$=9x]1一升因此|0P|=西+卜=61=半.

故選：B.

方法二：因為|P6|+|PK|=2a=6①，|尸￡『+處周2一2「附歸用/《尸弱=閨工「，

即歸埒?+|尸四2-3p周|產(chǎn)國=12②，聯(lián)立①②，

15o,

解得：|P利PK|=5，|P司-+|p周-=21,

uuir1,uuiruuur.uuir,i.uuiruuur,

而PO=]（P"+P6）x,所以|OP|=|PO|=e冏+"J,

U!1!L

11+23”=畫

2522

故選：B.

方法三：因為|P￡|+|PG|=2a=6①，|Pff+|p周2一2歸附歸周/月產(chǎn)工=產(chǎn)閥2,

即歸用2+|P6「一用歸國=12②，聯(lián)立①②，解得：忱耳「+歸用2=2],

由中線定理可知，（2|0哨+|耳心「=2（附「+歸心「）=42,易知巧用=2百，解得：

州粵

故選：B.

【點睛】本題根據(jù)求解的目標可以選擇利用橢圓中的二級結(jié)論焦點三角形的面積公式快速解出，也

可以常規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線

定理解決，難度不是很大.

二、填空題

2

13.若/(x)=(x-iy+or+sinx+-為偶函數(shù)，貝ija=_______.

<2)

【答案】2

【解析】

TTTT

【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到/從而求得4=2,再檢驗即可得解.

、2)I2,

【詳解】因為y="X)=(xTf+?x+sinx+曰=(x—l)-+4X+C0SX為偶函數(shù)，定義域為R,

/\/\/<2/兀兀兀

所以/—f—，即---1--67+COS-+—Q+COS一

I2Jl2JI2J2I2J22

TTTT

則na=—+1-----1=2兀，故a=2,

\2J\2J

此時/(x)=(JC-1)+2x+cosx=x2+1+cosx,

所以〃一X)=(-x)2+l+cos(-x)=x2+l+cosx=/(x),

又定義域為R，故/(x)為偶函數(shù)，

所以a=2.

故答案為：2.

3x-2y<3

14.若x,y滿足約束條件■-2x+3y<3,設(shè)z=3x+2y的最大值為

x+y>\

【答案】15

【解析】

【分析】由約束條件作出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃求最值即可-

【詳解】作出可行域，如圖，

由圖可知，當目標函數(shù)了=-1》+]過點A時，z有最大值,

-2x+3y-3x=3

可得〈c，即A(3,3),

3x-2y=3y=3

所以Za=3x3+2x3=15.

故答案為：15

15.在正方體A8CD—A4GA中，E,F分別為AB,G2的中點，以EF為直徑的球的球面與該

正方體的棱共有個公共點.

【答案】12

【解析】

【分析】根據(jù)正方體的對稱性，可知球心到各棱距離相等，故可得解.

【詳解】不妨設(shè)正方體棱長為2,EF中點為。，取C。，CG中點G,M,側(cè)面的中心為

N,連接FG,EG,OM,ON,MN，如圖,

由題意可知，。為球心，在正方體中，EF=JFG?+EG?=J??+2?=26，

即R=正，

則球心。到CC,的距離為OM=SM+MM=#+]2=72，

所以球。與棱CG相切，球面與棱cq只有1個交點,

同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點，

所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為12.

故答案為：12

16.在VA8C中，ZBAC=60°,AB=2,BC=46,N8AC的角平分線交BC于。，則A。

【答案】2

【解析】

【分析】方法一：利用余弦定理求出AC,再根據(jù)等面積法求出AO；

方法二：利用余弦定理求出AC,再根據(jù)正弦定理求出8,C,即可根據(jù)三角形的特征求出.

如圖所示：記===

方法一：由余弦定理可得，2?+/—2x2x0xcos60°=6,

因為Z?>。，解得：h=1+>/3>

由S'ABC=S.ABD+S^ACD可得,

-x2x/?xsin600=-x2xAZ)xsin300+-xA￡)x/7Xsin300,

222

6b26(1+百)

解得：

2

故答案為：2.

方法二：由余弦定理可得，22+Z?2-2X2X/?XCOS60°=6.因為占>0,解得：b=\+6

由正弦定理可得，-^-=—=-,解得：sin8=逆土包，sinC=-.

sin60°sinBsinC42

因為1+6〉布〉血，所以C=45°，5=180°-60°-45°=75°.

又N5AO=30°，所以NAOB=75°，即AO=A8=2.

故答案為：2.

【點睛】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平

分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規(guī).

三、解答題

17.設(shè)Sn為數(shù)列｛q｝的前〃項和,已知a2=1,2S?=nan.

（1）求｛凡｝的通項公式；

（2）求數(shù)列■鏟｝的前〃項和（.

【答案】（1）an=n-l

⑵1=2-（2+〃）囚

k27

【解析】

S],〃=1

【分析】（1）根據(jù)為=。即可求出；

（2）根據(jù)錯位相減法即可解出.

【小問1詳解】

因為2S“=nan,

當〃=1時，2q=q,即q=0；

當“=3時，2（1+4）=3仆，即4=2，

當〃22時，2S,i=（〃T）a,i,所以2⑸-S,-）=〃4-（〃-1）%=2a.，

化簡得：（〃-2）a“=（〃-,當〃23時，-^-=-^-=1-=—=1,即a“=〃T,

n-1n-22

當〃=1,2,3時都滿足上式，所以4=〃一1（〃eN*）.

【小問2詳解】

+3心/]y

因為鑼=n〃(1

F所以+2x+l_+〃x-

T23

77

\2

(\V(1y

-7；,=lx+2x+l_+(n-l)x-+〃x

2〃22J2

J7J

兩式相減得,

1

-X1-

、21、3YX/J+12〃+l

\_7

+++1-+一〃x一〃X

12122,2

/77771--

2

(1

.幾

1+-，即1=2-(2+k)—,〃EN*.

2人2J

18.如圖，在三棱柱ABC-44G中，ACJ■底面ABC,NACB=90°,A4=2,4到平面

的距離為1.

（2）已知A4與84的距離為2,求A4與平面8CC4所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）f

【解析】

【分析】（1）根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得4。，平面3c￡片，再由勾股定理

求出。為中點，即可得證;

（2）利用直角三角形求出A片的長及點A到面的距離，根據(jù)線面角定義直接可得正弦值.

【小問1詳解】

如圖,

底面ABC,8Cu面ABC,

A.C±BC,又BCJ.AC,4。,4。匚平面4。&4，ACcAC=C,

.?.8C_L平面ACCA,又SCu平面BCC聲,

平面ACGA-L平面BCCXB],

過A作Ato±cc、交CG于o,又平面ACGA?平面BCCM=cc,,A,OU平面ACGA，

A。J■平面3CG4

QA,到平面8CG4的距離為i,4。=1,

在RtA^CC,中，A,C±AG=A4]=2,

設(shè)CO=x,則GO=2-X,

QZ\A0C,Z\AOa，^ACG為直角三角形，且CC1=2,

222222

CO+A,O=A,C,AtO+OC^=C,A；,A,C+A,C；=C,C,

.?.1+/+1+(2-幻2=4,解得x=l,

AC=4c=AG=V2,

\C-AC

【小問2詳解】

QAC=AC,,BC14C,BC±AC,

RtAACB^RtA^Cfi

BA=BA,,

過8作8O_LA41,交A4|于。，則。為M中點，

由直線A4與距離為2,所以BD=2

0^0=1,BD=2,AB=AB=后,

在RtZVIBC，...BC=NAB。-AC?=5

延長AC,使AC=CM,連接GM,

由CM〃AG，CM=Aq知四邊形4cMG為平行四邊形，

.?.GM〃4C,.?.GM，平面ABC,又從Wu平面ABC,

/.CtMLAM

則在Rt^AGM中，AM=2AC,C.M=\C,AC,=y/(2AC)2+A,C2,

在Rtz^A4G中，AC,=jQACy+AC,瓦G=BC=瓜

AB,=7(2V2)2+(V2)2+(V3)2=V13，

又A到平面BCC}B}距離也為1,

所以與平面BCC4所成角的正弦值為擊=*.

19.一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng).實驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到實驗組，

另外20只分配到對照組，實驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境,

一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量(單位：g).

(1)設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；

(2)實驗結(jié)果如下:

對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

實驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(i)求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m,再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個數(shù),

完成如下列聯(lián)表:

<m>m

對照組

實驗組

(ii)根據(jù)(i)中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重

的增加量有差異.

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(Z2+d)

"o0.1000.0500.010

p(//)2.7063.8416.635

【答案】(1)分布列見解析，E(X)=1

(2)(i)m=23.4；列聯(lián)表見解析,(ii)能

【解析】

【分析】(1)利用超幾何分布的知識即可求得分布列及數(shù)學期望；

(2)(i)根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得機=23.4,從而求得列聯(lián)表;

(ii)利用獨立性檢驗的卡方計算進行檢驗，即可得解.

【小問1詳解】

依題意，X的可能取值為01,2,

19c'CL20=19

則P(X=0)=2。2。p(X=l)=2020=_,p(x=2)=

178Ci39《。78'

-4()

所以X的分布列為:

X012

192019

P

783978

in201Q

故E(X)=0X』+1X，+2XN=1

783978

【小問2詳解】

（i）依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位

與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察數(shù)據(jù)可得第20位為23.2,第21位數(shù)據(jù)為23.6,

,23.2+23.6…

所以/"=----------=23.4,

2

故列聯(lián)表為:

<m>m合計

對照組61420

實驗組14620

合計202040

_40x(6x6-14x14)2

（ii）由（i）可得,K2=6.400>3.841,

20x20x20x20

所以能有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異.

20.已知直線x-2y+l=0與拋物線C：V=2px（p>0）交于A,B兩點，且|48|=4后.

（1）求P；

UUUUUUU

（2）設(shè)尸為C的焦點，M,N為C上兩點，F(xiàn)MFN=0,求△MFN面積的最小值.

【答案】（1）P=2

⑵12-80

【解析】

【分析】（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長即可得出P；

（2）設(shè)直線MN：x=my+n,M（內(nèi)，