工程力學-彎曲正應力

彎曲應力(第一講）第8章本次課基本要求1、了解桿件橫截面上的正應力分析過程，并熟記正應力公式。2、熟練掌握正應力強度計算重點與難點難點：正應力分析方法重點：正應力公式的應用§5-1純彎曲

當梁橫截面上既有剪力又有彎矩時，梁的彎曲稱為橫力彎曲，或剪切彎曲。梁橫截面上只有彎矩時，梁的彎曲稱為純彎曲。橫力彎曲與純彎曲橫力彎曲與純彎曲橫力彎曲

——

剪力FS不為零（Bendingbytransverseforce）

例如AC,DB段純彎曲

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剪力FS

＝0且彎矩為常數(shù)（Purebending）

例如CD段FS研究對象：等截面直梁研究方法：實驗——觀察——假定

變形幾何關系的建立純彎曲試驗:

取對稱截面梁，例如矩形截面梁，在其側表面上畫上等間距的縱線和橫線。純彎曲試驗和基本假設

純彎曲試驗:取對稱截面梁，例如矩形截面梁，在其側表面上畫上等間距的縱線和橫線。然后在梁的縱向對稱面內加載，使梁產生純彎曲變形。由純彎曲試驗可觀察到如下現(xiàn)象：橫線仍為直線，且仍與縱線正交，只是橫截面作相對轉動；縱線彎成曲線，且靠近梁頂面的縱線縮短，靠近梁底面的縱線伸長；在縱線的伸長區(qū)，梁的寬度減小，在縱線的縮短區(qū)，梁的寬度增大。純彎曲試驗和基本假設以上是外部的情況，內部如何？想象——

梁變形后，其橫截面仍為平面，且垂直于變形后梁的軸線，只是繞梁上某一軸轉過一個角度透明的梁就好了，我們用計算機模擬透明的梁根據試驗觀察到的表面變形現(xiàn)象，可作如下假設純彎曲試驗和基本假設平面假設：變形前的平面橫截面，變形后仍為平面，且仍與梁的軸線正交，只是橫截面作相對轉動。單向受力假設：各縱向“纖維”單向受力，各縱向“纖維”之間無擠壓或拉伸作用。純彎曲試驗和基本假設中性層與中性軸

在平面假設的前提下，設想梁是由無數(shù)層縱向纖維組成，彎曲變形后，梁的一側纖維伸長，另一側纖維縮短，其中必有一層纖維既不伸長也不縮短，這一層稱為中性層，中性層和橫截面的交線稱為中性軸。yzx直線段aa變?yōu)榍€弧長為：線應變?yōu)榧儚澲?，縱向線應變沿截面高度線性分布ρ為曲率半徑（1）由變形幾何關系確定應變分布純彎曲時梁的正應力物理關系：（2）由物理關系確定正應力分布應用胡克定律純彎曲時梁的正應力靜力平衡關系：zxydAy——梁橫截面上正應力計算公式（3）由靜力學方程確定待定常數(shù)純彎曲時梁的正應力由靜力平衡關系：zxydAy得：而形心坐標：——靜矩其中知，只有當z軸通過截面形心，即yc=0時，才可能有Sz=0，故上式表明，中性軸通過截面形心。關于中性軸的概念§8-3橫力彎曲時的正應力正應力計算公式適用范圍橫力彎曲時，截面上有切應力，平面假設不嚴格成立但當梁跨度l與高度h之比大于5（即為細長梁）時彈性力學指出：上述公式近似成立截面慣性積Iyz=0推導時用到胡克定律，但可用于已屈服的梁截面稱為抗彎截面系數(shù)，單位：m3,mm3最大彎曲正應力

可見，在y=ymax，即橫截面上離中性軸最遠各點處，彎曲正應力最大。zMzW,sxmax=sxzMyzI=-，最大彎曲正應力yMyW,sxmax=yMzyI=xs，最大彎曲正應力寬b、高h的矩形直徑為d的圓截面軋制型鋼（工字鋼、槽鋼等）的Wz從型鋼表中查得抗彎截面系數(shù)zybh正應力強度條件

梁中最大正應力發(fā)生在彎矩最大的橫截面上離中性軸最遠處因此正應力強度條件：

脆性材料梁，因其抗拉強度和抗壓強度相差甚大故要對最大拉應力點和最大壓應力點分別校核強度：正應力強度條件

對于塑性材料，由于彎曲正應力分布的不均勻性，當危險點的應力達到屈服應力時，該點發(fā)生屈服。但其他各點的應力仍未達到屈服應力值，因而不會導致整個桿件喪失承載能力。于是，工程上規(guī)定承彎桿件的許用正應力略高于拉伸許用應力，約高20％～50％。一般取為拉伸許用應力的1.2倍。

彎曲許用應力

對于脆性材料，如鑄鐵等，由于材料本身的不均勻性（如內部夾雜物、缺陷、氣孔等），以及彎曲正應力的非均勻分布，最大應力作用區(qū)遠小于較小應力作用區(qū)。于是，缺陷在最大應力區(qū)域內引起破壞的概率，比在低應力區(qū)的概率要小得多。因此，脆性材料彎曲許用拉應力要比拉伸時高得多。例如對于灰鑄鐵，彎曲許用拉應力要比拉伸時高70％～110％。

彎曲許用應力例1：求1-1截面上A、B兩點的正應力。解：（1）1-1截面上的彎矩（2）慣性矩Iz（3）A、B兩點的正應力例2：簡支梁如圖，若分別采用截面面積相同的實心圓和空心圓截面，且D1=40mm，d2/D2=3/5，試分別計算它們的最大正應力。并問空心圓截面比實心圓截面的最大正應力減少了百分之幾？解：因空心圓與實心圓截面面積相同，將D1=40mm代入上式，得D2=50mm，d2=30mm+ql2/8最大彎矩產生在梁的跨中截面上：最大正應力發(fā)生在梁的跨中截面的上、下邊緣上。

D1=40mm，d2/D2=3/5，D2=50mm，d2=30mm

，Mmax=1KN。分別計算它們的最大正應力。并問空心圓截面比實心圓截面的最大正應力減少了百分之幾？實心圓截面的最大正應力空心圓截面的最大正應力空心圓截面比實心圓截面的最大正應力減少了例3：一對稱T字形截面的外伸梁如圖，求梁中橫截面上的最大拉應力和最大壓應力。FA=5.33KNFB=10.67KN彎矩圖：1.76kNm1kNm+-最大正彎矩：M+max=1.76kNm最大負彎矩：M-max=1kNm10080404046.7yc=73.3yzC形心坐標：中性軸z的位置如圖所示慣性矩：1.76kNm1kNm+-D最大拉應力最大壓應zz1FAB1m1m例4：已知圖示鑄鐵簡支梁的E=120GPa，許用拉應力，許用壓應力求許可載荷[F]。+F/2彎矩圖Mmax=F/2100200200505050125Czz1E=120GPa，許用拉應力，許用壓應力求許可載荷[F]。Mmax=F/2。例5：一正方形截面懸臂木梁的尺寸及所受載荷如圖所示，木料的許用彎曲正應力[]=10MPa，現(xiàn)需要在C上中性軸處鉆一直徑為d的圓孔，問在保證該梁強度條件下，圓孔的最大直徑可達多少？（不考慮圓孔處應力集中的影響）2kN/m10002501601605kNC解：截面C處的彎矩：由強度條件而d=114.7mm

抗彎截面模量為W1的簡支梁如圖（a）所示。（1）[]已知，求許可載荷[F]1；（2）若加一個長為a的輔助梁（圖（b）所示），求許可載荷[F]2；（3）若輔助梁抗彎截面模量為W2，材料與主梁相同，輔助梁最合理的長度為多少？（a）（b）例6

例6：抗彎截面模量為W1的簡支梁如圖所示。（1）[]已知，求許可載荷[F]1；解：（1）危險截面在梁中截面

Mmax=Fl/4+Fl/4由正應力強度條件