山東省德州市重點中學(xué)2023-2024學(xué)年高三年級上冊期末考試數(shù)學(xué)試題(含答案)

高三數(shù)學(xué)期末試題

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的）

1.已知集合4=卜€(wěn)3》三6},B={x|y=lg（x-1）},則A為3=（）

A.{0}B.{0,l}C.{1}D.{1,2}

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足（l+i）Z=l—i,則Z2°23=（）

A.iB.-lC,-iD.l

3.已知p：Vx-1>2,q：m-x<0,若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是（）

A.m<3B.m>3C.m<5D,m>5

4.蓋碗是由茶碗、茶蓋、茶船三件套組成，蓋碗又稱“三才碗”，蘊含了古代哲人講的“天蓋之，地栽之，人

育之”的道理.如圖是乾隆時期的山水人物方蓋碗的茶蓋和茶碗，近似看作兩個正四棱臺的組合體，其中茶碗

上底面的邊長為6cm,下底面邊長為3cm,高為5.4cm,則lL（1000cm3）茶水至少可以喝（不足一碗算一

碗）（）

A.7碗B.8碗C.9碗D.10碗

5.實數(shù)x,y滿足爐+/一6x—4y+4=0,則』±1的最大值為（）

x+2

1516+3月

A.—B.3+2夜D.0

8,7

6.為了激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，某學(xué)校開展利用數(shù)學(xué)知識設(shè)計10go的比賽，其中某位同學(xué)利用函數(shù)圖象

設(shè)計了如圖的logo,那么該同學(xué)所選的函數(shù)最有可能是（）

A./(X)=xsinx-cosxB.=sinx-%cosx

C.f(x)=x2+2cosxD./(x)=2sinx+x2

7.設(shè)隨機變量X~NJ,/),且尸(X2a)=0.5,P[X<b)=3P(X>b),貝UP(XW2a—Z?)=()

1

/\.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每個小題給出的四個選項中，有多個選

項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全得得2分，有選錯的得0分）

9.下列說法正確的是（）

A.（l-2x）8展開式中7項的系數(shù)為1120

B.樣本相關(guān)系數(shù)r越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強；反之，線性相關(guān)性越弱

C.根據(jù)分類變量X與丫的成對樣本數(shù)據(jù)計算得到Z2=3.218，依據(jù)￡=0.05的獨立性檢驗（％05=3.841）,

沒有充分證據(jù)推斷零假設(shè)不成立，即可認為x與y獨立

D.在回歸分析中，用最小二乘法求得的經(jīng)驗回歸直線使所有數(shù)據(jù)的殘差和為零

10.已知拋物線/=2px（p>0）的焦點為F,點P（5,%）在拋物線上，且歸司=6,過點P作PQLx軸于

點Q,則（）

A.p=2B.拋物線的準線為直線y=—1

C.%=2石D.￡\FPQ的面積為475

JT

11.已知函數(shù)〃力=〃858+加]!10￥3>0）在％=一處取得最大值2,的最小正周期為R,將

jr

y=/（x）圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移1■個單位長度得

到的圖象，則下列結(jié)論正確的是（

A.x=°是圖象的一條對稱軸B./（X）=2COS

是奇函數(shù)D.方程g（X）—21g尤=0有3個實數(shù)解

12.如圖，在棱長為1的正方體A3CD—431G2中，點P滿足5尸=ABC+,其中4e[0,1],4e[0』，

則（）

A.當(dāng)X=〃=1時，BP_LAjDB.當(dāng)2=時，點P到平面A3。的距離為

2

C.當(dāng)；1+〃=1時，2P〃平面43。D.當(dāng);i+〃=；時，三棱錐A—PBD的體積恒為A

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題目橫線上）

13.己知等差數(shù)列｛4｝的公差為2,若為,名，%成等比數(shù)列，則％=.

14.設(shè)函數(shù)7?（x）=|x—2x，x，2,關(guān)于X的方程/（￡）=a有三個不等實根須，

%2X

X3,則玉+%2+3的

[~2x+6,%>2

取值范圍是.

13

15.已知ZVIBC中，M為3C邊上一個動點，若AM=%AB+3yAC,則一+一的最小值為.

%y

X

16.已知橢圓C]：—+==1（。1>4>0）與雙曲線。2：[-2=1（。2>0也>0）具有相同的左、右焦點

b、a、b）

F]、尸2,點p為它們在第一象限的交點，動點Q在曲線G上，若記曲線a，的離心率分別為q,“

滿足6.2=1,且直線尸耳與y軸的交點的坐標為（0,學(xué);則的最大值為.

四、解答題（本大題共5小題，共70分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）設(shè)S”為數(shù)列｛a“｝的前n項和，：+才+-+—=T-1.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

+2

（2）設(shè)2=——，證明：4+偽++優(yōu)<4.

nan

18.（12分）在ZkABC中，角A、B,C所對的邊分別為a,b,c,且6a=M6cosC-sinC）.

（1）求角B；

（2）。為AC邊上一點，DB±BA,且AD=4DC,求cosC的值.

19.（12分）把矩形aaEB以所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)i8o°,得到幾何體如圖所示.其中等腰梯形鉆。為

下底面的內(nèi)接四邊形，且A3=2AZ）=2,點G為上底面一點，且CG〃aa，。1。2=1-

G

（1）若P為。E的中點，求證：4。_1平面5。石；

（2）設(shè)=2e[0,l],試確定義的值，使得直線AP與平面ABG所成角的正弦值為^—.

3

22

20.（12分）已知點E（—1,0）為橢圓C：三+%=l（a〉6〉0）的左焦點，M

（1）求C的方程;

（2）已知兩點A（m⑼（網(wǎng)〉a）與35,0乂冏<。），過點4的直線/與C交于P,Q兩點，且

ZPBA+ZQBA=71,試判斷相〃是否為定值?若是，求出該值，若不是，說明理由.

21.（12分）輕食是餐飲的一種形態(tài)，輕的不僅僅是食材分量，更是食材烹飪方式簡約，保留食材本來的營養(yǎng)

和味道，近年來隨著消費者健康意識的提升及美顏經(jīng)濟的火熱，輕食行業(yè)迎來快速發(fā)展.某傳媒公司為了獲得

輕食行業(yè)消費者行為數(shù)據(jù)，對中國輕食消費者進行抽樣調(diào)查.統(tǒng)計其中400名中國輕食消費者（表中4個年齡

段的人數(shù)各100人）食用輕1食的頻率與年齡得到如下的頻數(shù)分布表.

使用頻率[12,25)[25,38)[38,51)[51,64]

偶爾1次3015510

每周1~3次40403050

每周4~6次25404530

每天1次及以上552010

（1）若把年齡在［12,38）的消費者稱為青少年，年齡在［38,64］的消費者稱為中老年，每周食用輕食的頻率不

超過3次的稱為食用輕食頻率低，不低于4次的稱為食用輕食頻率高，根據(jù)小概率值￡=0.01的獨立性檢驗

判斷食用輕食頻率的高低與年齡是否有關(guān)聯(lián)；

（2）從每天食用輕食1次及以上的樣本消費者中按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機抽樣，從中抽取

8人，再從這8人中隨機抽取3人，記這3人中年齡在［25,38）與［51,64］的人數(shù)分別為X,匕^=\X-Y\,

求f的分布列與期望；

（3）已知小李每天早餐、晚餐都食用輕食，且早餐與晚餐在低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁3種輕食中選

擇一種，已知小李在某天早餐隨機選擇一種輕食，如果早餐選擇低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁，則晚餐選

122

擇低卡甜品的概率分別為一，一，二，求小李晚餐選擇低卡甜品的概率.

553

n[ad-bcf

參考公式：z2=,n=a+b+c+d.

(a+》)(c+d)(a+c)(6+d)

附:

a0.100.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

22.(12分)已知函數(shù)/(X)=x-aln_x(aeR).

（1）當(dāng)a<e時，討論函數(shù)零點的個數(shù);

⑵當(dāng)時，/（x）之a(chǎn)r"lnx-xe*恒成立，求a的取值范圍.

4

數(shù)學(xué)試題參考答案

,u11

l.B2.A3.C4.C5.A6.A7.A8.C9.ACD10.ACDll,AD12.ACD13.—614.5,

71

15.1616.—

3

￡-e

_e\

a.

cc

PH1+PF=2al尸片=。1+。2又《cax=-

16.【詳解】由題設(shè)12=><

PF1-PF=2a2PF2Oy-a2〃2

2［。2=e\C

g=1

直線PF與y軸的交點的坐標為|0,肛］，則COSNPFF?=1

｛I2)卜+。.G_

|「片「+|R「—|P局2(q+g)2+(2c『—(4—電)2

居中cosNP4耳

2|尸7為耳耳|—2(%+“2c

.2c

+c_

a{a22

e+1

C1丁

2211

綜上，,——--整理得8e；+2e；—1=0,可得e；=—或e；=——(舍)，

42

e1+l

由G〉0,則G=g,

由橢圓性質(zhì)知：當(dāng)Q為短軸頂點時NFQF,取到最大，此時sin幺"=￡=,=’,

2a2

由/￡鑿€(0,句，則幺產(chǎn)即幺符=￡,故NGQ￡=g.

17.解：(1)當(dāng)“eN*時，工+2++之=2"—1,當(dāng)"之2時，工+*++==2'i—1,

12n12n—1

5

q

兩式相減得'=2"—2"T=2"1,貝US.=〃?2"T,

n

nln22

當(dāng)〃上3時，an=Sn-Sn_}=n-2--(?-1)-2-=(?+1)-T-,

又當(dāng)〃=1時，q=21—1=1,當(dāng)〃=2時，S2=aY+a2—4,則=3,

顯然q=l,4=3符合%=(〃+l>20-2,

所以數(shù)列｛??｝的通項公式是a?=（?+l）-T-2

〃+22(〃+1)-〃11

(2)由(1)知,2=-

n(〃+1).2〃-2〃(,+])?2〃一2—n.2〃-3—(〃+]).2〃一2

…777111111

所以/7]+,++b=----石---------------j-H------------:-------------H-------------------r-7--------\

12"1x2-22x2-12x2-13x2°n-2n-3(n+l)-2n

=-----------------=4------------<4

1x2-2(幾+1).2〃-2(〃+1)2-2,

18.解：(1)因為6a=b(6cosC-sinC),

所以，由正弦定理可得百sinA=sincosC-sinC^,

又sinA=sin[萬一(JB+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

因為C?0,乃）,sinOO,所以sin5+。=0,

n4%,所以5+工=乃，即3=女

又5e(0,?)，B+ye

§'行33

27rTC

（2）由（1）知3=——，因為。所以NC3D=—

36

記NBDC=6,則NBZM=?—8,

在△BCD中，由正弦定理得0-=>一，得8=a

sin"sind2sin8

6

在RtZvW。中，有AD=—

sin（萬-。）sin。

6

f2〃

因為AD=4DC,所以——二——，得c=2a,

sin0sin0

在ZkABC中，由余弦定理可得〃=/+4/—2口義2acos—=7/，即b=j7a,

3

r-r-p,「tr+7a2—40-2不

所以cosC=-------尸---=-----.

2axj7a7

19.解：（1）證明：因為AB為直徑，所以

因為E4L平面ABD,應(yīng)）u平面ABD,所以E4LBD,

因為AEAD=A,AEu平面ADE,ADu平面ADE,所以5D,平面ADE,

因為APu平面ADE,所以5DLAP,

因為AZ）=AE,P為DE的中點，所以APLDE,

因為8。DE=D,BDu平面BDE,EDu平面BDE,所以AP,平面5Z汨.

（2）因為等腰梯形ABCD為底面半圓。］的內(nèi)接四邊形，AB=2AD=2,

7T

所以/DAO】=NAO]D=NCO[D=/BO,=所以CD=BC=1,

如圖，以。1為坐標原點，在底面半圓a過點。1垂直于平面A5EE作直線為x軸，分別以。啰，002為丫，

z軸建立空間直角坐標系,

由于AD=OC=BC=1,CG=1,由（1）可知AO]=1,

/6、，出1）

故A（0,—1,0）,B（0,l,0）,G—D——,0,￡（0,—1,1）,

I22J

則AB=（0,2,0）,AG=--,-,l,

（22）

設(shè)平面ABG的一個法向量為n=（尤,y,z）,

2y=0

n-AB=0

則,即＜V33八

n-AG=0----x+~y+z=｛）

22

令x=2也,則〃=（26,0,31

jr

設(shè)直線AP與平面A3G所成角為。0,-

2

7

\n-AP|32-3+0+32|V105

則sin0=cos(n,AP

\n\^APV12+0+9-A/222-22+135

即得9^2—94+2=0,

17

解得4=；或4=（，符合Xe[0，U，

故4=土或4=*.

33

20.解：（1）由已知可得C=l,且C的另一焦點坐標為（1,0）,設(shè)為月,

所以有2a=|“n+阿4|="亞+1『+：+J(0—1『+：=4,

22

所以1=2,所以從="—/=3,所以。的方程為二+匕=1.

43

(2)設(shè)/：x=ty+m,代入C整理可得：(4+3〃)y2+6加0+3根2-12=0,

2

、門門/、7\6mt~3m-12

設(shè)尸（石方），。（%2，%），則%+%=—耳—①，%%=3/+4②

由NPR4+N0BA=萬，可得凝尸+即0=0=1^+^^=0,

石一〃x2-n

^yl(ty2+m-n)+y2(tyl+m-n)=0^2tyly2+(m-n)(y1+y2)=0@,

2t[3m-1216mt(m—n],、

由①②③可得：—------L----------^=0,=＞《7+加力=0恒成立,

3戶+43產(chǎn)+4,)

所以〃功=4,為定值.

21.解：⑴補全整2x2列聯(lián)表如下：

11青少年中老年合計

食用輕食頻率低|12595220

8

食用輕食頻率高75105180

合計200200400

所以,2=400x(125x105-75x95)；909]>6.635,

200x200x220x180

所以有99%的把握認為食用輕食頻率的高低與年齡有關(guān)

（2）由數(shù)表知，利用分層抽樣的方法抽取的8人中,年齡在［25,38）,［51,64］內(nèi)的人數(shù)分別為1,2,

依題意，f的所有可能取值分別為為0,1,2,

c3c'c1

所以pq=o)=p(x=o,y=o)+p(x=i,y=i)=^+-^=M

88

C21

p(^=i)=p(x=o,y=i)+p(x=i,y=o)+p(x=i,y=2)=-^+-f+-?=-,

C15

p(^=2)=Jp(x=o,r=2)=^=-

所以f的分布列為:

012

20315

P

565656

型+衛(wèi)+41

所以f的數(shù)學(xué)期望為石（4=0Xlx2x9

56565656

（3）記小李在某天早餐選擇低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁，分別為事件人B,C,晚餐選擇低卡甜品為

事件D,

則P（A）=g，P（B）=g，P（C）=j。（必A）=g,P