四川成都某中學(xué)2023年九年級上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

四川省成都2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試卷(解析版)

一、選擇題(每小題4分，共32分)

A.x>-\B.-1C.x>-l且x#0D.且xWO

3.(4分)若aW〈bd,則下列各不等式不成立的是()

A.a<bB.a-\<b-\C.2a>2bD.-a>-b

4.(4分)下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是()

A.A2-y2-1—(x-y)(x+y)-1B.a(a+2)—a1+la

C.4/-8xy+4/=(2x-2y)2D./-25=(x-5)(x+5)

5.(4分)如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,添加下列條件后，不能判定四邊形A8C。一定是平行四邊

A.AD=BCB.AB=DCC.AB//CDD.NB=ND

6.(4分)在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)M(2“-1,”-3)向左平移3個單位長度后在y軸上，則點(diǎn)M的坐

標(biāo)是()

A.(-I,-4)B.(3,-1)C.(3,-5)D.(-1,-3)

7.(4分)如圖，在中，ZC=60°,以點(diǎn)8為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交BA,于點(diǎn)E,

凡再分別以點(diǎn)E,尸為圓心，大于_^EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)G,作射線BG,交AC于點(diǎn)。，

若AO=8。，則/A的度數(shù)為()

B

8.（4分）如圖，在口ABC。中，/4BC的平分線交AO于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作垂足為點(diǎn)凡若4F=

DE=5,BE=24,則BC的長為（）

二、填空題（每小題4分，共20分）

9.（4分）一個正多邊形的一個外角等于45°,則這個正多邊形的邊數(shù)是.

10.（4分）分解因式：a2（b-1）-4（b-1）=.

11.（4分）若點(diǎn)A（2a+6,1）在第二象限，則。的取值范圍.

12.（4分）如圖，直線yi=-2x-3與直線”=丘+4交于點(diǎn)A（a,1）,則關(guān)于x的不等式-2r-3＞履+4

的解集是___________

13.（4分）如圖，在口4BCZ）中，對角線AC與8。交于點(diǎn)O,NBAO=80°,點(diǎn)E為AO中點(diǎn)，連接EO,

若OD平分NEOC,則NABD=度.

A.ED

B

三、解下列各題

(12分)⑴計算：V^+iVs^i-J^-c-i)20235

14.

'x-5>3x+l①

(2)解不等式組：x+i2x+l

<1(2)-

23

2

(8分)化簡并求值：&ja-2+(a+2)/V，其中J“-5=0.

15.

a"-3aa"-2a+l

16.(8分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個方格的邊長均為1個單位長度，aABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分

別是A(3,4),B(3,1),C(1,2).

(1)將△ABC繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)A的對應(yīng)的為Ai，點(diǎn)8的對應(yīng)的為B”點(diǎn)C的對應(yīng)的為Ci,

畫出旋轉(zhuǎn)后的△A1B1C1；

(2)將△AiBiCi平移使點(diǎn)Ai與點(diǎn)A2(-2)重合，點(diǎn)21的對應(yīng)的為點(diǎn)。的對應(yīng)的為C2，畫

出平移后的282c2并寫出比點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)求出線段平移經(jīng)過的圖形面積.

17.(10分)已知：如圖1,在四邊形ABC￡>中，NABC=/DCB,四邊形是平行四邊形，DF交BC

于點(diǎn)E,連接AE、CF,CF=BF.

(1)求證：△AOE絲△FCO；

(2)如圖2,連接力B交AE于點(diǎn)G,連接CG,若AG=L>C.求證：四邊形8尸CG是菱形.

AA

34

FF

圖I圖2

18.（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線ygx-3與x軸、y軸分別相交于A、8兩點(diǎn)，點(diǎn)C在線段

OA上，將線段CB繞著點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段8,此時點(diǎn)。恰好落在直線AB上.

（1）求出線以AB的長度；

（2）求出8c的函數(shù)關(guān)系式：

（3）若點(diǎn)E是x軸上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)F是線段CB上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），是否存在以C、D、E、

尸為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的E點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

四用圖

一、填空題（每小題4分，共20分）

19.（4分）已知x+/=2百，xy--2,貝I]1y5=.

20.（4分）五張背面完全相同且不透明的卡片分別寫有-2,-1,0,I,2,充分洗勻并任意抽取一張讀數(shù)

記為“，關(guān)于x的分式方程生-1一一有正整數(shù)解的概率為_________________.

x-21x-2

21.（4分）如圖，四邊形ABC3中，AC、8。是對角線，△ABC是等邊三角形，ZADC=30°,AD=4,

BD=5,則CD的長為.

22.(4分)已知三角形具有穩(wěn)定性，四邊形則不具有穩(wěn)定性，如圖，在四邊形A8CO中，AB=2,BC=4,

CD=2ZABC=90°,E為邊AO的中點(diǎn)，連接BE,則線段BE長的最大值

23.(4分)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(a,6),點(diǎn)P的“變換點(diǎn)”。的坐標(biāo)定義如下：當(dāng)a<b時，。(a,

-b),當(dāng)a>b時，Q(a+1,6-5),線段m：y=-x+2(-20W6)按上述“變換點(diǎn)”組成新圖形，

直線y=2fcc+l與新圖形恰好有兩個公共點(diǎn)，則k的取值范圍.

二、解答題(共30分)

24.(8分)為圓滿完成第40屆全國青少年信息學(xué)奧林匹克競賽承辦任務(wù).為滿足競賽設(shè)備需求，學(xué)校準(zhǔn)備

再購買一批A型電腦和B型電腦，A型電腦比B型電腦單價貴1000元/臺，用20000元購買4型電腦與

用16000元購買B型電腦購得的數(shù)量一樣多.

(1)求兩種型號電腦單價分別為多少元？

(2)學(xué)校新建兩個電腦室需購買80臺電腦，計劃總費(fèi)用不超過360000元，并且要求A型電腦數(shù)量不

能低于30臺，如何安排購買方案才能使費(fèi)用最少，最少費(fèi)用應(yīng)為多少？

25.(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)記為O,直線AB：丫4*+6與*軸于點(diǎn)交A，與y軸

交于點(diǎn)B,過點(diǎn)B的直線與x軸于點(diǎn)交C,AC=WC.

(1)求直線3c的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)。在直線A8上，使得△BC￡>是以BC為腰的等腰三角形，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)P(-8,-2),連接BP交x于點(diǎn)。，連接AP,在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)E,使

得AE=AB,若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

26.(12分)己知：如圖，在矩形ABCO中，點(diǎn)E在邊BC上，以O(shè)E為邊作矩形DEG尸，其中G尸經(jīng)過點(diǎn)

A,連接AE、BG.

(1)若點(diǎn)A是G尸的中點(diǎn)，求證：EZ)是/AEC的平分線；

(2)若BG=AG,CE=1,AF=2,求的長；

(3)若四邊形4BCO是邊長為10的正方形，BG=BE,求出4G的長.

B

BE

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題4分，共32分）

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形.故錯誤;

8、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形.故錯誤；

C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.故正確;

。、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形.故錯誤.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部

分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.

2.（4分）函數(shù)中自變量x的取值范圍是（)

A.x>-IB.x2-1C.x>-1且x#0D.x2-1且x#0

【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0,分母不等于0列式計算即可得解.

【解答】解：由題意得，x+l>0,

解得x>1.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個方面考慮：

（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時，自變量可取全體實(shí)數(shù)；

（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，被開方數(shù)非負(fù).

3.（4分）若則下列各不等式不成立的是（）

A.a<bB.a-\<b-\C.2a>2bD.-a>-b

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：A、根據(jù)ac2Vbe2,得成立，不符合題意；

B、根據(jù)a?〈加2,得。-1<t>-1成立，不符合題意；

C,根據(jù)得2“<26原選項(xiàng)不成立，符合題意；

D、根據(jù)ac2cbe2,得-“>-/?成立，不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了不等式性質(zhì)，熟練掌握不等式性質(zhì)是本題突破的關(guān)鍵.

4.(4分)下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是()

A.x2-/-i=(x-y)(x+y)-1B.a(a+2)—a2+2a

C.4/-8孫+4/=⑵-2y)2D.，-25=(x-5)(x+5)

【分析】根據(jù)因式分解的定義及因式分解的方法進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：A中等號右邊不是整式積的形式，它不是因式分解，則A不符合題意；

8是整式乘法運(yùn)算，它不是因式分解，則8不符合題意；

C中原式=4(x-y)2,則C不符合題意；

。因式分解正確，則。符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查因式分解的定義及方法，此為基礎(chǔ)且重要知識點(diǎn)，必須熟練掌握.

5.(4分)如圖，在四邊形48C。中，AD//BC,添加下列條件后，不能判定四邊形ABCZ)一定是平行四邊

A.AD=BCB.AB=DCC.AB//CDD.NB=ND

【分析】由平行四邊形的判定方法分別對各個選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【解答］解：,：AD//BC,AD=BC,

二四邊形ABC力是平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；

B、由AO〃BC,AB=DC,不能判定四邊形A8CD是平行四邊形，故選項(xiàng)8符合題意;

C、'：AB//CD,AD//BC,

四邊形A8c。是平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；

D、?:AD〃BC,

AZB+ZA=180°,

NB=ND,

/.ZD+ZA=180°,

：.AB//CD,

???四邊形A8CZ）是平行四邊形，故選項(xiàng)O不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定、平行線的判定與性質(zhì)等知識；熟記平行四邊形的判定方法是解

題的關(guān)鍵.

6.（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)3）向左平移3個單位長度后在y軸上，則點(diǎn)用的坐

標(biāo)是（）

A.（-1,-4）B.（3,-1）C.（3,-5）D.（-1,-3）

【分析】根據(jù)點(diǎn)平移的性質(zhì)可得出平移后的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在y軸上可知2。-4=0,求出。的值即可得

出M點(diǎn)的坐標(biāo).

【解答】解：將點(diǎn)M（2a-1,3）向左平移3個單位長度后得（24-4,。-3）,

???點(diǎn)（2。-4,a-3）在y軸上，

???2。-4=0,

解得。=2,

2a-1=3,a-3--1>

.?.點(diǎn)M的坐標(biāo)是（3,-1）.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查的是坐標(biāo)與圖形變化-平移，熟知橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移

減是解題的關(guān)鍵.

7.（4分）如圖，在AABC中，NC=60°,以點(diǎn)8為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交BA,BC于點(diǎn)E,

F,再分別以點(diǎn)E,F為圓心，大于［EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)G,作射線BG,交AC于點(diǎn)

若AD=BO,則乙4的度數(shù)為（）

B

A.35°B.40°C.45°D.50°

【分析】利用基本作圖得到BO平分NBAC,則再利用AQ=BQ得到NAB￡>=NA,所

以/ABC=2/A,接著利用三角形內(nèi)角和定理得到/A+2NA+60。=180°,然后解方程即可.

【解答】解：由作法得8。平分NBAC,

二NABD=NCBD,

'：AD=BD,

：.ZABD^ZA,

：./ABC=2/A,

VZA+ZABC+ZC=180°,

二NA+2NA+60。=180°,

解得NA=40°.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵.也考查了角平分線的

性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì).

8.（4分）如圖，在口ABC。中，/A8C的平分線交AO于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作4尸，8E,垂足為點(diǎn)F,若AF=

DE=5,BE=24,則8C的長為（）

A.8B.13C.16D.18

【分析】首先利用平行四邊形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)得到AB=AE,然后利用等腰三角形的三線合一

的性質(zhì)得到利用勾股定理求得AB,即可求得答案.

2

【解答】解：???四邊形A8C。是平行四邊形，

C.AD//BC,

：.NAEB=/CBE,

AABC的平分線交AD于點(diǎn)E,

：.NABE=NCBE,

：.NABE=NAEB,

：.AB=AE,

'：AF±BE,

:.BE=2BF,

?'-AB=VBF2+AF2=V52+122=13,

：.AE=AB=\3,

：.BC=AD=AE+DE=13+5=18,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)的知識，解題的關(guān)鍵是證得A8=AE,

難度不大.

二、填空題(每小題4分，共20分)

9.(4分)一個正多邊形的一個外角等于45°,則這個正多邊形的邊數(shù)是8.

【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于360°計算即可.

【解答】解：3604-45=8(條)，

故答案為：8.

【點(diǎn)評】本題考查了多邊形的外角和定理，掌握多邊形的外角和等于360°,正多邊形的每個外角都相

等是解題的關(guān)鍵.

10.(4分)分解因式：a2(fe-1)-4(/?-l)=4-1)(a+因(a-2).

【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可.

【解答】解：原式=(/?-1)(°2-4)

=(b-1)(a+2)(67-2),

故答案為：Cb-1)(a+2)(a-2).

【點(diǎn)評】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

11.(4分)若點(diǎn)A(2a+6,1)在第二象限，則〃的取值范圍aV-3.

【分析】根據(jù)第二象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行解答即可.

【解答】解：???第二象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征是橫坐標(biāo)小于0,縱坐標(biāo)大于0,

：.2a+6<0,

“V-3.

故答案為：a<-3.

【點(diǎn)評】本題考查了平面直角坐標(biāo)系各象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征，第二象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征是橫坐標(biāo)小于0是解

題關(guān)鍵.

12.（4分）如圖，直線yi=-2x-3與直線”=米+4交于點(diǎn)A（a,1）,則關(guān)于x的不等式-2x-3>h+4

的解集是A-<-2.

【分析】寫出直線y=-2x-3在直線y=&+4上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可.

【解答】解：把4（。，1）代入川=-2%-3得，4=-2,

二4（-2,1）,

?.,直線yi=-2x-3與直線”=履+4交于點(diǎn)A（-2,1）,

.??不等式-2x-3>k.x+4的解集是x<-2.

故答案為：x<-2..

【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)

的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線、=區(qū)+6在x軸上（或

下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合.

13.（4分）如圖，在口ABC。中，對角線4c與8。交于點(diǎn)O,/BAO=80°,點(diǎn)E為中點(diǎn)，連接￡0,

若OD平分/EOC,則ZABD=50Jg.

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得OB=OD,AB//CD,則/OC￡>=/區(qū)4。=80°,ZABD^ZCDO,再

由三角形中位線定理得。尸〃AB,則NAOF=NBAO=80°,然后求出NCO￡>=』NFOC=50°,最后

2

由三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【解答】解：：四邊形ABCD是平行四邊形，

：.OB=OD,AB//CD,

.?./OCZ)=/BAO=80°,NABD=NCDO,

?.?點(diǎn)E為A。中點(diǎn)，

.?.OE為△ABQ的中位線，

J.OE//AB,

二/AOE=/BAO=80°,

AZ￡OC=180°-80°=100°,

?.?。。平分/尸。。，

二/COO=1/FOC=50°,

2

AZCZ)O=180°-ZOCD-ZCOD=180°-80°-50°=50°,

AZABD=50°,

故答案為：50.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知

識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，求出NCOO=50°是解題的關(guān)鍵.

三、解下列各題

23

14.（12分）（1）計算:+|百-2|噂?(7嚴(yán)；

x-5>3x+l①

（2）解不等式組:

【分析】（1）先算立方根，算術(shù)平方根，去絕對值，乘方運(yùn)算，再合并即可;

（2）求出每個不等式的解集，再求公共解集即可.

【解答】解：（1）原式=-3+2-百-返+1

3

=.473.

3，

（2）解不等式①得：xW-3,

解不等式②得：x>-5,

...不等式組的解集為-5<xW-3.

【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算和解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是掌握實(shí)數(shù)相關(guān)運(yùn)算的法則和求

不等式公共解集的方法.

2

15.(8分)化簡并求值：生+丑+(a+2)?3士—，其中J-4-5=0.

a-3aa_2a+l

【分析】先把分式的分子和分母分解因式，同時根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，再根據(jù)分式的乘

法法則進(jìn)行計算，最后把/-。=5代入求出答案即可.

【解答】解：*12+(a+2)?邛

a-3aa-2a+l

=<a+2)(a-1).1.2(a-3)

a(a-3)a+2(a-1)%

=2

a(a-1)

2

a2-a，

???/-〃-5=0,

???Q2-4=5u，

原式=2.

5

【點(diǎn)評】本題考查了分式的化簡求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算

順序.

16.(8分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個方格的邊長均為1個單位長度，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分

別是A(3,4),B(3,1),C(1,2).

(1)將△ABC繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)A的對應(yīng)的為4,點(diǎn)8的對應(yīng)的為Bi，點(diǎn)C的對應(yīng)的為Ci，

畫出旋轉(zhuǎn)后的△AiBiCi；

(2)將△AiBiCi平移使點(diǎn)4與點(diǎn)4(-1,2)重合，點(diǎn)Bi的對應(yīng)的為歷，點(diǎn)G的對應(yīng)的為C2，畫

出平移后的282c2并寫出B2點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)求出線段平移經(jīng)過的圖形面積.

?y

【分析】(l)利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A,B,C的對應(yīng)點(diǎn)Ai，Bi，Ci即可;

(2)利用平移變換的性質(zhì)分別作出Ai，Bi，Ci的對應(yīng)點(diǎn)A2，B2,C2即可：

(3)利用平行四邊形的面積公式求解.

【解答】解：(1)如圖，即為所求；

(2)如圖，/XAzB2c2即為所求.歷點(diǎn)坐標(biāo)(-4,2)；

(3)線段AiBi經(jīng)過的圖形面積=3X5=15.

【點(diǎn)評】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，平移變換等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決

問題.

17.(10分)已知：如圖1,在四邊形ABC。中，NABC=NDCB,四邊形ABFO是平行四邊形，DF交BC

于點(diǎn)E,連接AE、CF,CF=BF.

(1)求證：△ADE絲△人?￡)；

如圖2,連接08交AE于點(diǎn)G,連接若AG=OC.求證：四邊形BFCG是菱形.

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得。DA=BF,所以NOEC=NABC,而b=8E/A8C=

NDCB,所以。A=CF,NDEC=NDCB,則OE=C。，再證明NAB尸=N￡)C兄因?yàn)镹ABF=NEDA,

所以NED4=NQCF,即可證明△4￡)￡：絲△FC。；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得/AED=/FQC,則AG〃7)C,因?yàn)锳G=QC,所以四邊形4GCD是平行

四邊形，可推導(dǎo)出CG〃8尸，CG=BF,所以四邊形8尸CG是平行四邊形，而CF=BF,四邊形BFCG是

菱形.

【解答】證明：(1)二?四邊形ABFZ)是平行四邊形，

：.DF//AB,DA=BF,

：./DEC=ZABC,

<CF=BF,ZABC=ZDCB,

：.DA=CF,ZDEC=ZDCB,

:.DE=CD,

'：/ABC=NDCB,NFBC=NFCB,

：.NABC+NFBC=NDCB+NFCB,

：.NABF=ZDCF,

'：ZABF=/EDA,

：./ED4=NDCF,

在和△人?￡)中，

rDE=CD

'ZEDA=ZDCF?

DA=CF

.?.△AOE絲△”■￡)(SAS).

(2)V/\ADE^/\FCD,

：.NAED=NFDC,

：.AG//DC,

'：AG=DC,

...四邊形AGC￡)是平行四邊形，

J.CG//DA,CG=DA,

'：BF//DA,BF=DA,

J.CG//BF,CG=BF,

...四邊形BFCG是平行四邊形，

:.CF=BF,

四邊形8尸CG是菱形.

【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識,

證明N￡>EC=ZDCB及四邊形AGCD是平行四邊形是解題的關(guān)鍵.

18.(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線丫4*-?與x軸、y軸分別相交于A、8兩點(diǎn)，點(diǎn)C在線段

OA上，將線段CB繞著點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CD,此時點(diǎn)D恰好落在直線AB上.

(1)求出線以AB的長度；

(2)求出BC的函數(shù)關(guān)系式；

(3)若點(diǎn)E是x軸上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)F是線段上的點(diǎn)(不與點(diǎn)2、C重合)，是否存在以C、D、E、

產(chǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的E點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【分析】(1)分別求出A、B點(diǎn)坐標(biāo)，再求A8的長即可：

(2)過。點(diǎn)作OGJ_x軸交于G點(diǎn)，證明△OC8gZ\GOC(AAS),設(shè)C(t,0),0WrW6,則。(f+3,

7),由。點(diǎn)在直線48上，將。點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式求出/的值，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法

求直線5c的解析式即可；

(3)由(2)可知D(3,-1),設(shè)E(X,0),F(n3f-3),(0<r<l),分三種情況討論：①當(dāng)CD

為平行四邊形的對角線時；②當(dāng)CE為平行四邊形的對角線時；③C尸為平行四邊形的對角線時；根據(jù)平

行四邊形的對角線互相平分性質(zhì)建立方程求出x的值即可.

【解答】解：(1)當(dāng)x=0時，y=-3,

：.B(0,-3),

當(dāng)y=0時，元=6,

???A(6,0),

."8=3而；

(2)過。點(diǎn)作OGLv軸交于G點(diǎn)，

VZZ?CD=90°,

AZOCB+ZACD=90°,

?：ZOCB+ZOBC^90°,

...NO8C=NACO,

'：BC=CD,

/.△OCB^AGDC(AAS),

：.DG=OC,CG=OB=3,

設(shè)CCt,0),0WfW6,

.,.￡)03,-t),

?；￡>點(diǎn)在直線AB上，

什3)-3,

2

解得t-\,

：.C(1,0),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx-3,

：.k-3=0,

解得k=3,

直線BC的解析式為y=3x-3；

(3)存在以C、D、E、尸為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下:

由(2)可知D(3,-1),

設(shè)E(x,0),F(f,3f-3),(0<r<l),

①當(dāng)CO為平行四邊形的對角線時，4=x+t,-l=3r-3,

解得t=2,%=-12.,

33

：.E（紅，0）；

3

②當(dāng)CE為平行四邊形的對角線時，l+x=f+3,0=-1+3/-3,

解得t——,

33

此時尸點(diǎn)不存在；

③CF為平行四邊形的對角線時，l+f=3+x,3r-3=-l,

解得r=2,x=-支,

33

：.E（-A,o）；

3

綜上所述：E點(diǎn)坐標(biāo)（也，0）或（-9，0）.

33

【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，利用

平行四邊形的對角線互相平分的性質(zhì)建立方程是解題的關(guān)鍵.

一、填空題（每小題4分，共20分）

19.（4分）已知x+7=2近，xy--2,則昌+4聲+如=-24.

【分析】先將原式進(jìn)行因式分解，再代入計算即可.

【解答】解：?."3），+2/>2+肛3

=xy（7+與+）2）

=xy（x+y）2,

/.當(dāng)x+y=2\/3，xy=-2時，

原式=-2X（2百）2

=-2X12

=-24.

故答案為：-24.

【點(diǎn)評】此題考查了利用整體思想求代數(shù)式的值的能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確進(jìn)行因式分解和計算.

20.(4分)五張背面完全相同且不透明的卡片分別寫有-2,-1,0,1,2,充分洗勻并任意抽取一張讀數(shù)

記為“，關(guān)于x的分式方程&_［」一有正整數(shù)解的概率為2.

x-21x-2-5一

【分析】解分式方程得出X=4+l,根據(jù)分式方程有正整數(shù)解得出-1且再求出。的值，利用

概率公式即可得出答案.

/.2a-(x-2)=x,

???分式方程有正整數(shù)解，

???。+1>0且。+1r2,

?">-1且

Aa=0或2,

???使分式方程有正整數(shù)解的。的值有兩個，

的值使關(guān)于x的分式方程有正整數(shù)解的概率為2.

x-21x-25

故答案為：2.

5

【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的解、概率公式：隨機(jī)事件A的概率P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)

除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).

21.(4分)如圖，四邊形A8CD中，AC、8。是對角線，△A8C是等邊三角形，NA￡)C=30°,4。=4,

80=5,則CD的長為3.

【分析】將△88繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得至IJ△4CE,連接CE,DE,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知。C=EC、ZDCE

=/4CB=60°、BD=AE=6,即可得△OCE為等邊三角形，根據(jù)/AOC=30°得到乙4CE=90°,根

據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖所示，將△BCC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到AACE,連接CE,DE,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知。C=EC,ZDCE=ZACB=60°,BD=AE=5,

則△QCE為等邊三角形，

VZADC=30°,

/.ZADE=90°,

：.AD2+DE2=AE2,

.,.42+D￡2=52,

:.DE=CD=3.

故答案為3.

【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，正確的

作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

22.（4分）已知三角形具有穩(wěn)定性，四邊形則不具有穩(wěn)定性，如圖，在四邊形A8CD中，AB=2,BC=4,

CD=2M，/4BC=90°,E為邊4。的中點(diǎn)，連接BE,則線段BE長的最大值為_Jg

【分析】取AC的中點(diǎn)凡連接ERBF,求出￡凡8凡再利用三角形兩邊之和大于第三邊可求出線段

8E長的最大值.

【解答】解：取4c的中點(diǎn)F,連接EF,BF,

為邊AD的中點(diǎn),

:.EF=1CD,

2

VCD=2^2,

:.EF=H，

'：AB=2,3c=4,/A8c=90°,

，由勾股定理,得AC=JAB2'="'2'+4’=2而，

?../ABC=90°,點(diǎn)尸是4c的中點(diǎn)，

:.BF=1AC=^,

2

?:BEWBF+EF=A+V2，

線段BE長的最大值為啦,

故答案為：樂啦.

【點(diǎn)評】本題考查三角形中位線定理，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形兩

邊之和大于第三邊，將問題轉(zhuǎn)化為三角形兩邊之和大于第三邊求最大值是解題的關(guān)鍵.

23.(4分)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸(a,%),點(diǎn)P的“變換點(diǎn)”Q的坐標(biāo)定義如下：當(dāng)〃〈匕時，Q(a,

-6),當(dāng)時，Q(a+1,b-5),線段m：y=-x+2(-2&W6)按上述“變換點(diǎn)”組成新圖形，

直線>=2"+1與新圖形恰好有兩個公共點(diǎn)，則人的取值范圍-24W-1.

【分析】點(diǎn)P(a,b)在線段相：y=-x+2(-24W6)上，根據(jù)已知條件確定a的取值范圍以及對應(yīng)

的直線解析式y(tǒng)i=x-2,y2=-x-2,找到界點(diǎn)A(1,-1),B(1,-3),然后代入解析式y(tǒng)=2履+1,

求出攵的最大值和最小值即可.

【解答】解：?:點(diǎn)P(小b)在線段〃?：y=-x+2(-2WxW6)上，

P(a,-a+2),

令a=-a+2,

a=\,

24W6,

:.當(dāng)-2WaV1,tz<-a+2,

即4V即

當(dāng)1時，-a+2,

即叩

???當(dāng)時，Q(〃，a-2),線段為：y\=x-2,

當(dāng)a^b時，Q(a+1,-a-3),線段為：竺=-x-2,

當(dāng)時，-2^a<1,

當(dāng)匕時，1W〃W6,則24+1W7,

如圖所示：

直線y=2日+1恒過（0,1）,

若與兩線段交于兩點(diǎn)，

由圖象可知界點(diǎn)A（1,-1）,B（l,-3）,

將A、B兩點(diǎn)代入y=2h+1,

得ki=-1,k2—~2,

：.-2WZW-1,

故答案為：-2WkW-l.

【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式組之間的關(guān)系，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，理解題意

是解決問題的關(guān)鍵.

二、解答題（共30分）

24.（8分）為圓滿完成第40屆全國青少年信息學(xué)奧林匹克競賽承辦任務(wù).為滿足競賽設(shè)備需求，學(xué)校準(zhǔn)備

再購買一批A型電腦和B型電腦，A型電腦比8型電腦單價貴1000元/臺，用20000元購買A型電腦與

用16000元購買8型電腦購得的數(shù)量一樣多.

（1）求兩種型號電腦單價分別為多少元？

（2）學(xué)校新建兩個電腦室需購買80臺電腦，計劃總費(fèi)用不超過360000元，并且要求A型電腦數(shù)量不

能低于30臺，如何安排購買方案才能使費(fèi)用最少，最少費(fèi)用應(yīng)為多少？

【分析】(1)設(shè)A型號電腦單價為x元，可得：2000p.=J6000；解方程并檢驗(yàn)可得答案；

xx-1000

(2)設(shè)A型號電腦購買m臺，購買總費(fèi)用為卬元，由計劃總費(fèi)用不超過360000元，并且要求A型電

腦數(shù)量不能低于30臺，得30WmW40,而卬=5000，〃+4000(80-加=1000加+320000,根據(jù)一次函數(shù)

的性質(zhì)可得答案.

【解答】解：(1)設(shè)A型號電腦單價為x元，則8型號電腦單價為(%-1000)元，

根據(jù)題意得：20000=16000,

Xx-1000

解得x=5000,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=5000是原方程的解，

/.X-1000-5000-1000=4000,

.?.4型號電腦單價為5000元，B型號電腦單價為4000元；

(2)設(shè)A型號電腦購買機(jī)臺，購買總費(fèi)用為卬元，則B型號電腦購買(80-機(jī))臺，

?.?計劃總費(fèi)用不超過360000元，并且要求A型電腦數(shù)量不能低于30臺，

.f5000irr*4000(80-m)<360000

lm>30

解得30WsW40,

根據(jù)題意，w=5000m+4000(80-w)=1000/n+320000,

V1000>0,

；.卬隨〃?的增大而增大，

.../??=30時，w取最小值，最小值為1000X30+320000=350000(元)，

止匕時80-a=80-30=50,

型號電腦購買30臺，B型號電腦購買50臺，購買總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為350000元.

【點(diǎn)評】本題考查分式方程的應(yīng)用和一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程和函數(shù)關(guān)系式

解決問題.

25.(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)記為。，直線AB：y[x+6與1軸于點(diǎn)交上與丫軸

交于點(diǎn)B,過點(diǎn)B的直線與x軸于點(diǎn)交C,AC=4OC.

(1)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)。在直線A8上，使得△88是以BC為腰的等腰三角形，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)P(-8,-2),連接BP交x于點(diǎn)Q,連接AP,在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)E,使

得AE=AB,若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【分析】(1)求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再由AC=40C,可得0C=4,能求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法求函數(shù)

的解析式即可;

⑵(2)設(shè)。G,lr+6),當(dāng)時，由方程2jH=Jt2VtI求出。(生更，

2。13=J(t-4)*+()2,能求出D(春

當(dāng)3c=C￡＞時，由方程

(3)先求直線8P的解析式為y=x+6,可得Q(-6,0),貝i」/BQO=45°,過尸點(diǎn)作GP_LAO交于G

點(diǎn)，由tanNQAP=tanNBAO=』，則/BAO=NQAP,能求出NA8E=45°,從而求出△ABE是直角三

2

角形，過E點(diǎn)作軸交于F,證明(A4S),求出E(-18,12)；E點(diǎn)關(guān)于A點(diǎn)的對

稱點(diǎn)為E(-6,-12),由對稱性可知，AE=AB,從而得到E點(diǎn)坐標(biāo)為(-18,⑵或(-6,-12).

【解答】解：(1)令工=0,則y=6,

：.B(0,6),

當(dāng)y=0,則x=-12,

(-12,0),

：.OA=12,

VAC=4OC,

??.OC=4,

：.C(4,0),

設(shè)直線BC的解析式為y=h+6,

???44+6=0,

解得k=-1,

2

直線BC的解析式為y=-Wr+6；

2

(2)設(shè)。(t,Ar+6),

2

VC(4,0),B(0,6),

:.BC=2氏,

當(dāng)BC=BD時,2y/^=42右2,

解得r=.W」5,

5

：.D(恒,6+維)；

55_______________

當(dāng)BC=CZ)時，2/='(1)2.(6靠產(chǎn)

解得f=0(舍)或尸”

5

：.D(X1?)；

55

綜上所述：。點(diǎn)坐標(biāo)為(出醫(yī)，6+色匣)或(8,34)；

5