專題04正余弦定理解三角形

專題04正余弦定理解三角形知識點1余弦定理1、公式表達：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC2、語言敘述：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍【注意】余弦定理的特點（1）適用范圍：余弦定理對任意的三角形都成立．（2）揭示的規(guī)律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個角的余弦之間的關(guān)系，它含有四個不同的量，知道其中的三個量，就可求得第四個量．3、推論：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)4、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用（1）類型1：已知兩邊及一角，解三角形方法概要：先利用余弦定理求出第三邊，其余角的求解有兩種思路：一是利用余弦定理的推論求出其余角；二是利用正弦定理(已知兩邊和一邊的對角)求解；（2）類型2：已知三邊解三角形法一：已知三邊求角的基本思路是：利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角的余弦值，值為正，角為銳角；值為負，角為鈍角，其思路清晰，結(jié)果唯一法二：若已知三角形的三邊的關(guān)系或比例關(guān)系，常根據(jù)邊的關(guān)系直接代入化簡或利用比例性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為已知三邊求解知識點2正弦定理1、公式表示：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即asinA【注意】正弦定理的特點(1)適用范圍：正弦定理對任意的三角形都成立．(2)結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長，分母為相應(yīng)邊所對角的正弦的連等式．(3)刻畫規(guī)律：正弦定理刻畫了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系，可以實現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化．2、推論：在?ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，外接圓半徑為R=1\*GB3①asinA=bsinB=2\*GB3②sinA:sinB:sinC=a:b:c，=3\*GB3③asinB=bsinA，bsinC=csinB，asinC=csinA，=4\*GB3④a+b+csinA+sinB+sinC=a+bsinA+sinB=5\*GB3⑤a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（實現(xiàn)邊和角的互相轉(zhuǎn)化）3、正弦定理解決的兩類問題類型1：已知兩角及一邊解三角形方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值；（2）如果已知的角為大邊所對的角時，由三角形中大邊對大角、大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一；（3）如果已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值可求兩個角，要分類討論類型2：已知兩邊及一邊對角，解三角形（三角形多解問題）在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：當(dāng)A為銳角時：當(dāng)A為鈍角時知識點3三角形面積公式在?ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，邊BC，CA，AB邊上的高分別記作ha，hb，hc，r為內(nèi)切圓半徑，R（1）S=（2）S=知識點4三角形形狀的判斷1、利用余弦定理判斷三角形（1）為直角三角形或或（2）為銳角三角形，且，且（3）為鈍角三角形，且，且（4）若，則或2、利用正弦定理判斷三角形法一化角為邊：將題目中的所有條件，利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)多項式的有關(guān)知識(分解因式、配方等)得到邊的關(guān)系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，進而確定三角形的形狀．利用的公式為：sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)法二化邊為角：將題目中所有的條件，利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識得到三個內(nèi)角的關(guān)系，進而確定三角形的形狀．利用的公式為：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC考點1余弦定理解三角形【例1】（2023春·河南·高一洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知在中，，，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由余弦定理可得，解得，所以，所以為直角三角形，則在中，．故選：A.【變式11】（2023春·天津和平·高一?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則此三角形中的最大角的大小為（）A．B．C．92°D．135°【答案】B【解析】，設(shè)，最大，即最大，，又，.故選：B.【變式12】（2022春·江蘇鹽城·高一?？计谥校ǘ噙x）在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b=5，c=3，則a的可能取值為（）A．4B．5C．D．【答案】BC【解析】因為三角形ABC是銳角三角形，所以cosA＞0，cosB＞0，cosC＞0，.所以，即，又a＞0，解得，故選：BC.【變式13】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）（1）在中，已知，求的值；（2）在中，已知，解這個三角形．【答案】（1）；（2）答案見解析【解析】（1）因為，所以，所以；（2）因為，所以，即，解得或，當(dāng)時，則，所以；當(dāng)時，由余弦定理得，所以，綜上所述，或.考點2正弦定理解三角形【例2】（2023春·天津和平·高一?？茧A段練習(xí)）已知的三個內(nèi)角的對邊分別為，若，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在中，，所以得：，由正弦定理可得：即，所以，故選：B.【變式21】（2023春·河北邯鄲·高一?？茧A段練習(xí)）在中,已知,,,則角的度數(shù)為（）A．B．C．或D．【答案】C【解析】由題知,,,在中,由正弦定理可得:,解得,因為,,所以或.故選:C【變式22】（2023春·福建三明·高一校考階段練習(xí)）中，若，，則_________【答案】【解析】由題意中，若，，則,因為為銳角，故.【變式23】（2023春·浙江嘉興·高一?？茧A段練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則______.【答案】【解析】由題知，，，在中，由正弦定理，得，所以，解得，因為中，，所以，所以.考點3三角形解的個數(shù)判斷【例3】（2023春·河北保定·高一保定一中?？茧A段練習(xí)）在中，若，則此三角形（）A．無解B．有兩解C．有一解D．解的個數(shù)不確定【答案】B【解析】因為，，所以，因為，所以，所以滿足的有兩個，所以此三角形有兩解.故選：B.【變式31】（2023·高一課時練習(xí)）（多選）判斷下列三角形解的情況，有且僅有一解的是（）A．，，；B．，，；C．，，；D．，，.【答案】AD【解析】對于A，由正弦定理得：，，，即，，則三角形有唯一解，A正確；對于B，由正弦定理得：，，，即，或，則三角形有兩解，B錯誤；對于C，由正弦定理得：，無解，C錯誤；對于D，三角形兩角和一邊確定時，三角形有唯一確定解，D正確.故選：AD【變式32】（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，若，，如果可解，則邊a的取值范圍是______．【答案】【解析】由題意在中，若，則,由正弦定理得，可解，則需有，解得，故邊a的取值范圍是.【變式33】（2023春·河北保定·高一定州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，且.若有兩解，則的值可以是（）A．4B．5C．7D．10【答案】BC【解析】如圖：要使有兩個解，則，即，解得：，故選：BC考點4正余弦定理邊角互化【例4】（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的外接圓的面積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，所以，所以，即，又，所以，所以，所以.因為，由余弦定理得，即，又，所以，所以，由正弦定理得，所以.設(shè)的外接圓的半徑為，所以，解得，所以的外接圓的面積為.故選：B.【變式41】（2023春·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的值為_______.【答案】【解析】根據(jù)正弦定理可知，，所以，而，所以.【變式42】（2023·高一單元測試）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，，則角______.【答案】【解析】將等式兩邊同時乘以得，由正弦定理得，又在中，得，.【變式43】（2023春·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大??；（2）若，D是線段AC上的一點，，，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，所以由正弦定理可得，，即，所以，因為，所以.（2）設(shè)，則，所以，解得，，所以，由正弦定理，，所以.【變式44】2023春·河北石家莊·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大??；（2）若，求的大小．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，由正弦定理得，整理得，即所以，又因為，所以，所以，因為，所以，所以，又因為，所以．（2）由且，由余弦定理，可得，即，解得或（舍），所以．考點5三角形的面積問題【例5】（2023春·云南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則的面積為______.【答案】1【解析】由，得，得，所以的面積為.【變式51】（2023·全國·高一專題練習(xí)）中，角A，，的對邊分別為，，，且滿足，，，則的面積為______．【答案】【解析】∵，，∴，∴，展開得，∴由三角形內(nèi)角的性質(zhì)知：sinC不為0，故，∴，∴，，所以的面積.【變式52】（2023春·江蘇常州·高一?？茧A段練習(xí)）已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，．（1）求角B的大?。唬?）若，，求的面積．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，所以，因為，所以，所以，得，即，因為，所以，所以，所以；（2）由余弦定理得，即，解得，所以．【變式53】（2022春·廣東肇慶·高一德慶縣香山中學(xué)校考期中）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求角A的大??；（2）若，求△ABC的面積．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由整理得，，由，；（2），由正弦定理得，①，又，②，由①②得，.【變式54】（2023春·貴州黔西·高一?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且．（1）求角A的大??；（2）若，△ABC的面積為，求的值．【答案】（1）；（2）2【解析】（1）由已知及正弦定理得，∵∵，∵∴.（2）∵

∴,又∵

∴,所以．考點6多邊形的形狀問題【例6】（2023春·河北保定·高一保定一中校考階段練習(xí)）在，其內(nèi)角的對邊分別為，若，則的形狀是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】A【解析】因為在，，所以，又，所以，，所以為等腰三角形.故選：A.【變式61】（2023春·湖南常德·高一臨澧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，若，則的形狀為（）A．直角三角形B．等腰非等邊三角形C．等邊三角形D．鈍角三角形【答案】A【解析】由題意得：，即，故，因為，所以，故，即因為，所以，即，故，故，故，所以為直角三角形.故選：A【變式62】（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，角A、、所對的邊分別為、、，且若，則的形狀是（）A．等腰且非等邊三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形【答案】C【解析】∵，所以，又，∴，∵，∴，，，∴，從而，為等邊三角形，故選：C．【變式63】（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．A．若，則為銳角三角形B．若為銳角三角形，則C．若，則為等腰三角形D．若，則是等腰三角形【答案】BD【解析】對于A，若，則，則B為銳角，不能判定為銳角三角形，故A錯誤；對于B，若為銳角三角形，則，且，所以，故B正確；對于C，因為，所以或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故C錯誤；對于D，因為，所以，即，所以，因為，所以，所以，所以是等腰三角形，故D正確.故選：BD.【變式64】（2023春·上海松江·高一上海市松江一中?？茧A段練習(xí)）在中，角所對應(yīng)的邊分別是，滿足，則該三角形的形狀是__________．【答案】等腰直角三角形【解析】由正弦定理及，得，，，，又，由余弦定理，得，即，，為等腰直角三角形．1．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一鎮(zhèn)江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，已知，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在中，已知，，，由余弦定理得：，故選：A2．（2021春·廣東東莞·高一東莞高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若的面積為，且，則的值為（）A．B．1C．D．【答案】C【解析】依題意，，由余弦定理得，①，由三角形的面積公式得，代入①得，，，由于，所以.故選：C3．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則（）A．4B．6C．D．【答案】D【解析】因為，由正弦定理可得，則，，，，，為內(nèi)角，，則，，故選：D.4．（2023春·湖北武漢·高一武漢外國語學(xué)校（武漢實驗外國語學(xué)校）?？茧A段練習(xí)）中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，，，則邊c長為（）．A．B．C．或D．或【答案】A【解析】在中，因為，，，所以，即，解得或（舍去），所以.故選：A.5．（2023春·河南·高一洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，，，則（）A．9B．8C．5D．4【答案】C【解析】∵，，∴，，∴．∵為銳角三角形，∴，∴．而，∴．由余弦定理可得，∴，∴，則．故選：C6．（2023春·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，若有一解，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由正弦定理得，即，則，若有一解，則①，則，②，則，綜上，的取值范圍為，故選：D.7．（2023春·浙江溫州·高一?？茧A段練習(xí)）在中，角，，所對的邊分別為，，，若A：B：C=3:2:1，則a:b:c=（）A．1:2:3B．3:2:1C．1::2D．2::1【答案】D【解析】由，又，則，由，即，所以，故選：D8．（2023春·福建三明·高一三明一中?？茧A段練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，，，則是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由邊化角可得，因為，所以，即，所以，因為，所以,所以，所以解得，所以，所以是直角三角形，故選:B.9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）（多選）一個銳角三角形的三邊長為，，，則，，的值可能為（）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】AD【解析】銳角三角形的三邊長為，，其充要條件為：最大角的余弦值大于零.結(jié)合三角形大邊對大角可知：較小兩邊平方和大于第三邊的平方即可判斷三角形為銳角三角形.所以對于A，，符合；對于B，，不構(gòu)成三角形三邊，不符合對于C，，不符合；對于D，，符合.故選：AD．10．（2023春·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．a(chǎn)>cC．c>aD．【答案】ACD【解析】由正弦邊角關(guān)系知：，則，所以，而，則，A正確；由上知：，即，B錯誤，C正確；由知：，則，又，故，則，即，D正確.故選：ACD11．（2023春·浙江杭州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，下列說法正確的是（）A．若，則是鈍角三角形B．若，則C．若，則是銳角三角形D．若，，，則只有一解【答案】ABD【解析】對于A，因為的三個角滿足，所以由正弦定理化簡得，設(shè)，為最大邊，由余弦定理得，所以為鈍角，所以是鈍角三角形，故A正確；對于B，由及正弦定理，得,解得，故B正確；對于C，因為，所以，所以，所以為銳角，但無法確定和是否為銳角，故C錯誤；對于D，由正弦定理得，解得，因為,所以，所以只有一解，故D正確.故選：ABD.12．（2023春·河北保定·高一保定一中校考階段練習(xí)）（多選）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．的面積為【答案】BC【解析】由題設(shè)，則，即，故，所以不為鈍角，否則、都為鈍角，則，又，即，整理得，故，，且為三角形內(nèi)角，則，綜上，的面積，故A、D錯誤，B、C正確.故選：BC13．（2022春·江蘇鹽城·高一?？计谥校┰凇鰽BC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A：B：C=1：2：3，則=___________.【答案】【解析】∵A：B：C=1：2：3，，∴∴由正弦定理得：14．（2023春·安徽滁州·高一安徽省滁州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且，，則三角形外接圓半徑為_____________．【答案】##【解析】因為，，由正弦定理可知△ABC的外接圓半徑為.15．（2023春·上海浦東新·高一?？茧A段練習(xí)）邊長為10，14，16的三角形中最大角與