【不等式在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用探究9600字（論文）】

不等式在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用研究目錄TOC\o"1-3"\h\u290231緒論 3231821.1研究背景 3284261.2研究意義 3155981.3研究方法 3324902高中數(shù)學(xué)中的不等式及分類 333082.1高中數(shù)學(xué)中的不等式 487582.2高中數(shù)學(xué)中的不等式分類 4130151柯西不等式 492582排序不等式 4267462.2.3貝努利不等式 432963柯西不等式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 5238363.1利用柯西不等式求變量的最值 5163313.2利用柯西不等式證明不等式 5149853.3利用柯西不等式解方程組 6192373.4利用柯西不等式解三角問題 669743.5柯西不等式在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的應(yīng)用 7224913.6在教學(xué)中應(yīng)注意的問題 7172084排序不等式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 7260374.1利用排序不等式證明不等式 7143234.2利用排序不等式解三角問題 876234.3排序不等式在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的應(yīng)用 8311274.4教學(xué)中應(yīng)注意的問題 954905貝努利不等式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 9282695.1在高次不等式中的應(yīng)用 10282945.2在函數(shù)中的應(yīng)用 10233085.3在數(shù)列中的應(yīng)用 10259145.4在求最值中的應(yīng)用 10217276不等式的教育價(jià)值及教學(xué)方法 1089806.1不等式的教育價(jià)值 10189346.2教學(xué)方法 1297287總結(jié) 1220542參考文獻(xiàn)： 14不等式在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用摘要：柯西不等式、排序不等式和貝努利不等式是三種非常重要的不等式。它們廣泛應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)中，如線性代數(shù)中的極值問題和向量問題?？挛鞑坏仁娇梢越鉀Q這些問題。這三種不等式在數(shù)學(xué)中也有一定的應(yīng)用。特別是其他不等式的應(yīng)用、變量的極大值、不等式的證明、方程組的解集和三角形問題得到了廣泛的應(yīng)用。新課程改革后，這三種不等式也被列入高中數(shù)學(xué)選修4-5題“不等式選講”中。越來越多的數(shù)學(xué)問題可以通過柯西不等式或排序不等式來解決，并將兩者結(jié)合起來。應(yīng)用柯西不等式、排序不等式和貝努利不等式，可以使一些復(fù)雜的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)問題、高考試題或更深層次的競(jìng)爭問題更容易解決。關(guān)鍵詞：柯西不等式；排序不等式；貝努力不等式；教育價(jià)值1緒論1.1研究背景通過對(duì)教師教的不等式的證明和應(yīng)用，我學(xué)習(xí)了這門課中三種不等式的三種著名不等式。這三種不等式在中學(xué)教材中占有非常重要的地位，在解決問題中起著至關(guān)重要的作用。如果這三種不等式能巧妙靈活地應(yīng)用，就能大大提高解決問題的效率。在此基礎(chǔ)上，對(duì)三種不等式進(jìn)行總結(jié)和研究。柯西不等式是數(shù)學(xué)家柯西在對(duì)“剩余”問題的數(shù)學(xué)分析研究中得出的。但從歷史的角度來看，這不應(yīng)該被稱為CauchyBuniakowskySchwarz不等式（柯西霍多爾科夫斯基布尼亞科夫施瓦茲），采用了相互獨(dú)立的積分兩位數(shù)學(xué)家，這是用幾乎完美的不等式。雖然排序不等式”高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求不高，但它可以解決現(xiàn)實(shí)生活中的一些問題，廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)如此熟悉的比賽，和排序不等式的掌握應(yīng)用是非常必要的，它在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維起著重要的作用。貝努利不等式結(jié)構(gòu)簡單，內(nèi)涵深刻。它在許多領(lǐng)域中都非常有用，特別是在不等式證明、尋找函數(shù)的最大值和單調(diào)性方面。它可以解決一些更復(fù)雜的問題。在高等數(shù)學(xué)中，它被廣泛地應(yīng)用。例如，貝努利不等式可以用來證明幾何平均不等式、權(quán)和不等式。近年來，高考試題背景中也涉及到了一些不等式，考察學(xué)生的綜合能力，在比賽中也經(jīng)常使用它。因此，貝努利不等式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是非常有價(jià)值的。它不僅拓展了學(xué)生的思維空間，而且是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。1.2研究意義通過對(duì)三種不等式和貝努利不等式的研究，為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了一些經(jīng)驗(yàn)和參考價(jià)值。通過學(xué)習(xí)三種不等式和貝努利，學(xué)生可以理解各種數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維，感受數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愿望，進(jìn)一步提高解題效率。由于三類不等式和貝努利是非常重要的，所以本文的研究，進(jìn)一步加深對(duì)這三種不等式的理解，提高其在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。1.3研究方法本文采用的主要研究方法有文獻(xiàn)分析法、內(nèi)容分析法、觀察法。文獻(xiàn)分析：主要是指參考文獻(xiàn)的收集、鑒定和整理，并通過對(duì)文獻(xiàn)的研究，形成對(duì)文獻(xiàn)方法的科學(xué)認(rèn)識(shí)。本文主要涉及與三種不平等有關(guān)的期刊和書籍，進(jìn)而得到這三種重要不等式的歷史背景和研究現(xiàn)狀。內(nèi)容分析：是一種客觀、系統(tǒng)、定量地描述研究內(nèi)容的研究方法。本文主要分析了三種不等式的相關(guān)文獻(xiàn)，并將它們應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用，并進(jìn)一步將這三種不等式應(yīng)用于不同類型的問題。觀察法是研究者根據(jù)一定的研究目的和研究提綱，用自己的感官宮殿和輔助工具，直接觀察被研究對(duì)象的一種方法，以獲得結(jié)果。對(duì)于一個(gè)特定的主題，通過觀察，我們可以看到三種不等式是否可以用來解決這個(gè)問題。2高中數(shù)學(xué)中的不等式及分類2.1高中數(shù)學(xué)中的不等式不等式已成為近年來高考的熱點(diǎn)和熱點(diǎn)，高考外的試題與其本身的性質(zhì)和功能有著很大的關(guān)系。不平等在聯(lián)系過去和未來方面起著重要作用。利用不等式不僅可以解決集、函數(shù)、線性規(guī)劃、最大值和取值范圍等問題，而且可為進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。對(duì)高中學(xué)生要參加高考，學(xué)習(xí)和掌握不等式知識(shí)可以提高整體的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決數(shù)學(xué)問題的能力。在高考的考試范圍內(nèi)，函數(shù)的最大值或最小值一直被視為一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。有很多方法可以解決函數(shù)的最大值問題。用不等式的方法解決問題的一部分，將產(chǎn)生一種新的解決問題的方法和新的求解技術(shù)。例如已知x＜5/4，求函數(shù)y=4x－2+1/4x－5的最大值。不少同學(xué)面對(duì)這種題目時(shí)很可能想到了用函數(shù)的單調(diào)性處理，實(shí)際上我們應(yīng)用均值不等式那會(huì)更簡單、更快捷。從而節(jié)約時(shí)間取處理其他的問題。2.2高中數(shù)學(xué)中的不等式分類1柯西不等式（1）（n維形式）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a1，a2，a3，…an與b1，b2，b3，…bn，有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立（當(dāng)=0時(shí)，認(rèn)為=0，1≤k≤n）（2）（向量形式）向量有當(dāng)且僅當(dāng)與共線時(shí)成立。2排序不等式排序不等式設(shè)有兩組有序?qū)崝?shù)a1，a2，a3，…an與b1，b2，b3，…bn，滿足a1≥a2≥a3≥…≥an與b1≥b2≥b3≥…≥bn則有下列不等式成立a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn≥a1bi+a2bi+a3bi+…+anbi≥a1bn+a2bn-1+a3bn-3+…+anb1順序和亂序和逆序和等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=a3=…=an或b1=b2=b3=…=bn要應(yīng)用排序不等式，首先要做的是取兩組有序?qū)崝?shù)，這是解決問題的關(guān)鍵。2.2.3貝努利不等式貝努利不等式：對(duì)任何實(shí)數(shù)x≥-1和任何正整數(shù)n，有(1+x)n≥1+nx證明一(數(shù)學(xué)歸納法)：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法。①當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然成立。②假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即有(1+x)k≥1+kx因?yàn)閤≥-1，所以l+x≥0。上式兩邊同乘(1+x)，得(1+x)k+1≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x這就表明當(dāng)n=k+1時(shí)，上式也成立。綜合上述可知，對(duì)任意n∈N，式子都是成立的。除了數(shù)學(xué)歸納證明之外，我們還可以用導(dǎo)數(shù)法、等價(jià)和法和平均不等式法證明貝努利不等式。通過不同的方法證明，學(xué)生不僅能使學(xué)生更多地理解貝努利不等式，而且能使學(xué)生解決問題的思路更加開放。3柯西不等式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用3.1利用柯西不等式求變量的最值例1已知實(shí)數(shù)a，b，c，d，e滿足a+b+c+d+e=4，3a2+b2+4c2+3d2+12e2=10，求b的最值。解：由柯西不等式得即所以解得1≤b≤3當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，代入當(dāng)時(shí)，bmax=3當(dāng)例2：已知實(shí)數(shù)x，y，：滿足x2+y2+z2=9，試求2x+3y一4z的最大值與最小值。解：有柯西不等式得：即故2x+3y-4z的最大值為，最小值為-總結(jié)：利用柯西不等式得到變量的最大值，關(guān)鍵是構(gòu)造一組數(shù)，使不等式中的不等式轉(zhuǎn)化為柯西不等式的形式，不等式最終可以通過收縮的方式變成常數(shù)。第二，要注意同一時(shí)間是否可以建立相等的數(shù)字。這是一個(gè)容易出錯(cuò)的地方。3.2利用柯西不等式證明不等式例3設(shè)x，y，z∈R+，滿足x+y+z=1，試證：證明：由柯西不等式知：又因?yàn)閤+y+z=1所以故原不等式成立。例4：設(shè)a，b為非負(fù)數(shù)且a+b=1，x，y∈R+，求證：(ax+by}(bx+ay）≥xy證明：（ax+by）（bx+ay）=（ax+by）（ay+bx）≥（a+b）2=[（a+b）]2又因?yàn)閍+b=1，所以(ax+by}(bx+ay）≥xy故原不等式成立?？偨Y(jié)：利用柯西不等式的方法如聰明一些不等式刪除常數(shù)，提姆，改變配方結(jié)構(gòu)的柯西不等式，或重新安排一些位置，如4對(duì)這種方法的使用情況。根據(jù)具體主題選擇不同的方法，使問題更容易解決。3.3利用柯西不等式解方程組由柯西不等式解這個(gè)方程，首先是柯西不等式方程的應(yīng)用包含無理不等式的類型，然后結(jié)合原方程不等式方程，利用柯西不等式的等式條件平等的決心，與原方程同解但無理方程更簡單，從而得到該方程的解。3.4利用柯西不等式解三角問題例5△ABC的三邊長分別為a，b，c，其外接圓半徑為R，求證分析：由題中的變量知，能聯(lián)系邊長三角形正弦值的定理是正弦定理，若將題中的三邊a，b，。分別用2RsinA，2RsinB，2RsinC替換，這時(shí)不等式左邊就類似于柯西不等式的左邊形式。證明：由三角形正弦定理可得a2=4R2sin2A，b2=4R2sin2B，c2=4R2sin2C所以≥（2R+2R+2R）2=36R2故原不等式成立。總結(jié)：對(duì)于三角問題，有時(shí)沒有條件來應(yīng)用柯西不等式。通常，我們引入一些參數(shù)來解決已知函數(shù)、三角函數(shù)或柯西不等式等式條件的問題。3.5柯西不等式在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的應(yīng)用總的來說，競(jìng)爭問題相當(dāng)復(fù)雜。這可能與表面上的柯西不等式無關(guān)。變形后可以用柯西不等式求解。因此，競(jìng)爭的難點(diǎn)是如何變形，然后使用柯西不等式。在這種情況下，我們需要平時(shí)獲得的經(jīng)驗(yàn)，通過觀察、猜測(cè)、推理等方法來解決問題。3.6在教學(xué)中應(yīng)注意的問題柯西不等式是新課程標(biāo)準(zhǔn)中的一個(gè)新內(nèi)容。從上述例子中可以看出，柯西不等式的重要性是可以實(shí)現(xiàn)的。在北京師范大學(xué)的選修教材中，第二章是柯西不等式的第一、第二形式，其次是柯西不等式的一般形式。這個(gè)過程是從一個(gè)特殊的過程到一個(gè)一般的類比過程。在教科書中，我們首先給出柯西不等式的二維形式。其次，從柯西不等式的二維形式到一般形式，其次利用平面向量法證明了不等式的成立，引出了柯西不等式的向量形式。這是本課的重點(diǎn)，使學(xué)生能從特殊到一般的類比數(shù)學(xué)思想中學(xué)習(xí)，增強(qiáng)認(rèn)識(shí)的直覺性。通過本章的學(xué)習(xí)，不僅掌握了柯西不等式，更重要的是要提高學(xué)生運(yùn)用基本數(shù)學(xué)知識(shí)推理和數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，發(fā)現(xiàn)深之間的數(shù)學(xué)的內(nèi)在關(guān)系證明，把握事物發(fā)展的規(guī)律，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。在教學(xué)過程中，教師要把握好每門課的重點(diǎn)、難點(diǎn)和教學(xué)目標(biāo)，提高教學(xué)質(zhì)量。在這節(jié)課中，教學(xué)目標(biāo)，通過對(duì)柯西的不平等的認(rèn)識(shí)，從二維形式和載體形式的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)類比推理的一般過程，然后可以用柯西不等式解決相關(guān)問題，重點(diǎn)是理解和掌握柯西不等式的推導(dǎo)，柯西不等式是困難的應(yīng)用。在教學(xué)過程中，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)豐富的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，積極探索。在給出柯西不等式的二維形式和向量形式后，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生使學(xué)生猜測(cè)柯西不等式的一般形式。只有讓學(xué)生感受到知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展，才能更好地把握和利用柯西不等式。當(dāng)學(xué)生共同獲得一般類型時(shí)，教師可以對(duì)柯西不等式結(jié)構(gòu)進(jìn)行一般形式的分析，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)稱性的一般結(jié)構(gòu)，這種方法可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)這一公式的記憶能力，并熟練應(yīng)用。在解決問題的過程中，不容易產(chǎn)生內(nèi)存錯(cuò)誤。然后老師可以舉一個(gè)簡單的例子。具體分析后，讓學(xué)生自己解決問題，增強(qiáng)學(xué)生的求知欲，感受成功解決問題的樂趣。4排序不等式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用4.1利用排序不等式證明不等式例6已知a，b，c∈R+，證明分析：首先根據(jù)題目選取兩組有序?qū)崝?shù)，我們不妨設(shè)a≥b≥c＞0，則且然后利用排序不等式證明原不等式。證明：不妨設(shè)a≥b≥c＞0，則且由排序不等式得同樣兩式相加得故原不等式成立。例7己知a，b，c∈R+且滿足a+b+c=1，證明：3(a2+b2+c2)+2≤27(a3+b3+c3)分析：首先選取兩組有序?qū)崝?shù)，不妨設(shè)a≥b≥c＞0，則a2≥b2≥c2，然后利用排序不等式證明該不等式。證明：不妨設(shè)a≥b≥c＞0，則a2≥b2≥c2所以a3+b3+c3≥ca2+ab2+bc2同樣a3+b3+c3≥ba2+ab2+ac2所以2(a3+b3+c3)≥ba2+ab2+ac2+ca2+ab2+bc23(a3+b3+c3)≥ba2+ab2+ac2+ca2+ab2+bc2+a3+b3+c3=（a+b+c）(a2+b2+c2)=a2+b2+c2由于a+b+c=1所以3(a2+b2+c2)+2=3(a2+b2+c2)+2（a+b+c）2≤3(a2+b2+c2)+2X3(a2+b2+c2)=9(a2+b2+c2)小于等于27(a3+b3+c3)故原不等式成立?？偨Y(jié)：對(duì)于以上兩道例題，我們使用的方法是反復(fù)應(yīng)用以及聯(lián)合使用。對(duì)于一道題目可以反復(fù)的使用排序不等式，也可以聯(lián)合其他不等式一起來解決問題。4.2利用排序不等式解三角問題對(duì)于任意的△ABC，若三邊a≥b≥c，則三角A≥B≥C，三角函數(shù)sinA≥sinB≥sinC，三條高h(yuǎn)a≥hb≥hc，這些都是應(yīng)用排序不等式的良好基礎(chǔ)。4.3排序不等式在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的應(yīng)用對(duì)于一道復(fù)雜的有關(guān)排序不等式的競(jìng)賽題，要結(jié)合其他重要不等式，通過換元，反復(fù)利用排序不等式等技巧靈活解決問題。4.4教學(xué)中應(yīng)注意的問題在教學(xué)中，教師講給學(xué)生的第一道例題非常重要，一定要認(rèn)清題目找出題目所隱含的關(guān)鍵點(diǎn)，透過現(xiàn)象看本質(zhì)。若教師講解的不到位，學(xué)生的理解就會(huì)有偏差，容易混淆問題。而利用排序不等式解決問題首先最關(guān)鍵的一步是選取兩組有序?qū)崝?shù)，而“有序”體現(xiàn)在兩方面。第一方面知道這兩組數(shù)的大小關(guān)系，例如：小明要去超市購買價(jià)格不同的鉛筆3支，作業(yè)本5本，橡皮擦6塊，這些文具的單價(jià)有1元，2元，3元的，問怎樣花錢最少，怎樣花錢最多?很顯然，利用排序不等式，花錢最少的為逆序和3x3+5x2+6x1=25元，花錢最多的為順序和3x1+5x2+6x3=31元，這就是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，也是排序不等式最簡單的應(yīng)用。另一方面不知道這兩組數(shù)的大小關(guān)系。那么對(duì)于這種情況，該怎樣利用排序不等式解決問題?下面給出三種概念：對(duì)稱式：一個(gè)多元多項(xiàng)式，如果把其中任何三種元交換，所得的結(jié)果都與原式相同，則稱此多項(xiàng)式是對(duì)稱式。輪換對(duì)稱式：如果一個(gè)多項(xiàng)式中的變量按照任何次序輪換后，原多項(xiàng)式不變，那么稱該多項(xiàng)式是輪換多項(xiàng)式(簡稱輪換式)。在例6中不等式的左端為，右端這三種式子均為輪換對(duì)稱式，同樣對(duì)于例7中不等式兩端的式子都是輪換對(duì)稱式，這就會(huì)混淆學(xué)生的判斷力，認(rèn)為只要是關(guān)于輪換對(duì)稱式的不等式都可以先假設(shè)各變量之間的大小關(guān)系，再利用排序不等式解決問題。其實(shí)不是這樣的，只有對(duì)稱式才可以首先假設(shè)各變量之間的大小關(guān)系，例6和例7之所以能假設(shè)各變量之間的大小關(guān)系，是因?yàn)槠渲械妮啌Q對(duì)稱式的本質(zhì)也是對(duì)稱式。例6設(shè)a，b，c>0，求證分析：學(xué)生們初看這道題，可能會(huì)直接假設(shè)a，b，c的大小關(guān)系，這樣的做法是錯(cuò)誤的，因?yàn)樵谶@個(gè)不等式中左邊的式子是輪換對(duì)稱式，但它不是對(duì)稱式，所以不能直接假設(shè)a，b，c的大小關(guān)系，正確的做法應(yīng)先對(duì)上式作變形，再利用排序不等式證明?？偨Y(jié)：只有對(duì)稱性可以首先假設(shè)變量之間的尺寸關(guān)系，但并非所有對(duì)稱表達(dá)式都可以通過排序不等式來證明。一些旋轉(zhuǎn)對(duì)稱可以通過排序不等式來證明，因?yàn)楸举|(zhì)是對(duì)稱的。在教學(xué)過程中，雖然這不是整個(gè)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，但也要明確，這也是解決問題的關(guān)鍵。其次，要利用排序不等式來解決問題，而改變?cè)?、重用等關(guān)鍵技術(shù)都是教師應(yīng)重視的問題。5貝努利不等式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用5.1在高次不等式中的應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)中，轉(zhuǎn)換和轉(zhuǎn)化思想有著非常突出的地位。數(shù)學(xué)家波利亞曾強(qiáng)調(diào)：“不斷改變問題，解決問題的過程實(shí)質(zhì)上是“轉(zhuǎn)變”和“問題”的過程。轉(zhuǎn)換與轉(zhuǎn)化的思維方法是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本的思維方法。其原理是將困難或不易理解的問題轉(zhuǎn)化為更為方便的解決方案，已知或已知的問題，并將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題。研究貝努利不等式的形式，我們發(fā)現(xiàn)貝努利不等式通常是高和低的，高階問題被降到一個(gè)低階問題，這對(duì)于求解高階問題是非常方便的。貝努利不等式是高階問題轉(zhuǎn)化為低階問題的橋梁。因此，當(dāng)我們遇到高階不等式的證明問題時(shí)，我們可以把貝努利不等式轉(zhuǎn)化為我們非常清楚的低度不等式，以解決問題。貝努利不等式的3個(gè)推論是巧妙地把分?jǐn)?shù)整體問題，推論4根治問題的自適應(yīng)問題。貝努利不等式不僅體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的轉(zhuǎn)換和轉(zhuǎn)化的美，而且促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。5.2在函數(shù)中的應(yīng)用貝努利不等式是高中數(shù)學(xué)新課程的內(nèi)容，有些高考直接不考察不等式測(cè)試背景，證明不等式，而是從主體部分試題是學(xué)習(xí)功能，它本質(zhì)上是貝努利不等式的研究應(yīng)該使用。5.3在數(shù)列中的應(yīng)用不平等和序列知識(shí)的綜合問題，大多數(shù)屬于較困難的問題，常用的序列知識(shí)建立不等式模型，是一個(gè)知識(shí)、方法、思想為一體的綜合學(xué)科，提出了更高的要求，對(duì)學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)，學(xué)生需要清晰的思維，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)某绦?，可以靈活的測(cè)試不能夠做到，但是在知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用在交叉口的主要數(shù)學(xué)思想方法。5.4在求最值中的應(yīng)用辯證思維是哲學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容。辯證思維最初是一種邏輯論證的形式，包括思維、自然和歷史三種領(lǐng)域的哲學(xué)概括，辯證思維引導(dǎo)我們認(rèn)識(shí)世界，改造世界。對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)問題解決具有重要的指導(dǎo)意義。我們從觀察貝努利不等式公式結(jié)構(gòu)入手，注意它是一個(gè)等式條件，不等式和等式是對(duì)立統(tǒng)一的?？梢钥闯觯惻坏仁胶娃q證思維的結(jié)合，可以使我們有一個(gè)解決問題的新思路。6不等式的教育價(jià)值及教學(xué)方法6.1不等式的教育價(jià)值6.1.1體會(huì)數(shù)學(xué)的美感從古代到現(xiàn)在，大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥，枯燥，而且是一門更難的學(xué)科。因?yàn)橛写罅康墓?，這個(gè)定理將被巧妙地運(yùn)用。作為無知，數(shù)學(xué)也可以體驗(yàn)美。數(shù)學(xué)美是自然美的客觀反映，是科學(xué)美的核心。簡言之，數(shù)學(xué)之美是數(shù)學(xué)之美與令人愉悅之美。歷史上許多學(xué)者和數(shù)學(xué)家從不同側(cè)面對(duì)數(shù)學(xué)美進(jìn)行了生動(dòng)的描述。ApeloaKlass說：“哪里是最早的數(shù)學(xué)，哪里就有美?！眮喞锸慷嗟乱舱f，“雖然是數(shù)學(xué)中的善美沒有明顯的參考，善與美不能從數(shù)學(xué)完全分離。因?yàn)槊赖闹饕问绞恰爸刃?、?duì)稱和確定性”，這些都是數(shù)學(xué)研究的原則。本文介紹的三種不等式在結(jié)構(gòu)上是對(duì)稱的?？挛鞑坏仁剑核部梢杂靡痪湓捳f明：平方和的乘積大于等于乘積和的平方。此形式兩邊和諧、對(duì)稱，所以方便記憶，在做題的過程中，不容易出現(xiàn)記憶偏差的現(xiàn)象。排序不等式：a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn≥a1bi+a2bi+a3bi+…+anbi≥a1bn+a2bn-1+a3bn-3+…+anb1順序和亂序和逆序和當(dāng)學(xué)生看到這個(gè)公式，順序之和大于等于亂序之和大于等于逆序之和，結(jié)構(gòu)非常清晰、明了，很容易記憶。從這三種式子我們可以體會(huì)到數(shù)學(xué)之美，也不感到數(shù)學(xué)的枯燥乏味。所以在教學(xué)中，教師一定要培養(yǎng)自己發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美的能力，從而傳授于學(xué)生，使得數(shù)學(xué)中的公式，定理等像語言一樣優(yōu)美，6.1.2體會(huì)數(shù)學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思維實(shí)際上是指一種通用的思維方法。這種思維方法是在歸納和總結(jié)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，提出邏輯推理能力的方法和規(guī)則。這種思維主要是事物與外部空間數(shù)量關(guān)系的抽象概括。在思維范疇中，專家們把思維分為三類：直覺思維、形象思維和邏輯思維。在這三種思維中，直覺思維是人在學(xué)習(xí)過程中形成的一種敏感判斷。形象思維是通過特定現(xiàn)象感知的思想。邏輯思維是以某種事物的邏輯層次規(guī)律為基礎(chǔ)的一種思維活動(dòng)。就數(shù)學(xué)教學(xué)而言，邏輯思維的應(yīng)用是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的歸納、分析和推導(dǎo)。就學(xué)科特點(diǎn)而言，高中數(shù)學(xué)學(xué)科不同于語文學(xué)科，這是非常抽象的，但它的邏輯是非常突出，由于其本身的抽象性。其中，不平等知識(shí)就是其中之一。在教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維，特別是邏輯思維的運(yùn)用，必將有助于提高教學(xué)效率。在實(shí)際的高中不等式教學(xué)中，廣泛應(yīng)用數(shù)學(xué)思維不僅能有效地促進(jìn)學(xué)生的綜合能力，而且有助于高中生理解不平等現(xiàn)象，提高他們的創(chuàng)造力。此外，由于數(shù)學(xué)來源于生活，與生活密切相關(guān)，因此，如果教師在教學(xué)過程中把不等式理論與實(shí)踐結(jié)合起來，教學(xué)效果就會(huì)更好。（1）構(gòu)造法施工方法是指當(dāng)很難從正面解決一些問題，應(yīng)根據(jù)設(shè)定的條件和結(jié)論的本質(zhì)問題，從一個(gè)新的視角，從新的角度來觀察和分析問題，牢牢把握問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用數(shù)據(jù)形狀特征，使用的條件稱為原料，已知的數(shù)學(xué)關(guān)系和理論為工具的思維建構(gòu)數(shù)學(xué)對(duì)象的使用，條件和結(jié)論與自然隱含在原始問題清楚在新構(gòu)建的數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)方法對(duì)象方便。解決數(shù)學(xué)問題。三種不等式在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中起著重要作用。上述實(shí)例所采用的技術(shù)和方法有不斷、熟練的拆裝、施工等?？挛鞑坏仁降年P(guān)鍵應(yīng)用程序的一組數(shù)的建設(shè)，使其朝著柯西不等式轉(zhuǎn)化，排序不等式首先驗(yàn)證不等式公式應(yīng)用的兩側(cè)是對(duì)稱的，只有對(duì)稱，構(gòu)建兩套數(shù)字，假設(shè)變量之間的關(guān)系的大小。（2）化歸思想它既是解決問題的重要思想，又是數(shù)學(xué)思維的有效途徑。轉(zhuǎn)換的方法是通過解決問題的方法和技巧來解決問題。一般來說，復(fù)雜的問題總是轉(zhuǎn)化為容易的問題。文中介紹的例子，從柯西不等式的曲面應(yīng)用出發(fā)，不能解決這個(gè)問題。但是，重新安排后兩部分的位置，我們可以利用它們使問題的難度大大降低，讓人們?cè)诶杳髑翱辞?。同樣的，例如，如果問題肯定不是通過排序不等式來解決的，因?yàn)樗皇菍?duì)稱的，但變形公式是對(duì)稱的，在不等式的兩邊，此時(shí)，你可以用排序不等式，而且方法非常簡單，一目了然。（3）聯(lián)想思想聯(lián)想思維是從當(dāng)前事物的特征中回憶出來的一種思維現(xiàn)象，與當(dāng)前事物有著共同的特點(diǎn)。這個(gè)想法適用于任何學(xué)科，尤其是數(shù)學(xué)。應(yīng)用聯(lián)想思維可以把已知知識(shí)與未知知識(shí)和舊知識(shí)聯(lián)系起來。它在整個(gè)知識(shí)系統(tǒng)中起著非常重要的作用。對(duì)于一個(gè)主題，如果我們不知道如何解決它，我們可以猜測(cè)和聯(lián)想是否可以使用柯西不等式或排序不等式。進(jìn)一步驗(yàn)證了該方法是可行的，解決了自然問題。問題的經(jīng)驗(yàn)是通過投機(jī)、聯(lián)想、驗(yàn)證慢慢積累起來的。（4）類比思想類比的思想是利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，將陌生的、陌生的問題與已解決的熟悉的問題或相似的事物進(jìn)行比較，從而創(chuàng)造性地解決問題。只有對(duì)學(xué)生的知識(shí)、過程進(jìn)行類比、類比，有利于學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，感受到知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，這種思維方式對(duì)于新課程的學(xué)習(xí)，都有很大的幫助，解決相關(guān)問題。在柯西不等式的研究中，主要有兩方面的內(nèi)容：一是利用二維形式的類比，首先給出柯西不等式，然后用平面向量的方法來證明這種不等式，從而使柯西不等式的類比向量形式；第二，從模擬二維形式出發(fā)，給出柯西不等式的一般形式。這三種類比都很重要，增強(qiáng)了學(xué)生自主探究的愿望。6.2教學(xué)方法目前，對(duì)柯西不等式的研究越來越成熟，但也有許多地方有待研究?？挛鞑坏仁降牡葍r(jià)符號(hào)條件仍然是忽略的一部分。在查閱文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，我們發(fā)現(xiàn)大多數(shù)研究都集中在柯西不等式在不等式關(guān)系結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用，但對(duì)等式建立條件的研究卻很少，特別是在等式和等式方面。柯西不等式是高中教材新引進(jìn)的內(nèi)容?，F(xiàn)階段的研究多集中在解決柯西不等式問題的技巧上，挖掘其在教科書中的意義。以上兩點(diǎn)是我們經(jīng)常忽視的問題，而目前，高校招生考試大綱沒有把柯西不等式作為一項(xiàng)強(qiáng)制性內(nèi)容，但隨著高等教育入學(xué)權(quán)的下放，柯西不等式的未來還是會(huì)受到人們前所未有的重視。為此，我們應(yīng)該從發(fā)展的角度看柯西不等式的應(yīng)用。當(dāng)然，還有證據(jù)法、解決方法和教學(xué)方法等。7總結(jié)三本文在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，研究分為三種方面：首先介紹了三種推理，和各種的變形和證明方法的推廣；對(duì)三種解決各種問題的方法第三種方面的問題，應(yīng)用二方面；根據(jù)三種不同的應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐。作為近幾年引進(jìn)的新教材之一，通過對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)的回顧，筆者發(fā)現(xiàn)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)少數(shù)人的教育價(jià)值的研究，如引入教材內(nèi)容，體現(xiàn)在思想政治教育中的教學(xué)中，則體現(xiàn)在對(duì)思想政治課教學(xué)的研究上，如對(duì)教材內(nèi)容的介紹、對(duì)思想政治課教學(xué)內(nèi)容的介紹等，如對(duì)思想政治課教學(xué)內(nèi)容的介紹，如對(duì)思想政治課教學(xué)內(nèi)容的介紹等。為此，在第三章中，我們收集了大量的數(shù)據(jù)，分析了如何在高考和競(jìng)賽試題中應(yīng)用三種題型，并運(yùn)用三種題型來解決分類問題