蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)題型突破提高類型十二、反比例函數(shù)與矩形結(jié)合(原卷版+解析)

類型十二、反比例函數(shù)與矩形結(jié)合【解惑】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C，A分別為軸、軸正半軸上的點(diǎn)，以為邊，在第一象限內(nèi)作矩形，且，將矩形翻折，使點(diǎn)與原點(diǎn)重合，折痕為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第四象限，過點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖像恰好過的中點(diǎn)，則的長為______．

方法：1.連接，交于點(diǎn)Q，首先證明點(diǎn)Q是的中點(diǎn)；2.根據(jù)折疊可得Q是中點(diǎn)，，設(shè)，則,；3.再由在上可得，求得；4.再在中根據(jù)勾股定理求出即可求出、的值，進(jìn)而求出、的坐標(biāo)；5.最后求出的長．【融會(huì)貫通】1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)圖像上，縱坐標(biāo)分別為1，4，則k的值為（

）A． B． C． D．2．如圖，矩形的頂點(diǎn)A、B分別在反比例函數(shù)與的圖像上，點(diǎn)C、D在x軸上，分別交y軸于點(diǎn)E、F，則陰影部分的面積等于（

）A． B．2 C． D．3.如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線上，軸，分別過點(diǎn)A，B向軸作垂線，垂足分別為D，C，若矩形的面積是5，則k的值為______．【知不足】1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的對(duì)角線OB、AC相交于點(diǎn)D，且，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，若，，則值是（

）A． B．15 C． D．122．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，我們把點(diǎn)稱為點(diǎn)的“倒數(shù)點(diǎn)”．如圖，矩形的頂點(diǎn)為，頂點(diǎn)在軸上，函數(shù)的圖像與交于點(diǎn)．若點(diǎn)是點(diǎn)的“倒數(shù)點(diǎn)”，且點(diǎn)在矩形的一邊上，則的面積為（

）A． B． C． D．3．如圖，點(diǎn)為矩形的邊的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，若的面積為，則______．4．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OC，OA分別在x軸和y軸上，反比例函數(shù)的圖象與AB，BC分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，若矩形對(duì)角線的交點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象上，且EDOB，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是_______．【一覽眾山小】1．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形的頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，過的中點(diǎn)作矩形，使頂點(diǎn)落在反比例函數(shù)的圖象上，再過的中點(diǎn)作矩形，使頂點(diǎn)落在反比例函數(shù)的圖象上，…，依此規(guī)律可得：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為______（2）作出矩形時(shí)，落在反比例函數(shù)圖象上的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為_____．2．如圖，矩形頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．(1)若反比例函數(shù)與的圖像過點(diǎn)D，則k＝．(2)若反比例函數(shù)與矩形的邊、分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，且的面積是，則反比例函數(shù)的表達(dá)式為．(3)若反比例函數(shù)的圖像將矩形邊界上橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)恰好等分成了兩組，使兩組點(diǎn)分別在雙曲線兩側(cè)，則k的取值范圍是．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為矩形，點(diǎn)C、A分別在x軸和y軸的正半軸上，點(diǎn)D為的中點(diǎn)．一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C、D，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，求k的值．4．如圖，已知正方形的面積為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在函數(shù)，圖象上，點(diǎn)是函數(shù)，圖象上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作軸、軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)、．設(shè)矩形和正方形不重合部分的面積為．(1)點(diǎn)的坐標(biāo)是，；(2)當(dāng)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)（x＞0）的圖象與矩形的邊分別交于點(diǎn)，且M為的中點(diǎn)，點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的解析式．(2)求的面積．【溫故為師】1．如圖（1），已知，矩形的邊，對(duì)角線長為5，將矩形置于直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，且反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)分支位于第一象限．(1)求圖（1）中，點(diǎn)的坐標(biāo)是多少？(2)若矩形從圖（1）的位置開始沿軸的正方向移動(dòng)，每秒移動(dòng)1個(gè)單位，1秒后，點(diǎn)剛好落在反比例函數(shù)的圖象上，如圖（2），求反比例函數(shù)的表達(dá)式．(3)矩形繼續(xù)向軸的正方向移動(dòng)，、與反比例函數(shù)圖象分別交于、兩點(diǎn)，如圖（3），設(shè)移動(dòng)總時(shí)間為（），分別求出的面積、的面積與的函數(shù)關(guān)系式．(4)在（3）的情況下，當(dāng)為何值時(shí)，，請(qǐng)直接寫出答案．2．如圖，矩形的邊分別與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)D、E，與相交于點(diǎn)F．(1)若點(diǎn)B的坐標(biāo)為，求點(diǎn)D、E、F的坐標(biāo)；(2)求證：點(diǎn)F是的中點(diǎn)．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖像上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，3），設(shè)AB所在直線解析式為．(1)求反比例和一次函數(shù)解析式．(2)若將菱形ABCD沿x軸正方向平移m個(gè)單位，在平移中若反比例函數(shù)圖像與菱形的邊AD始終有交點(diǎn)，求m的取值范圍．(3)在直線AB上是否存在M、N兩點(diǎn)，使以MNOD四點(diǎn)的四邊形構(gòu)成矩形？若不存在，請(qǐng)說明理由，若存在直接求出M、N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方）兩點(diǎn)的坐標(biāo)．4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知反比例函數(shù)的圖像與正比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)A、點(diǎn)C，與正比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)B、點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)A、D的橫坐標(biāo)分別為s，t()．(1)如圖1，若點(diǎn)A坐標(biāo)為(2，4)．①求m，k的值；②若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，連接AD，求△AOD的面積．(2)如圖2，依次連接AB，BC，CD，DA，若四邊形ABCD為矩形，求mn的值．(3)如圖3，過點(diǎn)A作軸交CD于點(diǎn)E，以AE為一邊向右側(cè)作矩形AEFG，若點(diǎn)D在邊GF上，試判斷點(diǎn)D是否為線段GF的中點(diǎn)？并說明理由．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），若反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過線段OC的中點(diǎn)A，交DC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．設(shè)直線EF的解析式為y=k2x+b．(1)求反比例函數(shù)和直線EF的解析式；(2)求△OEF的面積；(3)請(qǐng)直接寫出不等式k2x+b﹣＜0的解集．6．定義：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的矩形若滿足以下兩個(gè)條件：①各邊平行于坐標(biāo)軸：②有兩個(gè)頂點(diǎn)在同一反比例函數(shù)圖像上，我們把這個(gè)矩形稱為該反比例函數(shù)的“伴隨矩形”．例如，圖1中，矩形ABCD的邊ADBCx軸，ABCDy軸，且頂點(diǎn)A、C在反比例函數(shù)（k≠0）的圖像上，則矩形ABCD是反比例函數(shù)的“伴隨矩形”．解決問題：(1)已知，矩形ABCD中，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為：①A（﹣3，8），C（6，﹣4）；②A（1，5），C（2，3）；③A（3，4），C（2，6），其中可能是某反比例函數(shù)的“伴隨矩形”的是______；（填序號(hào)）(2)如圖1，點(diǎn)B（2，1.5）是某比例系數(shù)為8的反比例函數(shù)的“伴隨矩形”ABCD的頂點(diǎn)，求直線BD的函數(shù)解析式；(3)若反比例函數(shù)“伴隨矩形”ABCD如圖2所示，試說明有一條對(duì)角線所在的直線一定經(jīng)過原點(diǎn)．7．反比例函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)為、，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．(1)如圖1，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)是反比例函數(shù)（）上一點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接，、，若四邊形是矩形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖3，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，以為邊向線段右側(cè)作等邊，若點(diǎn)在第四象限且到軸的距離是，求點(diǎn)的坐標(biāo)．類型十二、反比例函數(shù)與矩形結(jié)合【解惑】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C，A分別為軸、軸正半軸上的點(diǎn)，以為邊，在第一象限內(nèi)作矩形，且，將矩形翻折，使點(diǎn)與原點(diǎn)重合，折痕為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第四象限，過點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖像恰好過的中點(diǎn)，則的長為______．

方法：1.連接，交于點(diǎn)Q，首先證明點(diǎn)Q是的中點(diǎn)；2.根據(jù)折疊可得Q是中點(diǎn)，，設(shè)，則,；3.再由在上可得，求得；4.再在中根據(jù)勾股定理求出即可求出、的值，進(jìn)而求出、的坐標(biāo)；5.最后求出的長．【融會(huì)貫通】1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)圖像上，縱坐標(biāo)分別為1，4，則k的值為（

）A． B． C． D．【答案】C2．如圖，矩形的頂點(diǎn)A、B分別在反比例函數(shù)與的圖像上，點(diǎn)C、D在x軸上，分別交y軸于點(diǎn)E、F，則陰影部分的面積等于（

）A． B．2 C． D．【答案】D3.如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線上，軸，分別過點(diǎn)A，B向軸作垂線，垂足分別為D，C，若矩形的面積是5，則k的值為______．【答案】2【詳解】過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)，∵點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在雙曲線上，∴矩形的面積為：，矩形的面積為：7，∵矩形的面積是5，∴，解得：．【知不足】1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的對(duì)角線OB、AC相交于點(diǎn)D，且，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，若，，則值是（

）A． B．15 C． D．12【答案】A【詳解】解：∵BE∥AC，AE∥OB，∴四邊形AEBD是平行四邊形，∵四邊形OABC是矩形，OA=5，OC=3，∴DA=AC，DB=OB，AC=OB，AB=OC=3，∴DA=DB，∴四邊形AEBD是菱形；連接DE，交AB于F，如圖所示：∵四邊形AEBD是菱形，∴AB與DE互相垂直平分，∵OA=5，OC=3，∴EF=DF=OA=，AF=AB=，5+=，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為：（，）．∵反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，∴k=，2．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，我們把點(diǎn)稱為點(diǎn)的“倒數(shù)點(diǎn)”．如圖，矩形的頂點(diǎn)為，頂點(diǎn)在軸上，函數(shù)的圖像與交于點(diǎn)．若點(diǎn)是點(diǎn)的“倒數(shù)點(diǎn)”，且點(diǎn)在矩形的一邊上，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為，∵B是點(diǎn)A的“倒數(shù)點(diǎn)”∴點(diǎn)B坐標(biāo)為，∵點(diǎn)B的縱坐標(biāo)滿足，∴點(diǎn)B在某個(gè)反比例函數(shù)上，∴點(diǎn)B不可能在OE，OC上，分兩種情況討論：點(diǎn)B在ED上，由ED//x軸，∴點(diǎn)B點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相等，即，∴∴B的縱坐標(biāo)為1，此時(shí)；點(diǎn)B在DC上，得點(diǎn)B橫坐標(biāo)為3，即，∴點(diǎn)B縱坐標(biāo)為：，∴．3．如圖，點(diǎn)為矩形的邊的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，若的面積為，則______．【答案】【詳解】解：設(shè)，則，∴，∴，∵的面積為，∴，∴，∴，4．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OC，OA分別在x軸和y軸上，反比例函數(shù)的圖象與AB，BC分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，若矩形對(duì)角線的交點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象上，且EDOB，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是_______．【答案】(2，4)【詳解】解：連接OE，∵反比例函數(shù)的圖象與AB、BC分別交于點(diǎn)E、F，∴，，設(shè)D(m，n)∵矩形對(duì)角線的交點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，∴mn=，n=，∵矩形OABC的邊OC，OA分別在x軸和y軸上，∴B(2m，2n)∴A=2n，AB=2m，∴，∴AE=，∴BE，E(，)，∴OA=，∵OD=BD，EDOB，∴OE=BE=，在RtAOE中，，∴整理得∵m0，∴m=4，∴E(2，4)，【一覽眾山小】1．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形的頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，過的中點(diǎn)作矩形，使頂點(diǎn)落在反比例函數(shù)的圖象上，再過的中點(diǎn)作矩形，使頂點(diǎn)落在反比例函數(shù)的圖象上，…，依此規(guī)律可得：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為______（2）作出矩形時(shí)，落在反比例函數(shù)圖象上的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為_____．【答案】

，【詳解】解：（1）∵正方形OAP1B的邊長為1，點(diǎn)P1在反比例函數(shù)（x＞0）的圖象上，∴P1（1，1），∴k=1，∴反比例函數(shù)的解析式為：，∵B1是P1A的中點(diǎn)，∴P2A1=AB1=，∴OA1=2，2．如圖，矩形頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．(1)若反比例函數(shù)與的圖像過點(diǎn)D，則k＝．(2)若反比例函數(shù)與矩形的邊、分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，且的面積是，則反比例函數(shù)的表達(dá)式為．(3)若反比例函數(shù)的圖像將矩形邊界上橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)恰好等分成了兩組，使兩組點(diǎn)分別在雙曲線兩側(cè)，則k的取值范圍是．【答案】(1)3(2)(3)【詳解】（1）解：由題意可知D點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵反比例函數(shù)與的圖像過點(diǎn)D，∴；（2）解：如圖：設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為，在中，令得，令得，∴，，∵，∴，，∵的面積是，∴，解得或（不符合題意，舍去），∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（3）解：如圖：矩形ABCD邊界上橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)有，，，，，，∵，，，，，，∴反比例函數(shù)（x＞0）的圖像將矩形邊界上橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)恰好等分成了兩組，使兩組點(diǎn)分別在雙曲線兩側(cè)，則，3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為矩形，點(diǎn)C、A分別在x軸和y軸的正半軸上，點(diǎn)D為的中點(diǎn)．一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C、D，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，求k的值．【答案】6【詳解】解：在中，令，則，解得，∴，∴，∴，∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)，∵點(diǎn)D在直線上，∴，∴．4．如圖，已知正方形的面積為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在函數(shù)，圖象上，點(diǎn)是函數(shù)，圖象上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作軸、軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)、．設(shè)矩形和正方形不重合部分的面積為．(1)點(diǎn)的坐標(biāo)是，；(2)當(dāng)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．【答案】(1)，(2)或(3)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【詳解】（1）解：正方形的面積為，，．又點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，．（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，，在函數(shù)上，．，，，；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)或的右側(cè)時(shí)，在函數(shù)上，．，，．．（3）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)，時(shí)，的縱坐標(biāo)是，由題意．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)（x＞0）的圖象與矩形的邊分別交于點(diǎn)，且M為的中點(diǎn)，點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的解析式．(2)求的面積．【答案】(1)y=6x(2)【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，，∴軸，，，∵M(jìn)為的中點(diǎn)，∴M的坐標(biāo)是，把M點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，所以反比例函數(shù)的解析式是；（2）解：將代入中，得，即點(diǎn)N的坐標(biāo)是，∵四邊形是矩形，，，∴，，，，，∴的面積．【溫故為師】1．如圖（1），已知，矩形的邊，對(duì)角線長為5，將矩形置于直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，且反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)分支位于第一象限．(1)求圖（1）中，點(diǎn)的坐標(biāo)是多少？(2)若矩形從圖（1）的位置開始沿軸的正方向移動(dòng)，每秒移動(dòng)1個(gè)單位，1秒后，點(diǎn)剛好落在反比例函數(shù)的圖象上，如圖（2），求反比例函數(shù)的表達(dá)式．(3)矩形繼續(xù)向軸的正方向移動(dòng)，、與反比例函數(shù)圖象分別交于、兩點(diǎn)，如圖（3），設(shè)移動(dòng)總時(shí)間為（），分別求出的面積、的面積與的函數(shù)關(guān)系式．(4)在（3）的情況下，當(dāng)為何值時(shí)，，請(qǐng)直接寫出答案．【答案】(1)(2)(3)；(4)【詳解】（1）解：連接，，，由勾股定理得，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：，1秒后點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入得：，，反比例函數(shù)的解析式為：；（3）解：在雙曲線上時(shí)，，，，秒后的坐標(biāo)是，把代入得：，的坐標(biāo)是，，（4）解：，，解得：或（舍去），當(dāng)時(shí)，．2．如圖，矩形的邊分別與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)D、E，與相交于點(diǎn)F．(1)若點(diǎn)B的坐標(biāo)為，求點(diǎn)D、E、F的坐標(biāo)；(2)求證：點(diǎn)F是的中點(diǎn)．【答案】(1)，，(2)見解析【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：軸，軸，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴D點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，E點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，∵點(diǎn)D、E在反比例函數(shù)的圖象上，∴，，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)代入得：，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立方程組，解得，∴；（2）證明：設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴D點(diǎn)橫坐標(biāo)為a，E點(diǎn)縱坐標(biāo)為b，∵點(diǎn)D、E在反比例函數(shù)的圖象上，∴，，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)代入得：，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立方程組，解得，∴，∵，，∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，∴點(diǎn)F是的中點(diǎn)．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖像上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，3），設(shè)AB所在直線解析式為．(1)求反比例和一次函數(shù)解析式．(2)若將菱形ABCD沿x軸正方向平移m個(gè)單位，在平移中若反比例函數(shù)圖像與菱形的邊AD始終有交點(diǎn)，求m的取值范圍．(3)在直線AB上是否存在M、N兩點(diǎn)，使以MNOD四點(diǎn)的四邊形構(gòu)成矩形？若不存在，請(qǐng)說明理由，若存在直接求出M、N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方）兩點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)0≤m≤(3)點(diǎn)N坐標(biāo)為（，）；點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）（1）解：延長AD交x軸于F，∵四邊形ABCD是菱形，∴OB=OD=AD，AD∥OB，則AF⊥x軸，∵點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，3），∴OF=4，DF=3，∴OD=5，即OB=AD=5，∴A（4，8），B（0，5），∴k=4×8=32，∴反比例函數(shù)的解析式為；將A、B坐標(biāo)代入中，得，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為；（2）解：由題意知，將菱形ABCD沿x軸正方向平移m個(gè)單位，使得點(diǎn)D落在反比例函數(shù)的圖像D′處，∵點(diǎn)D平移后的坐標(biāo)為D′（4+m，3），∴，∴m=，∴滿足條件的m的取值范圍為0≤m≤．（3）解：存在，理由為：如圖，延長AD交x軸于F，過點(diǎn)N作NH⊥y軸于H，則∠NHO=∠OFD=90°，由題意，∠ONB=∠NOD=∠HOF=90°，則∠NOB=∠FOD，又∠ONB=∠OFD=90°，OB=OD，∴△ONB≌△OFD（AAS），∴S△ONB=S△OFD，則，∴NH=，∵點(diǎn)N在直線AB上，∴當(dāng)x=時(shí)，，∴點(diǎn)N坐標(biāo)為（，）；設(shè)M（x，），則x+0=+4，解得：x=，，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知反比例函數(shù)的圖像與正比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)A、點(diǎn)C，與正比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)B、點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)A、D的橫坐標(biāo)分別為s，t()．(1)如圖1，若點(diǎn)A坐標(biāo)為(2，4)．①求m，k的值；②若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，連接AD，求△AOD的面積．(2)如圖2，依次連接AB，BC，CD，DA，若四邊形ABCD為矩形，求mn的值．(3)如圖3，過點(diǎn)A作軸交CD于點(diǎn)E，以AE為一邊向右側(cè)作矩形AEFG，若點(diǎn)D在邊GF上，試判斷點(diǎn)D是否為線段GF的中點(diǎn)？并說明理由．【答案】(1)①，；②6(2)1(3)D為線段GF的中點(diǎn)，理由見解析【詳解】（1）解：①∵點(diǎn)A(2，4)在上，∴，；∵點(diǎn)A(2,4)在上，∴，②∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，∴當(dāng)時(shí)，，∴D(4,2)分別過點(diǎn)A、D作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)H、K，∵，，∴；（2）解：∵直線AC，BD經(jīng)過原點(diǎn)且與反比例函數(shù)分別交于點(diǎn)A，C，B，D，反比例函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，∴點(diǎn)A，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)B、D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴，，∴四邊形ABCD為平行四邊形．當(dāng)時(shí)，四邊形ABCD是矩形．∵點(diǎn)A，D的橫坐標(biāo)分別為s，t()，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(s,)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(t,)，∴，∴，∴，∴∴，∴∴又∵A(s,)在上，∴，∴D(t，在上，∴，∴．（3）解：由(2)知，，，則設(shè)CD的表達(dá)式為，解得，∴CD的表達(dá)式為，∵軸交CD于點(diǎn)E，∴當(dāng)時(shí)，∴E(s，)，∵四邊形AEFG是矩形∴∴，∴∴D為線段GF的中點(diǎn)．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），若反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過線段OC的中點(diǎn)A，交DC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．設(shè)直線EF的解析式為y=k2x+b．(1)求反比例函數(shù)和直線EF的解析式；(2)求△OEF的面積；(3)請(qǐng)直接寫出不等式k2x+b﹣＜0的解集．【答案】(1)直線EF的解析式為y=-x+5(2)(3)或x>6（1）∵四邊形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（6，4），∵點(diǎn)A為線段OC的中點(diǎn)，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），∴k1=3×2=6，∴反比例函數(shù)解析式為y=；把x=6代入y=，得y=1，則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，1），把y=4代入y=，得x=，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（，4），把F、E的坐標(biāo)代入y=k2x+b得，解得，∴直線EF的解析式為y=-x+5；（2）的面積=S矩形BCDO-S△ODE-S△OBF-S△CEF==．（3）結(jié)合函數(shù)圖象，寫出直線在反比例函數(shù)圖象下方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍，即可得到不等式k2x＋b－<0的解，因?yàn)镋點(diǎn)坐標(biāo)為（，4），F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，1），則k2x＋b－<0解是：或x>6．6．定義：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的矩形若滿足以下兩個(gè)條件：①各邊平行于坐標(biāo)軸：②有兩個(gè)頂點(diǎn)在同一反比例函數(shù)圖像上，我們把這個(gè)矩形稱為該