經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程-微積分課件：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（下）

第七節(jié)最大值與最小值問(wèn)題在實(shí)際應(yīng)用中，常常要求諸如成本最少、用料最省、容量最大、效率最高、利潤(rùn)最大等等問(wèn)題.這些問(wèn)題在數(shù)學(xué)上歸結(jié)為求某一函數(shù)（在應(yīng)用中此函數(shù)習(xí)慣上稱為目標(biāo)函數(shù)）的最大值或最小值問(wèn)題．一、函數(shù)的最大值與最小值

函數(shù)的最大值與最小值通稱為函數(shù)的最值。設(shè)函數(shù)是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在閉區(qū)間上一定存在最大值和最小值.

1，什么是函數(shù)的最值？

2，函數(shù)有沒(méi)有最值？若要求出函數(shù)的最大值與最小值，從比較所有的函數(shù)值求得最值是不現(xiàn)實(shí)的，事實(shí)上只需要比較那些有可能取到最大或最小的點(diǎn)處的函數(shù)值就可以了.函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)全局性概念，只能在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)和區(qū)間的端點(diǎn)處取得

3，怎么求函數(shù)的最值？求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值步驟如下：

（1）求出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)一切駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)；（2）計(jì)算函數(shù)在駐點(diǎn)（含不可導(dǎo)點(diǎn)）以及端點(diǎn)處的函數(shù)值；（3）將這些值加以比較，其中最大者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，最小者函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值.例1

求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.例2

求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.練習(xí)

求函數(shù)在給定閉區(qū)間上的最值。在開(kāi)區(qū)間上求函數(shù)的最值例：1，函數(shù)在區(qū)間上；

2，函數(shù)在區(qū)間上；

3，函數(shù)在區(qū)間上。在開(kāi)區(qū)間上求函數(shù)的最大值與最小值問(wèn)題具有不確定性，因此無(wú)統(tǒng)一方法求得.但函數(shù)在某個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)若只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么在包含該極值點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間內(nèi)，極大值就是最大值，極小值就是最小值．如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)且有惟一的極值點(diǎn)，求其最大值與最小值的步驟為：（1）計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式；（2）令，求出惟一的駐點(diǎn)；（3）計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，判斷的符號(hào).若，函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上的最小值為，無(wú)最大值.若，函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上的最大值為，無(wú)最小值.例3

求函數(shù)最值.例4

求函數(shù)其定義域內(nèi)的最值.練習(xí)

求下列函數(shù)的最值。二、最大值與最小值的應(yīng)用例5

某產(chǎn)品的總成本是產(chǎn)量的函數(shù)，即，問(wèn)產(chǎn)量為多少時(shí)，才能使得平均單位成本最低？最低平均單位成本是多少？例6

某廠生產(chǎn)噸某產(chǎn)品的平均成本（萬(wàn)元∕噸），產(chǎn)品銷售價(jià)格為萬(wàn)元∕噸，它與產(chǎn)量噸的關(guān)系為，問(wèn)產(chǎn)量噸為多少時(shí)，才能在每批商品全部銷售后獲得的總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？例7

設(shè)工廠A到鐵路線的垂直距離為30km，垂足為B，鐵路線上距離B為150km處有一原料供應(yīng)站C，現(xiàn)在要在鐵路BC段處D修建一個(gè)原料中轉(zhuǎn)車站，再由車站D向工廠A修一條公路，如果已知鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為，那么，車站D選在何處，才能使從原料供應(yīng)站C運(yùn)貨到工廠A所需運(yùn)費(fèi)最省？*三、函數(shù)的作圖

利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)研究了函數(shù)的單調(diào)性、極值、凹凸性與拐點(diǎn)之后，則可以根據(jù)函數(shù)所具有的性質(zhì)描繪出函數(shù)的圖形，使得函數(shù)的作圖有了嚴(yán)密的理論依據(jù)，提高了函數(shù)作圖的準(zhǔn)確程度.為了掌握曲線在無(wú)窮遠(yuǎn)處的變化情況，還需要利用極限知識(shí)討論曲線的漸近線.

1、曲線的漸近線定義2.7.1

若曲線：上的動(dòng)點(diǎn)沿著曲線無(wú)限遠(yuǎn)移時(shí)，動(dòng)點(diǎn)到直線：的距離無(wú)限接近于零，則稱直線是曲線的漸近線.《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》△函數(shù)極限與漸近線△水平漸近線《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》△鉛垂?jié)u近線《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》（1）垂直漸近線若或，則是的垂直漸近線.例：（2）斜漸近線（）特別地，當(dāng)時(shí)，是曲線的水平漸近線.

例：若是曲線的斜漸近線，則由漸近線的定義可導(dǎo)出

，.作出函數(shù)圖形的一般步驟為:（1）確定函數(shù)的定義域；（2）討論函數(shù)的一些基本性質(zhì)(如奇偶性、周期性、曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)；（3）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)；（4）確定漸近線；（5）作圖.2、函數(shù)圖形的描繪例8

作出函數(shù)圖象.該曲線在概率與統(tǒng)計(jì)中有廣泛的應(yīng)用，稱為概率曲線.例9

作函數(shù)的圖形.《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》作業(yè)練習(xí)2-7：1

2

4練習(xí)2-7

1.求函數(shù)區(qū)間上的最值.

2.求函數(shù)在其定義域內(nèi)的最值.

3.設(shè)扇形的周長(zhǎng)為常量，問(wèn)扇形的半徑為多少時(shí)，扇形的面積最大？

4.某商品的成本函數(shù)為，試問(wèn)：生產(chǎn)數(shù)量為多少時(shí)，可使平均成本最??？

5.某商品的成本函數(shù)為，又需求函數(shù)（其中為該商品單價(jià)），求能使利潤(rùn)最大的值.

6.甲乙兩條河垂直相交，兩條河的寬度分別為和，問(wèn)在兩河相交處能拐彎的船只中，船長(zhǎng)最大能為多少？第八節(jié)微分及其應(yīng)用在許多實(shí)際問(wèn)題中，不僅需要知道自變量的變化引起函數(shù)變化的快慢程度，而且還需要計(jì)算當(dāng)自變量在某一點(diǎn)取得一個(gè)微小增量時(shí)，函數(shù)取得相應(yīng)增量的大小.一般來(lái)說(shuō)，利用公式計(jì)算函數(shù)的增量的精確值不是一件很容易的事情，實(shí)際中有時(shí)只需求出它的近似值就可以了.為此，引入微分的概念及其運(yùn)算.一個(gè)正方形場(chǎng)地，邊長(zhǎng)為，則其面積，此時(shí)，如果邊長(zhǎng)有一個(gè)改變量，則面積的改變量

一、函數(shù)的微分【引例2.8.1】面積改變了多少？當(dāng)很小時(shí)，比要小得多，即時(shí)，是比高階的無(wú)窮小.1.微分的概念定義2.8.1

函數(shù)在點(diǎn)處及其左右有定義，自變量在點(diǎn)處有一變化量，此時(shí)函數(shù)的改變量，當(dāng)時(shí)，如果存在一個(gè)常數(shù)A，使得小到可以忽略不計(jì)，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可微，并稱為函數(shù)在點(diǎn)處的微分值，記作定理2.8.1

函數(shù)在點(diǎn)處可微的充分必要條件是在點(diǎn)處可導(dǎo)，且有

1，任意一點(diǎn)處的微分.由定理：2，如果將自變量看成是其自身的函數(shù)，即，則3，導(dǎo)數(shù)與微分是等價(jià)的：函數(shù)的微分與自變量的微分的商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即例1

計(jì)算函數(shù)當(dāng)由變?yōu)闀r(shí)的微分值.

例2

求函數(shù)的微分.微分的幾何意義是：在的一個(gè)充分小的范圍內(nèi)，可用處的切線段的改變量近似代替處曲線段的改變量.2.微分基本公式與運(yùn)算法則

從函數(shù)的微分表達(dá)式，可以看出，要計(jì)算函數(shù)的微分，只要計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再乘以自變量的微分即可．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；①微分基本公式（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）.②函數(shù)的和、差、積、商的微分法則設(shè)可導(dǎo)，則（1）；（2）；（3）；（4）.③復(fù)合函數(shù)的微分法則設(shè)及都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)的微分

.由于，所以復(fù)合函數(shù)的微分也可以寫(xiě)成.微分的形式不變性例3

求函數(shù)的微分.例4

求函數(shù)的微分.例5

求函數(shù)的微分.二、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用由微分的定義可知，函數(shù)在某一點(diǎn)處的微分值，就是自變量改變量時(shí)，函數(shù)改變量的近似值，即，變形得近似計(jì)算公式.例6

計(jì)算的近似值.例7

已知一個(gè)球的外直徑為10cm，球殼的厚度為cm，求球殼體積大約為多大？例8

計(jì)算的近似值《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》《經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教程——微積分》作業(yè)練習(xí)2-8：1，（1）（3）

3，（1）

練習(xí)2-81.求下列函數(shù)的微分.（1）；（2）；（3）；（4）2.求方程所確定的函數(shù)的微分.3.求下列各式的近似值.（1）；（2）.4.某廠生產(chǎn)扇形板，半徑mm，要求中心角為55°，產(chǎn)品檢驗(yàn)時(shí)，一般是量弦長(zhǎng)L，如果測(cè)量弦長(zhǎng)的誤差mm，問(wèn)由此而引起的中心角的計(jì)算誤差是多少.5.設(shè)球的直徑為10cm,如果計(jì)算球的體積要求精確到1%，那么度量球的直徑時(shí)允許的最大誤差是多少？第九節(jié)

微分學(xué)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用舉例

導(dǎo)數(shù)是經(jīng)濟(jì)分析中非常重要的數(shù)學(xué)工具，本節(jié)介紹邊際分析和彈性分析.一、邊際函數(shù)

什么是邊際分析：邊際分析在經(jīng)濟(jì)學(xué)上是一種對(duì)增量進(jìn)行分析的方法，它在一定程度上背離了傳統(tǒng)的分析方法，指出闡明各種生產(chǎn)要素的新增量所帶來(lái)的生產(chǎn)效率和經(jīng)濟(jì)效益才是最有意義的.

邊際分析的重要性：邊際分析法是經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本研究方法之一，不僅在理論上，而且在實(shí)際工作中起著十分重要的作用，它被認(rèn)為是打開(kāi)經(jīng)濟(jì)決策王國(guó)的鑰匙，通常與管理決策優(yōu)化密切相關(guān).函數(shù)邊際函數(shù)

邊際函數(shù)是指單位數(shù)量的產(chǎn)品變動(dòng)時(shí)經(jīng)濟(jì)函數(shù)相應(yīng)的改變量，即經(jīng)濟(jì)函數(shù)的瞬時(shí)變化率.

邊際函數(shù)值表示在處，當(dāng)x改變一個(gè)單位時(shí)（增加或減少），函數(shù)y近似地改變了個(gè)單位.邊際函數(shù)值1.邊際成本

總成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際成本函數(shù).其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)產(chǎn)量為x時(shí)，再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的成本.邊際成本近似地等于第個(gè)單位產(chǎn)品的成本。2.邊際收入總收入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際收入函數(shù).其經(jīng)濟(jì)意義為：在銷量q為時(shí)，再多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的收入.近似地等于第個(gè)單位產(chǎn)品的收益.3.邊際利潤(rùn)

總利潤(rùn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際利潤(rùn)函數(shù).其經(jīng)濟(jì)意義為：在銷量q為時(shí)，再多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的利潤(rùn).近似地等于第個(gè)單位產(chǎn)品的利潤(rùn).

利潤(rùn)等于總收入與總成本之差，即，則，

邊際利潤(rùn)等于邊際收入與邊際成本之差.4、邊際需求

邊際需求為需求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).在經(jīng)濟(jì)學(xué)中解釋為：邊際需求是當(dāng)價(jià)格為p時(shí)，需求量對(duì)價(jià)格的變化率（需求量單位/單位價(jià)格）.可近似理解為：當(dāng)價(jià)格為p時(shí)，價(jià)格上漲（或下降）1個(gè)單位需求量將減少（或增加）的數(shù)量.例1

設(shè)某產(chǎn)品產(chǎn)量為x噸時(shí)的總成本（元）求：產(chǎn)量為100噸時(shí)的總成本、平均成本及邊際成本.例2

設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為，求：

（1）邊際收入函數(shù)；

（2）20、50和70時(shí)的邊際收入.二、函數(shù)的彈性

邊際是函數(shù)的絕對(duì)變化率(如邊際成本、邊際收益、邊際需求等)，但是在實(shí)踐中，僅僅研究函數(shù)的絕對(duì)變化率是不夠的，還需要研究函數(shù)的相對(duì)變化率.例如，商品甲：每單位價(jià)格為10元，漲價(jià)1元；商品乙：每單位價(jià)格為100元，也漲價(jià)1元。商品甲漲了10%商品乙漲了1%給定變量，它在某處的變化量（增量）稱作絕對(duì)改變量，絕對(duì)改變量與變量在該處的值之比稱作相對(duì)改變量.

定義2.9.1（函數(shù)在點(diǎn)處的彈性）設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量x在點(diǎn)有增量時(shí)，函數(shù)有相應(yīng)的增量，將比值稱為自變量的相對(duì)改變量，將稱為函數(shù)的相對(duì)改變量.如果極限存在，那么稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)處的彈性，記作，即

定義2.9.2（彈性函數(shù)）對(duì)于函數(shù)，如果極限存在，則稱此極限為在點(diǎn)x處的彈性，記為，即也稱為函數(shù)的彈性函數(shù).彈性分析研究的是函數(shù)的相對(duì)改變量的比率，它是經(jīng)濟(jì)分析中常用的一種方法，主要用于對(duì)生產(chǎn)、供給、需求等問(wèn)題的研究.

彈性是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的另一個(gè)重要概念,用來(lái)定量地描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量相對(duì)于另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量變化的快慢程度，更具體的來(lái)說(shuō)，它指的是一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量變動(dòng)百分之一時(shí)會(huì)使另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量變動(dòng)百分之幾.彈性函數(shù)反映了隨x的變化，變化幅度的大小，也就是對(duì)x變化反應(yīng)的靈敏度.即當(dāng)x改變時(shí)，近似地改變.對(duì)于需求函數(shù)，由定義得需求彈性

.需求彈性表示某種商品需求量Q對(duì)價(jià)格p變化的敏感程度.需求彈性一般為負(fù)值，其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)某種商品的價(jià)格下降（或上升）時(shí)，其需求量將增加（或減少）.當(dāng)時(shí)，稱為單位彈性當(dāng)時(shí)，稱為富有彈性當(dāng)時(shí)，稱為缺乏彈性商品需求量的相對(duì)變化與價(jià)格的相對(duì)變化基本相等，此價(jià)格是最優(yōu)價(jià)格.商品需求量的相對(duì)變化大于價(jià)格的相對(duì)變化，此時(shí)價(jià)格的變動(dòng)對(duì)需求量的影響較大.換句話說(shuō)，適當(dāng)降價(jià)會(huì)使需求量較大幅度上升，從而增加收入.