新高考數(shù)學一輪復習題型歸類與強化測試（新高考專用） 兩直線的位置關(guān)系2

專題49兩直線的位置關(guān)系

知考綱要求

識

考點預測

梳

理常用結(jié)論

方法技巧

題題型一：兩直線的平行與垂直

型

題型二：兩直線的交點與距離問題

歸

題型三：對稱問題

類

訓練一：

培

訓練二：

優(yōu)

訓練三：

訓

練訓練四：

訓練五：

訓練六：

強

單選題：共8題

化

多選題：共4題

測

試填空題：共4題

解答題：共6題

一、【知識梳理】

【考綱要求】

1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.

2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.

3.探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.

【考點預測】

1.兩條直線平行與垂直的判定

(1)兩條直線平行

對于兩條不重合的直線厶，h,其斜率分別為七，匕，則有厶〃/2=亂=厶特別地,當直線厶，

厶的斜率都不存在時，厶與厶壬任.

(2)兩條直線垂直

如果兩條直線/1,厶斜率都存在，設為左1,左2,則厶丄/2=紅二及三二1，當一條直線斜率為零，

另一條直線斜率不存在時，兩條直線垂直.

2.直線的交點與直線的方程組成的方程組的解的關(guān)系

(1)兩直線的交點

點P的坐標既滿足直線/i的方程Nix+8iy+G=0,也滿足直線厶的方程4加+82、+。2=0,即

點尸的坐標是方程組

L+5；+C2=O的解'解這個方程組就可以得到這兩條直線的交點坐

標.

(2)兩直線的位置關(guān)系

，ix+5iy+G=0,

方程組??的解一組無數(shù)組無解

42x+&y+C2=0

直線厶與厶的公共點的個數(shù)一個無數(shù)個零個

直線厶與厶的位置關(guān)系相交重合平行

3.距離公式

⑴兩點間的距離公式

平面上任意兩點尸I(X1，J1),尸2(X2,間的距離公式為|P1尸2|='/(X2—X1)?+(以一卩1)

特別地，原點0(0,0)與任一點P(x,y)的距離10鬥=、何+了.

(2)點到直線的距離公式

|4xo+8y（）+C

平面上任意一點Po(xo,yo)到直線/：/x+8y+C=0的距離d=

\IA2+B2'

(3)兩條平行線間的距離公式

一般地，兩條平行直線厶：Ax+By+Ct=O,/2：Zx+為+G=0間的距離

4.對稱問題

(1)點尸(xo,次)關(guān)于點/(a,6)的對稱點為尸'(2a—xo,2/>—M).

尸A=f

vc'-xo

⑵設點尸。0,次)關(guān)于直線y=依+8的對稱點為P3,y),則有卜+hx，+xo可求岀V,

\z=k-----------Fb,

I22

/?

【常用結(jié)論】

五種常用對稱關(guān)系

(1)點(X,刃關(guān)于原點(0,0)的對稱點為(一X,-y).

(2)點(x,y)關(guān)于x軸的對稱點為(x,~y),關(guān)于y軸的對稱點為(一七y).

(3)點(x,y)關(guān)于直線y=x的對稱點為3，x),關(guān)于直線了=-x的對稱點為(一y,—x).

(4)點(x,y)關(guān)于直線x=a的對稱點為(2a—x,y),關(guān)于直線y=b的對稱點為(x,2b-y).

(5)點(x,y)關(guān)于點(a,b)的對稱點為(2a—x,2b-y).

【方法技巧】

1.當含參數(shù)的直線方程為一般式時，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮

到斜率不存在的特殊情況，同時還要注意X,'的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件.

2.在判斷兩直線的平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.

3.求過兩直線交點的直線方程的方法

先求出兩直線的交點坐標，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.

3.利用距離公式應注意：①點P(xo,/)到直線x=a的距離d=|xo—3，到直線y=6的距離1=例一如②兩

平行線間的距離公式要把兩直線方程中X,'的系數(shù)化為相等.

4.解決對稱問題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解.

5.幾個常用結(jié)論

①點(x,y)關(guān)于x軸的對稱點為(x,~y),關(guān)于y軸的對稱點為(—x,y).

②點(x,y)關(guān)于直線y=x的對稱點為(y,x),關(guān)于直線夕=-x的對稱點為(一y,—x).

③點(x,y)關(guān)于直線x=a的對稱點為(2a—x,y),關(guān)于直線y=6的對稱點為(x,2b—y).

6.幾種常見的直線系方程

⑴與直線厶+取+C=0平行的直線系方程是/x+取+m=O(wGR且加#C).

(2)與直線4x+8y+C=0垂直的直線系方程是Bx-Ay+n=O(n^R).

J

(3)過直線厶：Ayx+Bsy+C\=Q與厶：Z2x+82_y+C2=0的交點的直線系方程為Axx+B\y+C\t-}\Avc+B2y+

C2)=0(2GR),但不包括b.

二、【題型歸類】

【題型一】兩直線的平行與垂直

【典例1】已知直線厶：ax+(a+2)y+1=0,厶：x+ay+2=0(qGR),則'》=1"是"厶〃/2”的()

e

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【典例2】已知直線/經(jīng)過點(1,一1),且與直線2x—y—5=0垂直，則直線/的方程為()

A.2x+y—1=0B.x—2y—3=0

C.x+2y+l=0D.2%一＞一3=0

【典例3］已知三條直線2x-3y+l=0,4x+3y+5=0,〃a一丁一1=0不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)”的取值集

合為()

421［424

A.I33jB.l333j

flf_4_22)

C.b'3jD.l3’3’3j

【題型二】兩直線的交點與距離問題

【典例1］已知直線自一、+2左+1=0與直線2x+y—2=0的交點在第一象限，則實數(shù)上的取

值范圍是()

3a

A.B.或厶＞一1

22

C.k>~lD.—%<1

32

【典例2］已知直線/i：mx+y-3=0與直線/2：x-y-m=O平行，則它們之間的距離是()

A.2也B.4C也D.2

【典例3］直線I過點尸(一1，2)且到點A(2,3)和點5(-4，5)的距離相等，則直線/的方程為

【題型三】對稱問題

【典例1】過點尸。1)作直線/,使它被直線/i：2x+y—8=0和厶x—3y+10=0截得的線段被點P平分,

則直線I的方程為.

【典例2】已知入射光線經(jīng)過點用(-3,4),被直線厶x—j，+3=0反射，反射光線經(jīng)過點M2,6),則反射

光線所在直線的方程為.

【典例3】已知直線/：y=3x+3,則點尸(4,5)關(guān)于/的對稱點的坐標為.

三、【培優(yōu)訓練】

【訓練一】(2023?全國?高三專題練習)已知實數(shù)a,6滿足。2+/；2+1=2。+2/,，則(3a+46-l)2的最小值

是()

A.1B.2C.4D.16

【訓練二】(2023秋?高二單元測試)已知42,0),點尸為直線x-y+5=0上的一點，點。為圓/+丁=1

上的一點，則歸。|+；|』。|的最小值為()

A572+2a572-2_11母門11加

2224

【訓練三】(2023?河南?河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級中學?？寄M預測)設點P在曲線y=；e(F上，點。在曲線

y=ln(2x-2)±,則|尸。|的最小值為()

A.l-ln2B.72(1-In2)

C.l+ln2D.0(1+In2)

【訓練四】(2023秋?全國?高二階段練習)已知圓C:(x-u)2+(y-b)2=4的圖象在第四象限,直線修

ax+by+3=0,12：笈-即+4=0.若人上存在點尸，過點P作圓C的切線尸4,PB,切點分別為4B,使

得△4PB為等邊三角形，則4被圓C截得的弦長的最大值為.

【訓練五】（2023?全國?高三專題練習）已知圓C：X2+/=4,點"（3,0）,點8（—2,0）.點P為圓C上一點，

作線段AP的垂直平分線/.則點B到直線/距離最小值為.

【訓練六】（2023?全國?高三專題練習）已知尸、。分別在直線4：x-y+i=o與直線/2：x-y-i=。上，且

尸。丄4,點月（-4,4）,5（4,0）,則|4尸|+|尸。|+|。卻的最小值為___________.

四、【強化測試】

一、單選題

1.（2023?陜西商洛?鎮(zhèn)安中學?？寄M預測）在RSZ8C中，05=90°,/8=近，BC=2,若動點尸滿足

國=正，則麗.麗的最大值為（）

A.16B.17C.18D.19

2.（2023?吉林白山?統(tǒng)考一模）已知圓。:/+/-4、-6夕+12=0與直線/：x+y-l=0,P,。分別是圓C和

直線/上的點且直線尸。與圓C恰有1個公共點，則歸。|的最小值是（）

A.幣B.272C.77-1D.272-1

3.（2023?四川成都?校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線中《一片=1的右焦點為R過點F作一條漸近線的垂線,

36

垂足為P,。為坐標原點，則△。尸尸的面積為（）

A.34B.—C.3>/3D.邁

22

4.（2023?四川綿陽?統(tǒng)考二模）涪江三橋又名綿陽富樂大橋，跨越了涪江和芙蓉溪，是繼東方紅大橋、涪江

二橋之后在涪江上修建的第三座大橋，于2004年國慶全線通車.大橋的拱頂可近似地看作拋物線/=-16y

的一段，若有一只鴿子站在拱頂?shù)哪硞€位置，它到拋物線焦點的距離為10米，則鴿子到拱頂?shù)淖罡唿c的距

離為（）

A.6B.2而C.844D.而

5.（2023?云南?云南師大附中?？寄M預測）已知圓C：（X-1）2+/=4,直線/：y=x+1被圓C截得的弦

長為（）

A.6B.石C.2竝D.273

6.（2023?全國?高三專題練習）若直線2x-y-3=0與4x-2y+a=0之間的距離為右，則a的值為（）

A.4B.y/5-6C.4或-16D.8或-16

7.（2023春?湖北恩施?高二利川市第一中學校聯(lián)考期末）若兩條直線4丿=2x+m,4：P=2x+〃與圓

/+貝一4》=0的四個交點能構(gòu)成正方形，則|機-〃|=（）

A.4布B.2710C.20D.4

8.（2023秋?高二單元測試）直線y=x+6與曲線x=7I二了■恰有兩個不同的公共點，則實數(shù)。的取值范圍

是（）

A.-14645/2B.—1/2<64-1

C.-\<b<l^h=->/2D.-72<b<\

二、多選題

9.（2022?全國?高一專題練習）已知直線/過點（3,4）,點力（-2,2）,8（4,-2）到/的距離相等，則/的方程可

能是（）

A.x~2y+2=0B.2x-y-2=0

C.2x+3y-18=0D.2x-3y+6=0

10.（2023,全國?高三專題練習）設單位圓。與x軸的左、右交點分別為力、8,直線厶xcose-ysin6+l=0

（其中0<。<兀）分別與直線x+l=0、工一1=0交于。、。兩點，則（）

A.6=”時，/的傾斜角為自

36

B.T6e（0,兀），點4、8到/的距離之和為定值

C.36?e（0,n）,使/與圓。無公共點

D.V6?G（O,7t）,恒有OC丄OQ

1L（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知直線/：x+y-4=0,圓0:/+『=2,M是/上一點，MA,分別

是圓O的切線，則（）

A.直線/與圓。相切B.圓。上的點到直線/的距離的最小值為近

C.存在點M,使N4A/5=90。D.存在點M,使A0WS為等邊三角形

12.（2023春廣東茂名?高三校考階段練習）已知48為圓。：—+/=i上的兩點，p為直線/：x+y-2=0上

一動點，則（）

A.直線/與圓。相離

TT

B.當48為兩定點時，滿足的點尸有2個

2

C.當網(wǎng)=百時，國+閥的最大值是2&+1

D.當P4尸8為圓。的兩條切線時，直線48過定點后為丿

三、填空題

13.（2023春?安徽安慶?高二安慶一中?？茧A段練習）若兩條直線乙：了=3工+加，9=3'+”與圓

x2+y2+3x+y+k=0的四個交點能構(gòu)成矩形，則，”+“=.

14.（2022?高二課時練習）在平面直角坐標系x力中，已知直線，：夕=左卜+4）和點4（-2,0）,8（2,0）,動點

P滿足1PH=0戶用，且動點尸的軌跡上至少存在兩點到直線/的距離等于0,則實數(shù)的左取值范圍

是.

15.（2023?天津?大港一中校聯(lián)考一模）若直線/：x-島+9=0被圓C：/+/+2X-m=0截得線段的長為

6,則實數(shù)加的值為.

16.（2022秋?福建泉州?高二校考期中）已知動點尸到點”Q,0）的距離是到點5（1,3）的距離的2倍，記P點

的軌跡為C,直線了=依+1交C于M,N兩點，若A0MN的面積為2,則實數(shù)上的值為.

四、解答題

17.（2023秋?山東臨沂?高二山東省臨沂第一中學校考期末）已知直線/經(jīng)過兩條直線2x-y-3=0和

4x-3y-5=0的交點，且與直線x+y-2=0垂直.

⑴求直線/的一般式方程；

⑵若圓C的圓心為點（3,0）,直線/被該圓所截得的弦長為2/，求圓C的標準方程.

18.（2022秋?天津?qū)幒?高二天津市寧河區(qū)蘆臺第一中學?？茧A段練習）已知三角形ABC的頂點坐標為A（1,

5）、B（2,1）、C（4,3）,"是8C邊上的中點.

⑴求48邊所在的直線方程；

⑵求中線4W■的長