全國通用2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)易錯題-易錯點11 平面向量（含解析）

易錯點11平面向量

易錯分析

易錯點1:向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方向的量稱為向量,用有向線段表示，此時有向線段的方向就是向

量的方向.向量位的大小稱為向量的摸(或大小)，記作遺L

(2)零向量：始點和終點相同的向量稱為零向量.

(3)單位向量：模等于L的向量稱為單位向量.

(4)平行向量(共線向量)：如果兩個非零向量的方向相同或者相反,則稱這兩個向量平行.

通常規(guī)定零向量與任意向量子行.

(5)相等向量：大小相等、方向相同的向量.

(6)相反向量：大小相等、方向相反的向量.

易錯點2.向量的線性運算

向量運算定義法則(或幾何意義)運算律

(1)交換律：

a+b=b+a

求兩個向量和的運a

加法三角形法則(2)結(jié)合律：

算

a(a+b)+c=a+1b

平行四邊形法則+c)

減去一個向量相當(dāng)

減法于加上這個向量的xya—b=a+(—A)

相反向量三角形法則

入(□a)=

(1)當(dāng)4WO且aNO時，入己的模

(，〃)a；

為以”,而且力&的方向如下：

求實數(shù)4與向量a(4+〃)a=>a+

數(shù)乘①當(dāng)4>0時，與a的方向相同;

的積的運算

②當(dāng)4<0時，與a的方向相反.

4(a+6)=>a+

(2)當(dāng)4=0或a=0時，A,a=0.

J_b

易錯點3.共線向量定理

如果存在實數(shù)A,使得6=2a(aW0),則Ma.

易錯點4.向量模的不等式

向量a,b的模與a+6的模之間滿足不等式

a—；引IWla±6三］夕+修.

易錯點4.平面向量基本定理

（1）平面向量的基底

平面內(nèi)不共線的兩個向量a與6組成的集合?加，常稱為該平面上向量的一組基底，如果

c=xa+yb,則稱xa+yb為c在基底｛a,6｝下的分解式.

（2）平面向量基本定理

如果平面內(nèi)兩個向量3與b不共線，則對該平面內(nèi)任意一個向量。，存在唯二的實數(shù)對（必

y）,使得c=xa+yb.

易錯點5.平面向量的坐標(biāo)

一般地，給定平面內(nèi)兩個相互垂直的單位向量e>,對于平面內(nèi)的向量a,如果a=xe+

ya,則稱（x,。為向量a的坐標(biāo),記作a=（x,y）.

易錯點6.平面向量的坐標(biāo)運算

（1）平面向量線性運算的坐標(biāo)表示

假設(shè)平面上兩個向量a，b滿足a=（小，yi）,6=（如刑），則a±b=（x1±「，'土/）,

=（4%1,2yi）（AGR）,ua±vb=（UE土次，〃力士呼）（u,reR）.

（2）向量模的坐標(biāo)計算公式

如果向量a=（x,尸），則a=\jx+y.

（3）向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)力（xi,%）,6（如㈤，

則AB=（"—汨，先—為），

,~AB\='（照一X）”+（了一巾）1

易錯點7.向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)a=（x,71）,b=（X2,J2）,則H〃從。x2力=荀）.

易錯點8.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示

設(shè)向量a=（E,力），6=（如㈤，。為向量a,8的夾角.

（1）數(shù)量積：a9b=ab\cos鄉(xiāng)=汨尼+必%.

(2)模：Ia|='a?

a?b______xi熱+必丁

（3）夾角：cos

\a\b\+

（4）兩非零向量的充要條件：。?6=00由入2+巾度=0.

2

(5)%?引W|a；引(當(dāng)且僅當(dāng)a〃b時等號成立)=1矛.+巾力W、jx；+y：?7>+—?

錯題糾正

1.在,ABC中，點〃滿足AD=2DC,￡為4。上一點，_&BE=mBA+nBC,m+An=1?則

2=()

A.-B.-C.0D.-

4332

【答案】D

uiu3uim

【詳解】因為4Z)=2DC,所以BC=13。，

3

則BE=tnBA+nBC=mBA+—nBD,

2

因為4E,〃三點共線，

所以，"+=,=1,所以

故選：D.

3

2.已知點4、8在單位圓上，ZAOB=-n,^OC=2OA+xOB(xeR),貝0C『的最小值是

4

()

A.2B.3C.5-20D.4

【答案】A

【詳解】|OC|2=(2tM+xO8)2=40^+X2OB'+4X\OA|-|OB|cos-2>/2x

+4=(X-V2)2+2>2,因此|OCT22.

故選:A.

3.若向量a，0滿足忖=1,忖=&,+則a與匕的夾角為()

*nc乃八37tc5〃

A.-B.-C.—D.——

4346

【答案】c

/\nd'b-15/2

【詳解】由己知得。?(a+8)=0，a?=-l，8$0=麗|=正="相，

ew[o,用,所以"當(dāng).

4

故選：C.

3

4.已知平面向量〃力滿足|〃|=2,〃為=4,貝匕在。方向上的投影向量為()

11r

A.—aB.-bC.aD.b

22

【答案】C

a-b

【詳解】b

故選：C.

5.已知平面向量。=(4,一2)力=(1,-3),若a+勸與b垂直，則九=()

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】C

【詳解】因為〃=(4,-2),6=(1,-3),故|〃|=&+(-2)2=2亞,b=回，

由題意a+Ab^ib垂直，(a+Ab)-b=a-b+A.b=0,

即4+6+104=0>解得2=-l,

故選：C

舉一反三?

1.已知向量a=(21),。=(-2,4),則日()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【詳解】因為a—6=(2/)—(—2,4)=(4,—3),所以卜叫=+(-3)?=5.

故選：D

2.已知向量〃=(1,⑼，b=(m,2),若allb，則實數(shù)力等于()

A.-72B.&

C.一五或叵D.0

【答案】C

【詳解】由〃/妨知：1X2—//=0,即加=正或-&.

故選：C.

3.已知向量a,Z?滿足1。1=5,|〃|=6,&.b=—6，則cos<a,a+A>=()

4

31191719

A.B.C.D.

35353535

【答案】D

【詳解】］《=5,|4=6,a.b=-6，a=|a|2+?-/>=52-6=19.

|a+q=J(a+b)=yja+2a-b+b=j25-2x6+36=7，

a-(a+b\1919

因此，cos<a,a+fe>=-ii-----f=——.

r卜r,4+05x735

故選：D.

4.已知單位向量a，6的夾角為60°,則在下列向量中，與6垂直的是()

A.a+2bB.2a+bC.a-2bD-2a-b

【答案】D

【詳解】由已知可得：a-^=|iz|-|z?|-cos60"=lxlxi=i.

A:因為(a+2b).6=a.6+2/=義+2><1='|?。，所以本選項不符合題意；

O1

B：因為(2a+〃).〃=2a./?+//=2x-+l=2^O,所以本選項不符合題意；

C：因為(。一2加.。=々.。-2//=3一2乂1二一￥。，所以本選項不符合題意；

D:因為(2。-與包=2。包—i/=2x；-l=0,所以本選項符合題意.

故選：D.

5.已知向量”=(2,3)力=(3,2),則"一切=

A.72B.2

C.50D.50

【答案】A

【詳解】由已知,a-Z>=(2,3)-(3,2)=(-1,1),

所以|a-b|=二叵，

故選A

易錯題通關(guān)

5

一、單選題

1.已知四邊形ABC。，設(shè)6為CD的中點，ACAD=\0,\AE\=4,則|CO|=()

A.2瓜B.V6C.2及D.y/2

【答案】A

【詳解】在平面(空間同樣)四邊形A8CD中，

ACAD^(AE+EC)(AE+ED)=|A￡|2-|￡C|2,

因為AC-A￡>=10,|AE|=4,所以|EC|=",|CQ|=2".

故選：A.

2.已知向量a=(2,l),6=(-2,4),則|D|=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【詳解】因為￡=(2,1),b=(-2,4)，

所以。-8=(4,-3),

所以|。_勿="42+(_3)2=5,

故選：D

3.已知向量外人滿足同=1，ab=-l,則a.(2a-0)=()

A.4B.3C.2D.0

【答案】B

［詳解］?-(2a-/?)=2|a|2-a-b=2+1=3.

故選:B.

4.己知非零向量4,b，c滿足a+6+c、=0，a,〃的夾角為120,且問=斗4貝IJ向量Q,

c的數(shù)量積為()

A.0B.-2a2C.2a2D.-a2

【答案】A

【詳解】設(shè)初|=2同=2上0,因為解?的夾角為120,

所以=@?同cosl20=-r,

因為非零向量a，b，d滿足a+h+c=0，

所以°=一（4+8），

所以=一〃.（4+匕）=--d，b

=一⑷?-ab=—t2+產(chǎn)=0.

6

故選：A.

5.設(shè)向量q,b，滿足|。|=2,|以=1,”與b的夾角為60°,則|。+2勿=（）

A.B.3亞C.4D.275

【答案】A

【詳解】解：因為|。|=2,聞=1,.與石的夾角為60。,

所以a/=?qcos60°=2xlxg=l,

所以|a+26/=（.+26）2=1+44力+4//=|『+4”力+4忖2=22+4x1+4x1?=12,

所以|:+5|=26.

故選：A.

6.設(shè)非零向量a/滿足|a|=2|切,|〃+加=后|切，則向量a與6的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【詳解】由|a+b|=6|加得|a|2+2|a|g|cos（a0+|M=3|M,

代入|a|=2|b|得cos（a,》）=-；,

又0。4（叫4180。

故夾角為120。.

故選：C

7.已知向量a,6的夾角為：，且|〃|=4,（ga+“-（2a-3b）=12,則向量在向量”方向上的

投影是（）

A.夜B.3C.4&D.1

【答案】D

【詳解】由&+“（2”-36）=12,卜『-!"2+2a2-3時=12,p|=+^-^-3|6|2=12,

16+^X4.|ZJ|COS^-3|/7|2=12,3忖2_倒陷_4=0,（3忖+2拒咽_&）=0,

解得忖=應(yīng)，所以向量辦在向量°方向上的投影為Wcos?=l,

故選：D.

8.已知A,B,C是不在同一直線上的三個點，。是平面ABC內(nèi)一動點，若

OP-OA=AAB+^BC\,2e[0,+oo）,則點P的軌跡一定過A3C的（）

7

A.外心B.重心C.垂心D.內(nèi)心

【答案】B

【詳解】解：如圖，取BC的中點。，連接AD，

AD.5L0P-0A=X(AB+-BC),

2

OP-OA=AAD-B|JAP=AAD-

乂幾e[0,+oo),

，尸點在射線AO上.

故P的軌跡過^ABC的重心.

故選:B.

二、多選題

9.已知向量。=。,3),方=(2,-4),則下列結(jié)論正確的是().

A.(a+b)LaB.\2a+b\=VlO

37r

c.向量a力的夾角為3D.人在4方向上的投影向量是皿

4

【答案】AC

【詳解】對于A,a+/>=(3,-l),由(a+b)"=3xl+(-l)x3=0,則丘+1),：，故A正確；

對于B,2?+/?=2(1,3)+(2,-4)=(4,2),慳+百=+2?=26,故B錯誤；

對于C,a2=lx2+3x(T)=-10,|a|=^l2+32=Vw,|/?|=^22+(-4)2=2>/5,則

/,\ab-10723元

8s依1)=印慟=而百萬=一下一，即向量。力的夾角為故,正確；

ci-b—10

對于D,〃在a方向上的投影向量是可。=不？〃=一。，故D錯誤.

故選：AC.

10.在-ABC中，M,N分別為AB,AC的中點，G為MN的中點，O為ABC所在平面

內(nèi)的任意一點，則()

8

A.GA+GB+GC=OB.OG=-(2OA+OB+OC^

C.AGGM=GAGND.(AG-G2V)|BC|=(AG-BC)|G)V|

【答案】BCD

【詳解】

取BC的中點”，連接GH,顯然A,G,H三點共線，且G是AH的中點，則

GA+GB+GC=GA+2GH=GH#0,故選項A錯誤；

因為：(20A+OB+0C)=；(20A+20H)=+0〃)=OG,故選項B正確：

因為GM=NG，所以AG-GM=AG-NG=G4-GN，故選項C正確；

因為BC=4GN，所以(AG-G/V)|BC|=(AG-GN)|4G/V|=4(AG.GN)|GN|,

(AG-BC)|G?V|=(/1G-4G7V)|G/V|=4(AG-G?/)-|G^|,所以(46-6M,4=卜6-80B叫,

故選項D正確；

故選：BCD.

三、解答題

11.記一ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,已知A8-AC+28A-BC=CA-C8.

sinB

⑴求

sinC

S

(2)記-ABC的面積為S,求的最大值.

【答案】

(1)

解：因為AB-AC+28/VBC=C4-C5，

由平面向量數(shù)量積的定義可得cbcosA+2cacosB=bacosC,

，，22222

b~+c~-a~+”"2工ab-c

即姐=ab-----+---------整理可得匕=0c，

2bc2aclab

9

由正弦定理可得駕=2=夜.

smCc

（2）

解：S=；〃csinA=^-c2sinA,由余弦定理可得a2=b2+c2-2Z;ccosA=3c?2-2\flc2cosA，

所以，S_方csin"_